Aula 03 - Números Reais

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Matemática Básica Aula 3 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
1 
 
 
Aula 3 
Números reais 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre a noção de números reais, conjunto numérico criado para a 
representação matemática de grandezas contínua, e que amplia o conjunto dos números 
racionais. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
• conhecer os números reais, assim como a sua representação em notação decimal e 
geométrica; 
• conhecer a noção de ordem dos números reais; 
• conhecer a noção de módulo; 
• conhecer as duas operações básicas entre números reais; 
• saber resolver inequações. 
 
 
 
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Um pouquinho de história 
 
 A escola pitagórica acreditava que tudo que há no universo poderia ser descrito 
pela Matemática. Mais precisamente, os pitagóricos pregavam que os números 
formavam a base de todas as representações das ideias humanas, isto é, que os números 
governavam o mundo. A noção de número, na época (século VI a.C.), representava as 
quantidades inteiras positivas, e até as quantidades fracionárias. 
 Na base do conhecimento matemático desenvolvido pelos pitagóricos, havia 
uma premissa que admitia que dois segmentos quaisquer são sempre comensuráveis, ou 
seja, a e b são segmentos comensuráveis se existe um segmento u e números inteiros p e 
q tais que a = pu e b = uq, ou seja, se a e b são múltiplos de uma mesma unidade fixada. 
Contudo, a descoberta, feita pelos próprios pitagóricos, de que a diagonal de um 
quadrado e seu lado não são comensuráveis (o que é equivalente ao fato de que 2 não 
é racional) gerou a primeira crise matemática da história, pois invalidava todas as 
demonstrações que haviam sido feitas usando essa premissa. 
 Esta dificuldade foi superada somente com um grande esforço por parte dos 
gregos, quando Eudoxo (408-355 a.C.) apresentou sua teoria geométrica do contínuo. 
Euclides, por volta de 300 a.C., apresentou uma compilação dos resultados da 
Matemática conhecidos até então em seus Elementos. Para fugir das deficiências dos 
números (para a época), Euclides passou a trabalhar questões numéricas a partir de 
representações geométricas, ou seja, a partir do enfoque geométrico. 
 
A necessidade de ampliar o conjunto dos números racionais 
 
 Este episódio da história da Matemática deixou marcas fortíssimas que são 
percebidas até hoje em dia (passados mais de 2 mil anos). Reflexos desta crise 
matemática e de como os gregos lidaram com ela influenciaram diretamente, por 
exemplo, o ensino da Matemática até algumas poucas décadas atrás. Não é nosso 
objetivo discutir este episódio, nem suas consequências, mas é interessante que o leitor 
entenda melhor como ocorreu esta crise. 
 Nós já falamos sobre a questão de associar grandezas a números, o chamado 
processo de quantificação. As grandezas que podem ser quantificadas são chamadas de 
grandezas escalares. Em física, é comum fazer referência a grandezas discretas e 
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contínuas. (Você sabia que existem outros tipos de grandezas? Mas isto é conversa para 
a Álgebra Linear.) Por exemplo, tempo, rapidez e comprimento são exemplos de 
grandezas escalares contínuas. Já população e moléculas de um gás são exemplos de 
grandezas escalares discretas. É claro que estes exemplos podem variar. Se quisermos 
medir o tempo em termos de dias decorridos, podemos quantificar a grandeza tempo 
associando-a aos números inteiros; o que a tornaria uma grandeza discreta neste caso. 
 Vamos, agora, nos preocupar com as grandezas contínuas. Só para fixar idéia, 
vamos considerar a grandeza comprimento. Vimos, na aula 2, que podemos obter um 
bom processo de quantificação desta grandeza fazendo uma associação com os números 
racionais. É uma boa quantificação porque os números racionais permitem considerar 
submúltiplos da unidade. Em particular, permite medir comprimentos com uma precisão 
tão grande quanto se queira. Para isto, basta escolher um submúltiplo da unidade 
suficientemente pequeno. Por exemplo, você pode usar a unidade metro para fazer 
medições. Se necessitar de mais precisão na medida, pode usar o centímetro, unidade 
que é um centésimo do metro. Se quiser mais precisão na medida, pode, então, escolher 
o milímetro, que é um milésimo do metro. Se ainda for necessário trabalhar com maior 
precisão de medida, existem instrumentos capazes de medidas ainda mais precisas, 
permitindo trabalhar com submúltiplos da unidade ainda menores. Em resumo, os 
números racionais parecem formar um bom conjunto numérico para ser usado na 
quantificação de grandezas contínuas. 
 Na prática, num processo de medição real, sem ser teórico, não é fácil 
determinar o número racional exato que corresponde a um segmento dado. Por exemplo, 
podemos medir um segmento com uma régua que tem marcação de centímetros e 
milímetros e obter o valor 3,2 cm. Contudo, este valor pode não ser muito preciso, o 
avaliador pode ficar na dúvida se a medida é mesmo 3,2 ou se não pode ser 3,3. Neste 
caso, pode-se recorrer a instrumentos auxiliares. Por exemplo, com o auxílio de uma 
lupa, ou de um microscópio, pode-se tranquilamente tirar esta dúvida, digamos que o 
valor seja 3,2 mesmo. Ainda assim, com a melhoria do instrumento de medição, pode 
aparecer outra dúvida, será que a medida mais precisa é 3,26 ou 3,27? Ainda do ponto 
de vista prático, a evolução da forma de avaliação do tamanho de um segmento não 
garantirá uma avaliação definitiva, pois sempre é possível ampliar a graduação da reta, 
com novos submúltiplos obtidos a partir do novo instrumento de medição, o que causa o 
aparecimento de uma nova casa decimal na representação numérica que mede o 
segmento. Assim, sempre é possível encontrar um número racional que se aproxime 
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tanto quanto se queira da medida real. Mas, por outro lado, sempre fica a dúvida se esta 
medida corresponde exatamente ao segmento avaliado. 
 Nesta nossa história, uma questão sobre a associação de grandezas a números 
continua incompleta. Vimos que grandezas de natureza contínua não ficam 
completamente determinadas por números inteiros. Por exemplo, nem todo segmento 
pode ser representado por um número inteiro. Depois, vimos que grandezas contínuas 
podem ser associadas a números racionais, pois, do ponto de vista prático, todo 
processo de medição possui limitações de precisão, enquanto que sempre podemos 
encontrar números racionais tão próximos quanto se queira. Contudo, não sabemos 
realmente se qualquer estado de uma grandeza contínua pode ser sempre associado a 
exatamente um número racional, ou melhor, se cada número racional corresponde a um 
único estado da grandeza. Por exemplo, será que todo segmento pode ser associado a 
um número racional e vice-versa? 
 A história sobre esta pergunta é bastante conhecida e foi ela que deu origem a 
primeira crise matemática. Este problema foi abordado pela escola pitagórica (século VI 
a.C.) quando se perguntou sobre a medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Na 
época, eles perceberam que a diagonal de um quadrado de lado 1 não pode ser 
representada por um número racional. 
 
