ÁLGEBRA VETORIAL

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ÁLGEBRA VETORIAL
PROFESSOR GILMAR TEODOZIO
INTRODUÇÃO
 Os métodos algébricos da Geometria Cartesiana de Fermat e
Descartes influenciaram enormemente a matemática por quase 200
anos, até que foram necessários métodos mais diretos e livres de
coordenadas na geometria.
 Em 1832, Giusto Bellavitis publicou um trabalho onde é apresentado
o conceito de equipolência entre segmentos que é, basicamente, a
noção de vetor que conhecemos e que foi formalizada em 1844 por
Hermann Grassmann no seu Die Lineale Ausdehnungs-lehre, ein
neuer Zweig der mathematik ( Teoria de Extensão Linear, um novo
ramo da Matemática ).
SEGMENTO ORIENTADO
DEFINIÇÃO: É literalmente um segmento de reta orientado, com origem em um
ponto e extremidade final em outro ponto, com INTENSIDADE, MÓDULO OU
NORMA ( comprimento, tamanho ou distância entre os pontos extremos ),
DIREÇÃO E SENTIDO definidos pela seta. O segmento orientado com origem em
um ponto A e término em um ponto B é representado por 𝐴𝐵.
Sejam A(a1,a2) e B(b1,b2) dois pontos do plano cartesiano, temos:
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2 e 𝐵𝐴 = 𝐴 − 𝐵 = 𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2
a1
a2
b1
b2
𝐴𝐵A
B
SEGMENTO ORIENTADO
No espaço, sejam A(a1,a2,a3) e B(b1,b2,b3), temos que:
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2, 𝑏3 − 𝑎3
e
𝐵𝐴 = 𝐴 − 𝐵 = 𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2, 𝑎3 − 𝑏3
Podemos denominar estes dois tipos de segmentos 
orientados de segmentos orientados opostos ou simétricos.
EQUIPOLÊNCIA
 Considerando A, B, C e D, quatro pontos de um sistema de
coordenadas cartesianas. Dizemos que os segmentos
orientados AB ( segmento de reta com origem no ponto A e
extremidade no ponto B ) e CD ( segmento de reta com
origem em C e extremidade em D ) são equipolentes, e
escrevemos AB ≡ CD, quando satisfazem às seguintes três
propriedades:
 (a) têm o mesmo comprimento;
 (b) são paralelos ou colineares;
 (c) têm o mesmo sentido.
VETOR
 Podemos definir vetor como sendo um conjunto infinito de segmentos
orientados equipolentes, ou seja, o conjuntos de todos os segmentos
orientados que possuem as três propriedades:
 (a) têm o mesmo comprimento;
 (b) são paralelos ou colineares;
 (c) têm o mesmo sentido.
OBSERVAÇÃO: Dados os pontos A(a1,a2) e B(b1,b2) num plano, as
coordenadas do vetor 𝑣 = 𝐴𝐵 = 𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2 e do vetor 𝑣 = 𝐵𝐴 =
𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2 . Dados A(a1,a2,a3) e B(b1,b2,b3) no espaço, então 𝑣 =
𝐴𝐵 = 𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2, 𝑏3 − 𝑎3 .
VETOR SIMÉTRICO OU OPOSTO
 Dizemos que dois vetores são simétricos ou opostos se
satisfazerem as seguintes propriedades:
 (a) têm o mesmo comprimento;
 (b) são paralelos ou colineares;
 (c) têm sentidos opostos.
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
 Se 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 ↔ ponto médio de AD = ponto médio de BC.
 Se 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 ↔ 𝐴𝐶 ≡ 𝐵𝐷.
 Dados três pontos A, B e C, existe um único ponto D tal que 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷.
 Dados os pontos A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2) e D(d1,d2), se 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 ↔ b1 –
a1 = d1 – c1 e b2 – a2 = d2 – c2.
 𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐵 ( reflexiva ).
 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 ↔ 𝐶𝐷 ≡ 𝐴𝐵 ( simétrica ).
 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 e 𝐶𝐷 ≡ 𝐸𝐹 → 𝐴𝐵 ≡ 𝐸𝐹.
 Se 𝑣 = 𝐴𝐴, qualquer que seja A, então 𝑣 = 0, é um correspondente do 
vetor nulo.
