Reproducao SP Fisica 1 unidade 3 capitulo 8

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Capítulo
Neste capítulo
8
 1. Relação entre 
equilíbrio e força
 2. Movimento 
rotacional
 3. Torque
 4. Centro de massa
 5. Alavancas
 6. Polias
 7. Engrenagens
Equilíbrio
Pense e responda
1. Relacione a palavra equilíbrio à fotografia acima. Depois, redija um pequeno texto 
explicando as relações que você fez.
2. Faça uma lista de situações do dia a dia em que você identifica corpos em equilíbrio.
Por que estudar...
... equilíbrio: 
aprofunda o estudo de situações ``
envolvendo movimentos.
... alavancas:
permite compreender mais facil-``
mente o conceito de torque;
facilita a compreensão da Física ``
envolvida nos movimentos do cor-
po humano.
... polias:
permite compreender a execução ``
de ações do cotidiano, como o 
ato de erguer objetos;
possibilita a compreensão dos me-``
canismos de transmissão de movi-
mentos nos motores.
Apresentação de contorcionista do grupo Acrobatas chineses, em Beijing, na China. O equilíbrio desses objetos 
de vidro é conseguido depois de muito treino com técnicas próprias dessa atividade circense.
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1. Relação entre equilíbrio e força
Serão estudadas algumas das situações do capítulo anterior, sobre as forças 
aplicadas em um corpo. Aqui o enfoque será o equilíbrio translacional dos 
corpos, que é resultado das forças aplicadas quando a soma total tem re-
sultante nula.
Estar em equilíbrio significa dizer que a força resultante que age em 
um corpo ou sistema é nula.
Ou seja, existem forças aplicadas no corpo, mas a soma vetorial dessas for-
ças é igual a zero (mais adiante, será explicado por que essa condição, apenas, 
não é suficiente para garantir a condição de equilíbrio de um corpo).
O equilíbrio translacional pode ser estático ou dinâmico, como está apre-
sentado no quadro a seguir.
Observa-se que no equilíbrio dinâmico necessariamente há movimento. 
Por exemplo, uma bicicleta sem condutor e parada não se mantém em equilí-
brio na posição vertical, mas quando está em movimento dado pelo condutor 
esse equilíbrio é possível. Cabe observar que o movimento da bicicleta en-
volve muitas variáveis. Por essa razão, ao citá-lo como exemplo de equilíbrio 
dinâmico, é preciso deixar claro que se está referindo a uma situação particu-
lar: a bicicleta está em linha reta e velocidade constante (movimento retilíneo 
uniforme). Nessa situação, a força resultante é nula, como se pode observar 
na fotografia ao lado.
Nas situações em que não se está em movimento retilíneo uniforme (caso 
de movimentos circulares ou rotacionais e demais movimentos variados), as 
forças externas aplicadas causam aceleração do corpo. Nesses casos não se 
tem equilíbrio translacional dinâmico.
Portanto, o estudo do equilíbrio dos corpos exige uma retomada dos casos 
de movimentos circulares ou rotacionais.
Equilíbrio estático Equilíbrio dinâmico
velocidade nula velocidade módulo, direção e sentido não mudam
posição
não muda com o tempo (móvel parado em 
relação a determinado referencial)
posição varia com o tempo
Exemplos Exemplos
Ficar em pé. Andar de bicicleta.Manter livros apoiados 
sobre a cabeça.
Caminhar em uma corda 
suspensa.
Na bicicleta em equilíbrio dinâmico agem 
as forças N (normal), P (peso), Fm (força 
motriz) Far (resistência do ar) e Fat (atrito). 
Se a força resultante é nula, trata-se de 
um movimento retilíneo uniforme.
Perder o equilíbrio não é cair
A palavra equilíbrio é usual-
mente ligada ao sentido de 
“não deixar cair”. Em Física, 
entretanto, um corpo não está 
em equilíbrio quando há varia-
ção de sua velocidade vetorial, 
ainda que ele não esteja caindo. 
Portanto, um ciclista em uma 
bicicleta, ao fazer uma curva, 
não é considerado em equilíbrio 
pela Física porque está modifi-
cando sua velocidade vetorial, 
ainda que não esteja caindo. 
Parece, mas não é
 
 ____
 
›
 N 
 
 ___
 
›
 F r
 
 ___
 
›
 P 
 
 ___
 
›
 F m
 
 ___
 
›
 F at
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Equilíbrio8
2. Movimento rotacional
No capítulo 5 foram definidos os movimentos circulares, com destaque 
para o movimento circular uniforme (MCU). Agora serão estudados movi-
mentos de rotação diferentes do MCU, em especial os que ocorrem em cor-
pos rígidos (que não sofrem deformações consideráveis) e giram em torno de 
um eixo fixo. São exemplos desses movimentos: uma roda-gigante entrando 
em movimento, uma porta abrindo-se ou fechando-se, um bambolê girando 
em torno do corpo de uma pessoa.
O movimento rotacional é mais abrangente do que o movimento circular 
uniforme. A tabela a seguir mostra uma comparação entre esses dois tipos 
de movimento.
Corpo extenso  
Nos movimentos rotacionais, as diversas partes do corpo giram com velo-
cidades lineares e acelerações lineares diferentes. Nesse caso estuda-se o cor-
po não como um ponto material, mas como um corpo extenso, cujas dimen-
sões não podem ser desprezadas em relação às demais dimensões envolvidas 
em seu movimento.
Força em um corpo extenso e braço da alavanca
Quando uma força é aplicada na maçaneta de uma porta para abri-la, por 
exemplo, todo o conjunto que compõe a porta se desloca. Isso acontece por-
que a ação de uma força em um corpo extenso é percebida por todo o corpo, 
mesmo que a força seja aplicada em apenas um ponto.
Em corpos extensos, a força gera diferentes consequências. Dependendo do 
local em que ela é aplicada, o corpo pode se deslocar linearmente, entrar em 
rotação ou realizar ambos os movimentos. Para abrir ou fechar uma porta, por 
exemplo, a força aplicada é perpendicular ao movimento e seus efeitos depen-
dem do lugar em que ela é aplicada, como se vê no esquema ao lado. É mais 
fácil movimentar uma porta aplicando força em um ponto mais distante de seu 
eixo de rotação; por isso as maçanetas ficam mais afastadas das dobradiças.
Assim, não é suficiente saber o valor da força para descrever um movimen-
to rotacional. É necessário conhecer a distância do eixo até o ponto em que a 
força é aplicada. Essa distância chama-se braço da alavanca (b).
braç
o da
 
alav
anca
 (b)
F
eixo
Neste esquema de uma porta sendo aberta 
vê-se que a força F aplicada é perpendicular 
à porta. A mesma força aplicada em 
diferentes distâncias em relação ao eixo 
giratório apresenta graus de dificuldade 
variados. A distância entre o eixo e o ponto 
de aplicação da força é chamada de braço da 
alavanca (b) de uma força.
TIPOS DE MOVIMENTO
Variáveis Movimento circular uniforme Movimento rotacional
velocidade angular constante constante ou variada
aceleração angular nula nula, constante ou variada
velocidade linear
módulo constante 
(para um dado ponto de um corpo)
módulo constante ou variado 
(para um dado ponto de um corpo)
análise de forças
a resultante centrípeta altera a direção da 
velocidade e não seu módulo.
a força resultante é capaz de variar o módulo da 
velocidade
exemplos
Movimento contínuo dos ponteiros de um relógio. Movimento da porta abrindo-se ou fechando-se.
12 1
6
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F
b
�
Ponto de rotação
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3. Torque
A rotação depende da intensidade da força aplicada no corpo e do braço da 
alavanca em relação ao eixo de rotação. A combinação da força com o seu bra-
ço de ação leva ao conceito de torque (τ), como se vê na figura ao lado.
O esquema ao lado representa uma força 
 ___
 