 De fato, se a é um número então, pelo teorema de Pitágoras para triângulo 
retângulo, vale que a2 = 12 + 12, donde a2 = 2. Contudo, é um fato bem conhecido que 
não existe um número da forma 
q
p
 que satisfaça tal equação. Ou seja, não existe um 
número racional que represente o segmento a. Assim, instalou-se uma crise, pois a 
utilidade da matemática neste processo de quantificação era limitada. 
 Observe que se a diagonal do quadrado de lado 1 fosse um número, ele 
representaria o 2 , pois satisfaz a equação a2 = 2. 
 
1 
1 
a 
a 0 1 
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5Atividade 1 Em um papel milimetrado, utilize um segmento grande como unidade 
(utilize como unidade um segmento que seja 100 vezes o menor quadrado da folha). 
Reproduza o desenho acima e meça o segmento que representa a diagonal do quadrado. 
Você achará um número com duas casas decimais. Veja se esta aproximação coincide 
com o valor obtido de uma calculadora para 2 . De outro modo, calcule o quadrado do 
número que você obteve e eleve ao quadrado. Veja se o resultado faz sentido. 
 
O conjunto dos números reais 
 
 Apesar da necessidade de um conjunto numérico que ampliasse os números 
racionais ter sido percebida desde a verificação de que a medida da diagonal de um 
quadrado de lado 1 não é um número racional, em torno do século VI a.C., foi 
necessário cerca 2500 anos para que os matemáticos criassem um novo conjunto 
numérico. Só em 1872, com a publicação de um ensaio sobre o assunto, por Richard 
Dedekind, o conjunto conhecido como o conjunto dos números reais foi finalmente 
formalizado. Enfim, completou-se a história da criação de uma extensão numérica do 
conjunto dos racionais que pudesse oferecer uma associação completa às grandezas 
contínuas. 
 O conjunto dos números reais, denotado por �, é o conjunto criado pelos 
matemáticos que estende o conjunto dos números racionais (� ⊂ �) e está em completa 
correspondência com as grandezas escalares contínuas. Uma definição precisa deste 
conceito é assunto de estudo de uma disciplina mais avançada. Para o estudante 
iniciante, basta conhecer bem as representações de �, assim como as representações de 
suas operações. 
 O conjunto dos números reais tem uma peculiaridade no que diz respeito às suas 
possíveis representações, nem todo número real possui uma representação numérica que 
possa ser obtida a partir dos números racionais e que seja finita. Por exemplo, temos 0,5 
como uma representação do número que representa a metade da unidade. Esta é uma 
representação decimal finita. O número que representa um terço da unidade pode ser 
representado como 0,3333... . Esta é uma representação decimal infinita. Contudo, a 
mesma quantidade pode ser representada por 
3
1
, agora, sim, uma representação finita. 
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 Para o conjunto dos números reais, existem elementos que só podem ser 
representados finitamente se for através de símbolos não numéricos. Um exemplo disso 
é o número π, que representa o comprimento de um círculo de diâmetro 1. Outro 
exemplo é o número e que está associado a várias aplicações importantes do nosso 
cotidiano, como medição de resfriamento de um corpo, datação de objetos antigos 
através de medição de desintegração radioativa e cálculo de juros contínuos. Como 
exemplo, não podemos esquecer do número 2 . Só por curiosidade, a sua 
representação decimal é parcialmente dada pela expressão 
1,41421356237309504880116887242097... . Este é um dos problemas da representação 
decimal para números reais que não são racionais. Só podemos fazer referência a eles de 
forma parcial. Por exemplo, na sequência de casas decimais do número 2 , não tem 
como saber, de imediato, qual será a próxima casa decimal. 
 Não é difícil entender que todo número real possui uma representação decimal. 
Lembre-se, leitor, que o conjunto dos números reais foi criado para ser o conjunto 
matemático que pode ser associado a grandezas escalares contínuas. Um exemplo deste 
tipo de grandeza é o comprimento. Se o tamanho de um segmento não é múltiplo da 
unidade, podemos encontrar uma medida inteira que aproxima do segmento, digamos a. 
Mas, podemos melhorar, com a escolha de um submúltiplo da unidade, a medição do 
segmento. Para isto, dividimos a reta graduada em dez partes e podemos, então, avaliar 
melhor o segmento, digamos que a + 
10
1a seja a melhor aproximação, mas que não seja a 
medida exata. Assim, é preciso dividir o submúltiplo da unidade em dez partes para 
obter uma medição melhor, digamos a + 
10
1a + 
100
2a . Se esta representação numérica não 
for a medida exata, é preciso dividir novamente em dez partes a fim de buscar uma 
medida mais aproximada, digamos, a + 
10
1a + 
100
2a + 
1000
3a . Note que esta forma de 
escrever um número é equivalente a notação decimal, a,a1a2a3. Se o segmento medido 
não está associado a um número racional (e já vimos que isto é possível, é o caso de 
2 ), o processo de subdivisão da unidade terá que ser repetido sempre, 
indefinidamente, o que irá gerar uma representação decimal infinita, a,a1a2a3...an... . 
Assim, todo número real pode ser representado através de uma notação decimal infinita. 
 
Atividade 2 Determine se o número real dado é racional ou não. 
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a) 2,124 b) −0,1111111 c) 1,04237237237237... 
d) 4,01001000100001... e) 9,1423684579454445677777732355654... 
 
