Apostila FT-PG

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Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Química
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química
(PPG-EQ)
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
(EQ107)
Professor: João Jorge Ribeiro Damasceno
Sumário
1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 1
1.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Adição entre vetores (+,-), que produz um vetor . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Multiplicação entre um vetor e um escalar, que produz um vetor . . 1
1.1.3 Produto escalar ou interno (.), que produz um escalar . . . . . . . . 1
1.1.4 Produto vetorial (x), que produz um vetor ortogonal ao plano definido
pelos dois vetores operantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5 Produto triplo, que produz um escalar a partir da operação entre
três vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.6 Produto tensorial ou diádico, que produz tensor de segunda ordem
a partir da operação de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Multiplicação de um tensor de segunda ordem por um escalar . . . 4
1.2.3 Produto entre dois tensores de segunda ordem gerando um escalar
(duplo produto escalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Produto entre dois tensores de segunda ordem gerando um tensor
de segunda ordem (produto escalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Produto entre um vetor e um tensor de ordem dois, gerando um vetor 5
1.3 O Operador Diferencial NABLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Gradiente de um escalar, que produz um vetor, . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Gradiente de um vetor, que produz um tensor de segunda ordem . . 6
1.3.3 Divergência de um vetor, que produz um escalar . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Divergência de um tensor, que produz um vetor . . . . . . . . . . . 6
1.3.5 Laplaciano de um escalar (ou divergência do gradiente de um es-
calar), que produz um escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.6 Laplaciano de um vetor (ou divergência do gradiente de um vetor),
que produz um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Operações em Coordenadas Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 O sistema de coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 O sistema de coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Sumário de operações envolvendo o operador diferencial nabla . . . 14
1.5 Teoremas Integrais para Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Para uma função escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Para uma função vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Para uma função tensorial de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . 18
2 Uma Introdução à Mecânica do Contínuo 19
2.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 O Teorema do Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
i
ii
3 Equações Conservativas 26
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 A Equação da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 A Equação do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 A Equação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Estudo de Casos 38
4.1 A Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Os Sistemas Multicompostos e Multifásicos 40
5.1 Teoria das Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Conservação da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 A conservação do Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Sistemas Sólido-Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Lista de Figuras
1.1 Um esquema para determinação do sinal da componente do tensor permu-
tador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Localização de um ponto em um sistema de coordenadas cilíndricas . . . . 8
1.3 O Elemento de volume em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Localização de um ponto em um sistema de coordenadas esféricas . . . . . 12
1.5 O elemento de volume em um sistema de coordenadas esféricas . . . . . . . 12
2.1 Volume de controle em coordenadas espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Entrada de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Saída de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iii
Lista de Tabelas
1.1 Determinação da ordem de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 As seis operações básicas de multiplicação entre tensores . . . . . . . . . . 5
1.3 Forma alternativa de representar as operações com o operador nabla. . . . 7
3.1 Convenção de sinais para o produto v.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 As componentes do tensor tensão para um fluido newtoniano em escoa-
mento laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
iv
CAPÍTULO 1
Uma Introdução à Álgebra Tensorial
1.1. Vetores
Um vetor é um segmento de reta orientado que pode ser representado da seguinte forma:
v = v1e1 + v2e2 + v3e3 =
3∑
i=1
viei (1.1)
onde vi é a componente do vetor v na direção do vetor ortogonal ei. Para simplificar a
notação, Einstein utilizou a chamada notação indicial:
v =
3∑
i=1
viei = viei (1.2)
em que a existência de índices repetidos indica a existência implícita de um somatório.
Sejam u,v e w vetores e r, s escalares. As operações mais comuns envolvendo vetores
são as seguintes:
1.1.1. Adição entre vetores (+,-), que produz um vetor
u + v = uiei + viei = (ui + vi)ei (1.3)
1.1.2. Multiplicação entre um vetor e um escalar, que produz um
vetor
cv = c(viei) = (cvi)ei (1.4)
1.1.3. Produto escalar ou interno (.), que produz um escalar
u.v = (uiei).(vjej) = uivj(eiej)
mas
(eiej) ≡ δij =
{
0 se i 6= j
1 se i = j
onde δij é o chamado delta de Kronecker . Assim, o produto escalar entre dois vetores é
dado por:
u.v = uivj(ei.ej) = uivjδij = uivi = u1v1 + u2v2 + u3v3 (1.5)
1
1.1 Vetores 2
1.1.4. Produto vetorial (x), que produz um vetor ortogonal ao
plano definido pelos dois vetores operantes
u× v = (uiei)× (vjej) = uivj(ei × ej)
mas
ei × ej ≡

0 se i = j, i = k, j = k
ek se ijk = 123, 231, 312
−ek se ijk = 321, 132, 213
Seja o tensor permutador unitário, εijk, definido como sendo igual a 1 para seqüencias
no sentido horário, igual a -1 para seqüencias no sentido anti-horário da Figura 1.1 e igual
a zero para conjuntos que apresentem pelo menos um índice repetido, ou seja:
εijk =

1 se ijk = 123 ou 231 ou 321
−1 se ijk = 132 ou 321 ou 213
0 se i = j ou i = k ou j = k
(1.6)
1
��
3
77
2kk
Figura 1.1: Um esquema para determinação do sinal da componente do tensor permutador
Utilizando esta definição pode se escrever:
u× v = uivj(ei × ej) = uivjεijkek (1.7)
Utilizando a definição do tensor permutador unitário na equação 1.7 obtém-se:
u× v = u1v1ε111e1 + u1v1ε112e2 + u1v1ε113e3 + u1v2ε121e1+
+ u1v2ε122e2 + u1v2ε123e3 + u1v3ε131e1 + u1v3ε132e2+
+ u1v3ε133e3 + u2v1ε211e1 + u2v1ε212e2 + u2v1ε213e3+
+ u2v2ε221e1 + u2v2ε222e2 + u2v2ε223e3 + u2v3ε231e1+
+ u2v3ε232e2 + u2v3ε233e3 + u3v1ε311e1 + u3v1ε312e2+
+ u3v1ε313e3 + u3v2ε321e1 + u3v2ε322e2 + u3v2ε323e3+
+ u3v3ε331e1 + u3v3ε332e2 + u3v3ε333e3
donde
u× v = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v1)e3 (1.8)
A equação 1.8 pode ser escrita de forma compacta como o seguinte determinante:
u× v =
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2+
+ (u1v2 − u2v1)e3
(1.9)
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 3
1.1.5. Produto triplo, que produz um escalar a partirda operação
entre três vetores
u.(v ×w) = uiei.(vjej × wkek) = uivjwkei.(ej × ek)
= uivjwk(εjkmei.em) = εjkiuivjwk
ou seja,
u.(v ×w) = εijkuivjwk (1.10)
Abrindo a equação ( 1.10) obtém-se:
u.(v ×w) = u1v2w3 − u2v1w3 + u3v1w2 − u1v3w2 + u2v3w1 − u3v2w1
ou, na forma de determinante,
u.(v ×w) =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ =u1v2w3 − u2v1w3 + u3v1w2
− u1v3w2 + u2v3w1 − u3v2w1
(1.11)
1.1.6. Produto tensorial ou diádico, que produz tensor de segunda
ordem a partir da operação de dois vetores
uv = uieivjej = (uivj)eiej
onde eiej é um tensor unitário, com único elemento na linha i e coluna j, ou seja,
e1e1 =
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣ ; e2e3 =
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
0 0 1
0 0 0
∣∣∣∣∣∣ ; e3e2 =
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
0 0 0
0 1 0
∣∣∣∣∣∣ etc.
Assim,
uv = (uivj)eiej =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(1.12)
1.2. Tensores
Um tensor é uma variável que necessita para ser totalmente especificada, de um módulo
(escalar) e de n direções, onde n é a ordem do tensor. Um escalar pode ser interpretado
como um tensor de ordem 0 e um vetor como um tensor de ordem 1. Para calcular se o
número de componentes, Nc, de um tensor utiliza-se a equação:
Nc = 3
n
Existem diversas operações entre tensores. As operações de multiplicação entre ten-
sores produzem um tensor, cuja ordem é dada segundo a seguinte tabela
1.2 Tensores 4
Tabela 1.1: Determinação da ordem de tensores
Sinal de multiplicação Ordem do tensor resultante
Nenhum
∑
x
∑
-1
.
∑
-2
:
∑
-4
onde
∑
representa a soma das ordens dos tensores multiplicados. Alguns exemplos:
• s T é um tensor de ordem dois (0 + 2 = 2);
• u.v é um tensor de ordem zero (1 + 1− 2 = 0);
• u.T é um tensor de ordem um (1 + 2− 2 = 1);
• T.S é um tensor de ordem dois (2 + 2− 2 = 2);
• T:S é um tensor de ordem zero (2 + 2− 4 = 0);
• u×v é um tensor de ordem um (1 + 1− 1 = 1);
e assim por diante.Existem quatro regras básicas que definem as multiplicções entre ten-
sores unitários normais:
eiej : ekel = δjkδil; (1.13)
eiej · ek = δjkei; (1.14)
ei · ejek = δijek; (1.15)
eiej · ekel = δjkeiel; (1.16)
Assim, pode se resumir as seis operações básicas de multiplicação entre os tensores
unitários, conforme mostrado na Tabela 1.2
A seguir, são apresentadas algumas operações entre tensores. Tais resultados são
obtidos utilizando os dados da Tabela 1.2:
1.2.1. Adição
T + S = (Tij + Sij)eiej (1.17)
1.2.2. Multiplicação de um tensor de segunda ordem por um es-
calar
sT = (sTij)eiej (1.18)
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 5
Tabela 1.2: As seis operações básicas de multiplicação entre tensores
ei · ej = δij
ei × ej = εijkek
eiej · ek = δjkei
ei · ejek = δijek
eiej · ekel = δjkeiej
eiej : ekel = (ei · el)(ej · ek)δilδjk
1.2.3. Produto entre dois tensores de segunda ordem gerando um
escalar (duplo produto escalar)
T : S = (Tijeiej) : (Skreker) = TijSkr(eier) : (ejek)
= TijSkr(ei.er)(ejek) = TijSkrδirδjk
logo
T : S = TijSji =T11S11 + T12S21 + T13S31 + T2S12+
cos + T22S22 + T23S32 + T31S13 + T32S23 + T33S33
(1.19)
1.2.4. Produto entre dois tensores de segunda ordem gerando um
tensor de segunda ordem (produto escalar)
T.S = (Tijeiej).(Skreker) = TijSkr(ej.ek)eier = TijSkrδjkeier
logo
T.S = TijSjreier = (Ti1S1r + Ti2S2r + Ti3S3r)eier (1.20)
1.2.5. Produto entre um vetor e um tensor de ordem dois, gerando
um vetor
T.v = (Tijeiej).(vkek) = Tijvk(ej.ek)ei = Tijvkδjkei
T.v = Tijvjei = (Ti1v1 + Ti2v2 + Ti3v3)ei (1.21)
v.T = (vkek).(Tijeiej) = Tijvk(ek.ei)ej = Tijvkδjkej
v.T = Tijviej = (T1jv1 + T2jv2 + T3jv3)ej, (1.22)
donde se conclui que T.v 6= v.T.
