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Matemática, Probabilidade e 
Estatística
banco do brasil
Matrizes; Determinantes; Sistemas Lineares
Livro Eletrônico
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JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas 
presenciais, telepresenciais e online de Matemá-
tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-
ceira e Estatística para processos seletivos em 
concursos públicos estaduais e federais. Além 
disso, é professor de Matemática e Raciocínio 
Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. 
É servidor público há mais de 20 anos. Autor de 
diversas obras e palestrante.
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SUMÁRIO
Matrizes, Determinantes e Sistema Lineares...................................................4
Apresentação do Professor ...........................................................................4
1. Matrizes e Determinantes ........................................................................5
1.1. Matrizes ..............................................................................................5
1.2. Determinantes ...................................................................................32
Representação Matemática ........................................................................33
1.3. Sistema Lineares ...............................................................................46
Questões de Concurso ...............................................................................54
Gabarito ..................................................................................................57
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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMA LINEARES
Problemas matemáticos: neste módulo serão apresentados métodos para re-
solução de questões de concursos públicos relacionados a problemas envolvendo:
matrizes, determinantes e sistema lineares.
Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio matemático e criativo, pro-
movendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a 
interpretar tais questões por meio da prática e aplicação de métodos que facilitarão 
na conclusão das questões.
Vamos comentar algumas questões de outras bancas que são similares às ques-
tões da CESGRANRIO.
Acredito que sejam cobrados os sólidos principais, uma vez que o edital não 
solicita geometria plana.
Apresentação do Professor
Olá, querido(a) aluno(a), tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha. É 
com grande alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importan-
tíssimo com você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 16 
anos de experiência em aulas presenciais, mais de 8 anos em aulas online, possuo 
mais de 4 obras escritas, dentre elas podemos citar: Raciocínio Lógico-Matemático 
– Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm, 2016..
De uma maneira clara, simples e bem, objetiva iremos aprender como a banca 
examinadora exige o assunto indicado nesta aula.
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O conteúdo deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos mais re-
centes assuntos cobrados nas provas de concursos públicos pela banca CESGRANRIO.
Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além 
de aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo 
interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melho-
res métodos de resolução, que, no decorrer desses 16 anos como professor, me 
dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos 
diversos processos seletivos em todo do Brasil.
No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem 
dado muito certo, que se trata:
•	 conceitos de forma esquematizada;
•	 métodos e dicas de resolução rápida;
•	 questões comentadas com esquemas estratégicos
1. Matrizes e Determinantes
1.1. Matrizes
Primeiramente, vamos entender o que vem a ser uma matriz para que possa-
mos operá-las e, consequentemente, calcular seu determinante. Tudo certo? Outra 
coisa, todos nós sabemos que a banca examinadora do seu concurso é a AOCP, po-
rém não temos questões com este assunto, logo decidi me basear na banca ESAF, 
que melhor aborda o tema citado. Vamos lá!
Matriz ou malha: é uma estrutura bidimensional em que todos os elementos 
são do mesmo tipo, em que cada elemento está associado a uma posição da ma-
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triz; o elemento também pode ser denominado como “entrada” e será localizado 
por um número de linha e de coluna situada na malha.
Exemplo:
É uma matriz com três linhas e três colunas, sendo uma matriz de ordem 3x3.
Identificando os elementos da matriz:
Representação da Matriz
a) Forma geométrica: 
Uma matriz pode ser representada formando uma malha; a matriz é represen-
tada por letras maiúscula, em que n ≥ 1 e m ≥ 1,, isto é, deve possuir pelo menos 
uma linha e uma coluna.
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b) Notação condensada:
Dada a matriz 
, em que
B = (bij)3x3, cada termo possui uma lei de formação, isto é, uma notação con-
densada.
Exemplo:
A= (aij)2x2, em que cada termo aij é 
Construindo a matriz acima:
A = , segundo a lei de formação, iremos calcular cada um dos ele-
mentos:
a11, temos i ≥ j, logo i + 2j = 1+2.1 = 3
a12, temos i < 2j, logo i – j = 1-2 = -1
a21, temos i ≥ j, logo i – 2j = 2+2.1 = 4
a22, temos i ≥ j, logo i + 2j = 2+2.2 = 6
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Classificação das Matrizes
As matrizes são classificadas pelo número de linhas e o número de colunas, bem 
como pelos tipos de elementos que elas apresentam e suas disposições.
a) Matriz‑coluna: são aquelas que apresentam apenas uma coluna e linhas, 
denominadas de matriz-coluna, possuindo sua ordem m X 1.
b) Matriz‑linha: são aquelas que apresentam apenas uma linha e n colunas, 
denominadas de matriz-linha, possuindo sua ordem 1 X n.