›
 F 
aplicada para provocar uma rotação em um 
corpo, com braço b, que faz um ângulo  com 
o eixo de rotação.
Desse esquema pode-se concluir que o torque é dado pela expressão apre-
sentada a seguir.
 τ 5 F ? b ? sen  
No SI, a unidade de medida de torque é N ? m.
O torque é uma grandeza vetorial. Para determinar seu sentido, pode-se 
utilizar a regra da mão direita, que consiste em girar os dedos da mão direi-
ta no mesmo sentido da rotação e manter o polegar esticado durante o giro, 
como mostra a ilustração ao lado. O sentido para o qual aponta o polegar é o 
sentidodo torque. 
Os sentidos de torque perpendiculares ao plano da folha do livro são apre-
sentados a seguir.
 indica na folha um vetor entrando no eixo de apoio o;
 indica na folha um vetor saindo do eixo de apoio o.
Análise de casos envolvendo torque  
Os esquemas a seguir representam a mesma barra pendurada em um eixo 
e submetida à ação da mesma força F em diferentes circunstâncias.
Situação 1 Situação 2 Situação 3
Força aplicada perpendicularmente 
( 5 90°); braço b1
Força aplicada com uma inclinação 
 , 90°; braço b1 5 b2
Força perpendicular aplicada no meio da 
barra; braço b3 , b1
Força perpendicular:  5 90°, sen  5 1
τ1 5 F ? b1
 5 45°, sen  5 0,7
τ2 5 F ? b2 ? 0,7
 5 90°, sen  5 1
τ3 5 F ? b3
Conclusão: O máximo valor possível do 
torque para essa força e braço.
Conclusão: Os braços b1 e b2 são iguais, 
mas τ2 , τ1 devido à diferença na 
inclinação da força aplicada.
Conclusão: Como b3 , b2, então τ3 , τ1.
Um exemplo de torque é o movimento que 
se faz com as mãos para desarrolhar a 
tampa de uma garrafa de refrigerante.
F
eixo o torque�
F
eixo o torque
> Na regra da mão direita, o 
polegar aponta para a direção 
do torque, enquanto os 
demais dedos devem apontar 
para o sentido da rotação.
b
1
F
F
�
b
2
F
b
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R
Q
P
F
1
F
2
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Equilíbrio8
Exercício resolvido
Duas crianças brincam em uma gangorra. Seus 1. 
pesos são PA 5 400 N e PB 5 500 N; a distância do 
ponto de apoio para ambas é de 2 m. A criança 
B permanece na parte de baixo da gangorra e 
do lado esquerdo; a criança A fica suspensa no 
lado oposto.
a) Usar o conceito de torque para explicar como 
a criança B consegue suspender a criança A.
b) Calcular o torque resultante em relação ao 
ponto de apoio.
c) Determinar o sentido do torque resultante cal-
culado no item b.
d) Em relação ao ponto de apoio, calcular a posi-
ção da criança B para que a prancha permane-
ça em equilíbrio. Considerar que, em equilíbrio, 
o torque resultante deve ser nulo.
Resposta
a) Os torques estão sendo aplicados em senti-
dos diferentes. Os pesos de ambas as crianças 
atuan do sobre a prancha da gangorra geram 
os torques, e o torque resultante é responsável 
pelo movimento de rotação. As crianças têm 
pesos diferentes e estão à mesma distância do 
ponto de apoio. Por essa razão, a criança mais 
pesada tem maior torque do que a mais leve.
b) Para calcular o torque resultante, calcula-se o 
torque para cada criança para depois somá-los 
vetorialmente.
Calculando o torque de A.
τA 5 PA ? b ä τA 5 400 ? 2 5 800 N ? m
Calculando o torque de B.
τB 5 PB ? b ä τB 5 500 ? 2 5 1 000 N ? m
Calculando o torque resultante (adotar o eixo 
de referência apontando para cima).
τ 5 τA 1 τB 5 (800) 1 (21 000) 5 2200 N ? m
c) O sentido de rotação é anti-horário: . Usan-
do a regra da mão direita, obtém-se que o tor-
que está apontando para fora da página: .
d) Para a prancha ficar em equilíbrio, é neces-
sário que os torques se anulem. Matematica-
mente: τA 1 τB 5 0.
 O torque de A não muda: τA 5 800 N. O torque 
de B pode ser escrito como:
τB 5 500 ? bB
 Então: τA 1 τB 5 0 ä 800 1 (2500 ? dB) 5 0.
 2500 ? bB 5 2800. Deixando dB em evidência:
dB 5 
2800 ______ 
2500 5 1,6 m
 A distância do ponto de apoio a que a criança 
B deve se sentar é de 1,6 m.
Na figura a seguir, o ponto 2. P é o ponto de apoio da 
rotação. A barra tem 60 cm de comprimento. São 
exercidas duas forças, F1 no ponto R, na metade da 
barra, e F2 no ponto Q, na extremidade. Despreze o 
peso da barra.
a) Se F1 5 10 N e F2 5 6 N, determine o sentido em 
que a barra vai girar.
b) Calcule o torque resultante.
c) Se F2 5 6 N, calcule o valor mínimo de F1 para 
que o sistema permaneça em equilíbrio.
Um parafuso muito apertado necessita da aplicação 3. 
de um torque igual a 150 N ? m para se soltar. Calcu-
le o valor da força aplicada, 
considerando a figura a se-
guir e desprezando o peso 
da ferramenta.
Duas pessoas estão sentadas em uma gangorra em 4. 
equilíbrio. O peso da moça, à esquerda, é igual a 
500 N e sua distância em relação ao ponto de apoio 
é igual a 2 m. O rapaz, à direita, tem peso igual a 
625 N. Determine a distância do rapaz em relação ao 
ponto de apoio, desprezando o peso da gangorra.
Há vitrolas (antigos instrumentos para reprodução 5. 
de música por discos analógicos) que tocam dis-
cos de vinil a uma velocidade constante de 33 rpm 
(rotações por minuto). Nessa situação, identifique 
se existe torque no disco. Justifique sua resposta. 
Se necessário, 
faça uma pes-
quisa sobre o 
funcionamento 
de uma vitrola.
Exercícios propostos
Vitrola
2 m ?
F
d � 15 cm
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4. Centro de massa
Em cinemática é possível usar uma aproximação que considera um cor-
po relativamente grande como um ponto material, desde que se possam des-
prezar suas dimensões. Para corpos extensos, cujas dimensões não podem 
ser desprezadas, uma aproximação adequada é feita por meio do conceito de 
centro de massa.
O centro de massa de um corpo ou de um sistema é um ponto no qual 
se considera que toda a massa desse corpo ou sistema está concentrada, de 
modo que, quando há forças externas atuando nele, tudo acontece como 
se a resultante fosse aplicada nesse ponto.
De acordo com essa definição, a trajetória do centro de massa corresponde 
à trajetória do corpo como um todo e é igual à trajetória de um ponto mate-
rial representativo desse corpo. Nos esquemas a seguir, as trajetórias descritas 
pelos centros de massa (CM) estão indicadas pelos pontos vermelhos.
Determinação do centro de massa  
A localização do centro de massa de um corpo depende de sua geometria 
e da distribuição de sua massa. O centro de massa pode não estar necessa-
riamente dentro do corpo. Um anel e um disco circular, por exemplo, têm o 
centro de massa no centro do círculo. Nas figuras geométricas simétricas, 
como o quadrado, o retângulo, o triângulo e os polígonos regulares, o centro 
de massa corresponde ao centro geométrico da figura. Exemplos a seguir.
Em corpos bidimensionais (de espessura desprezível) que podem ser re-
presentados por figuras geométricas não simétricas (irregulares), o centro 
de massa pode ser determinado de maneira simples: pendura-se o corpo por 
uma de suas extremidades e risca-se uma linha vertical sobre ele; pendura-se 
novamente o corpo por outra extremidade e traça-se outra linha cruzando a 
primeira linha traçada. No ponto em que as linhas traçadas se cruzam está o 
centro de massa desse corpo, como se vê nestes esquemas.
Esquemas da trajetória do centro de massa de um bastão lançado e de um atleta realizando 
um salto. Em ambos os casos verifica-se que a trajetória do centro de massa corresponde à 
trajetória de um ponto material.
Repetindo-se o 
procedimento em outro 
ponto. O centro de massa 
é localizado exatamente 
no ponto de cruzamento 
das duas retas.
Objeto de forma 
irregular fixado em 
uma extremidade 
(ponto vermelho) e 
com a linha vertical 
já traçada.
Centro de massa e centro 
de gravidade
O centro de massa (CM) re-
presenta o ponto geométrico 
de um corpo onde sua massa 
pode ser localizada, de modo 
que a força resultante ali apli-
cada gere o mesmo efeito dinâ-
mico da mesma força resultante 
aplicada no corpo que ele repre-
senta. Quando a força resultan-
te é gravitacional, esse ponto 
também pode ser chamado de 
centro de gravidade (CG). No 
entanto, o centro de massa e 
o centro de gravidade não são 
sempre coincidentes.
Ligado ao tema
Coloca-se o boneco de madeira pelo 
seu centro de gravidade no anteparo; 
o boneco não cai porque a maior parte de 
sua massa, que está concentrada neste 
ponto, está equilibrada.
CM
CM
CM CM CM CM CM
CM
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Equilíbrio8
Exercício resolvido
Um banco de praça é feito de cimento, pesa 1 000 N 6.	
e tem 4 metros de comprimento. Seus dois apoios, 
A e B, com o chão estão a 0,5 m das extremidadesdo banco. Uma pessoa de peso igual a 600 N está 
sentada a 1,5 m da extremidade direita.
a) Construir um desenho e representar todas as 
forças que agem no banco.
b) Determinar a distribuição de peso em cada um 
dos apoios.
Resposta
Dados: peso do banco: PB 5 1 000 N; peso da pes-
soa: Pp 5 600 N.
a) O peso do banco é colocado sobre o centro de 
massa; as forças normais (N1 e N2) são realiza-
das por cada um dos pés.
b) O conjunto está em equilíbrio; portanto, a 
soma das forças é nula: N1 1 N2 2 PB 2 PP 5 0. 
Substituindo os valores de PB e Pp, tem-se:
N1 1 N2 2 1 000 2 600 5 0
N1 1 N2 5 1 600
A soma dos torques também é nula:
τN1 1 τN2 2 τB 2 τP 5 0
Torques no apoio A
Torque da força normal 1 em relação ao apoio A:
τN1 5 b ? N1
O braço da força é nulo, portanto: τN1 5 0.
Torque do peso do banco atuando sobre o cen-
tro de massa: τB 5 bB ? PB.
O braço é igual a 1,5 m em relação ao apoio A. 
Portanto: τB 5 1,5 ? 1 000 5 1 500 N.
Torque do peso da pessoa: τP 5 bP ? PP.
O braço é igual a 2,0 m em relação ao apoio A.
Portanto τP 5 2,0 ? 600 5 1 200 N.
Torques no apoio B
Torque da força normal 2 em relação ao apoio B:
τN2 5 bN ? N2
O braço é igual a 3 m: τN2 5 3 ? N2.
Usando a condição de equilíbrio dos torques e 
substituindo os valores: τN1 1 τN2 2 τB 2 τP 5 0.
0 1 3 ? N2 2 1 500 2 1 200 5 0
3 ? N2 5 2 700 ä N2 5 900 N
Lembrando que N1 1 N2 5 1 600:
N1 1 900 5 1 600 ä N1 5 700 N
0,5 m 0,5 m
1,5 m
4 m
N1 N2
PB
PP
Uma barra homogênea está apoiada em dois cava-7.	
letes, conforme a figura a seguir.
O peso da barra é de 450 N e o comprimento é 
de 9 m.
a) Reproduza o desenho em seu caderno e repre-
sente todas as forças que atuam nessa barra.
b) Tomando como referência o cavalete B, escreva 
a equação de equilíbrio dos torques.
c) Calcule a força normal aplicada pelo cavalete A 
e o cavalete B na barra.
Um caminhão para sobre uma ponte a 25 m de seu 8.	
início. A ponte tem 100 m, pesa 105 N e está apoiada 
em pilares nas duas extremidades. O peso do cami-
nhão é de 104 N.
Calcule o incremento na força de reação dos pila-
res, devido à presença do caminhão, enquanto ele 
estiver parado.
Dois carregadores levam um bloco de pedra, que 9.	
pesa 1 000 N, suspenso em uma haste rígida de 
2,0 m e com peso igual a 100 N. O bloco está a 
0,5 m do carregador A e a 1,0 m do carregador 
B. Calcule a força sobre o ombro de cada car-
regador.
Diferencie centro de massa e centro de gravidade.10.	
Identifique a localização aproximada do centro de 11.	
massa do corpo humano. Dica: observe a imagem 
que abre este capítulo.
Exercícios propostos
A B
0,5 m3,0 m
0,5 m 1,0 m
A B
25 m
100 m
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221
Esses instrumentos servem, basicamente, para ampliar a força aplicada, fa-
cilitando a movimentação de objetos. Pesquisas arqueológicas mostram que 
diversas construções antigas foram erguidas com a ajuda de alavancas: as pi-
râmides do Egito e do Império Inca são alguns exemplos. As alavancas conti-
nuam presentes tanto em grandes obras arquitetônicas quanto em objetos do 
cotidiano, como abridores de garrafa, tesouras, pinças e freios de bicicleta.
5. Alavancas
Por tornar possível ou facilitar a realização de certas atividades, alguns ins-
trumentos simples, como as alavancas, têm sido fundamentais na história da 
humanidade. O funcionamento das alavancas baseia-se no conceito de torque.
Equilíbrio de uma alavanca  
A figura representa um sistema de alavan-
cas envolvendo dois corpos de massas diferen-
tes, em equilíbrio. A massa maior está a uma dis-
tância menor do ponto de apoio (b1) e a massa 
menor está a uma distância maior (b2) do ponto 
de apoio. As forças F1 e F2 equilibram-se com as 
normais N1 e N2. O peso da barra é desprezado.
O torque τ1 é causado pela massa 1; o torque τ2, pela massa 2. A condição 
de equilíbrio é expressa matematicamente a seguir:
 