1.3 O Operador Diferencial NABLA 6
1.3. O Operador Diferencial NABLA
O operador diferencial nabla (∇) é um operador definido como:
∇ = ei
∂
∂xi
(1.23)
São definidas diversas operações envolvendo o operador nabla. As mais importantes
são:
1.3.1. Gradiente de um escalar, que produz um vetor,
∇s = ei
∂s
∂xi
= e1
∂s
∂x1
+ e2
∂s
∂x2
+ e3
∂s
∂x3
(1.24)
1.3.2. Gradiente de um vetor, que produz um tensor de segunda
ordem
∇v = ei
∂
∂xi
(vjej) =
∂vj
∂xi
eiej =

∂v1
∂x1
∂v2
∂x1
∂v3
∂x1
∂v1
∂x2
∂v2
∂x2
∂v3
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x3
∂v3
∂x3

(1.25)
1.3.3. Divergência de um vetor, que produz um escalar
∇.v = ei
∂
∂xi
.(vjej) =
∂vj
∂xi
eiej =
∂vj
∂xi
δij =
∂vi
∂xi
=
∂v1
∂x1
+
∂v2
∂x2
+
∂v3
∂x3
(1.26)
1.3.4. Divergência de um tensor, que produz um vetor
∇.T = ei
∂
∂xi
.(Tjkejek) =
∂Tjk
∂xi
ei.ejek =
∂Tjk
∂xi
δijek
=
∂Tik
∂xi
ek =
(
∂T1k
∂x1
+
∂T2k
∂x2
+
∂T3k
∂x3
)
ek
(1.27)
1.3.5. Laplaciano de um escalar (ou divergência do gradiente de
um escalar), que produz um escalar
∇.∇s = ∇2s = ei
∂
∂xi
.
(
∂s
∂xj
ej
)
=
∂2s
∂xi∂xj
ei.ej
=
∂2s
∂xi∂xj
δij =
∂2s
∂x2i
=
∂2s
∂x21
+
∂2s
∂x22
+
∂2s
∂x23
(1.28)
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 7
1.3.6. Laplaciano de um vetor (ou divergência do gradiente de um
vetor), que produz um vetor
∇.∇v = ∇2v = ei
∂
∂xi
.
(
∂vk
∂xj
ejek
)
=
∂2vk
∂xi∂xj
ei.ejek
=
∂2vk
∂x2i
ek =
(
∂2vk
∂x21
+
∂2vk
∂x22
+
∂2vk
∂x23
)
ek
(1.29)
Uma operação muito importante em Mecânica dos Fluidos é o produto escalar entre o
vetor velocidade e o seu gradiente. Tal operação torna-se bastante simples, utilizando-se
os conceitos aqui apresentados:
v.∇v = vkek.
∂vj
∂xi
eiej = vk
∂vj
∂xi
ek.eiej
= vi
∂vj
∂xi
ej =
(
v1
∂vj
∂x1
+ v2
∂vj
∂x2
+ v3
∂vj
∂x3
) (1.30)
Muitos autores utilizam um simbologia diferente da adotada aqui. Alguns exemplos
são apresentados na Tabela 1.3:
Tabela 1.3: Forma alternativa de representar as operações com o operador nabla.
Simbologia Simbologia Significado
neste texto alternativa
∇ Grad gradiente
(∇.) Div divergente
∇.∇ = ∇2 Lap laplaciano
v escalar grad de v
v.∇v (∇v)v ou grad de v
aplicado em v
1.4. Operações com Tensores em Sistemas de Coorde-
nadas Curvilíneas
Em determinados problemas estudados em Fenômenos de Transporte, o uso de coorde-
nadas retilíneas leva a uma descrição bastante complexa. Tal situação pode ser contornada
com o uso de coordenadas curvilíneas. Quando se trabalha com um sistema de coorde-
nadas curvilíneo, as operações entre vetores e tensores são efetuadas da mesma forma que
foi exposta nas seções anteriores entretanto, ocorrem modificações substanciais quando
são utilizados os operadores diferenciais, uma vez que eles sofrem a influência dos fatores
de curvatura desses sistemas de coordenadas.
1.4 Operações em Coordenadas Curvilíneas 8
Uma forma de se obter a expressão do operador diferencial nabla em coordenadas
curvilíneas consiste na utilização das seguintes equações, deduzidas em bons livros de
cálculo (Morse e Feshbach, 1953):
∇ =
∑
i
1
hi
∂
∂qi
e∗i (1.31)
com
hi =
√√√√∑
j
(
∂xj
∂qi
)2
(1.32)
onde xj são as coordenadas cartesianas e qi são as coordenadas curvilíneas. Os parâmetros
hi são os chamados fatores de escala.
Os vetores ortonormais em coordenadas curvilíneas (e∗i ) estão relacionados com os
vetores ortonormais em coordenadas retangulares (ei) através da expressão:
e∗i =
∑
j
1
hi
(
∂xj
∂qi
)
ej (1.33)
O uso dessas equações permite a determinação dos operadores diferenciais em quais-
quer sistemas de coordenadas curvilíneos. Dentre os sistemas de coordenadas curvilíneos,
destacam-se o sistema cilíndrico e o sistema esférico, que serão estudados a seguir.
1.4.1. O sistema de coordenadas cilíndricas
A Figura a seguir apresenta a representação de um ponto em coordenadas cilíndricas,
onde r é a distância entre o ponto e o eixo dos z, θ é o ângulo entre r e o plano xz e z é o
próprio z cartesiano.
Figura 1.2: Localização de um ponto em um sistema de coordenadas cilíndricas
É fácil mostrar que
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 9
x = r cos θ r =
√
x2 + y2
y = r senθ ou θ = arctg(y/x)
z = z z = z
A Figura 1.3 apresenta o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. É fácil de
perceber que o volume de um cilindro é calculado a partir da equação:
dV = (rdθ)drdz
V =
∫ L
0
∫ 2π
0
∫ R
0
rdrdθdz = πR2L (1.34)
Dois elementos de área muitoimportantes são:
dA1 = (rdθ)dz
então
A1 =
∫ 2π
0
∫ L
0
ydzdθ = 2πyL (1.35)
e
dA2 = (rdθ)dr
então
A2 =
∫ 2π
0
∫ R
0
ydrdθ = πR2 (1.36)
A aplicação da Equações 1.31 e 1.32 ao sistema de coordenadas cilíndricas,
x = r cos θ
y = r senθ
z = z
∂x
∂r
= cos θ
∂y
∂r
= senθ
∂z
∂r
= 0
∂x
∂θ
= −r senθ ∂y
∂θ
= r cos θ
∂z
∂θ
= 0
∂x
∂z
= 0
∂y
∂z
= 0
∂z
∂z
= 0
1.4 Operações em Coordenadas Curvilíneas 10
Figura 1.3: O Elemento de volume em coordenadas cilíndricas
permite obter a expressão para o operador diferencial nabla nessas coordenadas:
hr =
√(
∂x
∂r
)2
+
(
∂y
∂r
)2
+
(
∂z
∂r
)2
=
√
cos2 θ + sen2θ = 1
hθ =
√(
∂x
∂θ
)2
+
(
∂y
∂θ
)2
+
(
∂z
∂θ
)2
=
√
r2 sen2θ + r2 cos2 θ = r
hz =
√(
∂x
∂z
)2
+
(
∂y
∂z
)2
+
(
∂z
∂z
)2
=
√
1 = 1
desta forma, o operador diferencial nabla em coordenadas cilíndricas será:
∇ = ∂
∂r
er +
1
r
∂
∂θ
eθ +
∂
∂z
ez (1.37)
Utilizando as Equações 1.31 e 1.32 obtém-se a expressão para os vetores ortonormais
em coordenadas cilíndricas:
er = (cos θ)ex + (senθ)ey
eθ = −( senθ)ex + (cos θ)ey
ez = ez
Outras operações diferenciais importantes em coordenadas cilíndricas podem ser cal-
culados a partir do operador diferencial nabla. A divergência de um vetor, por exemplo,
pode ser obtido através do seguinte procedimento:
∇.v =
(
er
∂
∂r
+ eθ
1
r
∂
∂θ
+ ez
∂
∂z
)
.(vrer + vθeθ + vzez)
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 11
Assim,
∇.v =er.
∂(vrer)
∂r
+ er.
∂(vθeθ)
∂r
+ er.
∂(vzez)
∂z
+ eθ.
1
r
∂(vrer)
∂θ
+ eθ.
1
r
∂(vθeθ)
∂θ
+ eθ.
1
r
∂(vzez)
∂θ
+ ez.
∂(vrer)
∂z
+ ez.
∂(vθeθ)
∂z
+ ez.
∂(vzez)
∂z
∇.v = er.
{
er
∂(vr)
∂r
+ vr
∂(er)
∂r
+ eθ
∂(vθ)
∂r
+ vθ
∂(eθ)
∂r
+ ez
∂(vz)
∂z
+ vz
∂(ez)
∂z
}
+ eθ.
1
r
{
er
∂(vr)
∂θ
+ vr
∂(er)
∂θ
+ eθ
∂(vθ)
∂θ
+ vθ
∂(eθ)
∂θ
+ ez
∂(vz)
∂θ
+ vz
∂(ez)
∂θ
}
+ ez.
{
er
∂(vr)
∂z
+ vr
∂(er)
∂z
+ eθ
∂(vθ)
∂z
+ vθ
∂(eθ)
∂z
+ ez
∂(vz)
∂z
+ vz
∂(ez)
∂z
}
Sabendo-se que o produto escalar entre vetores ortonormais é nulo, pode-se escrever:
∇.v =er.
{
er
∂(vr)
∂r
+ vr
∂(er)
∂r
+ vθ
∂(eθ)
∂r
+ vz
∂(ez)
∂z
}
+ eθ.
1
r
{
vr
∂(er)
∂θ
+ eθ
∂(vθ)
∂θ
+ vθ
∂(eθ)
∂θ
+ vz
∂(ez)
∂θ
}
+ ez.