X – = [x11 x12 x13... x1n]
c) Matriz triangular: são aquelas que apresentam todos os elementos acima 
ou abaixo da diagonal principal iguais a zero, ou seja, a i j = 0, para i > j.
c.1) Triangular inferior:
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c.2) Triangular superior:
d) Matriz quadrada: são aquelas em que a quantidade de linhas é igual à 
quantidade de colunas, isto é, m = n. Caso a matriz possua o número de linhas 
diferente do número de colunas, a matriz é chamada retangular.
Quando uma matriz é quadrada, podemos calcular o número de elementos (en-
tradas) pela seguinte relação: n2 = número de elementos.
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Obs.:� as matrizes quadradas possuem duas características importantes: diagonal 
principal e diagonal secundária.
Exemplo:
e) Matriz escalar: dada uma matriz diagonal, os elementos não nulos são to-
dos iguais, é denominada matriz escalar, em que a11 = a 22 = M= anm = C.
f) Matriz diagonal: uma matriz será diagonal quando tivermos uma triangular 
superior e inferior em que todos os elementos que não estão na diagonal principal 
são todos iguais a zero.
Exemplo:
g) Matriz Nula: são aquelas em que todos os elementos são iguais a zero.
Exemplo:
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h) Matriz identidade: a matriz identidade é uma matriz quadrada em que os 
elementos da diagonal principal são todos iguais e os demais elementos são todos 
iguais a zero. É representada pela letra I.
Exemplo:
i) Matriz transposta: a transposição de uma matriz é dada pela troca da linha 
e da coluna do elemento, ou seja, a linha passa a ser a coluna e a coluna passa a 
ser a linha.
Exemplo:
Dada a matriz A (aij)3x2, teremos At(aji)2x3.
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j) Matriz oposta: a matriz oposta é dada quando trocamos os sinais de todos 
os elementos da matriz.
Exemplo:
k) Matriz simétrica: teremos uma matriz simétrica quando A = At ou seja, 
a matriz e sua transposta forem iguais.
Exemplo:
A Matriz identidade é uma matriz simétrica.
l) Matriz antissimétrica: uma matriz será antissimétrica quando tivermos 
At = –A, a matriz transposta igual à matriz oposta.
Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes serão iguais quando possuírem a mesma ordem e seus respecti-
vos elementos também forem iguais.
Exemplo:
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1. (QUESTÃO INÉDITA) Determine os valores de x e y, sabendo que as matrizes 
são iguais:
Sendo as matrizes iguais, temos que os elementos 2x + y = 8 e x – 2y = 6, cons-
truindo desta forma um sistema de equações:
Temos:
Multiplicando a equação por 2 teremos uma nova equação:
-2x + y = -12
Aplicando o método da adição teremos:
2x + y = 8
-2x +4 y = -12
0 + 5y= -4
y = -4
5
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Substituindo o valor de y na equação II, teremos:
x – 2y = 6
x-2 . ( -4
5
) = 6
x + 8
5
 = 6
x = 6 - 8
5
x = 30 - 8
5
 = 22
5
x = 22
5
Adição ou Subtração de Matrizes
Para somarmos ou subtrairmos duas matrizes, é necessário que elas sejam da 
mesma ordem.
Exemplo:
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Propriedades: sabendo que as matrizes possuem a mesma ordem, teremos o 
seguinte:
a) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C.
b) Comutativa: A + B = B + A.
c) Elemento Neutro: A + 0 = A.
d) Elemento Oposto: A + (-A) = 0.
e) Transposição: (A + B)t = At + Bt.
Produto de uma Escala por uma Matriz
O produto de uma escala por uma matriz dá-se quando multiplicamos o número 
(constante) por todos os elementos da matriz constituindo desta forma outra matriz.
Exemplo:
Propriedades: partindo de que X e Y são matrizes da mesma ordem e a e b 
números reais quaisquer, temos que:
•	 Associativa: a.(bx) = (a.b).x
•	 Distributiva: a.(x+y) = ax + by
•	 Elemento Neutro: 1.x = x
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2. . (ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz m pode ser 
representado por mij, em que i representa a linha e j representa a coluna emque 
esse elemento se localiza. Uma matriz S(sij), de terceira ordem, é a matriz resul-
tante da soma entre as matrizes A(aij) e B(bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se 
que aij = i² + j² e que bij = (i+j)², então a soma dos elementos da primeira linha 
da matriz S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
Letra d.