 Assim como os números racionais, os números reais possuem uma representação 
geométrica que funciona da seguinte maneira. Considere uma reta r e fixe uma unidade 
de medida, OU. O conjunto dos números reais, denotado por �, é o conjunto dos 
segmentos da reta r da forma OA, isto é, 
� = {a = OA : A∈r}. 
 
 Nesta representação geométrica, todo segmento representa um número real. 
 O conjunto dos números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta OU é 
chamado conjunto dos números reais positivos e denotado por �+. O conjunto dos 
números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta oposta a OU é chamado conjunto 
dos números reais negativos e denotado por � −. Em linguagem simbólica, 
�+ = {a ∈ � : a ⊂ OU e a ≠ 0} 
 e 
�−−−− = {a ∈ � : a ⊄ OU e a ≠ 0}. 
 
Observação: Com estas últimas notações, temos � = �+ ∪ �− ∪ {0}. 
 
Observação: Parece que as notações �+ e �− não são utilizadas no ensino básico. Neste 
caso, pode-se escrever ��� e �−� , respectivamente. 
 
Atividade 3 Podemos facilmente obter outros segmentos que não podem representar 
nenhum número racional. Veja o desenho a seguir. 
r 
O U A 
A = AO ∈ � 
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a) Verifique, via teorema de Pitágoras, que os segmentos obtidos representam a raiz da 
equação x2 = 3 e x2 = 4, respectivamente. Repita o processo ilustrado na figura para 
obter segmentos que representem 5 e 6 . 
b) Reproduza o desenho anterior numa folha, sobre uma reta graduada pela unidade 
dada pelo centímetro. Utilize uma régua com milímetros para medir os segmentos 
obtidos. Utilize uma calculadora para obter valores aproximados de 2 , 3 , 5 e 
6 . Verifique se estes valores coincidem com as medidas obtidas no seu desenho. 
(Utilize régua, compasso e esquadro para construir os desenhos.) 
 
 Com a ampliação dos números racionais para os números reais, a reta graduada 
passa a ter novas possíveis marcas. Veja um exemplo. 
 
 Leitor, é possível que você esteja incomodado com este novo conjunto 
numérico. Realmente, no nosso cotidiano é muito difícil se deparar com um número real 
que não é racional. Contudo, por mais incrível que pareça, existem muito mais números 
reais que não são racionais do que os que são racionais. Podemos enumerar alguns 
explicitamente, como π, e, 2 , 3 , 5 e 6 , ou toda raiz n , onde n ∈ � e n não é 
o quadrado de um número. Na próxima seção você verá como produzir mais números 
reais e, assim, verá que o conjunto destes números é maior do que o conjunto dos 
números racionais. Inclusive, existe um nome para os números reais que não são 
racionais, são os números irracionais. 
 
As operações soma e produto de � 
 
�� 0 1 �� 2 
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 Provavelmente, o maior problema de se considerar as representações decimais 
para os números reais seja na hora de definir as operações soma e produto. Neste 
momento a representação geométrica se mostra muito útil.Veja, através de desenhos, 
como as operações soma e produto de números reais podem ser entendidas. 
 
Representação geométrica da soma de dois segmentos. 
 
 
Representação geométrica do produto de dois segmentos. 
 
 Veja como fica o desenho do produto 2 × 2 . O resultado é o esperado, 2. 
 
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 Apesar do que se costuma divulgar, o conjunto dos números irracionais é muito 
maior do que conjunto dos números racionais. Para entender isto melhor, basta ver que 
se a é racional e x é irracional então a + x é irracional. De fato, se a + x = b é racional 
então temos x = b − a como racional, pois a diferença de racionais é racional. Mas, isto 
é um absurdo, pois um número não pode ser racional e irracional. Assim, todos os 
números da forma a + 2 , onde a ∈ �, é irracional. 
 Só por curiosidade, se fossemos representar geometricamente só os números 
racionais e depois só os números irracionais, teríamos algo parecido com os seguintes 
desenhos. 
 
 
Propriedades operacionais 
 
 No caso dos números reais, �, não é muito adequado utilizar representações 
numéricas ou geométricas nos cálculos operacionais. Nesta caso, a melhor opção é fazer 
uso da Álgebra elementar. Isto significa que, para um estudo inicial, a melhor maneira 
de se trabalhar com as operações é usar e abusar das propriedades operacionais dadas a 
seguir. 
a) (x + y) + z = x + (y + z); 
b) 0 + x = x + 0 = x; 
c) x + (–x) = (–x) + x = 0; 
d) x + y = y + x; 
e) x + a = b ⇒ x = b + (−a); 
f) a + x = a + y ⇒ x = y; 
g) (xy)z = x(yz); 
h) 1.x = x.1 = x; 
i) se x ≠ 0, xx−1 = x−1x = 1; 
Reta com todos os reais marcados 
Reta só com os racionais marcados 
Reta só com os irracionais marcados 
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j) xy = yx; 
l) se a ≠ 0, ax = b ⇒ x = a−1b; 
m) se a ≠ 0, ax = ay ⇒ x = y; 
n) x(y + z) = xy + xz; 
o) (x + y)z = xz + yz; 
p) xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0; 
q) (−a)b = a(−b) = −ab. 
 
Atividade 4 
a) Estude o seguinte desenvolvimento de contas. Identifique as propriedades utilizadas 
ao longo das contas. 
−3( 7 5 − 2π) + 7 5 = −3 7 5 + 6π + 7 5 = −3 7 5 + 7 5 + 6π = −3. 7 5 + 1. 7 5 + 6π = 
= (−3 + 1). 7 5 + 6π = −2 7 5 + 6π. 
b) Desenvolva as contas dadas a seguir realizando o máximo de transformações 
possível. 
 i) 
π
+π−− 2/32)32(2
 ii) − 35 + 5.34 − 2.33 + 12.32. 
c) Encontre a média aritmética de 21, 21, 10, 28, 33, 33, 28, 10, 10, 28, 21 e 21 (soma 
dos valores dividida por 12), mas evitando ao máximo de fazer contas grandes. 
d) Resolva a equação 7 5 x + 2 = x − π. 
e) Resolva o sistema de equações, 




=+
=−
5 323
2
yx
yx π
. 
 