 __
 
›
 τ  1 1 ( 
 __
 
›
 τ  2) 5 0 ou 
 __
 
›
 τ 1 5 
 __
 
›
 τ 2
Lembrando que o torque foi definido como τ 5 F ? b para uma força per-
pendicular ao eixo de apoio, então:
F1 ? b1 5 F2 ? b2   1a condição de equilíbrio de uma alavanca (equilíbrio rotacional)
Existe ainda outro tipo de equilíbrio a ser considerado: o equilíbrio das for-
ças atuando no sistema, que ocorre quando a força resultante é nula. Aplicada 
à figura anterior, essa informação fornece outra condição de equilíbrio:
F1 1 F2 5 N1 1 N2   2a condição de equilíbrio de uma alavanca (equilíbrio translacional)
Ou seja, as forças aplicadas para baixo (F1 e F2) são equilibradas pelas for-
ças normais (N1 e N2) sem que estas necessariamente estejam atuando no 
mesmo ponto no sistema de alavancas. Mas a força resultante que age no cen-
tro de massa é nula.
Galileu e o peso da 
alavanca
“[...]  se  imaginamos  uma 
alavanca,  ou  seja,  esta,  BA,  a 
qual, colocada sobre o ponto de 
apoio E,  é usada para  levantar 
uma  pedra muito  pesada, D,  é 
evidente, de acordo com o prin-
cípio demonstrado, que a força 
aplicada na extremidade B será 
suficiente  para  equilibrar  a  re-
sistência do grave D, desde que 
seu momento esteja para o mo-
mento D  na mesma proporção 
que a distância AC  tem para a 
distância  CB;  e  isto  é  verdade 
sem que se faça intervir outros 
momentos  além  daqueles  da 
força  aplicada  a  B  e  da  resis-
tência em D, como se a própria 
alavanca  fosse  imaterial e sem 
gravidade. Mas, se  levamos em 
conta  também  o  peso  do  pró-
prio  instrumento,  o  qual  pode 
ser de madeira ou de ferro, fica 
claro que, se acrescentarmos à 
força em B o peso da alavanca, 
a proporção será alterada, pelo 
que  devemos  expressá-la  em 
termos diferentes.”
Galilei, Galileu. Duas Novas Ciências. 
São Paulo: Nova Stella, 1988. p. 114.
Ligado ao tema
O freio da bicicleta é um 
sistema de alavanca.
Os alicates são constituídos 
por um sistema duplo de 
alavancas.
Alavancas são amplamente 
utilizadas na construção civil.
Alavancas são instrumentos usados para erguer objetos apoiados em 
uma de suas extremidades, reduzir o esforço ou ampliar uma força. São 
constituídas de uma barra e um ponto fixo de apoio. Devido a esse pon-
to de apoio, o movimento realizado é sempre de rotação em torno de um 
eixo, ainda que a rotação não seja completa.
B
CD
A
b
2
b
1
N
1
2
F
1
F
2
N
2
N
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A
F
R
F
P
A
F
P
F
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F
R
F
P
A
F
P
F
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F
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F
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F
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F
R
F
R
F
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F
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A
F
P
F
R
Força resistente (F
R
)
Força potente (F
P
)
Ponto de apoio (A)
A
F
R
F
P
FP
FP
A
FR
222
Equilíbrio8
Tipos de alavanca  
Há diversos tipos de alavanca. Em geral, a diferença entre elas depende do 
ponto em que as forças estão agindo em relação ao ponto de apoio. Essas for-
ças podem ser observadas no quadro a seguir.
Na figura da esquerda um homem utiliza uma alavanca para levantar 
uma pedra; a figura da direita esquematiza as forças presentes nessa situa-
ção. A força aplicada pelo homem chama-se força potente (FP). A força que 
a pedra exerce na alavanca, e que dificulta o movimento, é chamada força 
resistente (FR). Para que a alavanca funcione é necessário também um pon-
to de apoio (A).
Dessas classificações de forças podem-se definir três tipos de alavancas, 
mostradas no quadro a seguir.
Exemplo Esquema de forças
Alavanca interfixa: o ponto de apoio fica entre a força potente e a força resistente.
Alavanca interpotente: a força potente está entre o ponto de apoio e a força resistente. 
Alavanca inter-resistente: a força resistente está entre o ponto de apoio e a força potente.
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223
Alavancas do corpo humano  
Muitos robôs são projetados para imitar os movimentos do corpo humano, 
principalmente dos braços. Foi necessário primeiro entender como funciona 
o corpo humano, para depois projetar os robôs. Em especial, foi necessário 
entender as alavancas do corpo.
O corpo humano está repleto de alavancas naturais. As estruturasrespon-
sáveis pela execução de movimentos são as articulações, que servem como 
ponto de apoio, e os músculos, que exercem a força potente.
As figuras a seguir trazem exemplos de alavancas do corpo humano.
Braços
Situação 1
Mão segurando uma bola de chumbo
Situação 2
Mão puxando um cabo de cima para baixo
Força potente: aplicada pelo bíceps 
(músculo conectado ao braço).
Força resistente: aplicada na mão.
Ponto de apoio: cotovelo.
Força potente: aplicada pelo tríceps 
(músculo localizado na parte  
posterior do braço).
Força resistente: aplicada na mão.
Ponto de apoio: cotovelo.
Classificação: alavanca interpotente. Classificação: alavanca interfixa.
Cabeça
Situação 3
Movimentos da cabeça
Situação 4
Movimentos da mandíbula
Força potente: exercida pelo conjunto  
de músculos que saem das costas, 
passam pela nuca e se prendem na  
parte de trás do crânio.
Força resistente: é o próprio peso  
da cabeça — sem a musculatura que 
exerce a força potente, a cabeça  
penderia para baixo.
Ponto de apoio: encaixe do crânio  
com a coluna cervical. 
Força potente: exercida pelo músculo 
que se liga ao maxilar.
Força resistente: exercida pelos 
alimentos ao serem mastigados.
Ponto de apoio: ponto em que a 
mandíbula se encaixa no crânio.
Classificação: alavanca interfixa. Classificação: alavanca inter-resistente.
Para refletir
A pinça que se faz com o  `
polegar e o indicador da mão 
forma um dos instrumentos 
mais importantes do corpo 
humano. Estime quantas 
vezes e em quais atividades 
se utiliza, em um dia, o 
movimento de pinça entre os 
dedos indicador e polegar.
O joelho
1.   O  joelho age como a dobra-
diça de uma porta. As pontas 
do fêmur e da tíbia se encai-
xam de tal modo que a tíbia 
possa  descrever  um  ângulo 
de  quase  180  graus  —  para 
trás — em relação ao fêmur. 
A  patela  impede  que  esse 
osso dobre para a frente.
2.   Para que não haja movimen-
tos indesejados nessa articu-
lação, existem os ligamentos 
e  os  meniscos.  Os  ligamen-
tos  servem  para  manter  os 
ossos  firmes  em  seus  luga-
res. Os meniscos agem mais 
como  se  fossem  amortece-
dores entre a tíbia e o fêmur.
Disponível em: 
,http://www1.folha.uol.com.br/folha/
esporte/ult92u40109.shtml..
Acesso em: 26 maio 2009.
Ligado ao tema
bíceps
tríceps
​
​___
​
›
​FR  
​
​____
 