EXEMPLO
 Dados os pontos A(2,2), B(3,-2) e C(-2,0), encontre as 
coordenadas:
a) dos vetores 𝑣 =𝐴𝐵, 𝑢 = 𝐵𝐶 e 𝑤 = 𝐶𝐴.
b) dos vetores simétricos aos vetores do item a.
c) do ponto D tal que 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷.
NORMA DE UM VETOR
(INTENSIDADE, MÓDULO, COMPRIMENTO, TAMANHO)
Como a norma do vetor corresponde ao comprimento do segmento
orientado, portanto, é equivalente a distância entre os pontos inicial e
final do segmento. No plano temos:
Pelo teorema de Pitágoras temos:
𝑑𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑏1 − 𝑎1
2 + 𝑏2 − 𝑎2
2
a1
a2
b1
b2
A
B
NORMA DE UM VETOR
(INTENSIDADE, MÓDULO, COMPRIMENTO, TAMANHO)
No espaço, ocorre o mesmo que no plano, a norma corresponde a distância
entre os pontos inicial e final do segmento orientado, daí teremos uma
coordenada a mais e portanto:
𝐴𝐵 = 𝑏1 − 𝑎1
2 + 𝑏2 − 𝑎2
2 + 𝑏3 − 𝑎3
2
Geometricamente, vemos também que a norma corresponde a diagonal de 
um paralelepípedo, daí temos:
𝑑𝐴𝐵 = D = |𝐴𝐵|
Figura 36 – Paralelepípedo
b1-a1
b2- a2
b3-a3
d
D
x
y
z
A
B
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Uma circunferência C com centro C(a,b) é o conjunto 
dos pontos de um plano π situados à mesma distância r>0 
(raio) do ponto C, ou seja:
C = {P∊ π / d(P,C) = r}
Considerando P(x,y), temos:
d(P,C) = r
d(P,C)2 = r2
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
EQUAÇÃO DA ESFERA
Uma esfera E com centro C(a,b,c) é o conjunto dos 
pontos do espaço situados à mesma distância r>0 ( raio ) do 
ponto C, ou seja:
C = {P∊ R3 / d(P,C) = r}
Considerando P(x,y,z), temos:
d(P,C) = r
d(P,C)2 = r2
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2
ADIÇÃO DE VETORES
DEFINIÇÃO: 1) Se 𝑢 e 𝑣 são vetores posicionados de maneira que o ponto inicial
de 𝑣 o ponto terminal de 𝑢, então a soma 𝑢 + 𝑣 é o vetor do ponto inicial de 𝑢 ao
ponto terminal de 𝑣. ( lei do polígono ).
2) Se posicionarmos 𝑢 e 𝑣 de maneira que eles comecem no mesmo ponto, então
𝑢 + 𝑣 estará ao longo da diagonal do paralelogramo com 𝑢 e 𝑣 como lados com
mesma origem. ( lei do paralelogramo ).
𝑢
 𝑣
𝑢
 𝑣
𝑢 + 𝑣
𝑢 + 𝑣
ADIÇAO DE VETORES
3) Seja 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 e 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 vetores do plano expressos em termos de suas
coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXY. Então:
𝑢 + 𝒗 = 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2
4) Seja 𝑢 = u1,u2,u3 e 𝑣 = v1,v2,v3 vetores do espaço expressos em termos de
suas coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXYZ. Então:
𝑢 + 𝒗 = u1 + v1,u2 + v2,u3 + v3
5) Considerando 𝑢 e 𝑣, dois vetores de mesma origem que formam entre si um
ângulo θ, Pela lei dos cossenos, temos que:
𝑢 + 𝑣 = 𝑢 2 + 𝑣 2 + 2 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ cos 𝜃
SUBTRAÇAO DE VETORES
DEFINIÇÕES:
1) Se posicionarmos 𝑢 e 𝑣 de maneira que eles comecem no mesmo ponto,
então 𝑢 − 𝑣 vai da extremidade de 𝑣 a extremidade de 𝑢 e 𝑣 − 𝑢 vai da
extremidade de 𝑢 a extremidade de 𝑣.