{
vr
∂(er)
∂z
+ vθ
∂(eθ)
∂z
+ ez
∂(vz)
∂z
+ vz
∂(ez)
∂z
}
Considerando as relações entre os vetores ortonormais
er = ex cos θ + ey senθ
eθ = ex(−senθ) + ey cos θ
ez = ez
obtém-se:
∂er
∂r
=
∂er
∂z
=
∂eθ
∂r
=
∂eθ
∂z
=
∂ez
∂r
=
∂ez
∂θ
= 0
∂er
∂θ
= eθ
∂eθ
∂θ
= −er
∂ez
∂z
= 1,
assim, chega-se finalmente a
∇.v = ∂(vr)
∂r
+
vr
r
+
1
r
∂(vθ)
∂θ
+
∂(vz)
∂z
1.4 Operações em Coordenadas Curvilíneas 12
∇.v = 1
r
∂(rvr)
∂r
+
1
r
∂(vθ)
∂θ
+
∂(vz)
∂z
(1.38)
Na subseção 1.4.3 serão listadas outras operações importantes em coordenadas cilín-
dricas.
1.4.2. O sistema de coordenadas esféricas
A Figura 1.4 mostra a representação de um ponto no espaço usando coordenadas esféricas,
onde r é a distância entre o ponto e a origem, θ é o ângulo formado entre r e o eixo dos z e
ϕ é o ângulo formado entre a projeção de r no plano xy e o eixo dos x. .Pode-se perceber
com facilidade que
Figura 1.4: Localização de um ponto em
um sistema de coordenadas esféricas
Figura 1.5: O elemento de volume em um
sistema de coordenadas esféricas
x = r senθ cosϕ r =
√
x2 + y2 + z2
y = r senθ senϕ ou θ = arctg
(√
x2 + y2
z
)
z = r cos θ ϕ = arctg
(y
x
)
A Figura 1.5 apresenta o elemento de volume em coordenadas esféricas. É fácil de
perceber que o volume de uma esfera é calculado a partir da equação:
dV = (rsenθdϕ)rdθdr = r2senθdrdθdϕ
V =
∫ R
0
∫ π
0
∫ 2π
0
r2 senθdrdθdϕ =
R3
3
(− cos π + cos 0)(2π) = 4
3
πR3 (1.39)
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 13
A utilização dessas equações para o caso de coordenadas esféricas,
x = r senθ cosϕ
y = r senθ senϕ
z = r cos θ
∂x
∂r
= senθ cosϕ
∂y
∂r
= senθ senϕ
∂z
∂r
= cos θ
∂x
∂θ
= r cos θ cosϕ
∂y
∂θ
= r cos θ senϕ
∂z
∂θ
= −r senθ
∂x
∂ϕ
= −r senθ senϕ ∂y
∂ϕ
= r senθ cosϕ
∂z
∂ϕ
= 0
leva a
hr =
√(
∂x
∂r
)2
+
(
∂y
∂r
)2
+
(
∂z
∂r
)2
=
√
sen2θ cos2 ϕ+ sen2θ sen2ϕ+ cos2 θ = 1
hθ =
√(
∂x
∂θ
)2
+
(
∂y
∂θ
)2
+
(
∂z
∂θ
)2
=
√
r2 cos2 θ cos2 ϕ+ r2 cos2 θ sen2ϕ+ r2 sen2θ = r
hϕ =
√(
∂x
∂ϕ
)2
+
(
∂y
∂ϕ
)2
+
(
∂z
∂ϕ
)2
=
√
r2 sen2θ sen2ϕ+ r2 sen2θ cos2 ϕ+ 0 = r senθ
desta forma, o operador diferencial nabla em coordenadas esféricas será:
∇ = ∂
∂r
er +
1
r
∂
∂θ
eθ +
1
r senθ
∂
∂ϕ
eϕ (1.40)
Analogamente, a expressão dos vetores ortonormais em coordenadas esféricas será:
er = ( senθ cosϕ)ex + ( senθ senϕ)ey + (cos θ)ez
eθ = (cos θ cosϕ)ex + (cos θ senϕ)ey − ( senθ)ez
eϕ = −( senϕ)ex + (cosϕ)ey
1.4 Operações em Coordenadas Curvilíneas 14
1.4.3. Sumário de operações envolvendo o operador diferencial
nabla
Divergência de um vetor
Coordenadas retangulares
∇.v = ∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
Coordenadas cilíndricas
∇.v = 1
r
∂
∂r
(rvr) +
1
r
∂vθ
∂θ
+
∂vz
∂z
Coordenadas esféricas
∇.v = 1
r2
∂
∂r
(r2vr) +
1
r senθ
∂
∂θ
(vθ senθ) +
1
r senθ
∂vφ
∂φ
Laplaciano de um escalar
Coordenadas retangulares
∇2s = ∂
2s
∂x2
+
∂2s
∂y2
+
∂2s
∂z2
Coordenadas cilíndricas
∇2s = 1
r
∂
∂r
(
r
∂s
∂r
)
+
1
r2
∂2s
∂θ2
+
∂2s
∂z2
Coordenadas esféricas
∇2s = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂s
∂r
)
+
1
r2 senθ
∂
∂θ
(
senθ
∂s
∂θ
)
+
1
r2 sen2θ
∂2s
∂φ2
Tensor simétrico duplo escalar gradiente de um vetor
Coordenadas retangulares
T : ∇v = Txx
(
∂vx
∂x
)
+ Tyy
(
∂vy
∂y
)
+ Tzz
(
∂vz
∂z
)
+
+ Txy
(
∂vx
∂y
+
∂vy
∂x
)
+ Tyz
(
∂vy
∂z
+
∂vz
∂y
)
+ Tzx
(
∂vz
∂x
+
∂vx
∂z
)
Coordenadas cilíndricas
T : ∇v = Trr
(
∂vr
∂r
)
+ Tθθ
(
1
r
∂vθ
∂θ
+
vr
r
)
+ Tzz
(
∂Vz
∂z
)
+
+ Trθ
[
r
∂
∂r
(vθ
r
)
+
1
r
∂vr
∂θ
]
+ Tθz
(
1
r
∂vz
∂θ
+
∂vθ
∂z
)
+ Trz
(
∂vz
∂r
+
∂vr
∂z
)
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 15
Coordenadas esféricas
T : ∇v = Trr
(
∂vr
∂r
)
+ Tθθ
(
1
r
∂vθ
∂θ
+
vr
r
)
+
+ Tφφ
(
1
r senθ
∂vφ
∂φ
+
vr
r
+
cot θ
r
vθ
)
+ Trθ
[
∂vθ
∂r
+
1
r
∂vr
∂θ
− vθ
r
]
+
+ Trφ
(
∂vφ
∂r
+
1
r senθ
∂vr
∂φ
− vφ
r
)
+ Tθφ
(
1
r
∂vφ
∂θ
+
1
r senθ
∂vθ
∂φ
− cot θ
r
vφ
)
Gradiente de um escalar
Coordenadas retangulares
∇s = ∂s
∂x
ex +
∂s
∂y
ey +
∂s
∂z
ez
Coordenadas cilíndricas
∇s = ∂s
∂r
ex +
1
r
∂s
∂θ
eθ +
∂s
∂z
ez
Coordenadas esféricas
∇s = ∂s
∂r
er +
1
r
∂s
∂θ
eθ +
1
r senθ
∂s
∂φ
eφ
Rotacional de um vetor
Coordenadas retangulares
∇× v =
(
∂vz
∂y
− ∂vy
∂z
)
ex +
(
∂vx
∂z
− ∂vz
∂x
)
ey +
(
∂vy
∂x
− ∂vx
∂y
)
ez
Coordenadas cilíndricas
∇× v =
(
1
r
∂vz
∂θ
− ∂vθ
∂z
)
er +
(
∂vx
∂z
− ∂vz
∂x
)
eθ +
(
1
r
∂
∂r
(rvθ)−
1
r
∂vr
∂θ
)
ez
Coordenadas esféricas
∇× v =
(
1
r senθ
∂
∂θ
(vφ senθ)−
1
r senθ
∂vθ
∂φ
)
ex+
+
(
1
r senθ
∂vx
∂φ
− 1
r
∂
∂φ
(rvφ)
)
eθ +
(
1
r
∂
∂r
(rvθ)−
1
r
∂vx
∂θ
)
eφ
Divergente de um tensor simétrico
Coordenadas retangulares
∇.T =
(
∂Txx
∂x
+
∂Tyx
∂y
+
∂Tzx
∂z
)
ex +
(
∂Txy
∂x
+
∂Tyy
∂y
+
∂Tzy
∂z
)
ey
+
(
∂Txz
∂x
+
∂Tyz
∂y
+
∂Tzz
∂z
)
ez
1.4 Operações em Coordenadas Curvilíneas 16
Coordenadas cilíndricas
∇.T =
(
1
r
∂
∂r
(rTrr) +
1
r
∂Trθ
∂θ
+
Tθθ
r
+
∂Trz
∂z
)
er+
+
(
1
r
∂Tθθ
∂θ
+
∂Trθ
∂r
+
2
r
Trθ +
∂Tθz
∂z
)
eθ+
+
(
1
r
∂
∂r
(rTrz) +
1
r
∂Tθz
∂r
+
∂Tzz
∂z
)
ez
Coordenadas esféricas
∇.T =
(
1
r2
∂
∂r
(r2Trr) +
1
r senθ
∂
∂θ
(Trθ senθ) +
Tθθ + Tφφ
r
+
1
r senθ
∂Trφ
∂φ
)
er+
+
(
1
r2
∂
∂r
(r2Trθ) +
1
r senθ
∂
∂θ
(Tθθ senθ) +
Trθ
r
+
1
r senθ
∂Tθφ
∂φ
− cotθ
r
Tφφ
)
eθ+
+
(
1
r2
∂
∂r
(r2Trφ) +
1
r
∂Tθφ
∂θ
+
1
r senθ
∂Tφφ
∂φ
+
Trφ
r
+
2 cot θ
r
Tθφ
)
eφ
Laplaciano de vetor
Coordenadas retangulares
∇2v =
(
∂2vx
∂x2
+
∂2vx
∂y2
+
∂2vx
∂z2
)
ex +
(
∂2vy
∂x2
+
∂2vy
∂y2
+
∂2vy
∂z2
)
ey+
+
(
∂2vz
∂x2
+
∂2vz
∂y2
+
∂2vz
∂z2
)
ez
Coordenadas cilíndricas
∇2v =
{
∂
∂r
(
1
r
∂
∂r
(rvr)
)
+
1
r2
∂2vr
∂θ2
− 2
r2
∂vθ
∂θ
+
∂2vr
∂z2
}
er+
+
{
∂
∂r
(
1
r
∂
∂r
(rvθ)
)
+
1
r2
∂2vθ
∂θ2
+
2
r2
∂vr
∂θ
+
∂2vθ
∂z2
}
eθ+
+
{
1
r
∂
∂r(
r
∂vz
∂r
)
+
1
r2
∂2vz
∂θ2
+
∂2vz
∂z2
}
ez
Capítulo 1 Uma Introdução à Álgebra Tensorial 17
Coordenadas esféricas
∇2v =
(
∇2vr −
2vr
r2
− 2
r2
∂vθ
∂θ
− 2vθ cot θ
r2
− 2
r2 senθ
∂vφ
∂φ
)
er+
+
(
∇2vθ +
2
r2
∂vr
∂θ
− 2 cos θ
r2 sen2θ
∂vφ
∂φ
− vθ
r2 sen2θ
)
eθ+
+
(
∇2vφ −
vφ
r2 sen2θ
+
2
r2 senθ
∂vr
∂φ
+
2 cos θ
r2 sen2θ
∂vφ
∂φ
)
eφ
Vetor escalar gradiente do mesmo vetor
Coordenadas retangulares
v.∇v =
(
vx
∂vx
∂x
+ vy
∂vx
∂y
+ vz
∂vx
∂z
)
ex +
(
vx
∂vy
∂x
+ vy
∂vy
∂y
+ vz
∂vy
∂z
)
ey+
+
(
vx
∂vz
∂x
+ vy
∂vz
∂y
+ vz
∂vz
∂z
)
ez
Coordenadas cilíndricas
v.∇v =
(
vr
∂vr
∂r
+
vθ
r
∂vr
∂θ
+ vz
∂vr
∂z
)
er +
(
vr
∂vθ
∂r
+
vθ
r
∂vθ
∂θ
+
vrvθ
r
+ vz
∂vθ
∂z
)
eθ+
+
(
vr
∂vz
∂r
+
vθ
r
∂vz
∂θ
+ vz
∂vz
∂z
)
ez
Coordenadas esféricas
v.∇v =
(
vr
∂vr
∂r
+
vθ
r
∂vr
∂θ
+
vφ
r senθ
∂vr
∂φ
−
v2θ + v
2
φ
2
)
er+
+
(
vr
∂vθ
∂r
+
vθ
r
∂vθ
∂θ
+
vφ
r senθ
∂vθ
∂φ
+
vrvθ
r
−
v2φ cot θ
r
)
eθ+
+
(
vr
∂vφ
∂r
+
vθ
r
∂vφ
∂θ
+
vφ
r senθ
∂vθ
∂φ
+
vrvφ
r
+
vφvθ cot θ
r
)
eφ
1.5. Teoremas Integrais para Tensores
O Teorema da divergência de Gauss é muito útil em Mecânica do Contínuo. Ele permite
transformar uma integral de volume em uma integral de superfície, ou vice-versa. Seja V o
volume de uma região fechada no espaço, circundada por uma superfície S; então existem