Sabemos que, para somarmos duas matrizes, as mesmas devem possuir a mesma 
ordem, logo tanto a matriz A quanto a matriz B são de terceira ordem. A matriz S, 
isto é, a matriz resultante de A+B, tem como elementos, a soma dos elementos da 
matriz com os elementos da matriz B.
Ilustrando, temos:
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A soma dos elementos da 1ª linha da matriz A com os elementos da matriz B, res-
pectivamente, sendo assim, teremos:
Segundo a lei de formação de cada elemento, podemos encontrá-los de acordo com 
a matriz.
aij = i² + j² bij = (i + j)²
a11 = 1² + 1² = 2 b11= (1 + 1)² = 4
a12 = 1² + 2² = 5 b12= (1 + 2)² = 9
a13 = 1² + 3² = 10 b13= (1 + 3)² = 16
A questão pergunta qual é a soma dos elementos da 1ª linha, ou seja, 6 + 14 + 
26 = 46.
3. (ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz m pode ser repre-
sentado por mij, em que i representa a linha e j a coluna em que o elemento se 
localiza. Uma matriz X(xij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das 
matrizes A(aij) e B(bij). Sabendo-se que (aij) = i² e que (bij) = (i – j)², então o 
produto dos elementos x31 e x13 é igual a:
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a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
Letra d.
Sabemos que, para somarmos duas ou mais matrizes, elas devem ser de mesma 
ordem. Sendo a matriz resultante também de mesma ordem. Se a questão solicita 
o produto dos elementos x31 e x13, torna-se necessário encontrá-los, logo, temos:
x31 = a31 + b31 x13 = a13 + b13
De acordo com a lei de formação de cada elemento em sua matriz, podemos:
aij = i² bij = (i – j)²
a31 = 3² = 9 b31 = (3 – 1)² = 4
a13 = 1² = 1 b13 = (1 – 3)² = 4
x31 = 9 + 4 x13 = 5
x31 = 13 x13 = 5
Então, o produto (x31. x13) = 13x5 = 65
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Produto de Matriz por Matriz
Para que possamos multiplicar duas matrizes, existe uma condição:
A quantidade de colunas
 da primeira Matriz.
=
A quantidade de linhas 
da segunda matriz.
De acordo com a condição existente para multiplicarmos duas matrizes, é im-
portante observar que o fato de A.B ocorrer não garante que seja possível B.A 
acontecer. Nesse caso, é notável que A.B ≠ B.A, ou seja, não possui a propriedade 
comutativa.
Exemplo: sejam as matrizes A
(aij)m x n
 e B
(bij)r x s
 e P
(pij)m x s
 a matriz produto.
Sejam:
E seja P a matriz resultante de A x B
A matriz P será
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Calculando cada elemento da matriz produto:
Elemento p11: será o produto do primeiro elemento da primeira linha de A 
pelo primeiro elemento da 1ª coluna de B, somado ao produto do segundo elemen-
to da primeira linha de A pelo segundo elemento da coluna de B.
Elemento p12: será o produto do primeiro elemento da primeira linha de A 
pelo primeiro elemento da 2ª coluna de B somado pelo produto da 2ª linha de B.
Elemento p21: será o produto do 1º elemento da 2ª linha de A pelo 1º elemen-
to da 1ª coluna de B somado ao produto do 2º elemento da 2º linha de A pelo 2º 
elemento da 1ª coluna de B.
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Elemento p22: será o produto do 1º elemento da 2ª linha de A pelo 1º elemen-
to da 2ª coluna de B somado ao produto do 2º elemento da 2ª linha de A pelo 2º 
elemento da 2ª coluna de B.
Matriz produto:
A x
B
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Propriedades:
Associativa: (A.B).C = A (B.C)
Distributiva: A(B+C) = AB + AC
(A+B).C = AC + BC
Elemento neutro: A.In = In.A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n.
4. (ESAF) Sejam as matrizes:
E seja X in o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A.B)t, isto é, a matriz 
X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre 
X31 e X12 é igual a:
a) 2
b) 1
2
c) 3
d) 1
3
e) 1
Letra a.
Se queremos o elemento X31, então devemos multiplicar os elementos da 3ª linha 
de A pelos elementos da primeira coluna de B, porém a matriz X é a transposta de 
A.B, logo, importante perceber que antes de encontrar o elemento X31, ele será o 
elemento resultante:
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O mesmo ocorre com o elemento X12, ou seja, antes de fazer sua transposta ele 
é X21, isto é, o resultado do produto dos elementos da 1ª linha da matriz A pelos 
elementos da 2ª coluna da matriz B.
