GRA0559 ANÁLISE DE ALGORITMOS GR0075211 - 202110.ead-14790.01 ATIVIDADE 04

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Pergunta 1 
0 em 1 pontos
	
	
	
	O conceito de recursão é antigo e já era explorado muito antes do desenvolvimento da computação. No entanto, até hoje, vários problemas são modelados com funções de recorrência e estas dão subsídio ao desenvolvimento de várias soluções computacionais. Uma das recorrências antigas, usadas pela civilização egípcia, é conhecida como multiplicação por duplicação. A equação de recorrência que a define é descrita a seguir:
 
· x · y = 0,                                se x = 0
· x · y = ⌊x/2⌋ · (y + y),           se x é par
· x · y = ⌊x/2⌋ · (y + y) + y,    se x é ímpar
 
Considerando essa equação de recorrência, assinale a alternativa que indica o algoritmo recursivo que implementa corretamente a multiplicação por duplicação. O algoritmo Multiplicador recebe como entrada dois inteiros x e y a serem multiplicados, e retorna o valor de x · y.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
Algoritmo Multiplicador
1. se x = 0, então
2. retorna 0
3. se não 
4. x’ ← ⌊x/2⌋
5. prod ← Multiplicador (x’, y)
6. se x é ímpar, então
7. prod ← prod + y
8. retorna prod
	Resposta Correta: 
	
Algoritmo Multiplicador
1. se x = 0, então
2. retorna 0
3. se não 
4. x’ ← ⌊x/2⌋
5. y’ ← y + y
6. prod ← Multiplicador (x’, y’)
7. se x é ímpar, então
8. prod ← prod + y
9. retorna prod
	Comentário da resposta: 
	Resposta incorreta. Construa o algoritmo primeiramente com foco no seu funcionamento geral. De maneira incremental, vá detalhando o que acontece em cada passo recursivo.
	
	
	
· Pergunta 2 
1 em 1 pontos
	
	
	
	A recursão é uma poderosa técnica para modelagem e projeto de algoritmos. O uso dessa estratégia, porém, depende da correta identificação dos seus dois principais elementos: um caso base que finaliza as chamadas recursivas e o passo de recursão. Suponha a situação em que a operação de adição em uma linguagem de programação é feita por um componente externo. Esse componente recebe como parâmetro dois números a serem somados e, internamente, ele faz uso dos operadores ++ para incrementar o valor de um número em 1 e -- para decrementar em 1. 
 
	Somador
Entrada: Dois inteiros i e j a serem somados
Saída: Valor de i + j
1. se i = 0 então
2.        retorna j
3. senão 
4.        retorna Somador(- -i, ++j)
 
Considerando o Algoritmo Somador apresentado, assinale a alternativa correta a respeito de seu funcionamento.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
O passo recursivo da função de recorrência associada é T(i, j) = T(i -1, j + 1) para i > 0.
	Resposta Correta: 
	
O passo recursivo da função de recorrência associada é T(i, j) = T(i -1, j + 1) para i > 0.
	Comentário da resposta: 
	Resposta certa. A função de recorrência do algoritmo pode ser descrita como:
· T( i, j ) = j, se i = 0
· T( i, j ) = T(i - 1, j + 1), se i > 0
Como o resultado das chamadas recursivas é o próprio resultado final do algoritmo, não existem etapas de combinação das soluções parciais. Para i = 3 e j = 7, o algoritmo faz a seguinte chamada recursiva, após a invocação Somador(3, 7):
· Somador(2, 8)
· Somador(1, 9)
· Somador(0, 10)
	
	
	
· Pergunta 3 
0 em 1 pontos
	
	
	
	Os problemas que precisam ser resolvidos computacionalmente podem ser classificados de acordo com a sua computabilidade. Essa classificação é importante, considerando que ela tem efeito direto sobre a viabilidade de construção de um algoritmo útil em cenários práticos. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados, assinale a alternativa correta a respeito dessa classificação de problemas.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
Todo problema que é NP-completo, mas não é NP-difícil, pode ter um algoritmo polinomial que o resolva.
	Resposta Correta: 
	
A descoberta de um algoritmo polinomial para um problema NP-completo pode tornar a igualdade P = NP verdadeira.
	Comentário da resposta: 
	Resposta incorreta. Verifique as definições de classes de computabilidade e como os problemas são classificados de acordo com suas características computacionais.
 
	
	
	
· Pergunta 4 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Conhecer os detalhes de funcionamento dos algoritmos mais tradicionais é importante, para que as ideias implementadas por eles possam ser aproveitadas na solução de problemas correlatos. Esse é o caso das estratégias empregadas na ordenação linear de dados em memória. 
 