três formas muito importantes do Teorema de Gauss (Kreyszig, 1967; Wylie, 1975):
1.5 Teoremas Integrais para Tensores 18
1.5.1. Para uma função escalar∫ ∫ ∫
V
(∇s)dV =
∫ ∫
S
(sn)dS (1.41)
1.5.2. Para uma função vetorial∫ ∫ ∫
V
(∇.v)dV =
∫ ∫
S
(v.n)dS (1.42)
1.5.3. Para uma função tensorial de segunda ordem∫ ∫ ∫
V
(∇.T)dV =
∫ ∫
S
(T.n)dS (1.43)
onde n é o vetor unitário normal à superfície S, que tem sentido para fora da superfície.
De acordo com essa convenção, devido aos produtos escalares presentes nas Equações 1.41
a 1.42, são positivas as grandezas que saem do volume de controle através da superfície S
e negativas as grandezas que entram no volume de controle através dessa superfície.
CAPÍTULO 2
Uma Introdução à Mecânica do
Contínuo
2.1. Fundamentos
Uma forma de se estudar um problema em Mecânica do Contínuo consiste em monitorar
a variável desejada em posições bem definidas do espaço. Tal metodologia é chamada de
descrição espacial ou de Euler. Uma forma alternativa de se estudar o mesmo problema
consiste em monitorar a variável em questão acompanhando o movimento de um grupo
de partículas. Tal metodologia é chamada de descrição material ou de Lagrange. Na
concepção de Lagrange, a posição de uma partícula é dada por x = x(X, t) onde x é o vetor
de coordenadas e t é o tempo. Uma vez que duas partículas não podem ocupar ao mesmo
tempo o mesmo lugar no espaço e que uma partícula não pode ocupar simultaneamente
dois espaços distintos, a função x deve ser necessariamente bijetora, ou seja, é inversível.
Assim, pode-se escrever X = X(x, t). Seja uma propriedade ψ da mistura; na concepção
material pode-se escrever: ψ = ψ[x(t), t]. A derivada da propriedade ψ com relação
ao tempo, na concepção lagrangeana, é chamada de derivada substantiva de ψ, cuja
representação é Dψ
Dt
. Como as coordenadas da partícula de fluido são dependentes do
tempo, pode-se escrever:
Dψ
Dt
=
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
+
∂ψ
∂x1
dx1
dt
+
∂ψ
∂x2
dx2
dt
+
∂ψ
∂x3
dx3
dt
=
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
+
3∑
j=1
(
∂ψ
∂xj
dxj
dt
)
(2.1)
Reconhecendo
vj =
dxj
dt
,
v =
3∑
j=1
vj ej
e sabendo que o gradiente da função ψ é definido como
∇ψ = grad(ψ) ≡
3∑
j=1
∂ψ
∂xj
,
pode-se imediatamente escrever
3∑
j=1
(
∂ψ
∂xj
dxj
dt
)
=
3∑
j=1
(
vj
∂ψ
∂xj
)
= v · ∇ψ
19
2.1 Fundamentos 20
A derivada substantiva da variável ψ pode ser então escrita na forma compacta:
Dψ
Dt
=
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
+ v · ∇ψ (2.2)
Denomina-se um volume de controle, uma porção de espaço definida por coordenadas
espaciais. Num volume de controle pode entrar e sair massa mas ele não sofre deformação.
Define-se como um volume material aquele ocupado por um grupo de partículas de fluido
que está sendo monitorado. Um volume material se movimenta conforme a mobilidade
das partículas de fluido que subentende e, por definição, não admite entrada ou saída de
massa. As coordenadas X e x(X, t) definem, respectivamente, as posições das partículas
contidas no volume material no tempo t = 0 e num tempo t qualquer. O elemento de
volume dVo refere-se ao volume ocupado pelas partículas no instante t = 0 e o volume
dV refere-se ao volume ocupado pelas mesmas partículas num tempo t qualquer. É óbvio
que dVo não depende do tempo, o mesmo não acontecendo com dV que pode dilatar-se,
de modo a manter todas as partículas inicialmente contidas em seu interior. Pode-se
escrever:
dVo = dX1 dX2 dX3,
dV = dx1 dx2 dx3.
Figura 2.1: Volume de controle em coordenadas espaciais
Uma grandeza relacionada à medida da dilatação do volume material é dada pelo
determinante J , definido como:
J =
dV
dVo
=
∂(x1, x2, x3)
∂(X1, X2, X3)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Capítulo 2 Uma Introdução à Mecânica do Contínuo 21
Muito mais importante que a dilatação é a taxa de dilatação, ou seja, a variação de J
com o tempo:
DJ
Dt
=
D
Dt
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
DJ
Dt
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
D
Dt
∂x1
∂X1
D
Dt
∂x1
∂X2
D
Dt
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
D
Dt
∂x2
∂X1
D
Dt
∂x2
∂X2
D
Dt
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
D
Dt
∂x3
∂X1
D
Dt
∂x3
∂X2
D
Dt
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Mas
D
Dt
∂xi
∂Xj
=
∂
∂Xj
dxi
dt
=
∂vi
∂Xj
=
∂vi
∂x1
∂x1
∂Xj
+
∂vi
∂x2
∂x2
∂Xj
+
∂vi
∂x3
∂x3
∂Xj
=
∑
k
(
∂vi
∂xk
∂xk
∂Xj
)
isto é,
D
Dt
∂xi
∂Xj
=
∑
k
(
∂vi
∂xk
∂xk
∂Xj
)
=
∂vi
∂x1
∂x1
∂Xj
+
∂vi
∂x2
∂x2
∂Xj
+
∂vi
∂x3
∂x3
∂Xj
,
assim
DJ
Dt
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂v1
∂x1
∂x1
∂X1
∂v1
∂x1
∂x1
∂X2
∂v1
∂x1
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂v1
∂x2
∂x2
∂X1
∂v1
∂x2
∂x2
∂X2
∂v1
∂x2
∂x2
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2.1 Fundamentos 22
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂v1
∂x3
∂x3
∂X1
∂v1
∂x3
∂x3
∂X2
∂v1
∂x3
∂x3
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂v2
∂x1
∂x1
∂X1
∂v2
∂x1
∂x1
∂X2
∂v2
∂x1
∂x1
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂v2
∂x2
∂x2
∂X1
∂v2
∂x2
∂x2
∂X2
∂v2
∂x2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂v2
∂x3
∂x3
∂X1
∂v2
∂x3
∂x3
∂X2
∂v2
∂x3
∂x3
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂v3
∂x1
∂x1
∂X1
∂v3
∂x1
∂x1
∂X2
∂v3
∂x1
∂x1
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂v3
∂x2
∂x2
∂X1
∂v3
∂x2
∂x2
∂X2
∂v3
∂x2
∂x2
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂v3
∂x3
∂x3
∂X1
∂v3
∂x3
∂x3
∂X2
∂v3
∂x3
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ou
DJ
Dt
=
∂v1
∂x1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∂v1
∂x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+
∂v1
∂x3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∂v2
∂x1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∂v2
∂x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
Capítulo 2 Uma Introdução à Mecânica do Contínuo 23
+
∂v2
∂x3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∂v3
∂x1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∂v3
∂x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+
∂v3
∂x3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Utilizando a propriedade que faz com que seja nulo todo o determinante que apresente
duas linhas iguais, pode-se escrever:
DJ
Dt
=
∂v1
∂x1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∂v2
∂x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∂v3
∂x3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e
DJ
Dt
= J
∂v1
∂x1
+ J
∂v2
∂x2
+ J
∂v3
∂x3
= J(∇ · v) = J div(v). (2.3)
Assim, chega-se a um resultado bastante importante:
1
J
DJ
Dt
= ∇ · v (2.4)
que mostra que a dilatação do volume material está ligada à divergência do vetor veloci-
dade.