= (2x1) + (6x1) = 8
A razão entre X31 e X12 será = 
16
8
 = 2
5. (UCDB-MT) Sendo
matrizes reais e A.B = C, conclui-se que x + y é igual a:
a) -8
b) -4
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c) 0
d) 4
e) 2
Letra e.
Multiplicando as matrizes temos:
Multiplicando os respectivos elementos da primeira linha da matriz A pelos elemen-
tos da coluna da matriz B, realizando as respectivas somas, temos como resultado 
o elemento 13 da matriz C, construindo a equação temos:
(2-2) + (3.y) + (5.1) = 13
-4 + 3y + 5 = 13
3y = 13 + 4 – 5
3y = 12
y = 4
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[4.(-2)] + (5.y) + (x.1) = 10
-8 + 5y + x = 10, sendo y = 4 temos:
-8 + (5.4) + x = 10
-8 + 20 + x = 10
12 + x = 10
x = 10 – 12
x = - 2
Podemos concluir, então, que x + y é igual a: -2 + 4 = 2
6. (CESGRANRIO) Resolvendo a equação matricial abaixo:
Encontramos para x e y valores respectivamente iguais a:
a) -2 e 1
b) -1 e 2
c) 1 e -2
d) 1 e 2
e) 2 e -1
Letra d.
Multiplicando os elementos da 1ª linha da matriz pelos elementos da coluna da se-
gunda matriz temos:
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(1.x) + (2.y) = 5
x + 2y = 5 I
4x + 3y = 10 II
Construindo o sistema de equação temos:
Multiplicando a primeira equação por (-4), teremos:
-4x – 8y = -20 (pelo método da soma)
4x + 3y = 10
-5y = -10 y = 2
Substituindo o valor de y = 2 na primeira equação teremos:
x + 2y = 5
x + (2.2) = 5
x + 4 = 5
x = 1
Logo, os respectivos valores de x e y são 1 e 2.
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7. (QUESTÃO INÉDITA) A matriz que fornece, em reais, o custo das porções de 
arroz, carne e salada usados num restaurante:
C=
1 arroz
3 carne
2 salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na com-
posição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante:
arroz carne salada
C=
2 1 1 prato P1
1 2 1 prato P2
2 2 0 prato P3
A matriz que fornece o custo de produção em reais, dos pratos P1, P2 e P3, está 
indicada na alternativa:
a) 
7
9
8
b) 
4
4
4
c) 
9
11
4
d) 
2
6
8
e) 
2
2
4
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Letra a.
A questão trata de uma multiplicação de matrizes, em que iremos fazer a multipli-
cação da matriz, assim teremos a matriz custo de produção em reais para os pratos 
P1, P2 e P3.
Matriz inversa: é dada pela seguinte relação: A. A = I, isto é, o produto da 
matriz pela sua inversa será uma matriz identidade.
É importante ressaltar que, para que uma matriz seja inversível, é necessário 
que seja quadrada e seu determinante seja diferente de zero.
Iremos utilizar dois métodos para calcular a matriz inversa, vejamos:
I – Pela relação A. A – 1 = I n
Seja:
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 , logo teremos:
a31 a32 a33
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a11 a12 a13
.
y11 y12 y13
=
1 0 0
a21 a22 a23 y21 y22 y23 0 1 0
a31 a32 a33 y31 y32 y33 0 0 1
Exemplo:
Dada a matriz
A=
a11 a12 teremos o seguinte:
a2 a22
4 1
.
a b
=
1 0
3 0 c d 0 1
Segundo já visto, iremos multiplicar matriz A pela sua inversa:
Fazendo a igualdade de matrizes, temos:
4a + c = 1 4a + c = 1
4b + d = 0 4. 0 + c = 1
 c = 1
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3a + 0 = 0 3a = 0 4b + d = 0
3b + 0 = 1 a = 0 4. 1
3
 + d = 0
3b = 1 d = -4
3
b = 1
3
 
Organizando a matriz inversa:
Aqui vai uma dica: nas questões de concursos públicos, temos a frequência de 
questões de ordem 2, devido à complexidade, logo vamos agilizar a resolução da 
seguinte forma:
Passos a serem seguidos:
1º passo: calcular o determinante da matriz A:
A =
4 1
3 0
= (4x0) – (3x1) = -3
det A = -3
2º passo: trocar os elementos da diagonal principal.