›
​FR​ 
​
​____
​
›
​FR​ 
​
​___
​
›
​FP  
​
​____
​
›
​FP  
​
​____
​
›
​FP  
A
A A
A
​
​___
​
›
​FP  
​
​___
​
›
​FR  
5P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 223 11.08.09 16:17:31
5 m0,7 m
barra
suporte
A B
apoio
0,5 m
F
2,0 m
224
Equilíbrio8
Exercícios resolvidos
Uma barra rígida e longa de peso desprezível está 12.	
apoiada apenas no ponto O, e pode girar vertical-
mente para ambos os lados. A distância do ponto 
A até O é de 1,5 m, e a distância do ponto B até O 
é de 0,5 m. Colocando-se um corpo cujo peso é 
420 N em uma de suas extremidades, conforme 
o desenho a seguir, determinar o valor da força F 
aplicada na extremidade oposta, para que o sis-
tema se mantenha em equilíbrio.
Resposta
Dados: distância AO 5 bW 5 1,5 m; distância 
BO 5 bF 5 0,5 m; PW 5 peso do corpo em W 5 420 N.
O torque devido ao peso em W é equilibrado pelo 
torque da força F. Esse equilíbrio se traduz na se-
guinte equação: τW 5 τF, em relação a O.
O torque é dado por τ 5 b ? F 
distância AO 5 1,5 m; bW 5 braço do peso; 
distância BO 5 0,5 m 5 bF 5 braço da força.
Segue-se, então:
τW 5 τF ä bW ? PW 5 bF ? F
Com a substituição dos valores:
0,5 ? 420 5 1,5 ? F
F 5 210 ____ 1,5 ä F 5 140
Resposta: F 5 140 N.
A figura abaixo mostra uma perna dobrada sen-13.	
do erguida pela aplicação exclusiva de esforço 
muscular.
a) Indicar o ponto de apoio.
b) Identificar onde é aplicada a for-
ça potente.
c) Indicar onde é aplicada a força resistente.
d) Identificar o tipo de alavanca.
Resposta
a) O joelho funciona como ponto de apoio.
b) A força potente é realizada pelo músculo co-
nectado à parte de cima da perna (seta azul).
c) A força resistente é realizada pelo peso da 
perna (seta vermelha)
d) A alavanca é interpotente, pois a força potente 
está entre o ponto de apoio e a força resistente.
Uma barra rígida e de massa desprezível tem um 14.	
corpo com peso de 60 N pendurado em uma de 
suas extremidades, conforme a figura abaixo.
Calcule o valor da força que deve ser exercida em 
B para que o sistema permaneça em equilíbrio.
Um garoto resolve virar uma pedra de 120 kg usan-15.	
do uma alavanca de 2,5 m. Ele monta o sistema a 
seguir.
Desprezando o peso da alavanca, determine o me-
nor valor de F para que o garoto consiga movimen-
tar a pedra.
A tesoura da figura abaixo é diferente das tesouras 16.	
comuns. Identifique o tipo de alavanca que ela re-
presenta.
O desenho a seguir representa a ação de sustentar 17.	
o peso do corpo na ponta dos pés.
a) Identifique o ponto de apoio.
b) Indique onde se aplica a força potente.
c) Indique onde se aplica a força resistente
d) Identifique o tipo de alavanca.
Exercícios propostos
O
WF
A B
5P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 224 13.08.09 08:56:25
As pirâmides do Egito
Muitos arqueólogos percorre-
ram as areias do deserto egípcio 
em busca de informações a res-
peito das pirâmides, cujas cons-
truções começaram em 2700 a.C. 
e se estenderam por centenas de 
anos. Outros lugares no mundo 
apresentam construções tão an-
tigas e imponentes como as pi-
râmides. Na América Latina, por 
exemplo, as pirâmides dos impé-
rios Inca e Maia também datam 
da Antiguidade; no Sudeste Asiá-
tico os monumentos de Angkor 
foram construídos entre os sécu-
los IX e XV.
Essas antigas construções 
têm em comum o uso de pe-
dras muito grandes e pesadas, 
cujo transporte dependeu de 
alavancas e polias disponíveis 
na época.
Fatos e personagens
225
6. Polias
Assim como as alavancas de um modo geral, as polias são exemplo de má-
quinas simples.
Uma polia é um mecanismo de rolamento associado a um eixo e um 
sistema de fixação por onde passa uma corda ou um cabo.
Há dois tipos de polia: fixa e móvel. Ambas funcionam como uma alavanca 
interfixa: uma extremidade da corda é presa à carga a ser deslocada, sendo 
essa a extremidade onde atua a força resistente; a outra extremidade é usada 
para puxar a corda e deslocar a carga, sendo esta a extremidade onde atua a 
força potente. No meio, a polia funciona como ponto de apoio.
Nos estudos de polias, neste livro, o 
cabo ou a corda que conecta todo o sistema 
é considerado ideal, ou seja, é tido como 
inextensível e com massa desprezível.
As fotografias a seguir mostram exem-
plos de uso de polias, no cotidiano.
Polia fixa  
Na polia fixa, o eixo de rotação é fixo em 
um suporte, como o teto, a parede de deter-
minado local ou um guindaste. O esquema ao 
lado é um exemplo desse tipo de polia.
Polia simples, com uma corda no sistema 
de fixação.
Os guindastes funcionam por meio de um sistema 
de polias.
Polia simples com um cabo de 
aço no sistema de fixação.
Os aparelhos de musculação geralmente 
são dotados de polias.
Esquema de uma polia com o eixo de rotação fixo 
em um teto. A força potente é exercida por uma 
pessoa ou por um guindaste que traciona o cabo; 
a força resistente é o peso do objeto; o ponto de 
apoio é o eixo de rotação da própria polia.
3P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 225 07.08.09 14:59:19
226
Equilíbrio8
Polia móvel  
Num sistema com duas ou mais polias, polia móvel é aquela conectada ao 
cabo e a nenhum suporte fixo, podendo se mover à medida que há movimen-
to do cabo.
A principal característica da polia móvel é sua capacidade para realizar a 
força resistente no gancho e a força potente por meio de dois pontos distintos, 
um de cada lado da roldana, como mostra o quadro a seguir.
Nesse exemplo, com o sistema completo em equilíbrio estático, a roldana 
móvel se sustenta por uma corda presa ao teto em uma de suas extremida-
des e na outra a corda é mantida segura para cima por uma pessoa. Assim, a 
força resistente (que é a força peso) é equilibrada pela força potente realiza-da pelo teto (T1) e pela pessoa que puxa o fio (T2) para cima. Portanto, como 
mostrado a seguir.
T1  T2  P  0 mas T1  T2  T, portanto 2T  P ä T  P __ 2 
Como o fio é ideal, o módulo de T1 é igual ao de T2 e o valor da tração que 
a pessoa realiza na corda da roldana móvel para sustentar a carga é a metade 
do peso do objeto. A outra metade da força potente é realizada pela corda que 
está amarrada ao teto (T1).
Uma das vantagens da polia móvel é permitir o equilíbrio estático de um 
objeto com a aplicação de uma força potente menor que a força resistente.
Associação de polias móveis  
Para diminuir o valor da força potente no sistema, as polias móveis podem 
ser associadas entre si. Quanto maior o número de polias, menor será o valor 
da força potente.
Há várias maneiras de associar polias. A seguir, são apresentadas duas delas.
Exemplo Esquema de forças
Associação de n polias fixas 
com n polias móveis
Associação de n polias móveis, 
de eixos distintos, com uma polia fixa
A relação entre o número de polias móveis, 
a força potente e a força resistente é dada por:
FP  
FR
 _____ 2 ? n  
em que n é o número de polias 
móveis.
Por exemplo, no caso de 
duas polias móveis, como no 
esquema ao lado, tem-se:
FP  
FR
 _____ 2 ? 2   ä FP  
FR
 __ 4 
A força potente é quatro vezes 
menor que a força resistente.
A relação entre o número de 
polias móveis, a força potente e 
a força resistente é dada por:
FP  
FR
 __ 2n  
em que n é o número 
de polias móveis.
Por exemplo, no caso de 
três polias móveis, como no 
esquema ao lado, tem-se:
FP  
FR
 __ 
23
 ä FP  
FR
 __ 8 
A força potente é oito vezes 
menor que a força resistente.
Força
 
