1 Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

Álgebra Linear I
Sistemas Lineares - Introdução
Prof. Hugo Nunes
Matemática Licenciatura
Instituto Federal de Alagoas
Campus Maceió
2019
1/37
Sumário
1 Sistemas Lineares
Equações
Equações lineares
Sistemas de equações lineares
2/37
Sistemas Lineares
3/37
Equações
3/37
Definição (Equação)
Uma equação é uma declaração de que duas expressões são iguais. Essa
igualdade é representada pelo śımbolo“=”. Assim, se sabemos que a expressão
A é igual à expressão B , escrevemos:
A = B
Exemplos:
São exemplos de equações:
(a)
12y
18
=
2y
3
(b) |x | =
√
x 2
(c) 3x − 2 = 10
(d) x 2 + 2x − 15 = 0
3/37
Definição (Equação)
Uma equação é uma declaração de que duas expressões são iguais. Essa
igualdade é representada pelo śımbolo“=”. Assim, se sabemos que a expressão
A é igual à expressão B , escrevemos:
A = B
Exemplos:
São exemplos de equações:
(a)
12y
18
=
2y
3
(b) |x | =
√
x 2
(c) 3x − 2 = 10
(d) x 2 + 2x − 15 = 0
3/37
Quando escrevemos equações com incógnitas, nosso objetivo é resolver a equa-
ção, o que significa que queremos encontrar os valores da variável que fazem
com que a equação seja válida.
Tais valores são chamados ráızes ou soluções da equação.
Definição (Solução de equações)
Duas equações que possuem exatamente as mesmas soluções são chamadas
equivalentes.
Exemplo
São exemplos de equações equivalentes:
4x + 6 = 26 e 3x − 4 = 11
4/37
Quando escrevemos equações com incógnitas, nosso objetivo é resolver a equa-
ção, o que significa que queremos encontrar os valores da variável que fazem
com que a equação seja válida.
Tais valores são chamados ráızes ou soluções da equação.
Definição (Solução de equações)
Duas equações que possuem exatamente as mesmas soluções são chamadas
equivalentes.
Exemplo
São exemplos de equações equivalentes:
4x + 6 = 26 e 3x − 4 = 11
4/37
Quando escrevemos equações com incógnitas, nosso objetivo é resolver a equa-
ção, o que significa que queremos encontrar os valores da variável que fazem
com que a equação seja válida.
Tais valores são chamados ráızes ou soluções da equação.
Definição (Solução de equações)
Duas equações que possuem exatamente as mesmas soluções são chamadas
equivalentes.
Exemplo
São exemplos de equações equivalentes:
4x + 6 = 26 e 3x − 4 = 11
4/37
Quando escrevemos equações com incógnitas, nosso objetivo é resolver a equa-
ção, o que significa que queremos encontrar os valores da variável que fazem
com que a equação seja válida.
Tais valores são chamados ráızes ou soluções da equação.
Definição (Solução de equações)
Duas equações que possuem exatamente as mesmas soluções são chamadas
equivalentes.
Exemplo
São exemplos de equações equivalentes:
4x + 6 = 26 e 3x − 4 = 11
4/37
A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escre-
ver uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada,
ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade.
No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes
equações equivalentes:
3x − 2 = 10
3x = 12
x =
12
3
x = 4
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base
em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
5/37
A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escre-
ver uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada,
ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade.
No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes
equações equivalentes:
3x − 2 = 10
3x = 12
x =
12
3
x = 4
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base
em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
5/37
A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escre-
ver uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada,
ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade.
No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes
equações equivalentes:
3x − 2 = 10
3x = 12
x =
12
3
x = 4
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base
em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
5/37
A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escre-
ver uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada,
ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade.
No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes
equações equivalentes:
3x − 2 = 10
3x = 12
x =
12
3
x = 4
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base
em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
5/37
A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escre-
ver uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada,
ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade.
No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes
equações equivalentes:
3x − 2 = 10
3x = 12
x =
12
3
x = 4
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base
em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
5/37
A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escre-
ver uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada,
ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade.
No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes
equações equivalentes:
3x − 2 = 10
3x = 12
x =
12
3
x = 4
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base
em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
5/37
A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escre-
ver uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada,
ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade.
No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes
equações equivalentes:
3x − 2 = 10
3x = 12
x =
12
3
x = 4
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base
em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
5/37
Propriedades das equações
Sejam dadas as expressões A,B e C .
Propriedade Exemplo
1. A = B ⇒ A+ C = B + C x − 2 = 5 ⇒ x − 2 + 2 = 5 + 2
2. A = B , C 6= 0 ⇒ CA = CB 3x = 12 ⇒ 1
3
· 3x = 1
3
· 12
3. A = B ⇒ B = A 21 = 7x ⇒ 7x = 21
6/37
Propriedades das equações
Sejam dadas as expressões A,B e C .
Propriedade Exemplo
1. A = B ⇒ A+ C = B + C x − 2 = 5 ⇒ x − 2 + 2 = 5 + 2
2. A = B , C 6= 0 ⇒ CA = CB 3x = 12 ⇒ 1
3
· 3x = 1
3
· 12
3. A = B ⇒ B = A 21 = 7x ⇒ 7x = 21
6/37
Propriedades das equações
Sejam dadas as expressões A,B e C .
Propriedade Exemplo
1. A = B ⇒ A+ C = B + C x − 2 = 5 ⇒ x − 2 + 2 = 5 + 2
2. A = B , C 6= 0 ⇒ CA = CB 3x = 12 ⇒ 1
3
· 3x = 1
3
· 12
3. A = B ⇒ B = A 21 = 7x ⇒ 7x = 21
6/37
Propriedades das equações
Sejam dadas as expressões A,B e C .
Propriedade Exemplo
1. A = B ⇒ A+ C = B + C x − 2 = 5 ⇒ x − 2 + 2 = 5 + 2
2. A = B , C 6= 0 ⇒ CA = CB 3x = 12 ⇒ 1
3
· 3x = 1
3
· 12
3. A = B ⇒ B = A 21 = 7x ⇒ 7x = 21
6/37
Propriedades das equações
Sejam dadas as expressões A,B e C .