2) Seja 𝑢 = u1,u2 e 𝑣 = v1,v2 vetores do plano expressos em termos de suas
coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXY. Então:
𝒖 − 𝒗 = u1 − v1,u2 − v2
3) Seja 𝑢 = u1,u2,u3 e 𝑣 = v1,v2,v3 vetores do espaço expressos em termos de
suas coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXYZ. Então:
𝒖 − 𝒗 = u1 − v1,u2 − v2,u3 − v3
𝑢
 𝑣 𝑢 − 𝑣
SUBTRAÇAO DE VETORES
4) Considerando 𝑢 e 𝑣, dois vetores de mesma origem que 
formam entre si um ângulo θ, Pela lei dos cossenos, temos 
que:
𝑢 − 𝑣 = 𝑢 2 + 𝑣 2 − 2 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ cos 𝜃
PRODUTO DE UM ESCALAR POR VETOR
DEFEINIÇÃO: O produto de λ ∊ R por 𝑣 = 𝐴𝐵 é o vetor λ 𝑣 = λ𝐴𝐵, representado 
pelo segmento orientado 𝐴𝐶, tal que:
(a) A, B e C são colineares;
(b) d(A,C) = λ d(A,B);
(c) C = A se λ = 0;
(d) Os segmentos orientados 𝐴𝐶 e 𝐴𝐵 têm igual sentido se λ > 0, e sentidos 
opostos se λ < 0.
EXEMPLO:
 𝑣
2 𝑣 -3 𝑣
PRODUTO DE UM ESCALAR POR VETOR
Seja 𝑣 =< 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 > e λ ∊ R, então:
λ∙ 𝑣 =< λ ∙ 𝑣1, λ ∙ 𝑣2, … , λ ∙ 𝑣𝑛 >
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM VETORES
1) PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
1.1) COMUTATIVIDADE: 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖.
1.2) ASSOCIATIVIDADE: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤.
1.3) EXISTÊNCIA DO ELEMENTO NEUTRO ADITIVO: O
vetor nulo 0 é tal que: 𝒖 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒖.
1.4) EXISTÊNCIA DO INVERSO ADITIVO ( OPOSTO OU
SIMÉTRICO ): 𝒖 + −𝒖 = 𝟎.
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM VETORES
2) PROPRIEDADE DA MULTIPLICAÇÃO DE ESCALARES
POR VETOR
2.1) ASSOCIATIVA : λ(μ 𝑣) = (λμ) 𝑣.
2.2) EXISTÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO
MULTIPLICATIVO : O NÚMERO 1 ∊ R é tal que 1𝑢 = 𝑢.
2.3) PROPRIEDADES DISTRIBUTIVAS :
λ(𝒖 + 𝒗) = λ𝑢 + λ 𝑣 e (λ + μ)𝑢 = λ𝑢 + μ𝑢
PONTO MÉDIO
Como M está a mesma distância de A e B:
Temos que:
𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 = 0
A – M + B – M = 0
2M = A + B
M =
𝐴+𝐵
2
A B
M
BARICENTRO
O baricentro de um triângulo é o ponto onde suas
medianas se intersectam.
É possível demonstrar que:𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = 0
A – G + B – G + C – G = 0
3G = A + B + C
G =
𝐴+𝐵+𝐶
3
A
B
C
M1
M2
M3
G
COMBINAÇÃO LINEAR
1) O vetor 𝑣 é múltiplo de 𝑢 se existe λ ∊ R tal que 𝑣 = λ𝑢.
2) O vetor 𝑣 é a combinação linear dos vetores 𝑣1, 𝒗𝟐, ... , 𝒗𝒏
quando existem números reais λ1, λ2, ... , λn tais que:
𝒗 = λ𝟏 ∙ 𝒗𝟏 + λ𝟐 ∙ 𝒗𝟐 + ⋯+ λ𝒏 ∙ 𝒗𝒏
3) Um dos vetores 𝑢 =< 𝑎, 𝑏 > e 𝑣 =< 𝛼, 𝛽 > é múltiplo do
outro se e só se:
𝑎 𝑏
𝛼 𝛽
=
𝑎 𝛼
𝑏 𝛽 = 𝑎𝛽 − 𝑏𝛼 = 0
4) Se nenhum vetor 𝑢 e 𝑣 é múltiplo do outro, então todo
vetor do plano pode ser escrito de um único modo como
combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
DEFINIÇÃO: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um
subconjunto finito B ⊂ V verificando as condições:
(a) B gera V, isto é, V = [B];
(b) B é linearmente independente, ou seja, um conjunto de vetores L.I.