Considerando esse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. Dado um conjunto de n inteiros no intervalo de 0 a k, é possível construir um algoritmo que aprimore a entrada em um tempo Θ(n + k) e que responda quantos números existem no intervalo [a ... b] em um tempo O(1).
Porque:
II. O aprimoramento da entrada, ou pré-processamento, pode ser feito com base no algoritmo counting sort e a obtenção da quantidade de números no intervalo informado acontece por meio de uma operação computacional elementar.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta: 
	
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Comentário da resposta: 
	Resposta certa. O algoritmo pode começar com os primeiros passos executados pelo counting sort. Nesse caso, os três primeiros laços atuarão no aprimoramento da entrada, o que demandará um custo Θ(n + k), assim como o algoritmo counting sort. Logo, o vetor auxiliar C, utilizado pelo algoritmo, conterá em cada posição C[ i ] o número de elementos menores ou iguais a i no vetor original. Para obter a quantidade de números presentes no intervalo [a ... b], uma operação elementar de subtração C[ b ] - C[ a - 1 ] pode ser executada. Nesse caso, ela demandará um tempo O(1).
	
	
	
· Pergunta 5 
0 em 1 pontos
	
	
	
	As classes de computabilidade possibilitam que os problemas sejam organizados de acordo com as suas características de tratabilidade computacional. Conhecer as relações entre essas classes e os problemas categorizados nelas é de grande importância para projetar algoritmos que possam ser aplicados em cenários reais.
 
Considere um problema Y que pode ser resolvido usando um número polinomial de passos computacionais, acrescido de um número polinomial de chamadas a um outro problema X. Essa relação pode ser denotada por Y ≤p X. Isso quer dizer que X é pelo menos tão difícil quanto Y com relação ao tempo polinomial. Sabendo que, se X pode ser resolvido em tempo polinomial, isso vai implicar que Y também pode ser resolvido em tempo polinomial, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. Se X é um problema NP-completo, então X pode ser resolvido em tempo polinomial se, e somente se, P = NP.
Porque:
II. Nesse caso, qualquer outro problema Y pertencente a NP poderá ser resolvido em tempo polinomial.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
As asserções I e II são proposições falsas.
	Resposta Correta: 
	
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Comentário da resposta: 
	Resposta incorreta. Observe as definições relacionadas às classes P e NP e veja como elas estão relacionadas com o conceito denotado pelo operador ≤p apresentado.
 
	
	
	
· Pergunta 6 
1 em 1 pontos
	
	
	
	O algoritmo counting sort tem larga aplicabilidade pelo seu desempenho linear na ordenação de dados em memória. No entanto, o maior consumo de espaço em memória pode restringir seu uso em determinados cenários. Outra característica é sua estabilidade quanto ao posicionamento de elementos com o mesmo valor. 
 
Considerando que um vetor A de n posições é passado como parâmetro para o algoritmo counting sort e que dois elementos nas posições i e j têm o mesmo valor k (A[ i ] = A[ j ] = k), assinale a alternativa correta quanto ao funcionamento do algoritmo. Assuma que um vetor B é retornado pelo algoritmo.
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
O algoritmo é estável, porque a posição C[ k ] do vetor auxiliar C é decrementada após a alocação de k emB, e não é mais incrementada. 
	Resposta Correta: 
	
O algoritmo é estável, porque a posição C[ k ] do vetor auxiliar C é decrementada após a alocação de k em B, e não é mais incrementada. 
	Comentário da resposta: 
	Resposta certa. Suponha que as posições i e j com i <j contenham algum elemento k. Considere o último laço do algoritmo counting sort, responsável pela construção do vetor B de saída. Como j > i, o laço examina A[ j ] antes de examinar A[ i ]. Ao fazer isso, o algoritmo coloca corretamente A[ j ] na posição m = C [ k ] de B. Como C[ k ] é decrementado na linha 10 e nunca mais é incrementado, temos a garantia de que quando o laço for examinar A[ i ], teremos C[ k ] < m. Portanto, A[ i ] será colocado em uma posição anterior no vetor de saída B, provando a estabilidade do algoritmo.
	
	
	
· Pergunta 7 
0 em 1 pontos
	
	
	
	Um típico problema em que algoritmos gulosos são aplicados é conhecido como agendamento para minimizar o tempo médio de finalização. Várias estratégias têm sido propostas para oferecer uma solução em tempo computacionalmente viável. Suponha um conjunto S = { a1, a2, …, an } de tarefas, em que cada tarefa ai demanda pi unidades de tempo para ser concluída a partir do momento em que é iniciada. As tarefas podem ser executadas apenas uma por vez. Seja ci o tempo de finalização da tarefa ai, isto é, o tempo em que a tarefa ai completa seu processamento. 
 