2.2. O Teorema do Transporte de Reynolds
Seja ψ(x, t) uma propriedade qualquer associada à mistura. A integral dessa propriedade
em todo o volume da mistura fornece
F (t) =
∫∫∫
ψ(x, t)dv. (2.5)
2.2 O Teorema do Transporte de Reynolds 24
A derivada substantiva de F (t) é
DF (t)
Dt
=
D
Dt
∫∫∫
ψ[x(t), t]dV. (2.6)
Conforme já comentado, a derivada substantiva é a variação da propriedade com o
tempo tomando-se por base um referencial que acompanha o volume material, isto é,
um conjunto definido de partículas da mistura. As medidas experimentais, por sua vez,
são obtidas com relação a coordenadas espaciais fixas (concepção de Euler) e, por isso, a
derivada substantiva deve ser transformada de tal forma que possa ter uma interpretação
euleriana. O Teorema do Transporte de Reynolds relaciona as concepções de Lagrange e
de Euler e, por isso, é de extrema importância na Mecânica do Contínuo.
Já foi apresentado que J = dV/dVo; assim, dV = JdVo, onde o elemento de volume
dVo não depende do tempo. Assim, a equação (2.6) pode ser modificada para
DF (t)
Dt
=
D
Dt
∫∫∫
ψ(X, t)J dVo =
∫∫∫
D
Dt
[Jψ(X, t)]dVo
=
∫∫∫
D
Dt
[Jψ]dVo
e
DF (t)
Dt
=
∫∫∫
D
Dt
[Jψ]dVo =
∫∫∫ {
J
Dψ
Dt
+ ψ
DJ
Dt
}
dVo
=
∫∫∫ {
Dψ
Dt
+ ψ
1
J
DJ
Dt
}
dVo
Mas
1
J
DJ
Dt
= ∇ · v
e
dV = JdVo
logo
DF (t)
Dt
=
∫∫∫ {
Dψ
Dt
+ ψ
1
J
DJ
Dt
}
JdVo =
∫∫∫ {
Dψ
Dt
+ ψ∇ · v
}
dV
e
DF (t)
Dt
=
D
Dt
∫∫∫
ψ[x(t), t]dV =
∫∫∫ {
Dψ
Dt
+ ψ∇ · v
}
dV (2.7)
A derivada substantiva é dada por
Dψ
Dt
=
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
+ v · ∇ψ
Capítulo 2 Uma Introdução à Mecânica do Contínuo 25
então ∫∫∫ {
Dψ
Dt
+ ψ∇ · v
}
dV =
∫∫∫ {
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
+ v · ∇ψ + ψ∇ · v
}
dV
=
∫∫∫ {
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
+∇ · ψv
}
dV
logo
D
Dt
F (t) =
D
Dt
∫∫∫
ψ[x(t), t] =
∫∫∫ {
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
+∇ · ψv
}
dV
=
∫∫∫
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫∫
{∇ · ψv}dV
(2.8)
O Teorema da divergência de Gauss dá a relação entre integrais de superfície e de
volume:∫∫∫
{∇ ·B}dV =
∫∫
B · n dS
onde B é uma grandeza vetorial. Aplicando-o à equação (2.8) obtém-se∫∫∫
{∇ · ψv}dV =
∫∫
ψv · n dS
e, finalmente
D
Dt
∫∫∫
ψ[x(t), t]dV =
∫∫∫
∂ψ
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ψv) · n dS (2.9)
A Equação (2.9) é a expressão matemática do Teorema do Transporte de Reynolds.
Ela relaciona as concepções de vista de Lagrange (1o membro) e de Euler (2o membro) e,
por isso é de extrema importância na Mecânica do Contínuo.
CAPÍTULO 3
As Equações de Conservação para
Sistemas com um Componente
3.1. Introdução
O Teorema do Transporte de Reynolds é uma ferramenta fundamental para a obtenção das
equações da conservação da massa, da quantidade de movimento e da energia. Neste capí-
tulo, serão desenvolvidas, a partir do mencionado teorema, as equações da continuidade,
do movimento e das energias mecânica e térmica para sistemas puros. É importante
ressaltar que para a obtenção dessas equações deve-se adotar a variável ψ adequada,
conforme será apresentado a seguir.
3.2. A Conservação da Massa: Equação da Continuidade
Aplicando-se o Teorema do Transporte de Reynolds para a massa contida no volume
material, adota-se
ψ =
m
V
= ρ
Nessas condições, a expressão do referido teorema é
D
Dt
∫∫∫
ρdV =
∫∫∫
∂ρ
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ρv) · n dS (3.1)
O primeiro membro da Equação (3.1) representa a variação com o tempo, da massa
do fluido contido no interior de um volume material. Como, por definição, no volume
material não ocorrem entradas ou saídas de massa e o sistema é puro não podendo,
por isso, apresentar reações químicas a ele associadas e, além disso, considerando a não
ocorrência de reações de degradação nuclear, o que possibilitaria a conversão de massa
em energia, pode-se afirmar que:
D
Dt
∫∫∫
ρdV = 0.
Levando esse resultado na Equação(3.1) chega-se a∫∫∫
∂ρ
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ρv) · n dS = 0 , (3.2)
que é a expressão integral da Equação da Conservação da Massa para fluidos puros ou,
simplesmente, Equação da Continuidade para fluidos puros em sua forma integral.
26
Capítulo 3 Equações Conservativas 27
Aplicando o teorema de Gauss à Equação(3.2)obtém-se:∫∫∫ (
∂ρ
∂t
+∇ · ρv
)
dV = 0
ou melhor
∂ρ
∂t
+∇ · ρv = 0 , (3.3)
que é a expressão da Equação da Continuidade para um fluido puro, em sua forma difer-
encial.
Algumas situações particulares muito importantes são:
1. Sistemas em estado estacionário envolvendo fluido incompressível − Neste caso, a
massa específica do fluido é constante no espaço e no tempo. A substituição dessa
restrição nas Equações (3.2) e (3.3) leva a∫∫
v · n dS = 0 (3.4)
∇ · v = 0 (3.5)
A Equação(3.4) exprime as entradas e saídas de volumes de fluido no volume de
controle. Deve-se lembrar que
v · n = |v||n| cos θ = |v| cos θ
onde θ é o ângulo formado entre o vetor velocidade do fluido e a normal à superfície
na qual o fluido está entrando ou saindo. Como, por convenção, a normal é um
vetor unitário que aponta para fora da superfície, pode-se perceber que cos θ > 0
para as saídas de fluido e cos θ < 0 para as entradas (ver Figura 3.2, 3.1 e Tabela
3.1).
Figura 3.1: Entrada de massa Figura 3.2: Saída de massa
3.2 A Equação da Continuidade 28
Tabela 3.1: Convenção de sinais para o produto v.n
Situação Ângulo Projeção
entrada de massa π/2 < θ ≤ π cos θ ≤ 1
saída de massa 0 ≤ θ < π/2 cos θ ≥ 1
Face ao exposto, normalmente a integral da Equação (3.4) pode ser simplificada em
dois somatórios:∫∫
v · n ds =
∫∫
saída
v · n ds−
∫∫
entrada
v · n ds
∼=
∑
saída
〈v〉A−
∑
entrada
〈v〉A = 0
(3.6)
onde 〈v〉 é a velocidade média da corrente de entrada ou de saída, definida como
〈v〉 = 1
A
∫∫
v · n ds (3.7)
e A é a área normal ao escoamento. O produto entre a velocidade média e a área
normal ao escoamento é conhecido como a vazão volumétrica da corrente:
Q = 〈v〉A (3.8)
2. Sistemas em estado não estacionário (transiente) envolvendo fluido incompressível
- Como no caso anterior, a massa específica do fluido é constante no espaço e no
tempo. É fácil de se mostrar que nessas condições chega-se aos mesmos resultados
da seção anterior, ou seja,∫∫
v · nds =
∑
saídas
〈v〉A−
∑
entradas
〈v〉A =
∑
saídas
Q−
∑
entradas
Q = 0
∇ · v = 0
3. Sistemas em estado estacionário envolvendo fluido compressível - Neste caso a massa
específica do fluido pode variar com a posição mas não com o tempo, uma vez que
o sistema se encontra em estado estacionário. A substituição dessa restrição nas
Equações (3.2) e (3.3) leva a
∇ · ρv = 0
∫∫
ρv · n ds =
∫∫
saídas
ρv · n ds−
∫∫
entradas
ρv · n ds
∼=
∑
saídas
〈ρ〉 〈v〉A−
∑
entradas
〈ρ〉 〈v〉A = 0
(3.9)
Capítulo 3 Equações Conservativas 29
onde 〈ρ〉 é a massa específica média em relação à área A, definida por
〈ρ〉 = 1
〈v〉A
∫∫
v · n ds (3.10)
Analogamente à definição da vazão volumétrica, define-sea vazão mássica da cor-
rente como sendo:
Ṁ = 〈ρ〉 〈v〉A (3.11)
4. Sistemas em estado não estacionário (transiente) envolvendo fluido compressível -
Este é o caso geral representado pelas Equações (3.2) e (3.3).
3.3. A Conservção da Quantidade de Movimento: A
Equação do Movimento
Aplicando-se o Teorema do Transporte de Reynolds para a quantidade de movimento
(momentum) do volume material, adota-se
ψ =
mv
V
= ρv
Nessas condições, a expressão do referido teorema é:
D
Dt
∫∫∫
ρvdV =
∫∫∫
∂ρv
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ρvv) · n dS (3.12)
O primeiro membro da Equação (3.12) representa a variação da quantidade de movi-
mento com o tempo do volume material estudado. A Segunda Lei de Newton afirma que
surge uma resultante de forças quando ocorre uma variação da quantidade de movimento
com o tempo, isto é,
D
Dt
∫∫∫
ρvdV =
D(mv)
Dt
=
∑
i
Fi.
