Guidorizzi vol 3 capítulo 7 - Notas de Estudo

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Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Autor: Gabriel F. Ferrari
Área: Matemática
Disciplina: Cálculo III, Cálculo IV.
Guidorizzi Capítulo 7 Volume 3
Campos Conservativos
1 Apresentação
Olá caro estudante, Meu nome é Gabriel F. Ferrari Melo e produzo conteúdo voltado para
Matemática e Física do Ensino Superior, caso queira ver outros conteúdos como esse recomendo
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2 Considerações Iniciais
Esse material são notas de estudo do livro de Cálculo do Guidorizzi volume 3 e Capítulo 7.
Essas notas foram desenvolvidas como uma ideia de revisão da referida disciplina bem como
seu aprofundamento.
3 Alguns Pontos do Capítulo
Os pontos aqui apresentados são apenas um breve resumo de cada uma das notas. Tendo
isso em vista, a leitura integral para um bom entendimento é altamente recomendável, visto o
desenvolvimento dos resultados de forma clara, a demonstrações viáveis de certos resultados,
bem como o desenvolvimento de alguns exemplos que tornam-se de importância ímpar para a
solução dos exercícios.
3.1 Seção 7.1 - Campo Conservativo: Definição
Definição 3.1 Um campo vetorial ~F : Ω ⊂ Rn → Rn denomina-se conservativo se existir um
campo escalar ϕ : Ω ⊂ Rn → R tal que,
~F = ∇ϕ
uma função ϕ : Ω ⊂ Rn → R que satisfz a definição acima é chamada de campo escalar ou
função potencial de ~F .
Teorema 3.2 Seja ~F : ω ⊂ Rn → Rn um campo de classe C1 no aberto Ω. Uma condição
para ~F ser conservativo é que∇× ~F em Ω.
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3.2 Seção 7.2 - Forma Diferencial Exata
Definição 3.3 Forma diferencial no R2
Seja ~F = P (x, y)̂i+Q(x, y)ĵ definida no aberto Ω. A integral de linha de ~F sobre γ é dada
por ∫
γ
P (x, y)dx+Q(x, y)dy =
∫
γ
~F · dγ
em que
Pdx+Q(x, y)dy
é a forma diferencial associada ao campo ~F no aberto Ω.
Definição 3.4 Forma diferencial exata no R2
Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R uma função diferenciável no ponto (x, y) possui forma diferencial
dada por,
dϕ = ϕxdx+ ϕydy
Deste Modo, dizemos que a forma é exata se e somente se o campo vetorial ~F = (P (x, y), Q(x, y))
associado a forma for conservativo.
Definição 3.5 Condição necessária para uma forma diferencial ser exata
Emprega-se a condição necessária de um campo Vetorial ser conservativo, isto é
∇× ~F
empregando isso para uma forma diferencial, por exemplo no R2 tem-se que
Py(x, y) = Qx(x, y).
3.3 Seção 7.3 - Integral de Linha de um campo conservativo
Teorema 3.6 Se ~F : Ω ⊂ Rn → Rn for um campo vetorial contínuo e conservativo e ϕ : Ω→
R for um potencial para ~F e se γ : [a, b] → R for uma curva de classe C1 por partes com
A = γ(a) e B = γ(b), então∫
γ
~Fdγ =
∫
γ
∇ϕ · dγ = ϕ(B)− ϕ(A)
= ϕ(γ(b))− ϕ(γ(a)). (1)
Esse resultado que pode facilmente modificado para a forma diferencial associada ao campo
~F .
3.4 Seção 7.4 - Independência do Caminho de Integração - Existência da
função Potencial
Teorema 3.7 Existência da função potencial
Seja ~F : Ω ⊂ Rn → Rn um campo vetorial contínuo no aberto conexo por caminhos
Ω. Suponhamos que
∫
γ
~Fd~r seja independente do caminho de integração em Ω. Seja A ∈ Ω.
Então a função ϕ : Ω→ R dada por
ϕ(X) =
∫ X
A
~Fdγ
é tal que∇ϕ = ~F em Ω.
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3.5 Seção 7.5 - Condições Necessárias e Suficientes para um campo veto-
rial ser conservativo
Teorema 3.8 Seja ~F : Ω ⊂ Rn → Rn um campo vetorial contínuo conexo por caminhos. São
equivalentes as afirmações,
(i) ~F é conservativo;
(ii)
∮
γ
~Fdγ = 0 para toda curva γ fechada, C1 por partes com a imagem de γ contido no Ω;
(iii)
∫
γ
~Fd~r é independente do caminho de integração em Ω.
3.6 Seção 7.6 - Uma condição Suficiente para um campo Irrotacional ser
conservativo
Teorema 3.9 Enunciaremos para R2
Seja Ω um aberto do R2 satisfazendo a propriedade: (x0, y0) ∈ Ω tal que para todo (x, y) ∈
Ω a poligonal de vértices (x0, y0), (x0, y) e (x, y) está contido em Ω. Seja ~F (x, y) = P (x, y)̂i+
Q(x, y)ĵ ∈ Ω de Classe C1. Nessas condições se∇× ~F = 0, então ~F será conservativo.
3.7 Seção 7.7 - Conjunto Simplesmente Conexo
Definição: Seja Ω um aberto do Rn, conexo por caminhos. Dizesmo que Ω é simplesmente
conexo se, para toda curva fechada contínua γ : [a, b]→ Ω, existir uma família γs, s ∈ [0, 1] de
curvas fechadas com γs : [a, b]→ Ω tais que
(i) γ0 = γ
(ii) H(s, t) = γs(t)
(iii) A imagem de γ1 é um ponto de Ω.
A grosso modo, a ideia é que um conjunto é simplesmente conexo se podemos estender de
forma contínua as curvas γ através de uma espécie de parametrização em termos do parâmetro
s. Em que, respeita-se as condições acima declaradas.
3.7.1 Plots dos gráficos
Aqui apresento os plots dos exemplos 1,2 e 3 dessa seção. Os mesmos foram feito utilizando
a biblioteca matplotlib.pyplot da linguagem de programação python. Ademais, já destaco que
obtivemos como curva circunferências de diferentes tipos, no exemplo 1 temos circunferências
centradas na origem, no exemplo 3 deslocadas do ponto para o ponto (2,2). Enquanto que,
no exemplo 2 temos circunferências centradas em zero, mas com raios e alturas variadas pelo
termo (1− s) conforme o parâmetro s varia.
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Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Figura 1: Gráfico das curva γs do Exemplo 1.
Figura 2: Gráfico das curva γs do Exemplo 2.
Figura 3: Gráfico das curva γs do Exemplo 3.
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	1 Apresentação
	2 Considerações Iniciais
	3 Alguns Pontos do Capítulo
	3.1 Seção 7.1 - Campo Conservativo: Definição
	3.2 Seção 7.2 - Forma Diferencial Exata
	3.3 Seção 7.3 - Integral de Linha de um campo conservativo
	3.4 Seção 7.4 - Independência do Caminho de Integração - Existência da função Potencial
	3.5 Seção 7.5 - Condições Necessárias e Suficientes para um campo vetorial ser conservativo
	3.6 Seção 7.6 - Uma condição Suficiente para um campo Irrotacional ser conservativo
	3.7 Seção 7.7 - Conjunto Simplesmente Conexo
	3.7.1 Plots dos gráficos