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3º passo: trocar os sinais dos elementos da diagonal secundária.
4º passo: dividir os elementos pelo determinante de A.
8. (QUESTÃO INÉDITA) Dada a matriz A= , se A–1 é a matriz inversa de A, en-
tão a soma de A + A–1 é a matriz inversa de A, então a soma de A + A–1 é igual a:
a)
1 1
b)
1 0
c)
1 1
0 0 0 1 -1 0
d)
-1 1
e)
1 2
0 2 0 -1
Letra b.
Sendo a matriz A = , iremos calcular sua inversa pelo método mais prático, 
utilizando os quatro passos ensinados:
1ª passo: calcular o determinante de A(detA)
A= , = (1x0) – (-1x1) = 1
0 – (-1)
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2º passo: trocar os elementos da diagonal principal:
3º passo: trocar os elementos da diagonal secundário:
4º passo: dividir todos os elementos pelo determinante:
A questão pede a soma de A + A1, logo teremos:
1.2. Determinantes
O determinante de uma matriz é um número que é calculado a partir dos ele-
mentos da própria matriz. Para calcular o determinante de uma matriz, a própria 
deve ser quadrada.
Nas questões de concursos públicos, é notável a presença de matrizes de ordem 
2 e ordem 3, quando se torna necessário realizar os cálculos, porém, quando as 
matrizes são de ordem a ≥ 3, percebe-se a aplicação das propriedades que iremos 
estudar em seguida.
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Representação Matemática
Uma matriz é representada com os seus elementos dentro de colchetes, en-
quanto no determinante de uma matriz os elementos são colocados entre barras 
verticais:
Exemplo:
Calculando o Determinante de Matrizes
I – Determinante de Matriz de Primeira Ordem
Dada uma matriz de primeira ordem, em que se possui apenas um elemento, 
b11 = [b11, o seu determinante é dado por det(b) = |b11| = b11. Isto é, será o próprio 
elemento.
Exemplo: X11 = [2], det (X) = |2| = 2
II – Determinante de Matriz de Segunda Ordem
Para se calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, deve-se multiplicar 
os elementos da diagonal principal e subtrair pelo produto dos elementos da dia-
gonal secundária.
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Exemplo: dada a matriz B(bij)2x2 = 
Det B = = (3x6) – (4x5) = 18 – 20 = –2
III – Determinante de Matriz de Terceira Ordem
Para calcularmos o determinante de Matrizes de ordem 3, iremos utilizar uma 
regra prática e fácil, que é a Regra de Sarrus:
Dada a matriz X = 
O determinante é e será dado da seguinte forma:
Copia-se, novamente, a matriz e repete as duas primeiras colunas da Matriz ao 
lado da terceira coluna:
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Iremos multiplicar os elementos na direção da seta e soma os produtos:
Iremos subtrair da soma dos produtos dos elementos indicados nas setas abaixo:
Realizando a subtração, teremos A-B.
9. (ESAF) o determinante da matriz B = é:
a) 2bc + c – a
b) 2b – c
c) a + b + c
d) 6 + a + b + c
e) 0
f) 
Letra e.
Esta questão pode ser resolvida de maneira rápida utilizando uma das propriedades 
que veremos à frente, mas, como, no momento, estamos aprendendo a Regra de 
Sarrus, vamos aplicá-la:
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(2bc + 4c + ca + 0) – (0 + 4c + 2bc + ca) = 0
2bc + 4c + ca – 4c – 2bc – ca = 0
10. (ESAF) Geralmente qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado 
por zij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. 
Uma matriz A = (aij), de terceira ordem é a matriz resultante da soma das matrizes 
X = (xij) = i
1
2 e que Yij = (i-j)², então a potência dada por (a22)a12 e o determinante 
da matriz X são, respectivamente, iguais a:
a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) – 2 e 1
d) 2 e 0
e) – 2 e 0
Letra d.
x + y = a, como já visto anteriormente, para somarmos duas matrizes, elas devem 
possuir a mesma ordem, logo se os elementos são a22 e a12, eles serão:
a11 = X22 + Y22
a12 = X12 + Y12
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Pela lei de formação das matrizes X e Y, temos
(Xij) = i
1
2 Yij = (i–j)²
X22 = 2
1
2 = 2 Y22 = (2–2)² = 0
X12 = 1
1
2 = 2 Y22 = (1–2)² = 1
a22 = 2 + 0 = 2
a12 = 1 + 1 = 2
Logo teremos que (a22) = 2 2 = 2
Pela lei de Formação da Matriz X, temos:
X(xij) = i
1
2 , para cada elementos teremos:
xij = i
1
2
Logo, a matriz X, será:
X – = é o det X por uma das propriedades que veremos mais à frente 
será zero, mas, no momento, iremos aplicar a regra de Sarrus.