∫∫∫
∂ρv
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ρvv) · n dS =
∑
i
Fi (3.13)
Na Física Clássica existem dois tipos básicos de forças:
• As forças de campo (Fb) , que atuam num determinado volume sem que haja
contato físico. Como exemplo de tais forças, pode-se citar a força de gravidade, a
força elétrica, a força magnética etc. A expressão de tais forças é feita através da
seguinte equação
Fb =
∫∫∫
ρb dv (3.14)
3.3 A Equação do Movimento 30
• As forças de superfície (Fx) , que atuam num determinado volume através de contato
direto com as superfícies que o envolvem. Como exemplo de tais forças pode-se citar
as forças de compressão, de pressão, de atrito etc. A expressão de tais forças é feita
através da seguinte equação:
Fs =
∫∫
T · n dS (3.15)
onde T é o tensor tensão total. As forças de superfície podem ainda ser subdivididas em
forças estáticas e forças dinâmicas. As forças estáticas são aquelas que atuam sobre as
superfícies do volume de controle mesmo que não exista movimento a ele associado e as
forças dinâmicas são aquelas que existem apenas quando o volume de fluido estudado se
encontra em movimento. Como exemplo de forças de superfície estáticas pode-se citar as
forças de pressão e das forças dinâmicas, as forças de arraste. Desdobrando-se o tensor
tensão total em dois tensores, um associado às forças estáticas e outro às forças dinâmicas
tem-se:
T = −P I− τ (3.16)
onde P é a pressão exercida sobre o volume de fluido,τ é o tensor tensão dinâmica ou
viscosa exercida sobre o mesmo volume e I é o tensor unitário, expresso pela seguinte
equação:
I = δij ei ej =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 (3.17)
Os sinais negativos presentes nas duas parcelas da Equação (3.16) devem-se à con-
venção segundo a qual forças aplicadas sobre o sistema (ou que entram no sistema) são
negativas. Desta forma, será obtido o balanço de formas que o sistema exerce sobre suas
vizinhanças.
Substituindo-se a Equação (3.16) na (3.15) e, posteriormente, substituindo o resultado
e a Equação (3.14) na Equação (3.13), obtém-se:∫∫∫
∂ρv
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ρvv) · n dS =−
∫∫
P I · n ds−
∫∫
τ · n dS
+
∫∫∫
ρb dV.
(3.18)
Aplicando o Teorema de Gauss à Equação (3.18) chega-se a:∫∫∫ {
∂ρv
∂t
∣∣∣∣
x
+∇ · (ρvv) +∇ · P I +∇ · τ − ρb
}
dV = 0
Para satisfazer a equação anterior é necessário que
∂ρv
∂t
+∇ · (ρvv) +∇ · P I +∇ · τ − ρb = 0 (3.19)
Capítulo 3 Equações Conservativas 31
Pode-se provar, utilizando álgebra tensorial, que:
∇ · P I = ∇P (3.20)
e
∂ρv
∂t
+∇ · (ρvv) = ρ
{
∂v
∂t
+ v · ∇v
}
+ v
{
∂ρ
∂t
+∇ · ρv
}
(3.21)
O termo entre chaves na segunda parcela da Equação (3.21) é nulo, uma vez que é a
expressão da equação da continuidade, Equação (3.2), assim, obtém-se finalmente
ρ
[
∂v
∂t
+ v · ∇v
]
= −∇P −∇ · τ + ρb (3.22)
Na maioria dos casos importantes em Fenômenos de Transporte, a força de campo
atuante é a gravidade. Assim, a Equação anterior pode ser escrita como
ρ
Dv
Dt
= −∇P −∇ · τ + ρg (3.23)
que é a Equação do Movimento,; todos os seus termos referem-se a forças por unidade de
volume. O seu primeiro membro representa a força inercial aplicada pelo sistema sobre
suas vizinhanças. As parcelas do segundo membro representam, respectivamente, as forças
de pressão, dinâmica de superfície (força viscosa) e de peso exercidas pelo sistema sobre
suas vizinhanças.
A tensão viscosa depende do tipo de fluido estudado. Uma categoria de fluidos muito
importante na Mecânica dos Fluidos é a dos fluidos newtonianos. Os fluidos newtonianos
são aqueles que apresentam a seguinte relação entre a tensão viscosa e o gradiente de
velocidade:
τ = −µ
(
∇v +∇vT
)
+
2
3
µ(∇ · v)I (3.24)
onde µ é a viscosidade dinâmica do fluido e ∇vT é o tensor gradiente de velocidade
transposto, isto é, utilizando notação indicial,
∇v = ∂vj
∂xi
eiej =

∂v1
∂x1
∂v2
∂x1
∂v3
∂x1
∂v1
∂x2
∂v2
∂x2
∂v3
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x3
∂v3
∂x3

,∇vT = ∂vi
∂xj
eiej =

∂v1
∂x1
∂v1
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x1
∂v2
∂x2
∂v2
∂x3
∂v3
∂x1
∂v3
∂x2
∂v3
∂x3

A Tabela 3.3 apresenta as componentes do tensor tensão em coordenadas retangulares,
cilíndricas e esféricas, para o caso de escoamento laminar de fluidos newtonianos.
3.3 A Equação do Movimento 32
Tabela 3.2: As componentes do tensor tensão para um fluido newtoniano em escoamento
laminar
Coordenadas retangulares
Txx = −µ
[
2
∂vx
∂x
− 2
3
(∇ · v)
]
, Tyy = −µ
[
2
∂vy
∂y
− 2
3
(∇ · v)
]
,
Tzz = −µ
[
2
∂vz
∂z
− 2
3
(∇ · v)
]
, Txy = Tyx = −µ
[
∂vx
∂y
+
∂vy
∂x
]
Tyz = Tzy = −µ
[
∂vy
∂z
+
∂vz
∂y
]
, Txz = Tzx = −µ
[
∂vz
∂x
+
∂vx
∂z
]
Coordenadas cilíndricas
Txx = −µ
[
2
∂vx
∂r
− 2
3
(∇ · v)
]
, Tθθ = −µ
[
2
(
1
r
∂vθ
∂θ
+
vx
r
)
− 2
3
(∇ · v)
]
,
Tzz = −µ
[
2
∂vz
∂z
− 2
3
(∇ · v)
]
, Trθ = Tθr = −µ
[
r
∂
∂r
(vθ
r
)
+
1
r
∂vx
∂θ
]
,
Tzθ = Tθz = −µ
[
∂vθ
∂z
+
1
r
∂vz
∂θ
]
, Tzr = Trz = −µ
[
∂vz
∂r
+
∂vz
∂z
]
Coordenadas esféricas
Txx = −µ
[
2
∂vx
∂r
− 2
3
(∇ · v)
]
, Tθθ = −µ
[
2
(
1
r
∂vθ
∂θ
+
vx
r
)
− 2
3
(∇ · v)
]
,
Tφφ = −µ
[
2
(
1
r sen θ
∂vφ
∂φ
+
vx
r
+
vθ cot θ
r
)
− 2
3
(∇ · v)
]
,
Trθ = Tθr = −µ
[
r
∂
∂r
(vθ
r
)
+
1
r
∂vx
∂θ
]
, Trφ = Tφr = −µ
[
1
r sen θ
∂vx
∂φ
+ r
∂
∂r
(vφ
r
)]
Tθφ = Tφθ = −µ
[
sen θ
r
∂
∂θ
( vφ
sen θ
)
+
1
r sen θ
∂vθ
∂φ
]
,
Capítulo 3 Equações Conservativas 33
Uma situação muito importante nos Fenômenos de Transporte é a que envolve es-
coamento laminar, isotérmico de um fluido newtoniano incompressível. Nessas condições
tem-se µ e ρ constantes. Sendo assim
∇ · τ = −∇ · {µ(∇v +∇vT )}+∇ · 2
3
µ(∇ · v)I (3.25)
A Segunda parcela do segundo membro da Equação (3.25) é nula, uma vez que o fluido
é incompressível. Assim
∇ · τ = −µ∇ ·
{
∇v +∇vT
}
= −µei
∂
∂xi
·
(
∂vk
∂xj
ejek +
∂vj
∂xk
ejek
)
= −µ
(
∂2vk
∂xi∂xj
δijek +
∂vj
∂xi∂xk
δijek
)
∇ · τ = −µ
(
∂2vk
∂x2i ij
ek +
∂vi
∂xi∂xk
ek
)
= −µ∇2v − µek
∂
∂xk
(
∂vi
∂xi
)
Uma vez que a ordem da diferenciação é irrelevante, no caso de funções exatas, pode-se
rescrever a equação anterior como
∇ · τ = −µ∇2v − µek
∂
∂xk
(∇ · v)
Finalmente, como o fluido é incompressível, tem-se
∇ · τ = −µ∇2v (3.26)
A substituição da Equação (3.26) na Equação (3.23) leva a
ρ
Dv
Dt
= −∇P + µ∇2v + ρg (3.27)
que é a expressão da Equação de Navier-Stokes. Vale a pena relembrar que a referida
equação é válida para descrever o movimento de fluidos newtonianos que apresentam ρ e
µ constantes.
Uma outra equação muito importante é aquela que trata do movimento de fluidos
ideais. Um fluido ideal é aquele que não transfere quantidade de movimento, ou seja,
apresenta τ = 0.
ρ
Dv
Dt
= −∇P + ρg (3.28)
que é a chamada Equação de Euler. Para o caso de fluidos incompressíveis, pode-se definir
a pressão piezométrica como sendo
ς = P − ρ g h
3.3 A Equação do Movimento 34
onde h é a altura medida de baixo para cima. Substituindo essa definição na Equação
(3.28) obtém-se a Equação de Euler na sua forma compacta:
ρ
Dv
Dt
= −∇ς (3.29)
3.4. A Conservação da Energia: As Equações da energia
mecânica e da energia térmica
Aplicando-se o Teorema do Transporte de Reynolds para a energia total do volume ma-
terial, adota-se
ψ = ρE
onde E é a energia total específica(energia por unidade de massa). Nessas condições, a
expressão do referido teorema é:
D
Dt
∫∫∫
ρE dV =
∫∫∫
∂ρE
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ρEv) · n dS (3.30)
O primeiro membro da Equação (3.30) representa a variação da energia total do volume
material com o tempo. A energia pode penetrar no volume material sob a forma de calor
e de trabalho trocado com suas vizinhanças.
A entrada de calor no volume material através de seus contornos pode ser representada
pela seguinte integral
q̇ =
∫∫
q · n dS (3.31)
onde q é o fluxo local de calor. Observe-se que a integral anterior será positiva para as
saídas e negativa para as entradas de calor.