Propriedade Exemplo
1. A = B ⇒ A+ C = B + C x − 2 = 5 ⇒ x − 2 + 2 = 5 + 2
2. A = B , C 6= 0 ⇒ CA = CB 3x = 12 ⇒ 1
3
· 3x = 1
3
· 12
3. A = B ⇒ B = A 21 = 7x ⇒ 7x = 21
6/37
Observação
A subtração A − C é equivalente à soma A + (−C ). Sendo assim, a
Propriedade 1 implica que:
A = B ⇒ A− C = B − C
Dividir uma expressão por C corresponde a multiplicá-la por
1
C
. Logo, a
Propriedade 2 também implica que:
A = B , C 6= 0 ⇒ A
C
=
B
C
7/37
Observação
A subtração A − C é equivalente à soma A + (−C ). Sendo assim, a
Propriedade 1 implica que:
A = B ⇒ A− C = B − CDividir uma expressão por C corresponde a multiplicá-la por
1
C
. Logo, a
Propriedade 2 também implica que:
A = B , C 6= 0 ⇒ A
C
=
B
C
7/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação abaixo aplicando as propriedades apresentadas até conseguir-
mos isolar a variável x :
12x − 26 = 34.
(a) Aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados da igualdade:
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x = 60
(b) Vamos aplicar a Propriedade 2, multiplicando os dois lados da igualdade por
1
12
1
12
· 12x = 1
12
· 60
12
12
x =
60
12
x = 5
8/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
1. Passagem de um termo que está sendo somado:
3x + 20 = 65
3x = 65 − 20
3x = 45
Essa regra corresponde à primeira propriedade, segundo a qual podemos
somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equação:
3x + 20 = 65
3x + 20 − 20 = 65 − 20
3x = 45
9/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadasde aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Formas abreviadas de aplicação das propriedades
2. Passagem de um termo que está sendo multiplicado:
8x = 32
x =
32
8
x = 4
x
10
= 9
x = 9 · 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos mul-
tiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8x = 32
8x
8
=
32
8
x = 4
x
10
= 9
10 · x
10
= 10 · 9
x = 90
10/37
Equações lineares
11/37
Todas as equações que vimos até o momento foram, em algum passo de sua
resolução, convertidas à forma
ax = b.
Equações assim são chamadas lineares.
Definição (Equação linear)
Uma equação é dita linear ou de primeiro grau se é equivalente a
ax = b.
em que a e b são constantes reais, com a 6= 0.
11/37
Todas as equações que vimos até o momento foram, em algum passo de sua
resolução, convertidas à forma
ax = b.
Equações assim são chamadas lineares.
Definição (Equação linear)
Uma equação é dita linear ou de primeiro grau se é equivalente a
ax = b.
em que a e b são constantes reais, com a 6= 0.
11/37
Às vezes, a equação linear aparece de outras formas, exigindo algum trabalho
para sua conversão à forma ax = b, como ocorre nos exemplos abaixo.
1− 3x = 0 ⇒ 3x = 1
6 =
x + 4
2
⇒ x
2
= 4
3(x − 5) = 2(4− 6x ) ⇒ 15x = 23
12/37
Às vezes, a equação linear aparece de outras formas, exigindo algum trabalho
para sua conversão à forma ax = b, como ocorre nos exemplos abaixo.
1− 3x = 0 ⇒ 3x = 1
6 =
x + 4
2
⇒ x
2
= 4
3(x − 5) = 2(4− 6x ) ⇒ 15x = 23
12/37
Às vezes, a equação linear aparece de outras formas, exigindo algum trabalho
para sua conversão à forma ax = b, como ocorre nos exemplos abaixo.
1− 3x = 0 ⇒ 3x = 1
6 =
x + 4
2
⇒ x
2
= 4
3(x − 5) = 2(4− 6x ) ⇒ 15x = 23
12/37
Às vezes, a equação linear aparece de outras formas, exigindo algum trabalho
para sua conversão à forma ax = b, como ocorre nos exemplos abaixo.
1− 3x = 0 ⇒ 3x = 1
6 =
x + 4
2
⇒ x
2
= 4
3(x − 5) = 2(4− 6x ) ⇒ 15x = 23
12/37
As equações lineares sempre têm uma, e apenas uma, solução. Quando a
equação está na forma ax = b, essa solução é x =
b
a
.
Algumas equações lineares contêm termos constantes, porém desconhecidos,
como em
x (a + 2) = c − 1.
Em casos assim, a equação é dita literal, pois sua solução envolve letras. Para
o exemplo acima, a solução é
x =
c − 1
a + 2
desde que a 6= −2.
13/37
As equações lineares sempre têm uma, e apenas uma, solução. Quando a
equação está na forma ax = b, essa solução é x =
b
a
.
Algumas equações lineares contêm termos constantes, porém desconhecidos,
como em
x (a + 2) = c − 1.
Em casos assim, a equação é dita literal, pois sua solução envolve letras. Para
o exemplo acima, a solução é
x =
c − 1
a + 2
desde que a 6= −2.
13/37
As equações lineares sempre têm uma, e apenas uma, solução. Quando a
equação está na forma ax = b, essa solução é x =
b
a
.
Algumas equações lineares contêm termos constantes, porém desconhecidos,
como em
x (a + 2) = c − 1.
Em casos assim, a equação é dita literal, pois sua solução envolve letras. Para
o exemplo acima, a solução é
x =
c − 1
a + 2
desde que a 6= −2.
13/37
Resolução de problemas com o uso de equações lineares
Exemplo (Aluguel de um carro)
Para alugar um carro pequeno, a locadora Saturno cobra uma taxa fixa de
R$40, 00 por dia, além de R$0, 75 por quilômetro rodado. Lucas alugou um
carro e devolveu-o após dois dias, pagando R$185, 00. Quantos quilômetros
Lucas percorreu com o carro alugado?
Solução.
A primeira etapa da resolução de um problema é a definição da incógnita, ou
seja, da informação que se pretende conhecer. Nesse caso, desejamos saber
quantos quilômetros foram percorridos por Lucas, de modo que definimos:
x = distância percorrida por Lucas (em km).