potente: T
1
Força potente: T
2
Força 
 
resistente: P
4P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 226 10.08.09 20:34:37
polia 2
peso da carga � 100 N
polia I
peso da carga � 240 N
1
2
Fixa
polia 1
peso da carga � 100 N
polia II
peso da carga � 240 N
227
Exercício resolvido
Em cada uma das polias representadas abaixo, 18.	
fazer o que se pede.
a) Desenhar o vetor que representa a força po-
tente e o vetor que representa a força resis-
tente.
b) Calcular o valor da força potente.
Resposta
a) Desenho das forças potentes e resistentes.
b) Cálculo da força potente.
Polia 1 — a força resistente tem intensidade 
igual ao peso do objeto:
FR 5 P ä FR 5 100 N
Nessa situação, a polia é fixa, portanto o mó-
dulo da força potente é igual à força resis-
tente:
FP 5 FR ä FP 5 100 N
Polia 2 — a força resistente tem intensidade 
igual ao peso do objeto:
FR 5 P ä FR 5 100 N
Nessa situação, a polia é móvel, portanto, a 
força potente se divide:
FP 5 
FR
 __ 2 ä FP 5 
100 ____ 2 ä FP 5 50 N
Esquematize no caderno cada uma das polias a se-19.	
guir e, para cada caso, faça o que se pede.
a) Desenhe o vetor que representa a força potente.
b) Desenhe o vetor que representa a força resistente.
c) Calcule o valor da força resistente.
d) Calcule o valor da força potente.
No quadrinho, todas as polias são fixas.20.	
a) Explique o que ocorrerá com o peso do elefante 
pelo uso do sistema de polias representado no 
quadrinho.
b) No caderno, desenhe um sistema de polias de 
modo que o macaquinho consiga levantar o ele-
fante sem muito esforço.
Exercícios propostos
Certo, certo, você venceu: você pode 
me levantar com uma só mão...
Força resistente
100 N
FT F
Força resistente
100 N
5P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 227 11.08.09 16:35:31
R
A
R
B
228
Equilíbrio8
7. Engrenagens
Nos motores encontram-se estruturas com as mais diversas funções, como 
transmitir movimentos, exercer torques e aplicar forças. As engrenagens asso-
ciadas ao funcionamento dos motores são especialmente importantes. As fo-
tografias desta página trazem exemplos de engrenagem.
Engrenagens são rodas dentadas colocadas em contato entre si pelo en-
caixe dos dentes, com a função de aumentar ou diminuir o torque ou a 
velocidade.
Um dos mais simples sistemas de engrenagens é o de transmissão por cor-
rente, como em uma bicicleta. Nesse caso, o “motor” são as pernas que giram 
o pedal e colocam o sistema em movimento.
Podem-se conectar duas ou mais engrenagens entre si. Um exemplo 
dessa associação é o relógio de corda, que em geral usa duas engrenagens 
para regular e coordenar o movimento dos ponteiros, como se vê na fo-
tografia ao lado. Quando se “dá corda”, uma mola espiral é comprimida e 
uma trava impede a descompressão imediata da mola, o que marca o rit-
mo do relógio.
O modo de funcionamento de um sistema de engrenagens pode ser mais 
facilmente compreendido por meio de algumas relações matemáticas. Para 
isso, vale observar o exemplo dado pelo esquema ao lado, que representa a 
engrenagem de uma bicicleta. Nele, a roda dentada A tem um raio RA e gira 
com velocidade angular vA; a roda dentada B tem um raio RB e gira com ve-
locidade angular vB. Em um sistema de engrenagem como esse, a velocidade 
linear de um ponto qualquer da correia ou de um ponto periférico, situado a 
uma distância igual ao raio do centro das engrenagens que participam da ro-
tação, é a mesma, ou seja: vA 5 vB.
Como a velocidade linear é definida por v 5 v ? R, tem-se:
ωA ? RA 5 ωB ? RB
No exemplo da bicicleta, o raio de cada roda é diferente para cada valor; 
portanto, para que a velocidade linear permaneça constante, as velocidades 
angulares vA e vB também devem ser diferentes entre si. Quanto maior o raio 
de B em relação ao raio de A, menor será a velocidade angular vB em relação 
à velocidade angular vA.
Outra maneira de abordar as relações de uma associação de engrenagens 
é por meio de sua frequência ( f ). Sendo fA a frequência de rotação de A e 
fB a fre quên cia de rotação de B, e considerando a relação v 5 2p ? f, ma-
tematicamente a expressão que relaciona a frequência das duas engrena-
gens, A e B, é:
fA ? RA 5 fB ? RB
Se houver uma terceira roda dentada de raio RC e frequência fC conectada 
de modo semelhante, a expressão que relaciona a frequência será esta.
fA ? RA 5 fB ? RB 5 fC ? RC
O que se mantém igual entre as três engrenagens é o valor dado pela mul-
tiplicação da frequência pelo raio de cada uma das engrenagens. Para que esse 
valor permaneça constante, a engrenagem de raio maior deve ter uma fre-
quên cia menor em relação às demais. Da mesma maneira, a engrenagem de 
menor raio terá a maior frequência de rotação.
Sistema de engrenagens de um relógio.
Representação das engrenagens de uma 
bicicleta.
3P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 228 07.08.09 14:59:33
229
Uma aplicação tecnológica das engrenagens:  
as marchas
Um exemplo de aplicação tecnológica do sistema de engrenagens são as 
caixas de câmbio, ou conjunto de marchas, de veículos automotores.
Existem diferentes tipos de motores, dependendo das funções dos veícu-
los. Há veículos adequados para transportar grandes cargas (caminhões, por 
exemplo), que não são muito velozes; os carros de passeio são mais velozes, 
mas inapropriados para transportar grandes cargas. Um veículo que transpor-
ta cargas tem o motor projetado para o deslocamento de grandes massas em 
situações extremas, como as subidas íngremes. Comumente se diz que o mo-
tor desses veículos tem mais torque que o dos carros de passeio.
A adequação entre o motor e a função do veículo é feita pelas marchas. São 
elas que determinam ao veículo um maior ou menor torque e, consequente-
mente, uma maior ou menor velocidade.
A transmissão de movimentos na bicicleta
Em uma bicicleta, o sistema de transmissão de movimentos é formado pela 
catraca, na roda traseira, conectada às coroas, na roda dianteira; essa conexão 
é feita por meio de uma corrente, como se vê nas fotos a seguir.
As marchas de um automóvel
O funcionamento da caixa de câm-
bio, onde se mudam as marchas, é se-
melhante ao conjunto de transmissão 
das bicicletas. Porém, nos veículos au-
tomotores, a transmissão não é feita por 
uma corrente, mas por dois conjuntos 
de engrenagens associadas. No caso dos 
automóveis,as engrenagens são asso-
ciadas por meio de dois eixos paralelos. 
Um deles, chamado de secundário, gira 
acionado pelo motor; o outro, chama-
do de principal, é acionado pelo eixo 
secundário. O eixo principal é fixo nas 
rodas. Quando as engrenagens associa-
das ao conjunto principal são movimen-
tadas pelo eixo secundário, as rodas do 
carro giram e o carro se desloca. A cada 
marcha corresponde uma engrenagem 
diferente, acionada pelo eixo secundário 
(esquemas ao lado).
Catraca de bicicleta com seis rodas dentadas. 
A catraca é formada por um conjunto de 
rodas dentadas, ou engrenagens, que giram 
juntamente com a roda de trás, quando esta 
é acionada pela corrente.
Coroa com três rodas dentadas. As coroas 
são rodas dentadas colocadas junto ao 
pedal, onde a corrente se encaixa e é girada 
para manter a bicicleta em movimento.
Torque de um motor
Em mecânica de automó-
veis, a palavra torque descreve 
a máxima capacidade de deslo-
camento de uma carga. Essa ca-
pacidade é medida no pistão do 
motor, quando o veículo está em 
movimento. Portanto, não se re-
fere ao conceito físico de torque 
estudado neste capítulo.
Cada marcha possui um tor-
que máximo. As marchas que 
possibilitam maiores velocida-
des têm menor torque; as mar-
chas para velocidades mais 
lentas têm maior torque.
Parece, mas não é
ré
trem fixo
eixo
Ponto morto 1a2a3a
4a
Primeira marcha
ré
1a2a3a
4a
Em ponto morto, o 
eixo secundário gira, 
mas não aciona as 
rodas dentadas do eixo 
fixo. Portanto, não há 
movimento do eixo 
principal.
Em primeira marcha, 
o eixo secundário é 
deslocado e encaixado 
na maior roda dentada 
do sistema (1a). Ao ser 
girada pelo motor, essa 
roda aciona a roda 
dentada menor, que 
fica conectada ao eixo 
do carro.
Engrenagens 
fixas no eixo
Engrenagens girando
em volta do eixo
5P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 229 11.08.09 16:43:12
230
Equilíbrio8
Exercício resolvido
A figura abaixo ilustra uma engrenagem cuja 21.	
transmissão é em forma de corrente entre duas 
rodas dentadas de diferentes tamanhos. A roda 
dentada A tem raio de 20 cm e a roda dentada 
B tem raio de 30 cm. O motor está conectado à 
roda B, e gira essa roda numa frequência igual a 
80 rpm (rotações por minuto).
a) A roda B gira em sentido anti-horário. Identifi-
car o sentido em que a roda A gira.
b) Determinar se a velocidade linear de um ponto 
periférico de A, em relação a um ponto perifé-
rico de B, é maior, menor ou igual. Justificar.
c) Determinar se a velocidade angular de A, em 
relação a B, é maior, menor ou igual. Justificar.
d) Calcular a frequência da roda A em rpm e em 
hertz.
e) Calcular o período da roda A em segundos.
Resposta
a) A roda B gira no mesmo sentido de A. A cor-
rente transmite o movimento que ocorre no 
mesmo sentido, isto é, ao girar, a roda denta-
da B puxa a corrente no mesmo sentido de ro-
tação, fazendo com que a roda dentada A gire 
nesse mesmo sentido.
b) A velocidade linear de um ponto periférico em 
ambas é igual, ou seja: vA 5 vB 5 v. Isso por-
que estão conectadas pela correia inextensí-
vel, que transfere o movimento entre elas.
c) Se v 5 vA ? rA e v 5 vB ? rB, então: vA ? rA 5 vB ? rB. 
Sendo rA , rB, então vA . vB, de modo que a 
velocidade linear seja constante.
d) Para calcular a frequência de A, usa-se a equa-
ção fA ? RA 5 fB ? RB. Substituindo os valores: 
fA ? 20 5 30 ? 80 ä fA ? 20 5 2 400.
Deixando fA em evidência:
fA 5 
2 400 ______ 20 ä fA 5 120 rpm
Transformando de rpm para hertz:
60 rpm 1 Hz 
120 rpm x Hz
60 ? x 5 120 ? 1 ä x 5 120 ____ 60 ä x 5 2 Hz
e) O período de uma rotação é o inverso da fre-
quên cia: T 5 1 _ f ä T 5 
1 __ 2 ä T 5 0,5 s
Uma forma de conec-22.	
tar as rodas dentadas é 
encaixá-las uma na ou-
tra sem corrente, como 
mostra a figura.
O motor está conectado 
à roda A (menor) e gira 
em sentido anti-horário 
com uma frequência igual a 180 rpm. O raio da roda 
A é igual a 5 cm e o raio da roda B é igual a 10 cm.
a) Identifique o sentido de rotação da roda B.
b) Determine se a velocidade linear de um ponto 
periférico pertencente à roda B, em relação à 
velocidade de um ponto periférico da roda A, é 
maior, menor ou igual. Justifique.
c) Determine se a velocidade angular da roda B é 
maior, menor ou igual em relação à velocidade 
da roda A. Justifique.
d) Determine se a frequência de rotação da roda B 
é maior, menor ou igual em relação à frequência 
de rotação da roda A. Justifique.
e) Calcule a frequência da roda B.
Verifique se o ponto 23.	 P na figura a seguir demora 
mais para circular a engrenagem A ou a engrena-
gem B. Justifique sua resposta.
Observe o esquema a seguir.24.	
O motor desse esquema aciona a engrenagem A 
com frequência de 125 rpm, e seu raio é igual a 
5 cm. O raio de B é igual a 10 cm e o raio de C é 
igual a 8 cm.
a) Determine o sentido de rotação de B e de C.
b) Calcule a frequência de rotação de B.
c) Calcule a frequência de rotação de C.
Exercícios propostos
roda A roda B
P
10 cm 
5 cm 
BA
A
B
C
5P_EMF1_LA_U03_C08_214A237.indd 230 13.08.09 08:57:03
x
2
P2 P1
x
D
1
D
2
m
m
B
3 m
8 m
A
 