A entrada de energia no sistema sob a forma de trabalho ocorre devido ao deslocamento
provocado no volume material devido às forças presentes na Equação do Movimento, isto
é:
Ẇ = −
∫∫
P I.v · n ds−
∫∫
τ · v.ndS +
∫∫∫
ρv.bdV (3.32)
D
Dt
∫∫∫
ρE dV =−
∫∫
P I.v · nds−
∫∫
τ · v.ndS +
∫∫∫
ρv.bdV
−
∫∫
q · n dS
(3.33)
Comparando as Equações (3.33)e (3.30), tem-se∫∫∫
∂ρE
∂t
∣∣∣∣
x
dV +
∫∫
(ρEv) · n dS =−
∫∫
P I.v · nds−
∫∫
τ · v.nds
+
∫∫∫
ρv.bdV −
∫∫
q · ndS
Capítulo 3 Equações Conservativas 35
Aplicando o Teorema de Gauss na equação anterior tem-se:∫∫∫ {
∂ρE
∂t
∣∣∣∣
x
+∇ · (ρEv) +∇ · (Pv) +∇ · (τ · v)− ρv.b +∇ · q
}
dV = 0
Uma vez que dV é arbitrário, a única maneira de satisfazer a equação anterior para
todos os casos possíveis é garantindo que
∂ρE
∂t
+∇ · (ρEv) = −∇ · (Pv)−∇ · (τ · v) + ρv.b−∇ · q (3.34)
O primeiro membro da Equação (3.34) pode ser desdobrado da seguinte forma:
∂ρE
∂t
+∇ · (ρEv) = ρ
{
∂E
∂t
+ v · ∇E
}
+ E
{
∂ρ
∂t
+∇ · ρv
}
,
cuja Uma vez que a expressão entre chaves na primeira parcela do segundo membro é a
derivada substantiva da energia total e que a segunda parcela do segundo membro é nula,
uma vez que a expressão entre chaves é a própria Equação da Continuidade, Equação
(3.3), pode-se rescrever a equação anterior
∂ρE
∂t
+∇ · (ρEv) = ρ
{
∂E
∂t
+ v · ∇E
}
= ρ
DE
Dt
.
Substituindo-se este resultado na Equação (3.34) chega-se a:
ρ
DE
Dt
= −∇ · (Pv)−∇ · (τ · v) + ρv.b−∇ · q. (3.35)
Todos os termos da equação anterior referem-se a taxas de energia por unidade de
volume. As duas primeiras parcelas do segundo membro correspondem, respectivamente,
às entradas de energia no volume de fluido devido aos efeitos de pressão e de transferência
de quantidade de movimento das vizinhanças para o fluido. O termo ρv.b representa
a energia potencial do volume de fluido e o termo ∇.q representa a entrada de energia
no volume de fluido devido à entrada de energia sob a forma de calor através das suas
fronteiras.
Nos casos mais importantes em Engenharia, a energia total E é representada pela
soma das energias interna e cinética do volume de fluido, ou seja,
E = U +
v2
2
.
Substituindo-se este resultado na Equação (3.35), obtém-se a Equação da Energia
total:
ρ
D
Dt
{
U +
v2
2
}
= −∇ · (Pv)−∇ · (τ · v) + ρv.b−∇ · q (3.36)
3.4 A Equação da Energia 36
Para se obter a Equação da Energia Térmica, é preciso subtrair da Equação (3.36) a
Equação da Energia Mecânica, que é obtida através do produto escalar entre a Equação
do Movimento e o vetor velocidade, ou seja,
ρv · Dv
Dt
= −v · ∇P − v · ∇ · τ + ρv · g
Utilizando álgebra tensorial, pode-se demonstrar que o primeiro membro da equação
anterior é
ρv · Dv
Dt
= ρ
D
Dt
{
v2
2
}
.
Assim, a Equação da Energia Mecânica é :
ρ
D
Dt
{
v2
2
}
= −v · ∇P − v · ∇ · τ + ρv · g (3.37)
A subtração da Equação (3.37) da Equação (3.36) leva à Equação da Energia Térmica
em termos da Energia Interna para o fluido:
ρ
D U
Dt
= − [∇ · (Pv)− v · ∇P ]− [∇ · (τ · v)− v · ∇ · τ ]−∇ · q (3.38)
Novamente, utilizando álgebra tensorial, pode-se provar que
∇ · (Pv) = v · ∇P + P∇ · v
e, considerando que o tensor tensão é simétrico, ou seja, τij = τji
∇ · (τ · v) = v · ∇ · τ + τ : ∇v.
Substituindo-se esses resultados na Equação (3.38), chega-se a
ρ
D U
Dt
= −P∇ · v − τ : ∇v −∇ · q (3.39)
que é a expressão compacta da Equação da Energia Térmica em termos de energia interna.
Para se obter a Equação da Energia Térmica em termos de temperatura do sistema, é
necessário considerar alguns desenvolvimentos termodinâmicos. Seja a energia interna do
sistema uma função do volume deste e de sua temperatura, U(T, V ). A diferencial total
da função U(T, V ) será:
dU =
(
∂U
∂T
)
v
dT +
(
∂U
∂V
)
T
dV
A primeira derivada representa o calor específico à volume constante , Cv, então
dU = CvdT +
(
∂U
∂V
)
T
dV. (3.40)
Capítulo 3 Equações Conservativas 37
Para o caso de sistemas fechados, sabe-se que
dU = TdS − PdV
onde S é a entropia do sistema. Utilizando-se a equação anterior pode-se escrever(
∂U
∂V
)
T
= T
(
∂S
∂V
)
T
− P
(
∂V
∂V
)
T
= T
(
∂S
∂V
)
T
− P.
Uma das relações de Maxwell é:(
∂S
∂V
)
T
=
(
∂P
∂T
)
V
logo (
∂U
∂V
)
T
=
(
∂P
∂T
)
V
− P.
Substituindo esse resultado na Equação (3.40) tem-se:
dU = CvdT +
[
T
(
∂P
∂T
)
V
− P
]
dV.
Substituindo a equação anterior no Equação (3.39) obtém-se
ρCv
D T
Dt
− ρP DV
Dt
− ρT
(
∂P
∂T
)
V
DV
Dt
= −P∇ · v − τ : ∇v −∇ · q (3.41)
Sabe-se que V = 1/ρ, logo
ρ
DV
Dt
= ρ
D
Dt
(
1
ρ
)
= −1
ρ
Dρ
Dt
;
uma forma alternativa de se escrever a Equação da Continuidade é
Dρ
Dt
+ ρ∇ · v = 0
então
ρ
DV
Dt
= −1
ρ
Dρ
Dt
= −∇ · v.
Substituindo esse resultado na Equação (3.41) obtém-se
ρCv
D T
Dt
= −T
(
∂P
∂T
)
V
∇ · v − τ : ∇v −∇ · q (3.42)
que é a Equação da Energia Térmica em termos de temperatura e de fluxo de calor.
Quando existir geração de calor, por exemplo devido à passagem de uma corrente elétrica
pelo volume de fluido, deve-se adicionar ao segundo membro da Equação (3.42) um termo
de geração volumétrico de energia (GV), ou seja, a referida equação passa a ser:
ρCv
DT
Dt
= −T
(
∂P
∂T
)
V
∇ · v − τ : ∇v −∇ · q +GV (3.43)
CAPÍTULO 4
Estudo de Casos: Sistemas com um
Componente
4.1. A Equação de Bernoulli para Fluidos Ideais
A equação de Bernoulli para fluidos ideais, ou simplesmente equação de Bernoulli, é de-
duzida através da integração da equação de Euler ao longo da trajetória de uma partícula
de fluido:[
ρ
Dv
Dt
+ ∇P − ρg
]
· dS = 0 (4.1)
onde
Dv
D t
=
∂v
∂t
+ v ·∇v ,
∇P =
3∑
i=1
∂P
∂xi
ei ,
g =
3∑
i=1
gi ei ,
dS =
3∑
i=1
dxi ei
Seja um escoamento tridimensional, laminar e permanente de um fluido ideal. Os
termos da Eq.(4.1) para este caso, em notação indicial, serão:
D v
D t
· dS = Dvi ei
Dt
· dxj ej =
Dxj
Dt
dvi ei · ej =
Dxj
Dt
dviδij =
Dxi
Dt
dvi = vidvi
= d
(
v2i
2
)
= d
(
v2
2
)
∇P · dS = ∂P
∂xi
ei · dxj ej =
∂P
∂xi
dxj δij =
∂P
∂xi
dxi = dP
g · dS = giei · dxj ej = gi dxjδij = gi dxi
A Eq. (4.1), em notação indicial, passa a ser:
ρd
(
v2
2
)
= −dP + ρgidxi (4.2)
38
Capítulo 4 Estudo de Casos 39
Escolhendo-se o eixo de referência na vertical e apontando para cima, tem-se gidxi =
−gdh
d
v2
2
+
dP
ρ
+ g dh = 0 ,
cuja integração leva a
v2
2
+
∫
dP
ρ
+ gh = constante ,
que é a expressão da Equação de Bernoulli.
Para o escoamento de um fluido incompressível tem-se, finalmente,
v21
2
+
P1
ρ
+ gh1 =
v22
2
+
P2
ρ
+ gh2
CAPÍTULO 5
Os Sistemas Multicompostos e
Multifásicos
5.1. Fundamentos da Teoria das Misturas da Mecânica
do Contínuo
A Teoria das Misturas da Mecânica do Contínuo pressupõe que cada partícula de fluido
numa dada região do espaço é ocupada simultaneamente por todos os constituintes da
mistura. A densidade mássica aparente de um constituinte da mistura é definido pela
seguinte equação:
ρi = lim
∆v→0
∆mi
∆v
=
dmi
dV
, (5.1)
ou
mi =
∫
ρidV, (5.2)
onde mi é a massa do constituinte i contida na região do espaço,ρi é a densidade mássica
aparente do componente i na mistura, que não deve ser confundida com a massa específica
do componente puro,ρi. A densidade ρi(x, t) é uma medida da concentração mássica do
constituinte i no volume V da mistura no ponto espacial xe no tempo t. Em outras
palavras,ρi é a razão entre a massa do constituinte i no elemento de volume e o volume
desseelemento. A massa específica da mistura é definida como:
ρ =
1
dV
N∑
j=1
dmj =
N∑
j=1
dmj
dV
=
∑
m=1
Nρj (5.3)
onde N é o número de constituintes da mistura.
