3ª LISTA DE EXERCÍCIO (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA I PROFa. FÁDUA FERREIRA 
3ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
1. Seja 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2𝑥 + 3 
a. Calcule a derivada 𝑓′ de 𝑓, usando a definição derivativa. 
b. Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto (0, 3). 
c. Calcule a taxa de variação de 𝑓 quando 𝑥 = 0. 
d. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto (0, 3). 
e. Esboce o gráfico de 𝑓 e a tangente à curva no ponto (0, 3). 
 
2. As perdas (em milhões de dólares) em razão de maus empréstimos feitos pelo 
Franklin Bank, principalmente aos setores de agricultura, negócios imobiliários, 
transportes e energia, podem ser estimadas pela função 
𝐴 = 𝑓(𝑡) = −𝑡 + 10𝑡 + 30 (0 ≤ 𝑡 ≤ 10) 
onde T é o tempo em anos (t = 0 corresponde ao início de 1994). A que 
velocidade se acumulavam os prejuízos no início de 1997? E no início de 1999? 
A que velocidade os prejuízos se acumulavam no início de 2001? Interprete seus 
resultados. 
 
3. Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
a. Calcule a derivada 𝑓′ de 𝑓. 
b. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico no ponto (1,3). 
c. Esboce o gráfico de 𝑓. 
 
4. Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1. 
a. Calcule a derivada 𝑓′ de 𝑓. 
b. Determine o ponto do gráfico de 𝑓 onde a reta tangente ao gráfico é horizontal. 
c. Esboce o gráfico de 𝑓 e a reta tangente ao gráfico no ponto encontrado na 
parte (b). 
d. Qual é a taxa de variação de 𝑓 nesse ponto? 
 
5. Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥. 
a. Calcule a taxa de variação média de 𝑦 em relação a 𝑥 nos intervalos de x = 3 
a x = 4, de x = 3 a x = 3,5 e de x = 3 ax = 3,1. 
b. Calcule a taxa de variação (instantânea) de 𝑦 em x = 3. 
c. Compare os resultados obtidos na parte (a) com os da parte (b). 
 
6. As projeções são de que o produto interno bruto (PIB) de certo país seja de 
𝑁(𝑡) = 𝑡 + 2𝑡 + 50 (0 ≤ 𝑡 ≤ 5) 
bilhões de dólares daqui a 𝑡 anos. Quais serão as taxas de variação do PIB desse 
país daqui a dois anos e daqui a quatro anos? 
 
7. Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 . Determine o(s) ponto(s) no gráfico de 𝑓 onde a 
declividade da reta tangente é igual a: 
a. -2x b. 0 c. 10x 
2 
 
 
8. De acordo com projeções feitas em 2004, as vendas mundiais de câmeras 
digitais devem crescer de acordo com a regra 
𝑁(𝑡) = 16,3𝑡 , (1 ≤ 𝑡 ≤ 6), 
onde 𝑁(𝑡) é medido em milhões e 𝑡 é medido em anos, com t = 1 correspondendo 
a 2001. 
a. Quantas câmeras digitais foram vendidas em 2001 (t = 1)? 
b. Quão rapidamente as vendas estavam aumentando em 2001? 
c. Quais eram as projeções de vendas para 2005? 
d. Quão rapidamente as projeções de vendas estavam aumentando em 2005? 
 
9. O percentual de famílias constituídas por casais com filhos entre 1970 e 2000 
é aproximadamente 
𝑃(𝑡) =
49,6
𝑡 ,
 (1 ≤ 𝑡 ≤ 4), 
onde 𝑡 é medido em décadas, com t = 1 correspondendo a 1970. 
a. Qual o percentual das famílias que eram constituídas por casais com crianças 
em 1970? E em 1980? E em 1990? E em 2000? 
b. Quão rapidamente o percentual das famílias que eram constituídas por casais 
com crianças estava variando em 1980? E 1990? 
 
10. A população total de peixes que vivem no fundo do mar em Georges Bank 
em Nova Inglaterra entre 1989 e 1999 é aproximada pela função 
𝑓(𝑡) = 5,303𝑡 − 53,977𝑡 + 253,8 (0 ≤ 𝑡 ≤ 10), 
onde 𝑓(𝑡) é medida em milhares de toneladas e 𝑡 é medido em anos, com 𝑡 = 0 
correspondendo ao início de 1989. 
a. Com que rapidez a população de peixes que vivem no fundo do mar estava 
variando no início de 1994? E no início de 1996? 
b. Foram implementadas restrições à pesca em 7 de dezembro de 1994. As 
medidas adotadas foram eficazes? 
 
11. O reservatório principal de uma cidade foi contaminado recentemente com 
tricloroetileno, um agente cancerígeno, em virtude de um vazamento proveniente 
de lixo químico abandonado. Uma proposta submetida aos membros do 
conselho da cidade indica que o custo da remoção de x por cento dos poluentes 
químicos, medido em milhões de dólares, é dado por 
𝐶(𝑥) =
0,5𝑥
100 − 𝑥
 
Determine C'(80), C'(90), C'(95), C'(99) e interprete seus resultados. 
 
12. O número de bactérias 𝑁(𝑡) em uma cultura no instante 𝑡 após a aplicação 
de um bactericida experimental, segue a regra 
𝑁(𝑡) =
10.000
1 + 𝑡
+ 2.000 
Encontre a taxa de variação do número de bactérias na cultura após 1 min e 2 
min da introdução do bactericida. Qual é a população na cultura após um e dois 
minutos da introdução do bactericida? 
 
3 
 
13. Um estudo dos níveis de formaldeído em 900 casas indicou que a emissão 
de vários produtos químicos pode diminuir com o passar do tempo. Os níveis 
médios de formaldeído (em partes por milhão) em uma casa são dados por 
𝑓(𝑡) =
0,055𝑡 + 0,26
𝑡 + 2
 (0 ≤ 𝑡 ≤ 2) 
onde 𝑡 é a idade da casa em anos. Com que rapidez o nível médio de 
formaldeído está decrescendo quando a casa é nova? E quando a casa está no 
início de seu quarto ano? 
 
14. Um estudo de impacto ambiental conduzido pela cidade de Oxnard e uma 
agência governamental indicou que o nível de monóxido de carbono (CO) 
presente no ar devido à poluição por emissão de automóveis daqui a t anos será 
𝐶(𝑡) = 0,01(0,2𝑡 + 4𝑡 + 64) / , 
partes por milhão. 
a. Encontre a taxa com que a concentração de CO está mudando. 
b. Encontre a taxa com que a concentração de CO estará mudando daqui a cinco 
anos. 
 
15. De acordo com a agência controladora da qualidade do ar da costa sul, o 
nível de dióxido de nitrogênio, um gás marrom que prejudica a respiração, 
presente no ar no mês de maio em Los Angeles é aproximado por 
𝐴(𝑡) = 0,03𝑡 (𝑡 − 7) + 60,2 (0 ≤ 𝑡 ≤ 7) 
onde 𝐴(𝑡) é medido em índice de poluentes tradicional e 𝑡 é medido em horas, 
com 𝑡 = 0 correspondendo a 7 horas da manhã. 
a. Encontre A'(𝑡). 
b. Encontre A'(𝑡), A'(3), A'(4) e interprete os seus resultados.