equações linear de sgunda ordem superior

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CÁLCULO II 
Everton Coelho de Medeiros
Equações diferenciais 
de ordem superior 
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Resolver equações diferenciais lineares de ordem superior.
 � Diferenciar o método de resolução de equações lineares homogênea 
e não homogênea.
 � Identificar as equações diferenciais em problemas aplicados.
Introdução
Equações diferenciais de ordem superior são muito empregadas para 
modelar diversos problemas físicos, com muitas aplicações práticas em 
engenharia, física, medicina, biologia e outras diversas áreas. Ao solucionar 
uma equação diferencial de ordem superior, é possível, por exemplo, 
encontrar equações para o projeto de sistemas de máquinas, circuitos 
elétricos, pontes, etc.
Neste capítulo, abordaremos como são classificadas e os métodos 
de resolução de equações lineares homogêneas e não homogêneas. Ao 
final, você aprenderá a resolver equações diferenciais de ordem superior 
por meio da exposição de problemas aplicados.
Equações diferenciais lineares de 
ordem superior
Uma equação diferencial de ordem superior tem a forma:
As funções Cn, Cn-1, …, C1, C0 e F(x) são contínuas em um intervalo I e, 
também, reais. A esse tipo de equação é dado o nome de problema de valor 
inicial (ZILL; CULLEN, 2001).
Para resolver essa equação, são necessárias n iterações que resultaram 
em um número n de constantes. Logo, para obter uma única solução, faz-se 
necessário conhecer alguns valores específicos:
aos quais se dá o nome de condições iniciais.
Um exemplo de equação diferencial de ordem dois é mostrado a seguir:
com condições iniciais:
y(x0) = y0, y(x0) = 0
em um intervalo I, em que a equação é contínua.
Teorema da existência de única solução
Sendo Cn(x), Cn-1 (x), ..., C1(x), C0(x) e F(x) contínuos no intervalo I, dado que 
Cn(x) ≠ 0 em qualquer valor de x no intervalo, existirá somente uma única 
solução y(x) que satisfaça as condições iniciais no intervalo I.
Verificar que g(a) = 3e2a + e–2a – 3a é uma solução para:
com:
Equações diferenciais de ordem superior2
Solução:
A princípio, numa equação diferencial, seus coeficientes e F(a) =12a são contínuos, 
e C2 = 1 ≠ 0 em qualquer intervalo que contenha a = 0. Tendo essas informações, 
pode-se confirmar a existência de única solução, como diz o teorema.
Substituindo os valores de a para as condições iniciais:
Derivando-se g:
A função g(a) = 3e2a – 2e–2a – 3a é a única solução para a equação diferencial de 
ordem dois, pois atende às condições do teorema e iniciais.
Dependência e independência linear 
Dado um conjunto de funções num intervalo I, existindo constantes k1, k2, ..., kn 
não nulas:
Afirma-se que as funções são linearmente dependentes e, caso contrário, 
as são linearmente independentes (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Existindo duas funções linearmente dependentes:
Reescrevendo a equação, isolando-se f1(x):
Assim, para todo valor de x, funções linearmente dependentes são múltiplas 
umas das outras. Ao contrário, são linearmente independentes.
3Equações diferenciais de ordem superior
Prove que as funções f1(x) = sen(2x) e f2(x) = sen(x) ∙ cos(x) são linearmente dependentes.
Primeiramente, deve-se utilizar a relação trigonométrica para sen(2x) = 2sen(x) ∙ cos(x).
Assim:
Critério para independência linear de funções
Chama-se Wronskiano o valor do determinante das funções de uma equação 
diferencial, supondo-se que cada função seja diferenciável n – 1 vezes.
Caso o determinante seja igual a zero em algum ponto do intervalo I, 
as funções são linearmente independentes no intervalo. O Wronskiano das 
funções é denotado por:
Equações diferenciais de ordem superior4
Calcular o Wronskiano das funções a seguir e verificar se são linearmente dependentes 
ou independentes.
Como W ≠ 0, as funções são linearmente independentes.
Equações diferenciais homogêneas e não 
homogêneas
Uma equação diferencial de ordem n na forma demonstrada a seguir é clas-
sificada como homogênea.