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Propriedades dos Determinantes
Em questões de concursos, quando é requerido o determinante de uma matriz, 
teremos a aplicação de uma das propriedades abaixo; logo é importantíssimo guar-
dá-las, uma vez que não há cálculos.
Propriedade 1: se todos os elementos de uma fileira (linha ou coluna) de uma 
matriz forem todos iguais a zero, o determinante da matriz é nulo.
det (A) = = 0 det A = 0
det (B) = = 0 det B = 0
Propriedade 2: se duas fileiras (linha ou coluna) de uma matriz são iguais, o 
seu determinante será igual a zero.
det (X) = = 0
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det (Y) = = 0
Propriedade 3: se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações 
lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas então seu determinante 
é igual a zero.
det (A) = = 0
C3 = C1 + 2C2 (os elementos da terceira coluna são iguais à soma dos ele‑
mentos da primeira coluna com o dobro dos elementos da segunda coluna).
Propriedade 4: se duas filas de uma matriz são proporcionais,então o seu 
determinante é igual a zero.
det (A) = = 0
C3 = 2. C1 (os elementos da terceira coluna é igual ao dobro dos elemen‑
tos da primeira coluna)
det (B) = = 0
L3 = 2. L1 (os elementos da terceira linha é o dobro dos elementos da 
primeira linha)
Propriedade 5: o determinante de uma matriz e o determinante da sua trans-
posta são iguais.
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det A = det At
Dada a matriz A = 
O det A = = 0, det At = = 0
Propriedade 6: se multiplicarmos por um número real todos os elementos de 
uma fila em uma matriz, o determinante também fica multiplicado por esse número.
Dada a matriz X = , multiplicando todos os elementos da primeira li-
nha por 2 temos: L1 = 2. L1
Y = , calculando o det y:
(0 + 32 + 54) – (144 + 14 + 0)
86 - 158 = ‑72
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(0 + 16 + 27) – (72 + 7 + 0) =
73 – 79 = –36
Logo, podemos concluir que
dey = 2.det X
Propriedade 7: quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o deter-
minante da matriz muda de sinal.
Dada a matriz X = 
Seja a matriz Y = 
(0 + (-2) + 60) – (0 + 4 + 20) =
58 - 24 = 34
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(0 + 4 + 20) – (0 - 4 + 60) =
Logo, temos que det X = - det Y
Propriedade 8: quando todos os elementos que estão abaixo ou acima da dia-
gonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos 
da diagonal principal.
det C = = 3.(–1).4 = –12
Propriedade 9: Teorema de Binet.
Para matrizes X e Y quadradas de mesma ordem m, temos que:
det (X.Y) = det X. det Y
det = (4 x 26) – 1 x 14)
104 - 17 = 87
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Propriedade 10: Teorema de Jacobi
O determinante de uma matriz não se altera quando somamos os elementos de 
uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Seja X = 
det X = 
Substituindo a 1 coluna de x pela soma dela mesma com o dobro da 2 coluna, 
temos uma matriz Y:
y11 = y11 + 2. x12 = 1 + 2. 2 = 5
y21 = y21 + 2. x22 = 1 + 2. 0 = 5
y31 = y31 + 2. x23 = 1 + 2. 4 = 7
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(0 + 14 + 60) – (0 + 20 + 20)
74 - 40 = 34
Logo, podemos concluir que 74 - 40 = 34
Propriedade 11: seja K um mínimo real qualquer, então, temos que det (K.B) 
= kn. det (B), onde n é a ordem da matriz quadrada B.
Seja B = , calculando o det (B);
Sendo n = 2, tomando K = 3, temos a matriz C = 3B
C = (K.B) = 3.B = 
det 3B = 126 , pela propriedade temos:
kn. det (B)
32. 14 = 9 x 14 = 126
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11. (CESGRANRIO) Considere as três matrizes abaixo.
A = 1
2
; B = 2 3
2 3
; C = 0 1
0 1
Pode-se afirmar que
a) não é possível somar as matrizes B e C.
b) a matriz B é simétrica.
c) a matriz C é uma matriz identidade.
d) a matriz C é a inversa de B.
e) o produto de matrizes BA é igual a 88 .
Letra e.