14/37
Resolução de problemas com o uso de equações lineares
Exemplo (Aluguel de um carro)
Para alugar um carro pequeno, a locadora Saturno cobra uma taxa fixa de
R$40, 00 por dia, além de R$0, 75 por quilômetro rodado. Lucas alugou um
carro e devolveu-o após dois dias, pagando R$185, 00. Quantos quilômetros
Lucas percorreu com o carro alugado?
Solução.
A primeira etapa da resolução de um problema é a definição da incógnita, ou
seja, da informação que se pretende conhecer. Nesse caso, desejamos saber
quantos quilômetros foram percorridos por Lucas, de modo que definimos:
x = distância percorrida por Lucas (em km).
14/37
Resolução de problemas com o uso de equações lineares
Exemplo (Aluguel de um carro)
Para alugar um carro pequeno, a locadora Saturno cobra uma taxa fixa de
R$40, 00 por dia, além de R$0, 75 por quilômetro rodado. Lucas alugou um
carro e devolveu-o após dois dias, pagando R$185, 00. Quantos quilômetros
Lucas percorreu com o carro alugado?
Solução.
A primeira etapa da resolução de um problemaé a definição da incógnita, ou
seja, da informação que se pretende conhecer. Nesse caso, desejamos saber
quantos quilômetros foram percorridos por Lucas, de modo que definimos:
x = distância percorrida por Lucas (em km).
14/37
Solução (continuação).
De posse da variável, devemos extrair dados do problema e associá-los à variável
que criamos. O enunciado desse problema nos informa que:
O custo do aluguel do carro é dividido em duas partes, uma fixa por dia,
e outra que depende da distância percorrida.
A parcela fixa do custo é definida pelo produto
(custo por dia)× (número de dias).
Como Lucas usou o carro por dois dias, essa parcela correspondeu a:
40 R$/dia · 2 dias = R$80.
15/37
Solução (continuação).
De posse da variável, devemos extrair dados do problema e associá-los à variável
que criamos. O enunciado desse problema nos informa que:
O custo do aluguel do carro é dividido em duas partes, uma fixa por dia,
e outra que depende da distância percorrida.
A parcela fixa do custo é definida pelo produto
(custo por dia)× (número de dias).
Como Lucas usou o carro por dois dias, essa parcela correspondeu a:
40 R$/dia · 2 dias = R$80.
15/37
Solução (continuação).
De posse da variável, devemos extrair dados do problema e associá-los à variável
que criamos. O enunciado desse problema nos informa que:
O custo do aluguel do carro é dividido em duas partes, uma fixa por dia,
e outra que depende da distância percorrida.
A parcela fixa do custo é definida pelo produto
(custo por dia)× (número de dias).
Como Lucas usou o carro por dois dias, essa parcela correspondeu a:
40 R$/dia · 2 dias = R$80.
15/37
Solução (continuação).
De posse da variável, devemos extrair dados do problema e associá-los à variável
que criamos. O enunciado desse problema nos informa que:
O custo do aluguel do carro é dividido em duas partes, uma fixa por dia,
e outra que depende da distância percorrida.
A parcela fixa do custo é definida pelo produto
(custo por dia)× (número de dias).
Como Lucas usou o carro por dois dias, essa parcela correspondeu a:
40 R$/dia · 2 dias = R$80.
15/37
Solução (continuação).
De posse da variável, devemos extrair dados do problema e associá-los à variável
que criamos. O enunciado desse problema nos informa que:
O custo do aluguel do carro é dividido em duas partes, uma fixa por dia,
e outra que depende da distância percorrida.
A parcela fixa do custo é definida pelo produto
(custo por dia)× (número de dias).
Como Lucas usou o carro por dois dias, essa parcela correspondeu a:
40 R$/dia · 2 dias = R$80.
15/37
Solução (continuação).
A parcela variável do aluguel é dada por
(custo por km)× (distância em km).
ou seja:
0, 75 (R$/km) · x (km)
Lucas gastou, no total, R$185, 00.
Reunindo essas informações, montamos a seguinte equação que relaciona o
custo do aluguel ao valor pago por Lucas:
80︸︷︷︸
custo fixo
+ 0, 75x︸ ︷︷ ︸
custo variável
= 185︸︷︷︸
valor pago
16/37
Solução (continuação).
A parcela variável do aluguel é dada por
(custo por km)× (distância em km).
ou seja:
0, 75 (R$/km) · x (km)
Lucas gastou, no total, R$185, 00.
Reunindo essas informações, montamos a seguinte equação que relaciona o
custo do aluguel ao valor pago por Lucas:
80︸︷︷︸
custo fixo
+ 0, 75x︸ ︷︷ ︸
custo variável
= 185︸︷︷︸
valor pago
16/37
Solução (continuação).
A parcela variável do aluguel é dada por
(custo por km)× (distância em km).
ou seja:
0, 75 (R$/km) · x (km)
Lucas gastou, no total, R$185, 00.
Reunindo essas informações, montamos a seguinte equação que relaciona o
custo do aluguel ao valor pago por Lucas:
80︸︷︷︸
custo fixo
+ 0, 75x︸ ︷︷ ︸
custo variável
= 185︸︷︷︸
valor pago
16/37
Solução (continuação).
A parcela variável do aluguel é dada por
(custo por km)× (distância em km).
ou seja:
0, 75 (R$/km) · x (km)
Lucas gastou, no total, R$185, 00.
Reunindo essas informações, montamos a seguinte equação que relaciona o
custo do aluguel ao valor pago por Lucas:
80︸︷︷︸
custo fixo
+ 0, 75x︸ ︷︷ ︸
custo variável
= 185︸︷︷︸
valor pago
16/37
Solução (continuação).
A parcela variável do aluguel é dada por
(custo por km)× (distância em km).
ou seja:
0, 75 (R$/km) · x (km)
Lucas gastou, no total, R$185, 00.
Reunindo essas informações, montamos a seguinte equação que relaciona o
custo do aluguel ao valor pago por Lucas:
80︸︷︷︸
custo fixo
+ 0, 75x︸ ︷︷ ︸
custo variável
= 185︸︷︷︸
valor pago
16/37
Solução (continuação).
De posse da equação, resta-nos resolvê-la:
80 + 0, 75x = 185
0, 75x = 105
x =
105
0, 75
x = 140
Logo, Lucas percorreu 140km com o carro alugado.