EXEMPLO:
Os vetores e1 = (1,0) e e2 = (0,1) formam uma base do R
2; os vetores e1 = (1,0,0),
e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) formam uma base do R
3, e assim por diante, essas são
as chamadas bases canônicas ( naturais ) dos respectivos espaços, que são
vetores unitários dos eixos ortogonais. Todos os vetores desses espaços podem
ser representados por uma combinação linear de suas respectivas bases.
MUDANÇA DE BASE
As bases canônicas não são as únicas bases de um espaço vetorial V, qualquer
conjunto B de vetores linearmente independentes, com a quantidade de vetores
correspondente a dimensão de V, é também uma base de V.
Seja V de dimensão finita n, e S ⊂ V um subconjunto com n = dim V vetores.
(a) Se S é L.I., então V = [S] e S é uma base de V;
(b) Se V = [S], então S é L.I. e S é uma base de V.
Com isso, podemos perceber que um espaço vetorial qualquer possui
infinitas bases e que, portanto, podemos representar os vetores desse espaço
vetorial em qualquer base, este procedimento chamamos de mudança de base.
COLINEARIDADE E PARALELISMO DE DOIS VETORES
Pelo que já estudamos, é fácil perceber que um vetor 𝑢 é
colinear ou paralelo a um vetor 𝑣 se e somente se existe um λ∊ℛ
tal que:
𝑢 = λ 𝑣
VETOR UNITÁRIO ( VERSO )
É um vetor cujo módulo é 1. Os vetores 𝑖, 𝑗 e 𝑘 são
exemplos de vetores unitários ou versores. Em geral, se 𝑣 ≠
0, então o vetor unitário que tem a mesma direção e o
mesmo sentido de 𝑣 ( 𝑣𝑢 ), chamado versor de 𝑣, é dado por:
𝑣𝑢 =
𝑣
𝑣
PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO 
ENTRE DOIS VETORES
DEFINIÇÃO: O produto interno dos vetores 𝑢 e 𝑣 é o número real:
𝑢, 𝑣 = 𝑢. 𝑣 = 
0, 𝑠𝑒 𝑢 = 0 𝑜𝑢 𝑣 = 0
𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒 𝑢 ≠ 0, 𝑣 ≠ 0 𝑒 𝜃 = ∠ 𝑢, 𝑣 .
No plano: Dados 𝑢 = 𝑎, 𝑏 e 𝑣 = α, β . Temos:
𝑢, 𝑣 = 𝑢. 𝑣 = a.α + b.β
No espaço: Dados 𝑢 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑣 = α, β, Ɣ . Temos:
𝑢, 𝑣 = 𝑢. 𝑣 = a.α + b.β + c.Ɣ
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
Se 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são vetores do ℛ3 e λ é um escalar, então:
1) 𝑢 . 𝑢 = 𝑢 2
2) 𝑢 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢
3) 𝑢 . ( 𝑣 + 𝑤) = 𝑢 . 𝑣 + 𝑢 . 𝑤
4) (λ𝑢) . 𝑣 = λ(𝑢 . 𝑣) = 𝑢 . (λ 𝑣)
5) 0 . 𝑢 = 𝑢 . 0 = 0
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
Se θ é o ângulo entre dois vetores não nulos 𝑢 e 𝑣, então:
cos 𝜃 =
𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 𝑣
PERPENDICULARISMO OU ORTOGONALIDADE
Dois vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 são perpendiculares ou
ortogonais se o ângulo entre eles for θ =
𝜋
2
. Com Isso temos:
𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 . cos
𝜋
2
= 0
Portanto:
𝑢 e 𝑣 são perpendiculares ou ortogonais se e somente se:
𝑢 . 𝑣 = 0
ÂNGULOS DIRETORES
Os ângulos diretores de um vetor não nulo 𝑢 são os ângulos α, β e 𝛾 (
no intervalo [0,𝜋] ) que 𝑢 faz com os eixos coordenados positivos x, y e z.