 ____
 
›
 F2 
 ____
 
›
 F1 
231
Exercícios complementares
Duas crianças permanecem em equilíbrio em uma 28.	
gangorra de massa desprezível. A criança 1, com 
peso P1, está a uma distância x do ponto de equi-
líbrio; a criança 2, com peso P2, está a uma distân-
cia x __ 2 desse ponto. Calcule a razão entre P1 e P2.
Um pedaço de madeira homogêneo está apoiado 29.	
em dois suportes pelas extremidades e recebe a 
ação de duas forças externas, F1 e F2.
A viga pesa 4 000 N e tem um comprimento de 
8 m. A força F1 vale 500 N e é aplicada a 2 m da 
extremidade A; a força F2 vale 600 N e é aplicada a 
3 m da extremidade B. Calcule os valores das rea-
ções dos pontos de apoio.
Duas pessoas carregam uma viga de ferro de 30.	
400 N. O comprimento da barra é 2,0 m; as pes-
soas estão a 1,5 m uma da outra. Calcule a força 
normal que cada carregador realiza.
Polias
Observe o esquema de dois dinamômetros abaixo.31.	
a) Calcule o valor medido na associação de polias D1.
b) Calcule o valor medido na associação de polias D2.
Tipos	de	alavanca
Os desenhos a seguir representam dois tipos de 25.	
alavancas.
F
P
F
R
N
a) Identifique o tipo de cada uma delas (interfixa, 
interpotente ou inter-resistente).
b) Dê exemplos de instrumentos ou máquinas que 
funcionam de acordo com cada um desses tipos 
de alavancas.
Observe a ilustração a seguir.26.	
a) Identifique o tipo de alavanca representado.
b) Calcule o valor da força F1 que o bíceps deve rea-
lizar para que o braço mantenha a bola parada 
na posição horizontal.
c) Faça uma pesquisa com seus colegas e explique 
por que se pode afirmar que essa alavanca “so-
brecarrega o bíceps”.
No esquema a seguir a distância entre cada furo é 27.	
idêntica e igual a 1 cm. Calcule o valor da massa que 
deve ser colocada em I para que o sistema perma-
neça em equilíbrio.
N
F
R
F
P
 = força potente
F
R
 = força resistente
N = normal
F
P
I
II
30 cm
​
​____
​
›
​F1 
​
​___
​
›
​F2 5 6 kgf
ponto 
fixo 5 cm
H I J K L MA B
50 g
30 g
?
C D E F G
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fio 1
2
1
Equilíbrio8
Integre o aprendizado
232
Uma escada de metal com peso igual a 80 N é 34.	
apoiada na parede, segundo a figura abaixo.
a) Desenhe todas as forças 
que atuam na escada.
b) Calcule o torque realizado 
pela força peso.
O sistema ao lado susten-35.	
ta um peso de 1 600 N em 
equilíbrio.
a) Determine a força resis-
tente.
b) Determine a força potente.
c) Calcule as trações atuan-
do na polia 1.
d) Calcule as trações atuan-
do na polia 2.
e) Calcule as trações atuan-
do na polia 3.
3 m
4 m
P
C
Na figura a seguir, a massa 1 é igual a 10 kg e a massa 36.	
2 é igual a 4 kg. Calcule o valor da tração no fio 1.
Leitura	e	interpretação.37.	
O texto a seguir é o trecho de um diálogo entre o 
explorador Marco Polo (1254-1324) e o imperador 
mongol Kublai Khan (1215-1294).Marco Polo descreve uma ponte, pedra por pedra.
— Mas qual é a pedra que sustenta a ponte? — 
pergunta Kublai Khan.
— A ponte não é sustentada por esta ou aquela 
pedra — responde Marco —, mas pela curva do arco 
que estas formam.
Kublai Khan permanece em silêncio, refletindo. 
Depois acrescenta:
— Por que falar das pedras? Só o arco me inte-
ressa. Polo responde:
— Sem pedras o arco não existe.
Calvino, I. As cidades invisíveis. São Paulo: Cia. das Letras, 1990.
Observe a figura a seguir.
Descreva as relações entre o texto e a imagem en-
fatizando o conceito de equilíbrio estudado neste 
capítulo.
A fotografia ao lado 32.	
mostra um antigo sis-
tema de carga, muito 
usado na Ásia ainda 
hoje. Trata-se de uma 
haste com uma cesta 
acoplada em cada ex-
tremidade, onde são 
carregados objetos e 
alimentos.
a) Identifique se esse 
sistema pode ser 
considerado um sistema de alavancas. Justifique 
sua resposta.
b) Descreva algumas atividades que uma pessoa 
pode realizar com esse sistema de carga.
Observe o sistema de 33.	
polias ao lado.
O sistema está em 
equilíbrio. A massa A 
é igual a 10 kg.
a) Calcule o valor das 
massas B e C.
b) Determine a tra-
ção dos fios 1 e 2.
Mulher carregando comida, 
na Tailândia.
Ponte de pedra na cidade de 
Grasse, Cote d’Azur, França.
Fio 1
Fio 2 Fio 2
A B
C
1
2
3
F
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233
Três engrenagens estão conectadas como mostra 38.	
a figura.
A roda dentada A tem raio igual a 5 cm, a roda den-
tada B tem raio igual a 10 cm e a roda dentada C tem 
raio igual a 7 cm. O motor está conectado à roda B e 
gira no sentido horário a uma velocidade de 2 Hz.
a) Identifique o sentido de rotação da roda denta-
da A.
b) Identifique o sentido de rotação da roda denta-
da C.
c) Determine se a velocidade linear de um ponto pe-
riférico pertencente à roda A é maior, menor ou 
igual em relação à velocidade de um ponto perifé-
rico da roda B. Justifique.
d) Determine se a velocidade angular da roda A é 
maior, menor ou igual em relação à velocidade an-
gular da roda C. Justifique.
e) Calcule a frequência de rotação da roda A.
f) Calcule a frequência de rotação da roda C.
Investigação	e	pesquisa.39.	 A construção civil se ocu-
pa de erguer edificações diversas, como casas, esco-
las, hospitais, estradas, pontes, túneis, aeroportos, 
usinas hidrelétricas, etc.
a) Monte um grupo de cinco pessoas. Escolha 
como objeto de estudo um tipo de edificação 
que ainda esteja em obra. Visite o local e rea-
lize um trabalho de campo, observando e ano-
tando os seguintes itens: ferramentas, veículos, 
máquinas e materiais utilizados; tipos de ativi-
dades feitas por cada categoria de profissional; 
número de trabalhadores envolvidos na obra. 
Procure relacionar suas observações com os as-
suntos estudados ao longo deste capítulo (ala-
vancas, polias, engrenagens).
b) Entreviste um trabalhador dessa construção. Per-
gunte a sua função e que ferramentas ele utiliza. 
Verifique se ele usa conhecimentos da Física em 
seu trabalho.
c) Das ferramentas identificadas no item b, escolha 
três e descreva seu funcionamento e sua função.
d) Faça uma lista de profissões relacionadas à cons-
trução civil. Você escolheria a área da construção 
civil para cursar em uma universidade? Justifique 
sua resposta.
Desenvolver	com	ciência
 Um estudante e sua professora de Artes estão 40.	
observando a pintura abaixo, do artista plás-
tico espanhol Pablo Picasso (1881-1973). Eles 
dialogam a respeito de suas visões acerca do 
quadro.
— Mas que horror! Veja só aqui! Os olhos, 
o nariz, a boca, está tudo deformado, as mãos, 
os braços! Tudo está fora do lugar, tudo parece 
quebrado! Será que Picasso não sabia desenhar 
direito?
— É claro que Picasso sabia desenhar direi-
to — retruquei —, se por “direito” se entende 
reproduzir as feições anatomicamente corretas. 
Aos quinze anos, Picasso já terminara os estu-
dos na Escola de Belas-Artes em Barcelona. […]
— Então você quer dizer que estas defor-
mações aqui são propositais?
— Sim, foram feitas intencionalmente.
OstrOwer, F. A sensibilidade do intelecto. Rio de Janeiro: 
Campus, 1998. Disponível em: ,http://www.faygaostrower.
org.br/livros.php..
Acesso em: 6 maio 2009.
a) Use essa fotografia da pintura de Picasso 
e discuta com seus colegas se as relações 
equilíbrio-belo e desequilíbrio-feio são ne-
cessariamente verdadeiras.
b) Compare o conceito de equilíbrio nas Artes 
com o conceito de equilíbrio na Física.
Cabeça de mulher, de Pablo Picasso.
A
C
B
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234
Física tem história 
A ilha de Páscoa fica no oceano Pacífico, a 3 700 km 
do Chile, país ao qual pertence. Foi descoberta por um 
grupo de exploradores holandeses, no domingo de Pás-
coa de 1722. Essa ilha possui grandes estátuas de pedra, 
erguidas pela população nativa entre os anos de 1100 e 
1600. O texto a seguir descreve como foi esse trabalho.
“O ahu é uma plataforma retangular, feita não de pe-
dra sólida e, sim, de um recheio de cascalho retido por 
quatro paredes de contenção de basalto cinza. […] Os 
ahus têm até quatro metros de altura, e muitos se esten-
dem em alas laterais de uma extensão de até 150 me-
tros. Portanto, o peso total de um ahu – cerca de 300 