Já, caso tenha a seguinte forma, é classificada como não homogênea (ZILL; 
CULLEN, 2001).
Equações diferenciais homogêneas 
Equações de ordem superior tendem a ter soluções exponenciais y = k1 ⋅ e–ax, 
como as de primeira ordem. Toma-se como exemplo a equação de segunda 
ordem a seguir:
5Equações diferenciais de ordem superior
A solução desse problema tem a forma y = epx, logo y' = pepx, y'' = p2epx. 
Então, a equação se torna:
Uma função exponencial nunca se anula, independentemente do valor de 
x. Portanto, é necessário que os coeficientes se anulem. Com isso, tem-se uma 
nova equação chamada equação auxiliar (ZILL; CULLEN, 2001).
Resolvendo a equação auxiliar, encontra-se o valor de p. Como, nesse caso, 
a equação diferencial é de ordem dois, a equação auxiliar é uma equação de 
segundo grau, para as quais existem três situações para suas raízes: duas 
raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais, raízes complexas conjugadas.
Raízes reais distintas 
A equação auxiliar tem duas raízes p1 e p2:
As duas funções encontradas são linearmente independentes, visto que 
uma não pode ser escrita como múltipla da outra. Assim, ambas formam um 
conjunto de fundamental solução. Para equações homogêneas, existe o teorema 
do princípio da superposição: para uma equação diferencial homogênea de 
ordem n, a superposição, a soma, das soluções é também uma solução dela. 
Sendo assim, pode-se escrever a função y como:
onde p1 e p2 são raízes da equação auxiliar, e k1 e k2 são constantes da função y.
Equações diferenciais de ordem superior6
Raízes reais iguais 
Quando p1 = p2, encontra-se, a princípio, apenas uma solução exponencial 
y1 = e
(p1x) para a equação. Porém, é possível chegar a uma nova solução a partir 
da primeira, por meio da redução de ordem. Ou seja, a equação de ordem 
dois é reescrita como uma equação de ordem um, ao fazer y′ = w, podendo 
ser novamente resolvida por método integrativo. 
Pela resolução, encontra-se que:
Raízes complexas conjugadas 
Sendo p1 e p2 complexas conjugadas, pode-se escrever:
onde k1 e k2 são constantes da função y.
Essa solução, formalmente, não tem distinção em relação ao caso de duas 
raízes reais. Entretanto, utiliza-se a fórmula de Euler para que não se trabalhe 
com funções exponenciais complexas.
cos sen
Pode-se escrever a solução da equação diferencial como:
cos sen
7Equações diferenciais de ordem superior
Resolva o problema de valor inicial f'' – 4f' + 13f = 0, sujeito a f(0) = –1 e f'(0) = 2.
A equação diferencial linear de ordem dois tem como equação auxiliar:
Resolvendo a equação auxiliar, encontra-se duas raízes complexas: m1 = 2 + i3 e 
m2 = 2 – i3.
Sendo assim, pode-se escrever f como:
cos sen
Para a condição f(0) = –1, tem-se:
cos sen
Logo, k1 = –1.
Derivando a função solução, tem-se:
sen cos cos sen
Para f'(0) = 2, encontra-se , portanto:
cos sen
Para equações de ordem n, deve-se encontrar a equação auxiliar, que é 
polinomial de grau n:
Para o caso de todas as raízes serem reais e distintas, a solução geral tem 
a forma:
Devido ao maior grau do polinômio, existem as mais diversas combinações 
de raízes.
Equações diferenciais de ordem superior8
Encontre a solução geral para y(4) – y = 0, satisfazendo as condições iniciais:
A função y tem forma eax, com equação auxiliar:
As raízes da equação são:
Dadas as raízes, a solução geral é:
sen
Aplicando as condições iniciais, encontra-se o sistema:
Resolvendo o sistemas, tem-se:
Logo, a solução geral será:
sen
9Equações diferenciais de ordem superior
Equações diferenciais não homogêneas
Para resolver equações lineares não homogêneas, é necessário seguir dois 
passos:
 � encontrar a função complementar, que é a solução da equação diferencial 
homogênea associada;
 � encontrar qualquer solução particular para a equação não homogênea.