Os cossenos desses ângulos diretores, cos α, cos β e cos ୪, são
chamados cossenos diretores do vetor 𝑢. Pelo que estudamos, podemos
perceber que:
cos α =
𝑢 ∙ 𝑖
𝑢 ∙ 𝑖
=
𝑢𝑥
𝑢
∴ cos𝛽 =
𝑢𝑦
𝑢
∴ cos 𝛾 =
𝑢𝑧
𝑢
Podemos também perceber que:
𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛾 =
𝑢𝑥
𝑢
2
+
𝑢𝑦
𝑢
2
+
𝑢𝑧
𝑢
2
=
𝑢 2
𝑢 2
= 1
Percebe-se ainda também que:
𝑢 = 𝑢 cos𝛼, 𝑢 cos𝛽, 𝑢 cos 𝛾
PROJEÇÕES
A projeção escalar de 𝒗 sobre 𝒖 (também chamada
componente de 𝒗 ao longo de 𝒖) é definida como o módulo com
sinal do vetor projeção, cujo valor é dado pelo número 𝑣 cos 𝜃,
onde 𝜃 é o ângulo entre 𝒖 e 𝒗. Denotando por 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 e partindo
do produto escalar estudado:
𝑢. 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
temos que:
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 cos 𝜃 =
𝑢∙𝑣
𝑢
=
𝑢
𝑢
∙ 𝑣
O vetor projeção de 𝑣 sobre 𝑢 é a projeção escalar vezes o 
versor de 𝑢:
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 =
𝑢 ∙ 𝑣
𝑢
𝑢
𝑢
=
𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 2
𝑢
DESIGUALDADE DE CAUCHY-SCHWARZ
Tomando o módulo de ambos o lado da equação:
𝑢. 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
e sabendo que cos 𝜃 ≤ 1 para todo θ, temos que:
𝑢. 𝑣 ≤ 𝑢 𝑣
Além disso, vale a igualdade se e somente se 𝑢 e 𝑣 são múltiplos 
um do outro, pois cos θ = 1 se e só se θ = 0 ou π(180°).
DESIGUALDADE TRIANGULAR
Para todos os vetores 𝑢 e 𝑣 do plano vale a desigualdade
triangular:
𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 ,
valendo a igualdade se e somente se 𝑢 e 𝑣 é zero ou se 𝑢 e 𝑣 são 
múltiplos positivos um do outro.
DEMONSTRAÇÃO DA DESIGUALDADE TRIANGULAR
Como as quantidades na desigualdade, são números reais não
negativos, ela equivale a:
𝑢 + 𝑣 2 ≤ 𝑢 2 + 𝑣 2
Como: 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑢 + 𝑣 = 𝑢. 𝑢 + 𝑢. 𝑣 + 𝑣. 𝑢 + 𝑣. 𝑣
= 𝑢 2 + 2 𝑢. 𝑣 + 𝑣 2 ≤ 𝑢 2 + 2 𝑢 𝑣 + 𝑣 2
temos que:
𝑢 + 𝑣 2 ≤ 𝑢 + 𝑣 2
Finalmente, extraindo a raiz quadrada de ambos os 
membros desigualdade, temos que: 
𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣
ÁREAS DE PARALELOGRAMOS 
A
B
CE
D
𝑢
 𝑣
θ
A área do paralelogramo se obtém por: 𝐴𝐶 𝐸𝐵
Como 𝐸𝐵 = 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , temos que: Área = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ou 
Área = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , daí como sen2 θ = 1 – cos2 θ , temos que:
Á𝑟𝑒𝑎2 = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 = 𝑢 2 𝑣 2𝑠𝑒𝑛2𝜃
= 𝑢 2 𝑣 2 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 2 𝑣 2𝑐𝑜𝑠2𝜃
= 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 = 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 ∙ 𝑣 2
Portanto:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 ∙ 𝑣 2
ÁREAS DE PARALELOGRAMOS 
Pela equação encontrada : Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 ∙ 𝑣 2 e
considerando os vetores no plano com coordenadas cartesianas
iguais a 𝑢 = 𝑎, 𝑏 e 𝑣 = 𝑐, 𝑑 , podemos observar também que:
Á𝑟𝑒𝑎2 = 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 ∙ 𝑣 2 = 𝑑𝑒𝑡
𝑢 2 𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 ∙ 𝑣 𝑣 2
=
𝑑𝑒𝑡 𝑢 ∙ 𝑢 𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 ∙ 𝑣 𝑣 ∙ 𝑣
, como 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑎2 + 𝑏2, 𝑣 ∙ 𝑣 = 𝑐2 + 𝑑2 e
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 , temos que:
Á𝑟𝑒𝑎2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑑2 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 2 = 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑑2 + 𝑏2𝑐2 +
𝑏2𝑑2 − 𝑎2𝑐2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑑 − 𝑏2𝑑2 = 𝑎𝑑 2 − 2 𝑎𝑑 𝑏𝑐 + 𝑏𝑐 2 =
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 2
Portanto:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑑𝑒𝑡
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑑𝑒𝑡
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
EXEMPLO
Determine a área do paralelogramo ABDC, onde A(1,2),
B(3,1) e C(4,1).