toneladas no caso de um pequeno […] – é muito maior 
que o das estátuas que suporta.
Quanto aos moais, que represen-
tam ancestrais de membros da elite, 
[há] um total de 887. […]. A estátua 
“padrão” tinha quatro metros de altu-
ra e pesava cerca de dez toneladas.
Como todos esses pascoenses, 
sem guindastes, conseguiram enta-
lhar, transportar e erguer tais está-
tuas? É claro que não sabemos com 
certeza, uma vez que nenhum euro-
peu viu aquilo sendo feito para es-
crever a respeito. Mas podemos pre-
sumir a partir da tradição oral dos 
próprios insulares (especialmen-
te a respeito do meio de erguer es-
tátuas), a partir de estátuas nas pe-
dreiras em sucessivos estágios de 
produção e de testes recentes expe-
rimentais de diferentes métodos de 
transporte. […]
[…] os pascoenses modificaram 
as chamadas “escadas” de canoas, 
usadas em todas as ilhas do Pacífico, 
para transportar pesados troncos de 
madeira, que eram cortados na flo-
resta, escavados como canoas e en-
tão transportados para o litoral. […]
Os pascoenses contaram […] como seus ancestrais 
erguiam as estátuas do ahu. Sentiam-se indignados que 
os arqueólogos nunca tivessem pensado em perguntar 
aquilo para eles e, para provar que sabiam como fa-
As estátuas da ilha de Páscoa
zê-lo, ergueram uma estátua sem usar um guindaste. 
[…] Os insulares começavam construindo uma ram-
pa de pedra ligeiramente inclinada que ia da praça até 
o topo da plataforma, sobre a qual puxavam a estátua 
deitada de bruços com a extremidade da base voltada 
para o topo. Assim que a base chegava à plataforma, 
erguiam a cabeça da estátua alguns centímetros usan-
do toras como alavancas, punham pedras sob a cabeça 
para apoiá-la na nova posição, e repetiam a rotina in-
clinando a estátua cada vez mais para a posição verti-
cal. Isso deixava os proprietários com uma longa rampa 
de pedras, que então podia ser desmontada e reciclada 
para criar as laterais do ahu. O pukao era provavelmen-
te erguido ao mesmo tempo que a 
estátua, ambos montados juntos na 
mesma armação de apoio.
A parte mais perigosa da opera-
ção era a inclinação final da está-
tua de um ângulo muito inclinado 
para a posição vertical, por cau-
sa do risco de a estátua ganhar im-
pulso, ultrapassar a vertical e tom-
bar pela traseira da plataforma. 
Evidentemente, de modo a redu-
zir este risco, os escultores proje-
tavam a estátua de modo que não 
fosse completamente perpendicular 
à sua base plana (p. ex., em um ân-
gulo de 87° em relação à base, em 
vez de 90°). Deste modo, quando 
erguessem a estátua para uma posi-
ção estável com a base posicionada 
sobre a plataforma, o corpo ainda 
estaria ligeiramente inclinado para 
a frente, sem risco de tombar para 
trás. Então, lentae cuidadosamen-
te, podiam levantar com alavancas 
a borda da frente da base recupe-
rando os últimos poucos graus que 
faltavam, introduzindo pedras sob a 
parte da frente da base de modo a estabilizá-la, até o 
corpo ficar na vertical. Ainda assim, trágicos aciden-
tes podiam ocorrer nesta última fase, e evidentemente 
aconteceram. […].”
DiamonD, J. Colapso. Rio de Janeiro: Record, 2005.
Estátuas na ilha de Páscoa. As esculturas em 
forma de homem são chamadas de moais. 
A base de pedras é chamada de ahu; a pedra 
acima da cabeça é o pukao.
OCEANO
PACÍFICO
109°O
27°S
Hanga Roa
Moais
4,40
km
CHILE
Localização da ilha de Páscoa.
1. Desenhe no seu caderno a estrutura de alavancas necessária para levantar os ahus, os pukaos e os moais 
(lembre-se de que não havia qualquer tipo de motor, somente pessoas).
2. O texto afirma que os pascoenses atuais sabem como foram erguidas aquelas estátuas. Explique como 
esse conhecimento pode ter sido preservado, já que não se conhece documento escrito sobre isso.
De acordo com o texto
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235
Física e sociedade
As Olimpíadas modernas são um dos maiores even-
tos esportivos mundiais. Milhares de atletas se reúnem a 
cada quatro anos em um país-sede para disputar várias 
modalidades esportivas, sendo premiados com meda-
lhas de ouro, prata e bronze. Desde 1984, após as Olim-
píadas, acontecem também as Paraolimpíadas, disputas 
realizadas por atletas com necessidades especiais. Um 
dos elementos fundamentais para o bom desempenho 
desses atletas paraolímpicos é o uso de tecnologia para 
suprir as suas necessidades e permitir o pleno desenvol-
vimento de suas capacidades.
Muitos conhecimentos da Física são aplicados na 
confecção de equipamentos associados ao corpo huma-
no, como é o caso das órteses e próteses.
“Órtese é uma palavra derivada do grego, cujos ter-
mos orthos e titheme significam, respectivamente, corre-
ção e colocação. Portanto, definimos órtese como um 
dispositivo aplicado externamente ao segmento corpó-
reo, com a finalidade de proporcionar melhora funcio-
nal aos pacientes que apresentam algum tipo de disfun-
ção ou necessidade de suporte. […]
Órteses e próteses são dispositivos distintos […], 
apesar de serem agrupados e estudados frequentemente 
em uma mesma disciplina. As órteses exercem funções 
específicas sobre um segmento corpóreo, ao passo que 
as próteses são utilizadas para substituir segmentos am-
putados ou malformados. […].
Por meio da área de con-
tato, toda órtese gera vetores 
de força que são aplicados em 
uma determinada região cor-
pórea. A quantidade de força 
e a área de contato que está 
sujeita à sua aplicação têm 
influência direta no conforto 
e na eficácia da órtese.
Um sistema muito utili-
zado é o de forças com três 
pontos de aplicação, no qual 
temos dois vetores em uma 
mesma direção e um outro 
localizado entre as duas pri-
meiras, porém com sentido 
oposto. O sistema em equilíbrio deve ter a soma das forças 
aplicadas em direções opostas igual a zero. As forças para-
lelas utilizadas em sistema de três pontos são inversamen-
te proporcionais às suas distâncias perpendiculares; […].
Objetivos
Repouso – As órteses […] são utilizadas para man-
ter algum segmento corpóreo livre da ação de forças que 
levam a movimentos articulares indesejados. Exemplifi-
camos com uma órtese de punho […].
Imobilização – As órteses […] devem evitar qual-
quer movimento articular, sendo, portanto, utilizadas 
nos casos de traumas importantes ou em cuidados pós-
-operatórios imediatos.
Proteção – As órteses […] são indicadas principal-
mente para se evitar traumas repetitivos ou limitar mo-
vimentos indesejados. Podemos citar como exemplo 
[…] joelheiras articuladas.
Propriocepção – […] permitem aos pacientes a rea-
lização de atividades com menor risco de recidivas ou a 
manutenção postural. Essas órteses são flexíveis e permi-
tem movimentos articulares. As tornozeleiras e os corre-
tores posturais são exemplos de órteses proprioceptivas.
Correção – […] agem através de vetores de forças 
aplicadas sobre os segmentos, com o objetivo de rever-
ter desvios estruturados, como nas escolioses, ou impe-
dir a progressão de encurtamentos musculares.”
Carvalho, J. A. Órteses: um recurso terapêutico complementar. Barueri: 
Manole, 2006.
Uma das proposições das órteses é melhorar a função 
do segmento que está sendo envolvido. De forma geral, 
as órteses atingem tal objetivo controlando e adequando 
as forças que incidem sobre uma articulação ou segmento 
corpóreo que esteja em movimento ou em posição estáti-
ca. Podem alterar ou mesmo restringir forças inapropria-
das que possuam potencial para desencadear alterações 
articulares degenerativas ou mesmo deformidades.
De acordo com o texto
1. Diferencie órtese de prótese.
2. Identifique as articulações do corpo que podem ser beneficiadas pelo auxílio de uma órtese.
3. Identifique algumas regiões do corpo humano que podem ser beneficiadas pelo auxílio de uma prótese.
4. Escreva sobre algumas das noções estudadas neste capítulo, destacando seu uso para projetar órteses 
e próteses.
5. Descreva as profissões relacionadas à avaliação, construção e colocação de órteses e próteses.
Prótese de 
substituição 
da perna. Órtese de joelho.
Aplicação de forças para 
manter o tornozelo e o joelho 
em posição neutra, em que 
 