17/37
Solução (continuação).
De posse da equação, resta-nos resolvê-la:
80 + 0, 75x = 185
0, 75x = 105
x =
105
0, 75
x = 140
Logo, Lucas percorreu 140km com o carro alugado.
17/37
Solução (continuação).
De posse da equação, resta-nos resolvê-la:
80 + 0, 75x = 185
0, 75x = 105
x =
105
0, 75
x = 140
Logo, Lucas percorreu 140km com o carro alugado.
17/37
Solução (continuação).
De posse da equação, resta-nos resolvê-la:
80 + 0, 75x = 185
0, 75x = 105
x =
105
0, 75
x = 140
Logo, Lucas percorreu 140km com o carro alugado.
17/37
Solução (continuação).
De posse da equação, resta-nos resolvê-la:
80 + 0, 75x = 185
0, 75x = 105
x =
105
0, 75
x = 140
Logo, Lucas percorreu 140km com o carro alugado.
17/37
Solução (continuação).
De posse da equação, resta-nos resolvê-la:
80 + 0, 75x = 185
0, 75x = 105
x =
105
0, 75
x = 140
Logo, Lucas percorreu 140km com o carro alugado.
17/37
Exemplo (Divisão de uma conta)
Três amigos levaram suas respectivas faḿılias para almoçar em um restaurante. Na
hora de pagar a conta de R$192, 00, Marta decidiu contribuir com R$10, 00 a mais que
V́ıtor, já que havia pedido uma sobremesa. Além disso, por ter uma faḿılia menor, Táıs
pagou apenas um terço do valor devido por V́ıtor. Quanto cada amigo desembolsou no
almoço?
Solução.
Como muitas informações do problema tomam como base o valor pago por V́ıtor,
definimos a variável:
x = valor gasto por V́ıtor (em reais).
Valor gasto por Marta (em reais): x + 10.
Valor gasto por Táıs (em reais):
x
3
.
Total da conta: R$192.
18/37
Exemplo (Divisão de uma conta)
Três amigos levaram suas respectivas faḿılias para almoçar em um restaurante. Na
hora de pagar a conta de R$192, 00, Marta decidiu contribuir com R$10, 00 a mais que
V́ıtor, já que havia pedido uma sobremesa. Além disso, por ter uma faḿılia menor, Táıs
pagou apenas um terço do valor devido por V́ıtor. Quanto cada amigo desembolsou no
almoço?
Solução.
Como muitas informações do problema tomam como base o valor pago por V́ıtor,
definimos a variável:
x = valor gasto por V́ıtor (em reais).
Valor gasto por Marta (em reais): x + 10.
Valor gasto por Táıs (em reais):
x
3
.
Total da conta: R$192.
18/37
Exemplo (Divisão de uma conta)
Três amigos levaram suas respectivas faḿılias para almoçar em um restaurante. Na
hora de pagar a conta de R$192, 00, Marta decidiu contribuir com R$10, 00 a mais que
V́ıtor, já que havia pedido uma sobremesa. Além disso, por ter uma faḿılia menor, Táıs
pagou apenas um terço do valor devido por V́ıtor. Quanto cada amigo desembolsou no
almoço?
Solução.
Como muitas informações do problema tomam como base o valor pago por V́ıtor,
definimos a variável:
x = valor gasto por V́ıtor (em reais).
Valor gasto por Marta (em reais): x + 10.
Valor gasto por Táıs (em reais):
x
3
.
Total da conta: R$192.
18/37
Exemplo (Divisão de uma conta)
Três amigos levaram suas respectivas faḿılias para almoçar em um restaurante. Na
hora de pagar a conta de R$192, 00, Marta decidiu contribuir com R$10, 00 a mais que
V́ıtor, já que havia pedido uma sobremesa. Além disso, por ter uma faḿılia menor, Táıs
pagou apenas um terço do valor devido por V́ıtor. Quanto cadaamigo desembolsou no
almoço?
Solução.
Como muitas informações do problema tomam como base o valor pago por V́ıtor,
definimos a variável:
x = valor gasto por V́ıtor (em reais).
Valor gasto por Marta (em reais): x + 10.
Valor gasto por Táıs (em reais):
x
3
.
Total da conta: R$192.
18/37
Exemplo (Divisão de uma conta)
Três amigos levaram suas respectivas faḿılias para almoçar em um restaurante. Na
hora de pagar a conta de R$192, 00, Marta decidiu contribuir com R$10, 00 a mais que
V́ıtor, já que havia pedido uma sobremesa. Além disso, por ter uma faḿılia menor, Táıs
pagou apenas um terço do valor devido por V́ıtor. Quanto cada amigo desembolsou no
almoço?
Solução.
Como muitas informações do problema tomam como base o valor pago por V́ıtor,
definimos a variável:
x = valor gasto por V́ıtor (em reais).
Valor gasto por Marta (em reais): x + 10.
Valor gasto por Táıs (em reais):
x
3
.
Total da conta: R$192.
18/37
Exemplo (Divisão de uma conta)
Três amigos levaram suas respectivas faḿılias para almoçar em um restaurante. Na
hora de pagar a conta de R$192, 00, Marta decidiu contribuir com R$10, 00 a mais que
V́ıtor, já que havia pedido uma sobremesa. Além disso, por ter uma faḿılia menor, Táıs
pagou apenas um terço do valor devido por V́ıtor. Quanto cada amigo desembolsou no
almoço?
Solução.
Como muitas informações do problema tomam como base o valor pago por V́ıtor,
definimos a variável:
x = valor gasto por V́ıtor (em reais).
Valor gasto por Marta (em reais): x + 10.
Valor gasto por Táıs (em reais):
x
3
.
Total da conta: R$192.
18/37
Solução (continuação).
Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os três amigos,
obtemos a equação:
x︸︷︷︸
Vitor
+ x + 10︸ ︷︷ ︸
Marta
+
x
3︸︷︷︸
Táıs
= 192︸︷︷︸
Total
A resolução dessa equação é dada abaixo.
2x +
x
3
+ 10 = 192
7x
3
= 182
x = 78
Portanto, V́ıtor gastou R$78, 00, Marta desembolsou R$88, 00, já Táıs gastou apenas
R$26, 00.