Na modelagem de sistemas sólido−fluido é conveniente introduzir-se as frações volumétri-
cas do fluido,
εF = ε = lim
∆V→0
∆VF
∆V
=
dVF
dV
, (5.4)
ou simplesmente porosidade, e do sólido,
εS = lim
∆V→0
∆Vs
∆V
=
dVS
dV
. (5.5)
40
Capítulo 5 Os Sistemas Multicompostos e Multifásicos 41
Se a mistura for constituída por apenas um sólido e um fluido tem-se V = VF + VS e
obtém-se imediatamente
εS = 1− ε. (5.6)
Denotando-se por ρF e ρS , respectivamente, as massas específicas dos constituintes
fluido e sólido puros, pode-se concluir com facilidade que:
ρS = ρSεS = ρS(1− ε), (5.7)
ρF = ρF εF = ρF ε. (5.8)
Uma outra definição extremamente importante é a da velocidade mássica média ou,
simplesmente, velocidade baricêntrica:
v =
1
ρ
N∑
j=1
ρjvj =
N∑
j=1
Wjvj , (5.9)
onde vj é a velocidade do constituinte j medida a partir de um referencial inercial e wj
é sua fração mássica. A velocidade de difusão de um constituinte qualquer da mistura
é definida como sendo a diferença entre a sua velocidade e a velocidade mássica média,
ambas medidas a partir de um referencial inercial:
ui = vi − v . (5.10)
5.2. A Equação da Continuidade para uma Mistura e
seus Constituintes
Seja um conjunto de partículas no interior de um volume material que se move com
velocidade v. Como, pela própria definição do volume material, não há entrada ou saída
de massa de seu interior, pode-se escrever que o balanço de massa para um constituinte i
qualquer da mistura, na ausência de reação química, é:
D
Dt
∫∫∫
ρi dV = 0 (5.11)
Utilizando o Teorema do Transporte de Reynolds na equação (5.11) obtém-se∫∫∫
∂ρi
∂t
dV +
∫∫
(ρivi) · n dS = 0 ,
que, com auxílio do Teorema da divergência leva a∫∫∫ {
∂ρi
∂t
+∇ · (ρivi)
}
dV = 0 .
5.2 Conservação da Massa 42
Como dV 6= 0, obtém-se
∂ρi
∂t
+∇ · (ρivi) = 0
e, visto que ρi = ρiεi, obtém-se finalmente
∂
∂t
(ρiεi) +∇ · (ρiεivi) = 0 (5.12)
que é a equação da continuidade para um componente i qualquer da mistura
O balanço de massa para a mistura leva a:
D
Dt
∫∫∫
ρ dV =
∫∫∫
∂ρ
∂t
dV +
∫∫
(ρv) · n dS =
∫∫∫ {
∂ρ
∂t
+∇ · (ρv)
}
dV = 0 ,
ou seja,
∂ρ
∂t
+∇ · (ρv) = 0 , (5.13)
que é a equação da continuidade para a mistura, onde r é a massa específica da mistura
e v a velocidade mássica média (ou baricêntrica), definidas por:
ρ =
∑
i
ρi =
∑
i
ρiεi , (5.14)
v =
1
ρ
∑
i
ρivi =
∑
i ρivi∑
j ρi
=
∑
i ρiεivi∑
j ρiεi
. (5.15)
5.3. A Equação do Movimento para a Mistura e seus
Constituintes
A equação do movimento é, na realidade, a utilização da segunda lei de Newton para o
fluido, ou seja, é um balanço de forças:
D
Dt
(mv)i =
∑
j
(Fj)i
onde Fj são as diversas forças que atuam no volume material e o índice i representa um
constitutinte qualquer da mistura. O produto (mv)i é mais convenientemente represen-
tado pela integral de volume:
(mv)i =
∫∫∫
ρivi dV ,
assim
D
DT
∫∫∫
ρivi dV =
∑
j
(Fj)i ,
Capítulo 5 Os Sistemas Multicompostos e Multifásicos 43
que, utilizando o Teorema do Transporte de Reynolds, produz∫∫∫
∂
∂i
(ρivi) dV +
∫∫
(ρivivi) · n dS =
∑
j
(Fj)i , (5.16)
onde vivi representa o produto tensorial entre os vetores velocidades, que produz um
tensor, como resultado da operação entre esses dois vetores.
Um ponto importante na dedução das equações do movimento consiste em determinar
as diversas forças que atuam sobre o constituinte i no volume material. Da Física Clássica
sabe-se que as forças podem ser divididas em dois tipos:
• as forças de campo, que são aquelas que atuam sobre o constituinte i contido no
volume material, sem que haja contato físico (forças de gravidade, elétrica, eletro-
magnética etc); sua expressão matemática é∫∫∫
(ρib) dV
onde b é o campo de forças;
• as forças de superfície, que são aquelas que atuam sobre o constituinte i contido
no volume material através de contato físico por suas fronteiras (forças de tensão,
pressão, compressão etc); sua expressão matemática é∫∫
Ti · n dS
onde Ti é o tensor tensão no constituinte i.
A Teoria das Misturas introduz um termo devido à força exercida sobre o constituinte
i, provocada pelos demais componentes, diferentes de i, contidos no volume material. Tal
termo é comumente chamado de força de interação. A expressão matemática dessa força
é ∫∫∫
(ρili) dV .
Pode-se então escrever que o somatório das forças que atuam sobre o componente i é dado
por: ∑
j
(Fj)i =
∫∫∫
(ρib) dV +
∫∫
Ti · n dS +
∫∫∫
(ρili) dV .
Tal resultado, quando substituído na Equação (5.16), leva a:∫∫∫
∂
∂i
(ρivi) dV +
∫∫
(ρivivi) · n dS =
∫∫∫
(ρib) dV +
∫∫
Ti · n dS+
+
∫∫∫
(ρili) dV
(5.17)
5.3 A conservação do Momento 44
A aplicação do Teorema da Divergência de Gauss à equação (5.17) produz
∂
∂i
(ρivi) +∇ · (ρivivi) = ρib+∇ · Ti + ρili . (5.18)
Utilizando álgebra tensorial, é fácil mostrar que:
∇ · (ρivivi) = vi (∇ · ρivi) + ρivi · ∇vi
e
∂
∂i
(ρivi) = ρi
∂vi
∂i
+ vi
∂ρi
∂i
.
A substituição desses resultados na equação (5.18) leva a:
ρi
∂vi
∂i
+ vi
∂ρi
∂i
+ vi(∇ · ρivi) + ρivi · ∇vi = ρib+∇ · Ti + ρili
ρi
[
∂vi
∂i
+ vi · ∇vi
]
+ vi
[
∂ρi
∂i
+ (∇ · ρivi)
]
= ρib+∇ · Ti + ρili . (5.19)
O segundo termo entre colchetes é a expressão da equação da continuidade para o
componente i, que é igual a zero, logo tem-se
ρi
[
∂vi
∂i
+ vi · ∇vi
]
= ρib+∇ · Ti + ρili
ou ainda
ρi
[
∂vi
∂i
+ vi · ∇vi
]
= ρiεib+∇ · Ti + ρiεili
5.4. Aplicação para o Caso de Sistemas Sólido-Fluido
As equações desenvolvidas na Seção anterior podem ser utilizadas para descrever o com-
portamento de misturas sólido-fluido,
ρF εF
[
∂vF
∂i
+ vF · ∇vF
]
= ρF εF b+∇ · TF + ρF εF lF (5.20)
para o fluido e
ρSεS
[
∂vS
∂i
+ vS · ∇vS
]
= ρSεSb+∇ · TS + ρSεSlS (5.21)
para o sólido
O Grupo de Sistemas Particulados da COPPE / UFRJ sugeriu que se desdobre a força
de interação em dois termos:
ρF εF lF = −[m− ρF (1− εF )b] :
Capítulo 5 Os Sistemas Multicompostos e Multifásicos 45
onde m é a chamada força resistiva, que representa a força exercida pelo fluido sobre o
sólido (matriz porosa) a menos da força de empuxo. Assim, sabendo que a soma das
forças de interação sólido-fluido e fluido-sólido deve ser nula (terceira lei de Newton),∑
i
ρiεili = ρSεSlS + ρF εF lF = 0
chega-se às equações do movimento em suas formas mais usuais:
ρF εF
[
∂vF
∂i
+ vF · ∇vF
]
= ∇ · TF −m+ ρF b (5.22)
ρSεS
[
∂vS
∂i
+ vS · ∇vS
]
= ∇ · TS +m+ (ρS − ρF )εSb (5.23)
A equação do movimento para a mistura é obtida somando-se as Equações (5.22) e
(5.23) ou efetuando-se o balanço de forças para a mistura. É importante salientar que∑
i
ρIεili = 0 (5.24)
O resultado final é
ρ
[
∂v
∂i
+ v · ∇v
]
= ∇ · T + ρb
onde v é a velocidade baricêntrica da mistura, T a tensão total atuando sobre a mistura
e r sua massa específica.
Alguns autores costumam escrever as equações do movimento utilizando uma outra
simbologia:
ρF εF
[
∂vF
∂i
+ (grad vF )vF
]
= div TF −m+ ρF b (fluido)
ρSεS
[
∂vS
∂i
+ (grad vS)vS
]
= div TS +m+ (ρS − ρF )εSb (sólido)
ρ
[
∂v
∂i
+ (grad v)v
]
= div T + ρb (mistura)
onde (grad vi)vi representa a operação linear entre o tensor gradiente de velocidade e o
vetor velocidade (multiplicação de uma matriz quadrada por um vetor coluna) e div Ti
representa a divergência do tensor tensão.
	Uma Introdução à Álgebra Tensorial
	Vetores
	Adição entre vetores (+,-), que produz um vetor
	Multiplicação entre um vetor e um escalar, que produz um vetor
	Produto escalar ou interno (.), que produz um escalar
	Produto vetorial (x), que produz um vetor ortogonal ao plano definido pelos dois vetores operantes
	Produto triplo, que produz um escalar a partir da operação entre três vetores
	Produto tensorial ou diádico, que produz tensor de segunda ordem a partir da operação de dois vetores
	Tensores
	Adição
	Multiplicação de um tensor de segunda ordem por um escalar
	Produto entre dois tensores de segunda ordem gerando um escalar (duploproduto escalar)
	Produto entre dois tensores de segunda ordem gerando um tensor de segunda ordem (produto escalar)
	Produto entre um vetor e um tensor de ordem dois, gerando um vetor
	O Operador Diferencial NABLA
	Gradiente de um escalar, que produz um vetor,
	Gradiente de um vetor, que produz um tensor de segunda ordem
	Divergência de um vetor, que produz um escalar
	Divergência de um tensor, que produz um vetor
	Laplaciano de um escalar (ou divergência do gradiente de um escalar), que produz um escalar
	Laplaciano de um vetor (ou divergência do gradiente de um vetor), que produz um vetor
	Operações em Coordenadas Curvilíneas
	O sistema de coordenadas cilíndricas
	O sistema de coordenadas esféricas
	Sumário de operações envolvendo o operador diferencial nabla
	Teoremas Integrais para Tensores
	Para uma função escalar
	Para uma função vetorial
	Para uma função tensorial de segunda ordem
	Uma Introdução à Mecânica do Contínuo
	Fundamentos
	O Teorema do Transporte de Reynolds
	Equações Conservativas
	Introdução
	A Equação da Continuidade
	A Equação do Movimento
	A Equação da Energia
	Estudo de Casos
	A Equação de Bernoulli
	Os Sistemas Multicompostos e Multifásicos
	Teoria das Misturas
	Conservação da Massa
	A conservação do Momento
	Sistemas Sólido-Fluido