ÁREAS DE TRIÂNGULOS
Pelo que estudamos anteriormente, é fácil perceber que:
A
B
C
D
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶 =
1
2
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵
𝐴𝐶
EXEMPLO
Calcule a área do triângulo de vértices A(4,2), B(6,1)
e C(3,2).
PRODUTO VETORIAL
DEFINIÇÃO 1: Dados os vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 =
𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 . O produto vetorial de 𝑢 por 𝑣 é o vetor:
𝑢 × 𝑣 = 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1, − 𝑥1𝑧2 − 𝑥2𝑧1 , 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1
Dispositivo prático:
𝑢 × 𝑣 =
𝑒1 𝑒2 𝑒3
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
=
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
𝑒1 −
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
𝑒2 +
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑒3
onde 𝑒1 = 1,0,0 , 𝑒2 = 0,1,0 e 𝑒3 = 0,0,1 são os
vetores da base canônica de um sistema de eixos
ortogonais.
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
Para quaisquer vetores do espaço 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 , 𝑣 =
𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 e 𝑤 = 𝑥3, 𝑦3, 𝑧3 e λ є R, valem as seguintes
propriedades:
(1) 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑢 = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑣 = 0, isto é, 𝑢 × 𝑣 é um vetor ortogonal
aos vetores 𝑢 e 𝑣;
(2)𝑢 × 𝑣 = 0 se e só se um dos vetores 𝑢 ou 𝑣 é múltiplo do outro.
Ou seja, 𝑢 e 𝑣 não são múltiplos se e só se 𝑢 × 𝑣 ≠ 0;
(3) 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃, onde θ = ∠ 𝑢, 𝑣 ;
(4) Se 𝑢 × 𝑣 ≠ 0, então 𝑢, 𝑣 e 𝑢 × 𝑣 são vetores L.I.;
(5)𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢 ;
(6) λ𝑢 × 𝑣 = 𝑢 × λ 𝑣 = λ 𝑢× 𝑣 ;
(7) 𝑢 + 𝑤 × 𝑣 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 × 𝑣 e 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤;
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
(8) 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 = det(𝑢, 𝑣, 𝑤), ou seja:
𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 =
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧3
𝑥3 𝑦3 𝑧3
Na ordem que são listados;
(9) 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 = 0 se e somente se 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são vetores L.D.
Consequentemente 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 ≠ 0 se e somente se 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são
vetores L.I.
OBSERVAÇÕES 
Sejam A, B, C e D quatro pontos do espaço. Pelas propriedades
(2) e (9), temos, respectivamente, que:
• A, B e C são colineares se e só se 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = 0. Ou seja, A,B e C
não são colineares se e só se 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ≠ 0;
• A,B,C e D são coplanares se e só se 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐷 = 0. Então,
A, B, C e D são não coplanares se e só se 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐷 ≠ 0.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA NORMA DO 
PRODUTO VETORIAL 
O
A
B
C
𝑢
 𝑣 h
x y
z
Sejam 𝑢 = 𝑂𝐴 ≠ 0 e 𝑣 = 𝑂𝐵 ≠ 0 vetores
não colineares, e seja C o quarto vértice
do paralelogramo Ƥ = OACB.