A relação de ordem em � 
 
 O conjunto �+ permite definir uma relação de ordem entre os números reais, a 
saber, dizemos que x < y (ou y > x) se y − x ∈ �+. Com esta notação, temos que x > 0 se, 
e só se, x∈	�+ e x < 0 se, e somente se, x∈	�−. 
 A relação x < y pode ser representada na reta da seguinte maneira. 
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 É claro que a noção de ordem é um fato bastante intuitivo, mas devemos tomar 
certo cuidado com a apresentação deste conceito. Dizer que x < y se “x está à esquerda 
de y” é um pouco impreciso. Se uma pessoa virar a folha de cabeça para baixo ou ao 
contrário, verá a relação x < y mudar para y < x. 
 Juntando o significado de x < y com o significado de x > 0, temos que x < y se, e 
só se, y − x > 0. Esta última equivalência é muito útil para verificações. 
 Escreve-se x ≤ y para significar que x < y ou x = y. 
 Na verdade, o que torna esta relação de ordem especial é o fato de ela ser 
compatível com as operações de �. De fato, a relação de ordem que definimos goza das 
seguintes propriedades. 
 
Propriedades Básicas de ordem 
O1) x > 0 e y > 0 ⇒ x + y > 0 e xy > 0. 
O2) Dado x ∈	�, uma, e só uma, das três alternativas ocorre: ou x = 0, ou x > 0 ou x < 0. 
 
 Leitor, com a sua experiência adquirida neste curso, como você olha estas duas 
propriedades? Estas aparecem para você apenas como um conjunto de regras? 
Provavelmente seja difícil antever a importância das propriedades, mas certamente você 
é capaz de interpretar e entender o significado das afirmações. Para isto, basta 
identificar cada elemento dos enunciados. Por exemplo, em (O1), o que significa x > 0 e 
y > 0? O que significa x + y? Sabemos, neste caso, que x e y estão contidos na semi-reta 
OU , donde a justaposição dos segmentos x e y também está contido na semi-reta OU . 
Ou seja, x + y > 0. Se estes argumentos não ficaram exatamente claros, faça uma 
representação geométrica destas condições. Argumente sobre as outras afirmações. 
Tente não aceitar propriedades matemáticas como regras a serem decoradas. Tente 
entendê-las. 
 Temos várias outras propriedades importantes que relacionam a noção de ordem 
com as operações de �. As seguintes propriedades decorrem das propriedades básicas 
da noção de ordem. 
a) x < y e y < z ⇒ x < z. 
b) Dados x, y ∈ �, exatamente uma das seguintes possibilidades ocorre: x = y, x < y 
ou y < x. 
O U x y 
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c) x < y e z∈	� ⇒ x + z < y + z. 
d) x < y e z ∈	� + ⇒ xz < yz. 
e) x < y e z ∈	� − ⇒ yz < xz. 
f) x ≠ 0 ⇒ x2 > 0. 
g) x < 0 e y > 0 ⇒ xy < 0. 
h) x > 0 ⇒ x−1 > 0. 
i) x, y > 0 e x < y ⇒ y−1 < x−1. 
j) Dado x ∈ �, x < x + 1. 
k) 0 < x < y ⇒ xn < yn. 
 
 Novamente, não é interessante decorar estas propriedades. Em primeiro lugar, é 
importante saber que elas existem. No futuro, se fizer manipulações algébricas em um 
inequação (expressão com desigualdade, em vez de igualdade), você deve saber que 
existem certas regras a serem seguidas. A vantagem de se entender e interpretar os fatos 
é que, precisando ou na dúvida do enunciado, pode-se deduzir uma propriedade na hora, 
para não correr riscos de erro. 
 Veja dois exemplos de dedução de propriedade. 
 
Verificação da propriedade (c): Se x < y e z∈	�, então 
0 < y − x = y + 0 − x = y + z − z − x = y + z − (x + z), 
ou seja, (y + z) − (x + z) > 0. 
 Assim, verificamos que x < y e z∈	� ⇒ x + z < y + z. 
 
Verificação da propriedade (a): Basta desenhar a propriedade. 
 
 Pelo desenho, fica claro que se x < y e y < z então teremos também x < z. 
 
Observação: Veja, na verificação da propriedade (c), como o conhecimento das 
propriedades operacionais ajuda a montar argumentos de justificativas. Por outro lado, 
veja, na verificação da propriedade (a), como que a representação geométrica pode ser, 
em certos casos, extremamente útil, e de simples utilização. Não é o objetivo deste 
curso fazer verificações de todas as propriedades, muito menos verificações rigorosas. 
Mas acreditamos que fazer algumas verificações, mesmo que de forma intuitiva, pode 
ser uma boa oportunidade para preparar melhor o leitor para estudos futuros. Para o 
x y z 
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aluno mais interessado, é um ótimo exercício tentar verificar todas as propriedades 
anteriores. 
 
 O conhecimento das propriedades sobre desigualdade é muito útil para a 
resolução de inequações. 
 
Exemplo: Vamos resolver a inequação 3x + 1 < 2x. O procedimento é bastante parecido 
com o de resolução de equações. (Mas não é igual!) Utilizando a propriedade (c) duas 
vezes, temos: 
 3x + 1 < 2x ⇔ 3x + 1 + (−2x) < 2x + (−2x) ⇔ x + 1 < 0 ⇔ 
 ⇔ x + 1 + (−1) < 0 + (−1) ⇔ x < −1 
Assim, 3x + 1 < 2x ⇔ x < −1. Ou seja, a solução da inequação, 3x + 1 < 2x, é todo x ∈ 
� tal que x < −1. 
 
Exemplo: Vamos resolver a inequação 4x < 3. Só precisamos isolar x. Para isto, 
segundo a propriedade (d), basta multiplicar os dois lados da inequação por 
4
1
, para, 
então, obter 
4
1
.4x < 
4
1
.3. Daí, x < 
4
3
. 
 
 Leitor, é preciso ter muita consciência no uso destas propriedades.Por exemplo, 
a propriedade (c) não tem nenhuma restrição e o resultado tem uma certa simetria. Ele 
afirma que se x < y então x + z < y + z. Já no caso do resultado (d), existe uma restrição, 
ele só vale para z > 0. Contudo, ainda existe uma simetria. Quando x < y e z >0, temos 
xz < yz. No caso da propriedade (e), a restrição é que se tenha z < 0 e existe uma 
assimetria no resultado. Quando x < y e z < 0, temos xz > yz. Note como que o sinal 
troca de lado. 
 
Atividade 5 
a) Diga se é verdadeiro ou falso: −a ∈ � −. 
b) Resolva a inequação dada 
1. 2x + 1 ≤ x + 6 2. 2 − 3x ≥ x + 14 3. 
x x
−
≤
−
−2
1
3
 4. 2(x + 3) > 3(1 − x) 
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5. 3(1 − 2x) < 2(x + 1) + x − 7 6. 2 x + 1 < 
2
3
x 
c) Existe um maior número inteiro que seja solução da inequação 179
3
<+
x
? E um 
número real? 
d) Justifique porque a implicação a < x e b < y ⇒ a − b < x − y é falsa (utilize a 
representação geométrica). 
e) Justifique porque a equação x2 = a não tem solução quando a < 0. 
f) Considere a inequação 
� � �
	 Descubra a propriedade que foi desrespeitada no 
desenvolvimento a seguir: 
� � � � � � ��	�	� � � � � �
� 	�	� � �� logo o conjunto solução é uma união de 
intervalos, a saber S= ���� �� � ��� 
��. 
 Note que esse conjunto contém números que não resolvem a inequação, como x 
= −2, x = −1/2. Onde está o erro??? 
 
Intervalo e módulo 
 
 Uma noção importante que decorre da relação de ordem é a de intervalo. Dados 
a, b ∈	�, com a < b, o subconjunto de � formado pelos pontos que estão entre a e b é 
chamado intervalo limitado. Para distinguir o intervalo que contém, ou não, os pontos 
extremos, a e b, usa-se os termos fechado ou aberto, à direita ou à esquerda. Os quatro 
tipos de intervalos limitados são: 
[a,b] = {x ∈	� | a ≤ x ≤ b} é dito um intervalo fechado; 
(a,b) = {x ∈	� | a < x <b} é dito um intervalo aberto; 
[a,b) = {x ∈	� | a ≤ x < b} é dito um intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita; 
(a,b] = {x ∈	� | a < x ≤ b} é dito um intervalo aberto à esquerda e fechado à 
direita; 
 
 O nome intervalo também pode ser associado a outros tipos de subconjuntos 
conhecidos como intervalos ilimitados. Os cinco casos de intervalos ilimitados são: 
(−∞,b] = {x ∈	� | x ≤ b} é dito um intervalo fechado à direita; 
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16 
 
(−∞,b) = {x ∈	� | x < b} é dito um intervalo aberto à direita; 
 [a,+∞) = {x ∈	� | a ≤ x} é dito um intervalo fechado à esquerda; 
(a,+∞) = {x ∈	� | a < x} é dito um intervalo aberto à esquerda; 
 (−∞,+∞) = �, o conjunto � também é visto como um intervalo. 
 
Notação: a < b < c significa que a < b e b < c. 
 
Atividade 6 
a) É sempre muito interessante trabalhar com a representação gráfica da noção de 
intervalo. Por exemplo, um intervalo da forma (a,b] é representado graficamente por 
 
Represente geometricamente cada tipo de intervalo. 
b) Diga se é verdadeiro ou falso. 
• A interseção de dois intervalos é sempre um intervalo. 
• A união de dois intervalos é sempre um intervalo. 
c) Escreva o conjunto X = {x ∈ � | x ≠ 0} em termos de intervalos (você vai ter que usar 
a união). 
 
Desafio: Dados a, b ∈ �, a média aritmética destes valores sempre pertence ao intervalo 
aberto (a, b), pois a < 
2
ba + < b (você conseguiria verificar estas desigualdades?) 
 
 A primeira aplicação da notação para intervalos é na descrição de soluções de 
inequações. Em exemplo anterior, sobre a inequação 3x + 1 < 2x, foi determinado que a 
solução da inequação é dada por todo x ∈ � tal que x < −1. Uma maneira de expressar 
tal fato, usando a linguagem de conjuntos, é dizer que o conjunto, S, de soluções de 3x + 
1 < 2x é dado por 
 S = {x ∈ � | x < −1}. 
Pela notação introduzida, este conjunto pode ser expresso de forma abreviada por 
 S = (−∞, −1). 
a b 
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17 
 
Se você quiser, a solução pode ser representada geometricamente, na reta graduada. 
Neste caso temos S representado na reta da seguinte maneira. 
 
 
Atividade 7 Dê a resposta de cada inequação do item (b) da atividade 5 em termos de 
intervalo. Represente cada solução graficamente. 
 
 A noção de intervalo aparece com mais força quando se fala em sistema de 
inequações. Vejamos um caso. 
 
Exemplo: Vamos resolver o sistema de inequações 



<+−
<+
63
512
x
x
. Lembre que resolver 
um sistema de inequações significa determinar os números que são soluções de todas as 
inequações ao mesmo tempo. Vejamos em detalhes. 
 A primeira inequação é simplificada para 2x < 4, donde x < 2. Assim, o conjunto 
solução da primeira inequação é dado por S1 = (−∞, 2). 
 A segunda inequação é simplificada para −x < 3, donde x > −3. Assim, o 
conjunto solução da primeira inequação é dado por S1 = (−3, +∞). 
 E o conjunto solução do sistema? Sabemos que x é solução do sistema se, e só 
se, é solução das duas inequações. Assim, x ∈ S, conjunto solução do sistema, se, e só 
se, x ∈ S1 e x ∈ S2, ou seja, x ∈ S1 ∩ S2. 
 Vejamos isto numa representação gráfica. A seguir, temos os conjuntos S1 e S2 
em destaque na reta graduada. 
 
 As soluções do sistema de inequações devem atender às duas condições 
simultaneamente. Os pontos da reta que satisfazem esta condição são facilmente 
determinados pelo desenho. Confira a seguir. 
0 2 
0 −3 
0 −1 
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18 
 
 
 Assim, pelo desenho, o conjunto solução do sistema de inequações é dado por S 
= (−3, 2). 
 Para que não fique dúvidas sobre o que foi feito, verifique que S é o conjunto 
solução. Pegue alguns pontos do intervalo e substitua no sistema. Veja se as relações 
são atendidas. Só para ficar mais claro, pegue alguns pontos menores do que −3 e outros 
maiores do 2 e veja o que acontece com as inequações do sistema para estes valores. 
 