19/37
Solução (continuação).
Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os três amigos,
obtemos a equação:
x︸︷︷︸
Vitor
+ x + 10︸ ︷︷ ︸
Marta
+
x
3︸︷︷︸
Táıs
= 192︸︷︷︸
Total
A resolução dessa equação é dada abaixo.
2x +
x
3
+ 10 = 192
7x
3
= 182
x = 78
Portanto, V́ıtor gastou R$78, 00, Marta desembolsou R$88, 00, já Táıs gastou apenas
R$26, 00.
19/37
Solução (continuação).
Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os três amigos,
obtemos a equação:
x︸︷︷︸
Vitor
+ x + 10︸ ︷︷ ︸
Marta
+
x
3︸︷︷︸
Táıs
= 192︸︷︷︸
Total
A resolução dessa equação é dada abaixo.
2x +
x
3
+ 10 = 192
7x
3
= 182
x = 78
Portanto, V́ıtor gastou R$78, 00, Marta desembolsou R$88, 00, já Táıs gastou apenas
R$26, 00.
19/37
Solução (continuação).
Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os três amigos,
obtemos a equação:
x︸︷︷︸
Vitor
+ x + 10︸ ︷︷ ︸
Marta
+
x
3︸︷︷︸
Táıs
= 192︸︷︷︸
Total
A resolução dessa equação é dada abaixo.
2x +
x
3
+ 10 = 192
7x
3
= 182
x = 78
Portanto, V́ıtor gastou R$78, 00, Marta desembolsou R$88, 00, já Táıs gastou apenas
R$26, 00.
19/37
Solução (continuação).
Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os três amigos,
obtemos a equação:
x︸︷︷︸
Vitor
+ x + 10︸ ︷︷ ︸
Marta
+
x
3︸︷︷︸
Táıs
= 192︸︷︷︸
Total
A resolução dessa equação é dada abaixo.
2x +
x
3
+ 10 = 192
7x
3
= 182
x = 78
Portanto, V́ıtor gastou R$78, 00, Marta desembolsou R$88, 00, já Táıs gastou apenas
R$26, 00.
19/37
Solução (continuação).
Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os três amigos,
obtemos a equação:
x︸︷︷︸
Vitor
+ x + 10︸ ︷︷ ︸
Marta
+
x
3︸︷︷︸
Táıs
= 192︸︷︷︸
Total
A resolução dessa equação é dada abaixo.
2x +
x
3
+ 10 = 192
7x
3
= 182
x = 78
Portanto, V́ıtor gastou R$78, 00, Marta desembolsou R$88, 00, já Táıs gastou apenas
R$26, 00.
19/37
Solução (continuação).
Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os três amigos,
obtemos a equação:
x︸︷︷︸
Vitor
+ x + 10︸ ︷︷ ︸
Marta
+
x
3︸︷︷︸
Táıs
= 192︸︷︷︸
Total
A resolução dessa equação é dada abaixo.
2x +
x
3
+ 10 = 192
7x
3
= 182
x = 78
Portanto, V́ıtor gastou R$78, 00, Marta desembolsou R$88, 00, já Táıs gastou apenas
R$26, 00.
19/37
Definição (Equação linear em duas variáveis)
Uma equação nas variáveis x e y é dita linear se é equivalente a
ax + by = c
em que a, b e c são constantes reais, com a 6= 0 ou b 6= 0.
20/37
Exemplo
Quando afirmamos que:
Os alunos e alunas da turma de matemática somam 120 pessoas.
estamos relacionando duas quantidades: o número de homens e o número de
mulheres da turma.
x = número de alunos
y = número de alunas
De posse dessas variáveis, podemos converter a frase acima na equação:
x + y = 120
21/37
Exemplo
Quando afirmamos que:
Os alunos e alunas da turma de matemática somam 120 pessoas.
estamos relacionando duas quantidades: o número de homens e o número de
mulheres da turma.
x = número de alunos
y = número de alunas
De posse dessas variáveis, podemos converter a frase acima na equação:
x + y = 120
21/37
Exemplo
Quando afirmamos que:
Os alunos e alunas da turma de matemática somam 120 pessoas.
estamos relacionando duas quantidades: o número de homens e o número de
mulheres da turma.
x = número de alunos
y = número de alunas
De posse dessas variáveis, podemos converter a frase acima na equação:
x + y = 120
21/37
Exemplo
Quando afirmamos que:
Os alunos e alunas da turma de matemática somam 120 pessoas.
estamos relacionando duas quantidades: o número de homens e o número de
mulheres da turma.
x = número de alunos
y = número de alunas
De posse dessas variáveis, podemos converter a frase acima na equação:
x + y = 120
21/37
Sistemas de equações lineares
22/37
Definição (Equação linear em duas variáveis)
Uma equação nas variáveis x e y é dita linear se é equivalente a
ax + by = c
em que a, b e c são constantes reais, com a 6= 0 ou b 6= 0.
Exemplos:
São exemplos de equações lineares em duas variáveis:
(a) 2x = 12 + 3y
(b) 35− 7y = 10x
(c)
x
2
− 5y
3
= 4
(d) −1, 6x + 4, 5y = −3, 2
(e) 12− 8y + 5x = 0
(f) −y = 6x − 9
4
22/37
Definição (Equação linear em duas variáveis)
Uma equação nas variáveis x e y é dita linear se é equivalente a
ax + by = c
em que a, b e c são constantes reais, com a 6= 0 ou b 6= 0.
Exemplos:
São exemplos de equações lineares em duas variáveis:
(a) 2x = 12 + 3y
(b) 35− 7y = 10x
(c)
x
2
− 5y
3
= 4
(d) −1, 6x + 4, 5y = −3, 2
(e) 12− 8y + 5x = 0
(f) −y = 6x − 9
4
22/37
Voltando aos alunos e alunas da turma de matemática, observamos que, sozi-
nha, a equação
x + y = 120
não nos permite determinar os valores de x e y , uma vez que:
a turma poderia ter 100 alunas e 20 alunos
ou 60 alunas e 60 alunos
Ou qualquer outra combinação de números inteiros não negativos cuja soma
fosse 120.