A letra e está certa, porém deve-se observar que deve ser B x A, nesta ordem.
a) Errada. Para somar duas matrizes, as mesmas devem possuir as mesmas or-
dens, logo é possível.
b) Errada. A matriz será simetria de B for igual a Bt, o que não ocorre.
c) Errada. A matriz identidade possui os elementos da diagonal principal igual a 1 
e os demais iguais a zero.
d) Errada. A matriz B não é inversível, pois o seu determinante é zero.
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1.3. Sistema Lineares
Quanto a sistemas lineares, neste módulo iremos nos atentar apenas para a sua 
análise, ok?
A análise de um sistema de equações lineares consiste em determinar se ele 
é possível ou impossível, e, caso seja possível, verificar se é determinado ou 
indeterminado.
Vamos utilizar a representação matricial do sistema para realizar sua análise 
(matriz incompleta ou matriz de variáveis).
Seja o sistema:
Neste sistema, temos m equações e n variáveis. Além disso, p e q são as ca‑
racterísticas das matrizes incompleta e completa, respectivamente.
Vamos aplicar o Teorema de Rouché-Capelli.
O sistema será possível se, e somente se p=q.
p ≠ q ↔ sistema impossível ( não admite solução);
p = q = n ↔ sistema possível e determinado ( solução única);
p = q < n ↔ sistema possível e indeterminado ( infinitas soluções).
Obs.:� Para que possamos aplicar o Teorema de Rouché-Capelli, é necessário 
aprendermos outro Teorema denominado de Kronecker, em que determina 
a característica de uma matriz.
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Como já dito, para discutirmos um sistema podemos usar o Teorema Rouché-Ca-
pelli, que utiliza o conceito de característica de umamatriz que será chamado de de-
terminante de ordem p.
Conceito
Uma matriz M não nula é caracterizada pela máxima ordem dos determinantes 
não todos nulos que podem ser retirados de M, ou seja, a característica de M é o 
número natural p ≥1 somente quando:
a) pelo menos um determinante for de ordem p diferente de zero;
b) todos os determinantes de ordem maior do que p forem nulos.
Vamos realizar uma aplicação para encontrarmos a característica da matriz:
Como Encontrar a Característica?
É necessário atribuir valores a p (a partir de 1) e, para cada um desses valores, 
devemos encontrar pelo menos um determinante de ordem p diferente de zero.
Vamos lá então:
Para p=1:
Basta tomar uma submatriz de A com um elemento não nulo para termos det. 
(1) ≠0. Para tal pegamos o elemento a11=1, logo p ≥ 1.
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Para p=2:
Agora, utilizando a submatriz de segunda ordem S2 = , vemos que det.
(2) ≠ 0. Portanto p≥2.
Para p=3:
Usando uma submatriz de terceira ordem S3= , onde det.(3) = -5, 
vemos que det.(3) ≠ 0. Portanto, p≥ 3.
Concluindo, temos que todos os menores de quarta ordem não diferentes de 
zero, podemos inferir que a característica da matriz A é p=3.
Agora, sim! Após vermos os dois teoremas podemos discutir um sistema:
O sistema será possível se, e somente se p=q.
p ≠ q ↔ sistema impossível ( não admite solução);
p = q = n ↔ sistema possível e determinado ( solução única);
p = q < n ↔ sistema possível e indeterminado ( infinitas soluções).
12. (QUESTÃO INÉDITA) Discuta o sistema abaixo:
Seja o sistema
2x – y = 5 
x + y = 7
A matriz completa é:
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Sendo a característica da matriz completa q=2, uma vez que existe det (2) ≠ 0 e 
não existe det (3).
Sendo a matriz incompleta:
Sua característica também é p=2.
Pelo Teorema de Rouché-Capelli, podemos inferir que o sistema é possível e deter-
minado, pois p=q =n, em que n é a quantidade de variáveis.
13. (QUESTÃO INÉDITA) Discuta o sistema abaixo:
x + y = 1
2x –y = 1
3x + 2y = 5
 
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O det (3) ≠ 0, logo q = 3 
O det (2) ≠ 0, logo p=2
Pelo Teorema de Rouché-Capelli, se p ≠ q ↔ sistema impossível (não admite solução)
14. (QUESTÃO INÉDITA) Um sistema de equações é chamado “possível” ou “ com-
patível”, quando admite, pelo menos, uma solução; é chamado de “determinado”, 
quando a solução for única, e de “indeterminado”, quando houver infinitas solu-
ções. A partir do sistema formado pelas equações X-Y = 2 e 2X +WY= Z, pode-se 
afirmar que S e W = -2 e Z=4, então o sistema é:
a) Impossível e determinado
b) Impossível ou determinado
c) Impossível e indeterminado
d) Possível e determinado
e) Possível e indeterminado
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Letra e.
X – Y = 2 
2X + WY = Z
Seja o sistema:
Substituindo W = -2 e Z = 4, teremos:
X – Y = 2 
2X -2 Y = 4 ( simplificando) 
Seja o sistema:
X – Y = 2 
X – Y = 2 ( simplificando) 
Seja o sistema:
Observação importante: temos um sistema com uma equação e duas variáveis.
X – Y = 2 
Aqui vai uma dica! Quando o número de equações é menor do que o número de 
variáveis, teremos um sistema possível e indeterminado.
15. (QUESTÃO INÉDITA) Dado o sistema de equações:
ma + 3mb = 0
2a + mb = 4
Em que a e b são incógnitas, é correto afirmar que:
a) Se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
b) Se m= 0, o sistema é impossível.
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c) Se m=6, o sistema é indeterminado.
d) Se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema
e) Se m≠ 0 e m≠ 6, o sistema é possível e determinado
Letra e.
Podemos, também, analisar um sistema de equações por determinantes (REGRA 
DE CRAMER), ainda mais se não conhecemos os coeficientes, e as matrizes forma-
das pelos coeficientes são quadradas de segunda ou terceira ordem. Como?
Vamos construir três matrizes e calcular os seus determinantes, e com os valores 
dos determinantes podemos realizar as inferências, vejamos:
Primeira matriz: (será construída com os coeficientes das incógnitas que estão no 
primeiro membro), ou seja, antes da igualdade.
Definindo as matrizes:
Det M = 
Segunda matriz:
Det x = 
Terceira matriz:
Det y = 
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Com os resultados dos determinantes, podemos agora discutir o sistema.
1. SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD):
Se o det M ≠0, então já é suficiente para inferir que o sistema é possível e deter-
minado.
2. SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI):
Se det M = Det x = Det y = 0, então o sistema será possível e indeterminado.
3. SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI):
Se Det M = 0 e, Det x ou Det y ≠0, então o sistema será impossível.
Calcularemos o determinante:
Det M = = m2 – 6m
Segunda matriz:
Det x = = - 12m
Terceira matriz:
Det y = = 4m
Vamos analisar o primeiro caso (SPD) e verificar se existe opção:
Se o det M ≠0, ou seja:
m2 – 6m ≠ 0 ( resolvendo a equação do 2 grau), temos que m ≠ 0 e m≠ 6 
Dessa forma já é suficiente para inferir que o sistema é possível e determinado, 
caso m ≠ 0 e m≠ 6.
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QUESTÕES DE CONCURSO
1. (2017/CESGRANRIO/PETROBRAS) Na matriz , m, n e p são 
números inteiros ímpares consecutivos tais que m < n < p.
O valor de é det A + det A + det A4
a) 2
b) 8
c) 16
d) 20
e) 22
2. (2015/CESGRANRIO/PETROBRAS) Uma matriz A4x4, para a qual aij indica o ter-
mo que ocupa a linha i e a coluna j, deverá ser montada, de tal forma que:
• aij = 0 ou 1, ∀i,j = 1,2,3,4;
• aii = 0, ∀i = 1,2,3,4;
• aij = aji, ∀i,j = 1,2,3,4.
De quantas maneiras distintas se pode montar a matriz A4x4, de modo que todas as 
condições sejam satisfeitas?
a) 4096
b) 128
c) 64
d) 24
e) 12
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3. (2012/CESGRANRIO/PETROBRAS/ENGENHEIRO CIVIL) Duas matrizes, P e Q, 
são quadradas de ordem 3 e tais que det. P = k e det. Q = k2.
Qual é o determinante de (2P).(Q 2 )?
a) 16 K5
b) 8 K5
c) 8 K3
d) 4 K3
e) 2 K3
4. (2012/CESGRANRIO/PETROBRAS) A matriz A3x3 = é tal que
O determinante da matriz A 3x3 é igual a
a) - 6
b) 0
c) 6
d) 10
e) 42
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5. (2011/CESGRANRIO/PETROBRAS)
Sabendo que 
a b c
d e f
g h i
 = 3, 
m n p
a b c
g h i
 = -2 e que 
1 m n p
0 g h i
x d e f
0 a b c
 = 7, qual é o valor 
de x?
a) -2
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
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GABARITO
1. e
2. c
3. b
4. b
5. e
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