Atividade 8 Resolva os sistemas de inequações. Represente o conjunto solução 
graficamente e em termos de intervalo. 
1. 



<−
≤
93
62
x
x
 2. 



−≥
≤+
143
914
xx
x
 3. 



+≥−
+≤+
1432
612
xx
xx
 
4. 



<−
≤−
43
012
x
x
 5. 



≤+−
<+
013
084
x
x
 
 
 Vamos agora falar um pouco sobre uma situação bem mais rica onde a noção de 
intervalo é bastante usada. Nós já conversamos sobre a noção de ordem. Do ponto de 
vista geométrico, este conceito está mais relacionado com a posição do número real 
sobre a reta do que com o tamanho do segmento que este número representa. Por 
exemplo, o número −5 é representado por um segmento de reta bem maior do que o 
segmento que representa o número 2. Mas, levando em consideração a posição dos 
números, a relação de ordem que conhecemos diz que o número 2 é maior do que −5. O 
próximo conceito considera melhor esta questão. 
 
Definição: Dado x ∈	�, o valor absoluto (ou módulo) de x é o número |x| = máx{x, −x}. 
 
Observação: máx{a, b} significa o máximo, ou maior, de a e b, que é garantido pela 
propriedade (b) de ordem. 
 
Observação: A definição de módulo é equivalente a: 



<−
≥
=
0 se ,
0 se ,
xx
xx
x . 
0 2 −3 
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19 
 
 
Interpretação geométrica: Dado x ∈	�, o valor |x| representa o tamanho do número x. 
Assim, −31 é um número negativo, menor do que −3, 0 ou 2, por exemplo. Mas, o seu 
comprimento é maior do que o comprimento de −3, 0 e 2. De fato, o comprimento de 
−31 é |−31| = 31 que é maior do que |−3| = 3, |0| = 0 e |2| = 2. 
 
 A manipulação da noção de módulo se relaciona com a noção de intervalos a 
partir da seguinte propriedade. 
 
Propriedade: Dados x, a ∈ �, com a > 0, temos a seguinte equivalência: 
−a ≤ x ≤ a ⇔ |x| ≤ a 
Justificativa: Como entender que as duas relações são equivalentes? Podemos montar 
um argumento baseado na representação geométricadas relações. Como seria o desenho 
de uma reta com um número a > 0, com o número −a e um número x satisfazendo −a ≤ 
x ≤ a? Agora, o primeiro desenho também representa a relação |x| ≤ a? É fácil verificar 
que sim. 
 
 Pela interpretação geométrica da noção de módulo, podemos argumentar da 
seguinte maneira. A relação −a ≤ x ≤ a significa que o número x está entre os números 
−a e a, o que quer dizer que o tamanho de x está entre 0 e a, o que significa que |x| ≤ a. 
 
 Uma consequência direta desta última propriedade é que, dados a, x, δ ∈ �, com 
δ > 0, tem-se 
|x − a| ≤ δ ⇔ a − δ ≤ x ≤ a + δ. 
Os resultados acima ainda valem com < no lugar de ≤. Assim, vale a relação mais 
completa e muito útil, 
x ∈ (a − ε, a + ε) ⇔ a − ε < x < a + ε ⇔ |x − a| < ε 
 
 A razão de olhar com calma para uma expressão do tipo |x − a| é que ela tem 
uma interpretação geométrica muito importante. A saber, se os números reais forem 
−a a x 0 |x| 
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20 
 
usados como marcadores de posição em uma reta, o valor |y − x| pode ser visto como a 
distância entre x e y. Notação: d(x, y) = |y − x|. 
 
Exemplo: Vamos resolver o sistema 



≥+
<−
4|1|
3|5|
x
x
. Em vez de usarmos a definição 



<−
≥
=
0 se ,
0 se ,
xx
xx
x , como normalmente é feito, usando a relação com intervalos, temos 
mais diretamente 
 |x − 5| < 3 ⇔ d(x, 5) < 3 ⇔ x∈(2,8) 
e 
 |x + 1| ≥ 4 ⇔ d(x, −1) ≥ 4 ⇔ x∉(−5, 3). 
Estas relações podem ser representadas graficamente pelo seguinte desenho. Na 
primeira linha, temos os pontos cuja distância a 5 é menor do 3. Na segunda linha, 
temos os pontos cuja distância a −1 é maior do que ou igual a 4. 
 
 No desenho, podemos ver que a solução é dada por todo x ∈ � tal que 3 ≤ x < 8 
(a interseção das duas soluções), ou seja, o conjunto solução é o intervalo [3, 8). 
 
Atividade 9 
a) Represente graficamente, sobre a reta, o conjunto solução da inequação: 
i) |x − 3| < 5 ii) |x − 1| ≥ 1 
b) determine uma inequação envolvendo módulo que seja representada graficamente 
pelo conjunto de pontos destacado a seguir. 
 
 
Desafio: Sejam x, y∈	�+. Mostre que 
2
yx
xy
+
≤ . (A justificativa desta desigualdade é 
uma técnica muito útil para vários exercícios de Matemática – dica: 0 ≤ (a + b)2.) 
0 
0 5 5 + 3 5 − 3 
0 −1 −1 + 4 −1 − 4 
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21 
 
 
 
Raiz n-ésima – a solução da equação xn = a 
 
 Outra vantagem na construção dos números reais é saber que sempre existe uma 
solução para equações do tipo xn = a, quando a > 0 e n ∈ �*. Vamos, a seguir, dar uma 
idéia de porque este fato é verdadeiro. Entenda, leitor, que é apenas uma idéia. Os 
argumentos apresentados aqui não são argumentos matemáticos, propriamente dito, e 
um trabalho assim necessitaria de uma melhor fundamentação sobre o conjunto dos 
números reais (o que é feito na disciplina de Análise). Isto aqui é apenas uma idéia do 
porque os números reais devem incluir as raízes. 
 É fato que sempre existe um número real, b, tal que bn < a. Por exemplo, se b = 
p10
1
 então bn = np
n
p 10
1
10
1
=