 ____
 
›
 FA   força aplicada pela 
superfície, 
 ____
 
›
 FP   força potente 
aplicada por determinado 
músculo e 
 ____
 
›
 FR   força resistente.
 
 ____
 
›
 FP  
 
 ____
 
›
 FP  
 
 ____
 
›
 FR  
 
 ____
 
›
 FR  
 
 ____
 
›
 FP  
 
 ____
 
›
 FA  
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236
Laboratório
Participantes: 4
Objetivo: determinar o centro de gravidade de uma pessoa.
Material: balança de banheiro; prancha longa e rígida que supor-
te o peso de uma pessoa; dois pontos de apoio que mantenham a 
prancha na posição horizontal; trena ou fita métrica.
	A		Procedimento
	 1. Coloque os pontos de apoio da prancha de modo que um deles 
permaneça no chão e o outro fique sobre a balança. Meça a dis-
tância (D) entre eles e marque a posição deles no solo, para que 
permaneçam sempre no mesmo local e a distância seja constante.
	2. Anote o valor medido pela balança (P1) quando não há ninguém 
sobre a prancha.
	3. Um colega deve se deitar cuidadosamente sobre a prancha, sem 
tirá-la da posição. Anote o va-
lor medido pela balança (P2). Um 
esquema da montagem final é 
apresentado na figura ao lado.
	4. Calcule a posição do centro de gravidade do corpo do colega dei-
tado na prancha, usando a equação: x  
P2 2 P1
 _______ D 
	5. Com o auxílio de uma fita métrica, meça, desde o solo, o local do 
centro de gravidade do corpo do colega. Marque esse ponto. Rea-
lize as medidas com no mínimo outros dois colegas, preferencial-
mente de ambos os sexos.
Experimento	1	—	Centro	de	gravidade	do	corpo	humano
Experimento	2	—	Equilíbrio	estático	do	corpo	humano
	 1.	 Verifique se o centro de 
gravidade dos homens 
e das mulheres é igual. 
Dê argumentos que 
justifiquem sua resposta.
	2.	 Explique por que esse 
experimento avalia o 
centro de gravidade e 
não o centro de massa.
Questões
	 1.	 Use o conceito de centro de gravidade para explicar por que não é 
possível manter o equilíbrio estático do corpo nos procedimentos 
descritos nos itens 1 e 2.
Questão
Objetivo: analisar alguns movimentos do corpo, em especial aque-
les relacionados ao equilíbrio, de modo a perceber o corpo como 
uma estrutura interligada.
Material: roupas confortáveis; uma cadeira; parede para encostar.
	A		Procedimento
1.	 Fique em pé e se coloque de costas para a parede. Encoste as cos-
tas na parede e mantenha o tronco reto enquanto olha para a 
frente. Permaneça parado nessa posição alguns segundos, até al-
cançar um equilíbrio estático. Em seguida, incline o tronco para a 
frente lentamente e tente tocar os pés com as mãos sem dobrar 
os joelhos.Procure se equilibrar por 30 segundos.
2.	Sente-se em uma cadeira com as pernas e os pés unidos. Em se-
guida, tente se levantar mantendo o tronco sempre na vertical.
x
balança
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237
Rede de conceitos
EQUILÍBRIO DAS FORÇAS
corpo extenso
centro de massa
alavancas engrenagens
polias
fixas móveis sozinhas
associadas
pode ser representado pelo seu
no qual deve haver
classificadas em
interpotentes inter-resistentesinterfixas
exemplo exemplo exemplo
de um
o
pode ser observado nas
podem ser
podem ser
utilizadas
e
força 
resultante 
nula
ou
torque
resultante
nulo
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