23/37
Voltando aos alunos e alunas da turma de matemática, observamos que, sozi-
nha, a equação
x + y = 120
não nos permite determinar os valores de x e y , uma vez que:
a turma poderia ter 100 alunas e 20 alunos
ou 60 alunas e 60 alunos
Ou qualquer outra combinação de números inteiros não negativos cuja soma
fosse 120.
23/37
Voltando aos alunos e alunas da turma de matemática, observamos que, sozi-
nha, a equação
x + y = 120
não nos permite determinar os valores de x e y , uma vez que:
a turma poderia ter 100 alunas e 20 alunos
ou 60 alunas e 60 alunos
Ou qualquer outra combinação de números inteiros não negativos cuja soma
fosse 120.
23/37
Para que x e y tenham valores únicos, é necessário definir outra relação entre
essas quantidades.
Por exemplo, se soubermos que a diferença entre o número de alunas e alunos
da turma é igual a 8, então também podemosescrever:
x − y = 8
De modo que, agora, temos o sistema de duas equações lineares:{
x + y = 120
x − y = 8
24/37
Para que x e y tenham valores únicos, é necessário definir outra relação entre
essas quantidades.
Por exemplo, se soubermos que a diferença entre o número de alunas e alunos
da turma é igual a 8, então também podemos escrever:
x − y = 8
De modo que, agora, temos o sistema de duas equações lineares:{
x + y = 120
x − y = 8
24/37
Para que x e y tenham valores únicos, é necessário definir outra relação entre
essas quantidades.
Por exemplo, se soubermos que a diferença entre o número de alunas e alunos
da turma é igual a 8, então também podemos escrever:
x − y = 8
De modo que, agora, temos o sistema de duas equações lineares:{
x + y = 120
x − y = 8
24/37
Para que x e y tenham valores únicos, é necessário definir outra relação entre
essas quantidades.
Por exemplo, se soubermos que a diferença entre o número de alunas e alunos
da turma é igual a 8, então também podemos escrever:
x − y = 8
De modo que, agora, temos o sistema de duas equações lineares:{
x + y = 120
x − y = 8
24/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
A solução de um sistema como esse é o par de valores reais, x e y , que satisfaz
as duas equações.
Para o sistema acima, a solução é dada por
x = 64 e y = 56,
o que pode ser comprovado substituindo-se esses valores nas equações, con-
forme descrito abaixo.
Equação 1.
x + y = 120
64 + 56 = 120
120 = 120
Equação 2.
x − y = 8
64− 56 = 8
8 = 8
25/37
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações lineares. A
mais simples delas é o método da substituição:
Exemplo
Consideremos, mais uma vez, o sistema associado ao problema dos alunos e
alunas de matemática: {
x + y = 120
x − y = 8
Se conhecêssemos o valor de y , nesse caso, podeŕıamos obter o valor de x
isolando essa variável na primeira equação:
x + y = 120 Equação 1.
x + y − y = 120 − y Subtração de y dos dois lados.
x = 120 − y x isolado.
26/37
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações lineares. A
mais simples delas é o método da substituição:
Exemplo
Consideremos, mais uma vez, o sistema associado ao problema dos alunos e
alunas de matemática:
{
x + y = 120
x − y = 8
Se conhecêssemos o valor de y , nesse caso, podeŕıamos obter o valor de x
isolando essa variável na primeira equação:
x + y = 120 Equação 1.
x + y − y = 120 − y Subtração de y dos dois lados.
x = 120 − y x isolado.
26/37
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações lineares. A
mais simples delas é o método da substituição:
Exemplo
Consideremos, mais uma vez, o sistema associado ao problema dos alunos e
alunas de matemática: {
x + y = 120
x − y = 8
Se conhecêssemos o valor de y , nesse caso, podeŕıamos obter o valor de x
isolando essa variável na primeira equação:
x + y = 120 Equação 1.
x + y − y = 120 − y Subtração de y dos dois lados.
x = 120 − y x isolado.
26/37
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações lineares. A
mais simples delas é o método da substituição:
Exemplo
Consideremos, mais uma vez, o sistema associado ao problema dos alunos e
alunas de matemática: {
x + y = 120
x − y = 8
Se conhecêssemos o valor de y , nesse caso, podeŕıamos obter o valor de x
isolando essa variável na primeira equação:
x + y = 120 Equação 1.
x + y − y = 120 − y Subtração de y dos dois lados.
x = 120 − y x isolado.
26/37
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações lineares. A
mais simples delas é o método da substituição:
Exemplo
Consideremos, mais uma vez, o sistema associado ao problema dos alunos e
alunas de matemática: {
x + y = 120
x − y = 8
Se conhecêssemos o valor de y , nesse caso, podeŕıamos obter o valor de x
isolando essa variável na primeira equação:
x + y = 120 Equação 1.
x + y − y = 120 − y Subtração de y dos dois lados.
x = 120 − y x isolado.
26/37
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações lineares. A
mais simples delas é o método da substituição:
Exemplo
Consideremos, mais uma vez, o sistema associado ao problema dos alunos e
alunas de matemática: {
x + y = 120
x − y = 8
Se conhecêssemos o valor de y , nesse caso, podeŕıamos obter o valor de x
isolando essa variável na primeira equação:
x + y = 120 Equação 1.
x + y − y = 120 − y Subtração de y dos dois lados.
x = 120 − y x isolado.
26/37
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações lineares. A
mais simples delas é o método da substituição:
Exemplo
Consideremos, mais uma vez, o sistema associado ao problema dos alunos e
alunas de matemática: {
x + y = 120
x − y = 8
Se conhecêssemos o valor de y , nesse caso, podeŕıamos obter o valor de x
isolando essa variável na primeira equação:
x + y = 120 Equação 1.
x + y − y = 120 − y Subtração de y dos dois lados.
x = 120 − y x isolado.
26/37
Exemplo ((continuação))
Embora essa equação tenha sido escrita imaginando que conhecemos y , pode-
mos usá-la para substituir o valor encontrado para x na segunda equação do
sistema:
x − y = 8 Equação 2.
(120− y) − y = 8 Substituição de x por 120− y .
120 − 2y = 8 Equação que só depende de y .