 = 0,000...01 (com np casas decimais). Ou seja, se p é 
um número grande, muito grande, bn vai ser um número pequeno, muito pequeno (tão 
pequeno quanto queiramos, é só pegar p suficientemente grande). Assim, escolhendo p 
adequado podemos ter bn < a. Procedendo de forma análoga, podemos afirmar que 
existe um número real, c, tal que a < cn (por exemplo, fazendo c = 10p, com p bem 
grande). 
 Temos que existe um número real, b, tal que bn < a e que existe um número real, 
c, tal que a < cn. Note também que, quando x, y > 0, temos xn < yn ⇔ x < y 
(conseqüência da propriedade (k) sobre desigualdades). 
 Sejam X = { x ∈ � : xn < a } e Y = { y ∈ � : yn > a }. Pelo que acabamos de ver, 
X e Y são conjuntos diferentes de vazio e todos os elementos de X são menores do que 
todos os elementos de Y, vice-versa. Veja, no desenho, como estes conjuntos podem 
estar na reta. 
 
 Caso houvesse um espaço entre os conjuntos X e Y, como no desenho, 
poderíamos pegar um elemento z > 0 tal que z ∉ X e z ∉ Y. Isto significa que não temos 
zn < a, nem zn > a. O que resta para zn? Pela propriedade (O2), só resta zn = a e, assim, 
encontramos a solução da equação. 
0 1 
X Y 
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22 
 
 E se não existe o espaço entre os conjuntos X e Y? Neste caso, temos �+ = X ∪ 
Y. Note que X e Y devem ser intervalos e X deve ser um intervalo limitado. Podemos ter 
X = (0, d] e Y = (d, +∞) ou X = (0, d) e Y = [d, +∞). 
 Para se continuar esta linha de argumentação, não tem como deixar de ser 
técnico. O máximo de intuitivo que podemos ser segue agora. Se X é da forma (0, d] 
então d ∈ X, donde dn < a. Agora, se pegarmos um número só um pouco maior do que 
b, com uma diferença muito pequena, digamos, d + ε, ainda pode se esperar que (d + ε)n 
< a. (a explicação técnica para isto é obtida a partir da conhecida desigualdade de 
Bernoulli, (1 + x)n ≥ 1 + nx). Vamos ficar com só com esta pequena idéia intuitiva. 
 Continuando, vimos que (d + ε)n < a, o que significa que d + ε ∈ X, o que é 
absurdo, pois d era o maior elemento do conjunto X. Logo, só podemos ter X = (0, d). 
 De modo análogo, pode-se deduzir que Y tem que ser da forma Y = (d, +∞). 
Neste caso, temos que d ∉ X e d ∉ Y. Ou seja, temos que ter um espaço entre os 
conjuntos X e Y. Pelo que já foi analisado, fica garantido que existe uma solução para a 
equação xn = a, quando a > 0 e n ∈ �*. 
 
 Se o leitor observar o argumento anterior, verá que garantimos a existência de 
solução para a equação xn = a, quando a > 0 e n ∈ �*, e que esta solução é positiva. Na 
verdade, podemos facilmente verificar que a solução positiva encontrada é única 
(veremos isto na aula 6). Ou seja, dada uma equação xn = a, com a > 0 e n ∈ �*, existe 
um único número b ∈ �+ (isto é, b é real e b > 0) que satisfaz tal equação. Em 
particular, dados a > 0 e n ∈ �*, sempre podemos falar em n a , é a única solução de xn 
= a. Quando a < e n ∈ �* é ímpar, é possível mostrar que o símbolo n a também faz 
sentido, pois a equação xn = a também tem solução e esta é única. Quando a = 0 e n ∈ 
�*, o símbolo n a tem significado óbvio, pois 0n = 0. 
 
 Depois que estudarmos funções e gráficos de funções, veremos uma nova 
explicação intuitiva para a existência de raízes. 
 
Gabarito das atividades 
 
Atividade 2: 
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Solução: 
a) e b)Racionais, pois possuem um número finito de casa decimais. 
c) Racional, pois é uma dízima periódica composta. Pode ser escrito como 1,04 ��������. 
d) Irracional, pois a representação decimal é infinita e não faz indicação de ser dízima 
periódica. 
e) É indeterminado. O fato da representação parcial não indicar padrão de repetição não 
significa que depois da última casa decimal indica, 4, não teremos uma dizima 
periódica. 
 
Atividade 3: 
a) 
 
 
A figura acima mostra que �� � �� ����� � � � � �, logo o comprimento da 
hipotenusa é a raiz positiva da equação anterior e é igual ao raio do arco da 
circunferência tracejada. Assim, marcamos o comprimento �� na reta orientada. 
 
Analogamente, �� � �� ����� � � � � !. 
Para obtermos os segmentos �" e �#, observe a figura a seguir. 
 
 
Atividade 4: 
Soluções: 
a) ��$�"% � �&' �"% �(
)�
� �
 �"% ����
 ����& �"% �(
*�	�	+
� ��"% #& �"% 
�(
,�
� ��"% �"% #& �(
-�	
� �
 �"% �
 �"% #& �(
.�	
��� ��
 �"% #& 
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24 
 
�(
*�	
� ��"% #& 
 
 
b) /� 0�$��012'��
3 45
2 �
0���	�62����
2 � # 
 
ii)	��7 "
 �8 � �
 �1 ��
 �� � �19��� "�� � � !: � ��
; � ��# 
 
c) 
Média = 
=
+++++++++++
12
212128101028333328102121
 
=
+++
=
12
33.228.310.321.4
 
22877
2
1614144
)1114514(2
12
)11.228107.4(3
=++=
++
=
+++
=
+++
= 
 
d) �"% < � � < � =	 > �"% < � < � �� � = > <$�"% � �' � �� � = > 
< � �� � &
�"% � �
 
 
e) � � ��		2� �1
?
7 e 							@ �
� �1? �12��
7�� . 
 
 
Atividade 5: 
Solução: 
a) Nada podemos afirmar. Se a > 0 então –a < 0. Mas, se a < 0 então –a > 0. 
b) 
1. 2x + 1 ≤ x + 6 ⇔ 2x−x ≤ 6 − 1 ⇔ x ≤ 5. 
Assim, S = {x ∈ � | x ≤ 5}. 
 