Como visto anteriormente, uma equação não homogênea de segunda ordem 
tem a forma:
O método utilizado é o dos coeficientes a serem determinados utilizando-se 
o teoremada superposição. Esse método se limita a equações não homogêneas 
de coeficientes constantes, e a função pode ser: polinomial, exponencial, seno, 
cosseno ou soma e produto dessas (ZILL; CULLEN, 2001).
Encontrar a solução particular da equação y'' + 2y' – 3y = x2 – 3x – 10.
Resolvendo a parte homogênea associada, encontra-se a solução complementar:
Agora, deve-se chegar à solução particular, supondo que ela tenha a mesma forma 
da função f(x).
Derivando a solução particular duas vezes, conforme a equação homogênea 
associada:
Equações diferenciais de ordem superior10
Assim:
Agrupando por coeficientes do polinômio, chega-se em:
Com isso, encontra-se a equação particular:
A solução geral é a superposição da equação complementar e particular:
Determine a solução particular para: y'' + 3y' – 4y = 2 ∙ sen2x.
A solução particular tem a forma: A ∙ cos 2x + B ∙ sen 2x.
Derivando e substituindo a solução particular na equação diferencial:
–A ∙ cos x – B ∙ sen x + 3 ∙ (–A ∙ sen x + B ∙ cos x) – 4 ∙ (A ∙ sen x + B ∙ cos x) = 2 ∙ sen x
e reagrupando os termos:
Logo: 
11Equações diferenciais de ordem superior
Determine a solução particular para:
A solução particular tem forma:
Derivando e substituindo a solução particular na equação diferencial:
e reagrupando os termos:
Logo:
No momento da resolução para encontrar a solução particular, não se escolhe a função 
de forma aleatória. A função da solução particular, normalmente, tem forma parecida 
com a função f(x). Veja, no Quadro 1, a relação entre f(x) e yp.
Quadro 1. Relação f(x) e yp.
f(x) Forma de yp
1 (constante) A
ax + b Ax + b
Equações diferenciais de ordem superior12
f(x) Forma de yp
ax2 + b + c Ax2 + b + c
Ax3 + bx2 + cx + d Ax3 + Bx2 + Cx + D
sen (ax) A ∙ cos(ax) + B ∙ sen(ax)
cos (ax) A ∙ cos(ax) + B ∙ sen(ax)
eax A ∙ eaxt
(ax – b) ∙ ecx (Ax – B) ∙ ecx
x2 ∙ eax (Ax2 + Bx + C) ∙ eax
eax ∙ sen(bx) A ∙ eax ∙ cos(bx) + B ∙ eax ∙ sen(bx)
ax2 ∙ sen(bx) (Ax2 + Bx + C) ∙ cos(bx) + (Dx2 + Ex + F) ∙ sen(bx)
Problemas aplicados
Muitos sistemas físicos são modelados por meio de equações diferenciais 
lineares, como a equação de movimento em sistema massa-mola ou a corrente 
elétrica em um circuito RLC série, mostrado na Figura 1.
Figura 1. Circuito RLC série.
13Equações diferenciais de ordem superior
Aplicando-se a lei de Kirchhoff, a soma das tensões deve ser igual a zero 
em uma malha.
Como corrente é a variação temporal da carga elétrica, reescreve-se a 
equação como:
Para o circuito da Figura 1, encontrar a carga q(t) no capacitor, sendo q(0) = q0 e 
i(0) = 0, e(t) = 0.
Escrevendo a equação diferencial:
,
e reescrevendo-a:
encontra-se uma equação diferencial linear homogênea de ordem dois. Portanto, 
deve-se encontrar e resolver a equação auxiliar:
que tem como raízes: t1 = –20 + 60i e t2 = –20 – 60i.
A equação diferencial do circuito tem como solução geral:
Equações diferenciais de ordem superior14
Aplicando-se as condições iniciais:
a equação para a carga no circuito é:
No link a seguir, você poderá entender melhor a lei de Kirchhoff para tensão, aprenderá 
o que é uma malha ou um nó e a convenção de sinais para o cálculo das malhas.
https://qrgo.page.link/u2Hwd
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 607 p. 
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais, volume 1. 3. ed. São Paulo: Pearson; 
Makron Books, 2001. 473 p.
Leitura recomendada
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. 672 p. 
15Equações diferenciais de ordem superior