Obtivemos uma equação que sódepende de y , de modo que podemos resolvê-
la:
27/37
Exemplo ((continuação))
Embora essa equação tenha sido escrita imaginando que conhecemos y , pode-
mos usá-la para substituir o valor encontrado para x na segunda equação do
sistema:
x − y = 8 Equação 2.
(120− y) − y = 8 Substituição de x por 120− y .
120 − 2y = 8 Equação que só depende de y .
Obtivemos uma equação que só depende de y , de modo que podemos resolvê-
la:
27/37
Exemplo ((continuação))
Embora essa equação tenha sido escrita imaginando que conhecemos y , pode-
mos usá-la para substituir o valor encontrado para x na segunda equação do
sistema:
x − y = 8 Equação 2.
(120− y) − y = 8 Substituição de x por 120− y .
120 − 2y = 8 Equação que só depende de y .
Obtivemos uma equação que só depende de y , de modo que podemos resolvê-
la:
27/37
Exemplo ((continuação))
Embora essa equação tenha sido escrita imaginando que conhecemos y , pode-
mos usá-la para substituir o valor encontrado para x na segunda equação do
sistema:
x − y = 8 Equação 2.
(120− y) − y = 8 Substituição de x por 120− y .
120 − 2y = 8 Equação que só depende de y .
Obtivemos uma equação que só depende de y , de modo que podemos resolvê-
la:
27/37
Exemplo ((continuação))
Embora essa equação tenha sido escrita imaginando que conhecemos y , pode-
mos usá-la para substituir o valor encontrado para x na segunda equação do
sistema:
x − y = 8 Equação 2.
(120− y) − y = 8 Substituição de x por 120− y .
120 − 2y = 8 Equação que só depende de y .
Obtivemos uma equação que só depende de y , de modo que podemos resolvê-
la:
27/37
Exemplo ((continuação))
Embora essa equação tenha sido escrita imaginando que conhecemos y , pode-
mos usá-la para substituir o valor encontrado para x na segunda equação do
sistema:
x − y = 8 Equação 2.
(120− y) − y = 8 Substituição de x por 120− y .
120 − 2y = 8 Equação que só depende de y .
Obtivemos uma equação que só depende de y , de modo que podemos resolvê-
la:
27/37
Exemplo ((continuação))
120 − 2y = 8 Equação em y .
120 − 120 − 2y = 8 − 120 Subtração de 120.
−2y = −112 Equação simpçificada.
−2y
−2
=
−112
−2
Divisão por −2
y = 56 Solução da equação.
28/37
Exemplo ((continuação))
120 − 2y = 8 Equação em y .
120 − 120 − 2y = 8 − 120 Subtração de 120.
−2y = −112 Equação simpçificada.
−2y
−2
=
−112
−2
Divisão por −2
y = 56 Solução da equação.
28/37
Exemplo ((continuação))
120 − 2y = 8 Equação em y .
120 − 120 − 2y = 8 − 120 Subtração de 120.
−2y = −112 Equação simpçificada.
−2y
−2
=
−112
−2
Divisão por −2
y = 56 Solução da equação.
28/37
Exemplo ((continuação))
120 − 2y = 8 Equação em y .
120 − 120 − 2y = 8 − 120 Subtração de 120.
−2y = −112 Equação simpçificada.
−2y
−2
=
−112
−2
Divisão por −2
y = 56 Solução da equação.
28/37
Exemplo ((continuação))
120 − 2y = 8 Equação em y .
120 − 120 − 2y = 8 − 120 Subtração de 120.
−2y = −112 Equação simpçificada.
−2y
−2
=
−112
−2
Divisão por −2
y = 56 Solução da equação.
28/37
Exemplo ((continuação))
Agora que conhecemos y , podemos voltar à equação em que x foi isolado,
para obter o valor dessa variável:
x = 120 − y Equação com x isolado.
x = 120 − 56 Substituição de y por 56.
x = 64 Solução da equação.
Portanto, a turma tem 64 meninas e 56 meninos.
29/37
Exemplo ((continuação))
Agora que conhecemos y , podemos voltar à equação em que x foi isolado,
para obter o valor dessa variável:
x = 120 − y Equação com x isolado.
x = 120 − 56 Substituição de y por 56.
x = 64 Solução da equação.
Portanto, a turma tem 64 meninas e 56 meninos.
29/37
Exemplo ((continuação))
Agora que conhecemos y , podemos voltar à equação em que x foi isolado,
para obter o valor dessa variável:
x = 120 − y Equação com x isolado.
x = 120 − 56 Substituição de y por 56.
x = 64 Solução da equação.
Portanto, a turma tem 64 meninas e 56 meninos.
29/37
Exemplo ((continuação))
Agora que conhecemos y , podemos voltar à equação em que x foi isolado,
para obter o valor dessa variável:
x = 120 − y Equação com x isolado.
x = 120 − 56 Substituição de y por 56.
x = 64 Solução da equação.
Portanto, a turma tem 64 meninas e 56 meninos.
29/37
Exemplo ((continuação))
Agora que conhecemos y , podemos voltar à equação em que x foi isolado,
para obter o valor dessa variável:
x = 120 − y Equação com x isolado.
x = 120 − 56 Substituição de y por 56.
x = 64 Solução da equação.
Portanto, a turma tem 64 meninas e 56 meninos.
29/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontradanesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Método da substituição (Roteiro)
1. Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis.
x = 120− y .
2. Na outra equação, substitua a variável que foi isolada no Passo 1 pela expressão encontrada nesse
mesmo passo.
x − y = 8 ⇒ (120− y)− y = 8.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor da segunda variável.
120− 2y = 8 ⇒ y = 56.
4. Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira
variável.
x = 120− y ⇒ x = 120 = 56 = 64.
5. Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações.
64 + 56 = 120 e 64− 56 = 8. Ok !
30/37
Exemplo (Produção de bolos)
Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo
do tipo A consome 0, 4kg de açúcar e 0, 2kg de farinha. Por sua vez, o bolo
do tipo B exige 0, 2kg de açúcar e 0, 3kg de farinha para cada quilograma
produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10kg de açúcar
e 6kg de farinha, responda às questões abaixo.