Considerando que o objetivo é minimizar o tempo médio para finalização de todas as tarefas, ou seja, minimizar , analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Se as tarefas forem ordenadas pela quantidade de unidades de tempo para serem finalizadas (pi), então a complexidade do algoritmo será O(n log n).
II. ( ) Um algoritmo guloso que processa as tarefas em ordem crescente de pi obtém a solução ótima para qualquer conjunto de tarefas.
III. ( ) Considerando S composto apenas de duas tarefas a1 e a2 com p1 = 3 e p2 = 5, o tempo médio de finalização de S é independente da ordem de execução das tarefas.
IV. ( ) Uma solução gulosa, baseada no tempo de processamento de cada tarefa, apresenta uma estrutura local ótima em cada iteração.
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
V, V, F, F.
	Resposta Correta: 
	
V, V, F, V.
	Comentário da resposta: 
	Resposta incorreta. Observe como a estratégia gulosa proposta nas afirmativas funciona e verifique se ela conduz a uma solução ótima para qualquer valor informado. Além disso, a estratégia gulosa de ordenar as tarefas por tempo de processamento, do menor para o maior, e executá-las nessa ordem conduz a uma solução ótima para qualquer entrada. De fato, é preciso observar que o problema exibe uma subestrutura local ótima: se executarmos a primeira tarefa em uma solução ótima, obteremos uma solução ótima, executando as tarefas restantes de uma forma que minimize o tempo médio de conclusão. 
	
	
	
· Pergunta 8 
0 em 1 pontos
	
	
	
	A ordenação de dados em memória é uma das operações mais comuns executadas por algoritmos computacionais. Embora existam diferentes estratégias para esse tipo de operação, poucas delas conseguem alcançar um tempo computacional linear. 
 
	Algoritmo Ordenação Linear Simplificada
Entrada: Um vetor A de n inteiros cujos valores são 1 ou 2.
Saída: Vetor A com os valores ordenados de forma não-decrescente
1. Defina k ← 0
2. para i ← 1 até n faça
3.        se A[ i ] = 1, então k ← k + 1
4. para i ← 1 até k faça
5.        A[ i ] ← 1       
6. para i ← k + 1 até n faça
7.         A[ i ] ← 2
8. retorna A
 
 
Nesse contexto, considerando o algoritmo apresentado, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Para um vetor A contendo m posições com valor 1 e n posições com valor 2, o algoritmo realiza m + n operações de atribuições ao vetor A.
II. ( ) O algoritmo é estável.
III. ( ) Para qualquer sequência de valores aceitos pelo algoritmo, as primeiras posições do vetor A serão ocupadas pelo valor 2.
IV. ( ) O maior valor possível para k é n.
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
F, F, V, V.
	Resposta Correta: 
	
V, V, F, V.
	Comentário da resposta: 
	Resposta incorreta. Analise o funcionamento do algoritmo para diferentes sequências de valores 1 e 2 e verifique como o vetor de saída é construído.
	
	
	
· Pergunta 9 
0 em 1 pontos
	
	
	
	O algoritmo counting sort constitui uma alternativa eficiente para a ordenação de dados em memória, já que ele demanda um tempo computacional da ordem de Θ(n). No entanto, ele faz maior uso do espaço em memória, por precisar que vetores auxiliares sejam criados durante sua execução. 
 
Considerando a execução do algoritmo sobre um vetor A = {4, 1, 5, 0, 1, 6, 5, 1, 5, 3}, em que todos os valores são menores que k = 7, analise as afirmativas a seguir.
 
I. Após o primeiro laço que inicializa cada posição do vetor auxiliar C com zero, o segundo laço finaliza com o vetor C = { 1, 3, 0, 1, 1, 3, 1 }.
II. Ao término do terceiro laço, o vetor auxiliar C definido no corpo do algoritmo terá os seguintes valores armazenados {0, 3, 3, 4, 5, 8, 9}.
III. A primeira iteração do último laço do algoritmo faz com que o valor 3 seja atribuído à posição 4 do vetor A.
IV. A posição 4 corresponde à última posição do vetor A a ser preenchida pelo laço final do algoritmo.
 
Está correto apenas o que se afirma em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
I e II.
	Resposta Correta: 
	
I, II e III.
	Comentário da resposta: 
	Resposta incorreta. Execute o passo a passo do algoritmo e analise a configuração dos vetores à medida que a ordenação acontece.
	
	
	
· Pergunta 10 
0 em 1 pontos
	
	
	
	Vários problemas que surgem em contextos práticos demandam análises elaboradas, para que uma solução possa ser proposta. E, muitas vezes, o conceito de computabilidade precisa ser considerado, já que a característica do problema pode impactar na elaboração de uma solução computacional. 
 
Nesse contexto, e considerando os conteúdos estudados sobre problemas P e NP, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. O problema de analisar centenas de milhares de registros para verificar quais deles totalizam um dado valor pode ser resolvido em tempo polinomial.
Porque:
II. Um procedimento computacional simples pode ser construído para somar esses registros e responder se o valor contabilizado é igual ao valor informado.
 
A seguir, assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
	Resposta Correta: 
	
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	Comentário da resposta: 
	Resposta incorreta. Considere o problema sob a perspectiva dos conceitos de computabilidade e busque identificar a sua classificação.
	
	
	
Segunda-feira, 14 de Junho de 2021 15h36min15s BRT