A altura de Ƥ, considerando o segmento
OA como base, é:
ℎ = 𝑂𝐵 𝑠𝑒𝑛 ∠ 𝑂𝐴, 𝑂𝐵
Logo:
Á𝑟𝑒𝑎 (Ƥ) = 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑠𝑒𝑛∠ 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 = 𝑢 𝑣 sen ∠ 𝑢, 𝑣
Á𝑟𝑒𝑎 Ƥ = 𝑢 × 𝑣
Note que se 𝑢 e 𝑣 são colineares, ou 𝑢 = 0 ou 𝑣 = 0, então o
paralelogramo Ƥ fica reduzido a um segmento ou a um ponto
(paralelogramo degenerado) e tem, portanto, área zero.
DEFINIÇÃO 2
O produto vetorial 𝑢 × 𝑣 é um vetor perpendicular ao plano
formado por 𝑢 e 𝑣 que satisfaz a regra da mão direita, ou seja, ao
esticar os dedos indicador, médio, anular e mínimo na direção e
sentido do vetor 𝑢 e depois fecharmos a mão na direção e sentido
do vetor 𝑣, o polegar esticado apontará para o sentido de 𝑢 × 𝑣.
EXEMPLO 1
Determine o produto vetorial de 𝑢 = 1,2,3 por 𝑣 = 2,−1,1 .
EXEMPLO 2
Sejam 𝑃𝑜 = 1,−1,2 , 𝑃 = 1,3,1 e 𝑄 = 2,−1,0 pontos do
espaço. Calcule a área do paralelogramo Ƥ que tem como arestas
adjacentes os segmentos 𝑃𝑜𝑃 e 𝑃𝑜𝑄.
EXEMPLO 3
Encontre os valores de t є R para os quais os vetores 𝑢 = 2,0, 𝑡
e 𝑣 = 𝑡, 0,2 sejam colineares.
EXEMPLO 4
Sejam 𝑢 = 1,2,3 , 𝑣 = 1,0,2 e 𝑤 = 1,0,0 vetores do espaço.
Mostre que:
𝑢 × 𝑣 × 𝑤 ≠ 𝑢 × 𝑣 × 𝑤 . 
PRODUTO MISTO
O produto misto dos vetores 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 , 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e
𝑤 = 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 do espaço é o número real
𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 =
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO
Sejam 𝑢, 𝑢𝑜, 𝑣, 𝑣𝑜, 𝑤 e 𝑤𝑜 vetores do espaço e seja λ∈ℝ.
Então:
(1) λ𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢 × λ 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 ∙ λ𝑤 = λ 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 ;
(2) 𝑢 + 𝑢𝑜 × 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢𝑜 × 𝑣 ∙ 𝑤 , 𝑢 × 𝑣 + 𝑣𝑜 ∙
𝑤 = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 × 𝑣𝑜 ∙ 𝑤 e 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑤𝑜 = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 +
𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤𝑜
(3) 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 = 0 se e somente se, os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são L.D., 
ou seja, 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 ≠ 0 se e somente se, 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são L.I.
(4) O sinal do produto misto muda quando permutamos dois de 
seus vetores:
𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 = − 𝑣 × 𝑢 ∙ 𝑤, 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 = − 𝑤 × 𝑣 ∙ 𝑢, 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 =
− 𝑢 × 𝑤 ∙ 𝑣
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO
Seja A, B, C e D pontos não coplanares e Ƥ o paralelepípedo
que tem os segmentos AB, AC e AD como arestas adjacentes.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO
Considerando o paralelogramo Ƭ de lados adjacentes AB e AC
como base de Ƥ,
𝑉𝑜𝑙 Ƥ = Á𝑟𝑒𝑎 Ƭ ∙ ℎ
onde h é a altura de Ƥ relativa a base Ƭ .
Se 𝑢 = 𝐴𝐵, 𝑣 = 𝐴𝐶 e 𝑤 = 𝐴𝐷, sabemos que Á𝑟𝑒𝑎 Ƭ = 𝑢 × 𝑣
e ℎ = 𝑤 ∙ 𝑐𝑜𝑠∡ 𝑤, 𝑢 × 𝑣 . Portanto
𝑉𝑜𝑙 Ƥ = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 ∙ 𝑐𝑜𝑠∡ 𝑤, 𝑢 × 𝑣
ou seja, o volume de Ƥ é o módulo do produto misto dos vetores
𝑢, 𝑣 e 𝑤:
𝑉𝑜𝑙 Ƥ = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤
ou, em termos dos vértices A, B, C e D
𝑉𝑜𝑙 Ƥ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐷