Transformada de Laplace (Resumo)

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Função degrau unitário: 
𝔲(𝑡 − 𝑎) = {
0, 0 ≤ 𝑡 < 𝑎
1 , 𝑡 > 𝑎
 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Def.: Seja 𝑓 uma função definida para 𝑡 ≥ 0. A integral ℒ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)
∞
0
𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∙
𝑏
0
𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠), chama-se transformada de Laplace de 𝑓, desde que a integral convirja. 
 
• Transformadas básicas
i. ℒ{𝑡𝑛} =
𝑛!
𝑠𝑛+1
, 𝑛 ∈ ℕ∗ 
ii. ℒ{𝑒𝑎𝑡} =
1
𝑠−𝑎
 
iii. ℒ{sen 𝑘𝑡} =
𝑘
𝑠2+𝑘2
 
iv. ℒ{sen 𝑘𝑡} =
𝑠
𝑠2+𝑘2
 
Def.: Seja ℒ{𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝑠), diz-se que 𝑓(𝑡) = ℒ−1{𝐹(𝑠)} é a transformada inversa de Laplace. 
 
• Transformada de uma derivada: 
Se 𝑓, 𝑓′, …, 𝑓(𝑛−1), forem contínuas em [0, ∞) e de ordem exponencial, com 𝑓(𝑛)(𝑡) continua 
por parte em [0, ∞), então ℒ{𝑓(𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛 ∙ 𝐹(𝑠) − 𝑠(𝑛−1) ∙ 𝑓(0) − 𝑠(𝑛−2) ∙ 𝑓′(0) − 𝑠(𝑛−3) ∙ 𝑓′′(0) −
 … − 𝑓(𝑛−1)(0), onde 𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)}. 
 
Primeiro teorema da translação: ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) ⇒ ℒ{𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡} = 𝐹(𝑠 − 𝑎) com 𝑎 ∈ ℝ. 
Obs.: ℒ−1{𝐹(𝑠 − 𝑎)} = ℒ−1{𝐹(𝑠)|𝑠→𝑠−𝑎} = 𝑒
𝑎𝑡 ∙ 𝑓(𝑡) 
 
Segundo teorema da translação: ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) ⇒ ℒ{𝑓(𝑡 − 𝑎) ∙ 𝔲(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) com 𝑎 ∈ ℝ+
∗ . 
Obs.: 
 𝑓(𝑡) = {
𝑔(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
ℎ(𝑡), 𝑡 > 𝑎
⇒ 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑡) ∙ 𝔲(𝑡 − 𝑎) + ℎ(𝑡) ∙ 𝔲(𝑡 − 𝑎) 
 𝑓(𝑡) = {
0, 0 ≤ 𝑡 < 𝑎
𝑔(𝑡), 0 ≤ 𝑡 < 𝑏
0, 𝑡 ≥ 𝑏
⇒ 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡)[𝔲(𝑡 − 𝑎) − 𝔲(𝑡 − 𝑏)] 
 
 Derivada de transformadas: ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) ⇒ ℒ{𝑡𝑛𝑓(𝑡} = (−1)𝑛 ∙
𝑑𝑛𝐹(𝑠)
𝑑𝑠𝑛
, com 𝑛 ∈ ℕ∗. 
 
Teorema da convolução 𝑓 ∙ 𝑔: ℒ{𝑓 ∙ 𝑔} = ℒ{𝑓(𝑡)} ∙ ℒ{𝑔(𝑡)}. 
 
• Transformada de uma integral: ℒ {∫ 𝑓(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑇} =
𝐹(𝑠)
𝑠
 
 
Transformada de uma função periódica: ℒ{𝑓(𝑡)} =
1
1−𝑒−𝑠𝑇
∙ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡. 
 
Transformada de uma função delta de Dirac: ℒ{𝛿(𝑡 − 𝑡0)} = 𝑒
−𝑠𝑡0.