2. 2 − 3x ≥ x + 14 ⇔ −x − 3x ≥ 14 − 2 ⇔ −4x ≥ 12 ⇔ x ≤ 
4
12
− 
⇔ x ≤ −3. 
Assim, S = {x ∈ � | x ≤ −3}. 
 
3. 2223
3
1
23
1
2
−≥⇔−≥⇔
−
≥⇔
−
−
≤
−
xxx
xxxx
. 
Assim, S = {x ∈ � | x ≥ −2}. 
 
4. 2(x + 3) > 3(1 −x) ⇔ 2x + 6 > 3 – 3 x⇔ 5x>−3 ⇔ x>−3/5. 
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25 
 
Assim, S = {x∈� | x>−3/5}. 
 
5. 3(1 − 2x) < 2(x + 1) + x− 7 ⇔ 3 − 6x < 2x + 2 + x− 7 ⇔ −9x < −8 ⇔ x > 
9
8
−
−
 
⇔ x > 
9
8
. 
Assim, S = {x ∈ � | x > 8/9}. 
6. ��		� � � 1�� � ��		� �
1
� � � �� � � A��	 	�
1
�B � �� 
� � � 0
A��		034B
� � � 
A340��B
� �10���, (note que a mudança de sinal ocorreu 
porque��	 < 1�). Assim, C � D�E�F� �
�
10���G 
 
c) Temos que 179
3
<+
x
⇔
3
x
< 8 ⇔ x < 24. Assim, o maior número inteiro que é 
solução da inequação 179
3
<+
x
 é o maior número inteiro x tal que x < 24. Ou 
seja, x = 23. No entanto, não existe um maior número real no interior do 
intervalo (−�, 24), que seja solução desta desigualdade. (Isso é uma 
curiosidade, por enquanto. Em outras disciplinas mais para frente do curso você 
irá ver o porquê. É consequência de uma propriedade do conjunto dos números 
reais. Sempre existirá um número real maior do que qualquer outro que você 
imaginar e menor que um outro que você imaginar no interior de um intervalo 
aberto.) 
 
d) Note que a − b < x − y � H � � � I � @ � � � H � @ � I. Portanto, se 
tomarmos a < x tal que a distância de x a a, x − a, seja menor ou igual à 
distância de y a b, y − b, teremos � � H J @ � I � � � @ J H � I, portanto a 
desigualdade do enunciado é falsa, pois não vale em geral. 
Tome por exemplo a=2, x=3, b=1 e y=4, então a < x, b < y, porém 1= a − b > 
x − y = −1. Há uma infinidade de outros exemplos, encontre outros. Acompanhe 
a explicação a partir do desenho a seguir. 
 
 
a b x y 
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26 
 
e) Observe que �� K �, L� M �, logo não existe x real cujo quadrado seja 
negativo. Assim a equação dada não tem solução no conjunto dos números 
reais. 
f) Só podemos dizer que 
� � � � � � ��	quando x > 0. 
 
 
Atividade 6: 
Solução: 
 a)(a,b) 
 
 [a,b) 
 
 [a,b] 
 
9H��� 
 
�H��� 
 
���� H: 
	
���� H�	 
 
� � ������ 
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b) 
 
• A afirmação é verdadeira. Bom, isto considerando o caso em que a interseção é 
diferente do conjunto vazio, é claro. Neste caso, a interseção de intervalos (a, b) 
e (c, d) é o intervalo (m, n), onde m = máximo{a, c} e n = mínimo{b, d}. Faça 
um desenho para ilustrar o narrado aqui. Para os outros tipos de intervalos a 
afirmativa também é verdadeira. Faça esboços. 
• Esta afirmação é falsa. Por exemplo, a união de (−2, 0) e (1, 5) não é um 
intervalo. Verifique isto com um desenho. 
 
 
c) Basta fazer X = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). 
 
Desafio: 
Solução: 
Considerando o intervalo (a, b), está implícito que a<b. Assim, �H � H H �
H I � I I � �I, logo dividindo por 2 obtemos que H � N�O� � I. 
 
Atividade 7: 
Solução: 
1. ���� ": 
 
2. (-�,-3] 
 
3. [-2, +�) 
 
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4. �� 17 � �� 
 
5. ( PQ � �� 
 
6. � �10��� � �) 
 
 
Atividade 8: 
Solução: 
1. �� J # � � J � e ��� � R � � � ��. Fazendo a interseção entre os dois 
intervalos, obtemos C � ���� �: S ������ � �����:
 
 
2. !� � J R � !� J ; � � J � e �� K � � �! � �� K ��! � � K ��. 
Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos C � ���� �: S
9����� � 9����:
 
 
3. �� � J � # � � J " e � � �� K � �! � ��� K !� � �� K �. 
Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos C � ���� ": S
������: � ������:. 
 
4. 	�� � � J � � �� J � � � J 
� e ��� � ! � � � �
8
1. Fazendo a 
interseção entre os dois intervalos, obtemos C � A��� 
�T S A�
8
1 � �B � ��
8
1 �
�:. 
 
5. 	!� ; � � � !� � �;� � � �� e ��� � J � � ��� J �� �
� K 
1. Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos C � U. 
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29 
 
 
 
Atividade 9: 
Solução: 
a-i) C � ����;� 
 
a-ii) C � ����0]� 9���� 
 
 
b) |x− (−2)| < 3, isto é, |x + 2| < 3. 
 
Desafio: 
Solução: 
Dados H� I M �, temos que � J �H � I�� � H� � �HI I�� �HI J H� I��
HI J N
4�O4
� . Em particular, para �� @ K ��	 temos para H � �� e I � V@ a 
desigualdade V�@ � ��V@ J ����
4���W�4
� �
��W
� . 
 
OBS: A desigualdade acima significa que a média geométrica entre dois números reais 
não negativos é menor do que ou igual à média aritmética entre os dois. Seguindo a 
demonstração acima, veja que a igualdade só vale quando a=b, isto é quando �� � V@, 
donde quando x=y. 
 
−1 +1 = 0 1 2 = 1 + 1 
0 3 8 = 5 + 3 −2 = 3 − 5