TRANSFORMADA DE LAPLACE - Resumo e propriedades básicas

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Autor: Maicon José Evaristo Fabello
1 . O que é uma transformada de Laplace?
É uma função que se constrói a partir de outra função.
Se representa normalmente por , em que F(t) é a função original.
2 . Para quê serve a transformada de Laplace?
Ela serve para conseguirmos resolver equações diferenciais e sistemas de
equações diferenciais.
Nem todos os sistemas poderemos resolver usando esta técnica, mas com certeza
ajuda na grande maioria dos casos.
3 . Como calcular a transformada de Laplace?
A transformada de Laplace atribui a uma função F(t) uma outra função f(s) que é
obtida através da integral:
4. Tabela das principais transformadas de Laplace
A partir da definição da transformada de Laplace podemos calculá-la com mais ou
menos dificuldade para qualquer função que queiramos, mas tal como as integrais básicas
já estão tabeladas, as transformadas básicas já estão tabeladas.
5 . Todas as funções admitem transformada de Laplace?
Apenas funções de ordem exponencial e contínuas por pedaços admitem
transformada de Laplace.
Ordem exponencial significa que a função “cresce” menos que uma exponencial, ou
que podemos encontrar sempre uma exponencial que retorne valores maiores que ela.
Ou seja, existe um valor M > 0 e um valor γ tal que para todo t > N:
Continuidade em pedaços quer dizer que a função pode ser dividida em um número
finito de pedaços e que em todos eles os limites à direita e à esquerda da função são finitos.
6 . Propriedades da transformada de Laplace.
a) Linearidade: a transformada de uma combinação linear de funções é uma
combinação linear de transformações.
b) Primeira translação: multiplicar a função original por uma exponencial desloca a
transformada para a direita.
→
c) Segunda translação: se você deslocar a função à direita por determinado valor, a
transformada dela fica multiplicada pela exponencial inversa do valor.
e →
d) Mudança de escala: aplicar uma escala na variável original leva a uma escala
inversa na variável da transformada.
→
e) Transformada da Derivada: a transformada da derivada é a variável da transformada
multiplicada pela transformada e subtraída do valor inicial da função original.
→
Se a derivada for de ordem maior vale a regra geral: potência da variável igual a
ordem da derivada, multiplicada pela transformada, subtraído das potências
decrescentes da variável multiplicadas pelos seus valores iniciais..
f) Transformada da Integral: a transformada de uma integral é igual à transformada
dividida pela sua variável.
→
g) Multiplicação pela potência original: se multiplicarmos a função original por uma
potência de sua variável, a transformada é derivada quantas vezes forem a potência.
→
h) Divisão pela variável: se pegarmos a função original e dividirmos ela pela sua
própria variável, a transformada fica sendo a integral da transformada original.
→
i) Funções Periódicas: se F(t) é uma função periódica com período T (isto é,
F(t+T) = F(t)) então a transformada é :