(a) Será que é posśıvel produzir 7kg de bolo do tipo A e 18kg de bolo do tipo
B?
(b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser
produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar
de que dispõe?
31/37
Solução.
(a) Temos:
Para produzir 7kg de bolo do tipo A é preciso dispor de:
7× 0, 4 = 2, 8kg de açúcar e 7× 0, 2 = 1, 4kg de farinha.
Já os 18kg de bolo do tipo B exigem:
18× 0, 2 = 3, 6kg de açúcar e 18× 0, 3 = 5, 4kg de farinha.
Assim, na produção dos dois tipos de bolo são consumidos:
2, 8 + 3, 6 = 6, 4kg de açúcar e 1, 4 + 5, 4 = 6, 8kg de farinha.
Como a confeitaria só dispõe de 6kg de farinha, não é posśıvel produzir a
quantidade desejada dos bolos.
32/37
Solução.
(a) Temos:
Para produzir 7kg de bolo do tipo A é preciso dispor de:
7× 0, 4 = 2, 8kg de açúcar e 7× 0, 2 = 1, 4kg de farinha.
Já os 18kg de bolo do tipo B exigem:
18× 0, 2 = 3, 6kg de açúcar e 18× 0, 3 = 5, 4kg de farinha.
Assim, na produção dos dois tipos de bolo são consumidos:
2, 8 + 3, 6 = 6, 4kg de açúcar e 1, 4 + 5, 4 = 6, 8kg de farinha.
Como a confeitaria só dispõe de 6kg de farinha, não é posśıvel produzir a
quantidade desejada dos bolos.
32/37
Solução.
(a) Temos:
Para produzir 7kg de bolo do tipo A é preciso dispor de:
7× 0, 4 = 2, 8kg de açúcar e 7× 0, 2 = 1, 4kg de farinha.
Já os 18kg de bolo do tipo B exigem:
18× 0, 2 = 3, 6kg de açúcar e 18× 0, 3 = 5, 4kg de farinha.
Assim, na produção dos dois tipos de bolo são consumidos:
2, 8 + 3, 6 = 6, 4kg de açúcar e 1, 4 + 5, 4 = 6, 8kg de farinha.
Como a confeitaria só dispõe de 6kg de farinha, não é posśıvel produzir a
quantidade desejada dos bolos.
32/37
Solução.
(a) Temos:
Para produzir 7kg de bolo do tipo A é preciso dispor de:
7× 0, 4 = 2, 8kg de açúcar e 7× 0, 2 = 1, 4kg de farinha.
Já os 18kg de bolo do tipo B exigem:
18× 0, 2 = 3, 6kg de açúcar e 18× 0, 3 = 5, 4kg de farinha.
Assim, na produção dos dois tipos de bolo são consumidos:
2, 8 + 3, 6 = 6, 4kg de açúcar e 1, 4 + 5, 4 = 6, 8kg de farinha.
Como a confeitaria só dispõe de 6kg de farinha, não é posśıvel produzir a
quantidade desejada dos bolos.
32/37
Solução.
(a) Temos:
Para produzir 7kg de bolo do tipo A é preciso dispor de:
7× 0, 4 = 2, 8kg de açúcar e 7× 0, 2 = 1, 4kg de farinha.
Já os 18kg de bolo do tipo B exigem:
18× 0, 2 = 3, 6kg de açúcar e 18× 0, 3 = 5, 4kg de farinha.
Assim, na produção dos dois tipos de bolo são consumidos:
2, 8 + 3, 6 = 6, 4kg de açúcar e 1, 4 + 5, 4 = 6, 8kg de farinha.
Como a confeitaria só dispõe de 6kg de farinha, não é posśıvel produzir a
quantidade desejada dos bolos.
32/37
Solução.
(a) Temos:
Para produzir 7kg de bolo do tipo A é preciso dispor de:
7× 0, 4 = 2, 8kg de açúcar e 7× 0, 2 = 1, 4kg de farinha.
Já os 18kg de bolo do tipo B exigem:
18× 0, 2 = 3, 6kg de açúcar e 18× 0, 3 = 5, 4kg de farinha.
Assim, na produção dos dois tipos de bolo são consumidos:
2, 8 + 3, 6 = 6, 4kg de açúcar e 1, 4 + 5, 4 = 6, 8kg de farinha.
Como a confeitaria só dispõe de 6kg de farinha, não é posśıvel produzir a
quantidade desejada dos bolos.
32/37
Solução.
(b) Definamos as variáveis:
x = quantidade produzida do bolo A (em kg);
y = quantidade produzida do bolo B (em kg).
O consumo de açúcar com a produção dos dois tipos de bolo é dado pela
expressão:
0, 4︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 2︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
Da mesma forma, o gasto de farinha é fornecido por:
0, 2︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 3︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
33/37
Solução.
(b) Definamos as variáveis:
x = quantidade produzida do bolo A (em kg);
y = quantidade produzida do bolo B (em kg).
O consumo de açúcar com a produção dos dois tipos de bolo é dado pela
expressão:
0, 4︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 2︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
Da mesma forma, o gasto de farinha é fornecido por:
0, 2︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 3︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
33/37
Solução.
(b) Definamos as variáveis:
x = quantidade produzida do bolo A (em kg);
y = quantidade produzida do bolo B (em kg).
O consumo de açúcar com a produção dos dois tipos de bolo é dado pela
expressão:
0, 4︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 2︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
Da mesma forma, o gasto de farinha é fornecido por:
0, 2︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 3︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
33/37
Solução.(b) Definamos as variáveis:
x = quantidade produzida do bolo A (em kg);
y = quantidade produzida do bolo B (em kg).
O consumo de açúcar com a produção dos dois tipos de bolo é dado pela
expressão:
0, 4︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 2︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
Da mesma forma, o gasto de farinha é fornecido por:
0, 2︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 3︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
33/37
Solução.
(b) Definamos as variáveis:
x = quantidade produzida do bolo A (em kg);
y = quantidade produzida do bolo B (em kg).
O consumo de açúcar com a produção dos dois tipos de bolo é dado pela
expressão:
0, 4︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 2︸︷︷︸
kg açucar p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
Da mesma forma, o gasto de farinha é fornecido por:
0, 2︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo A
· x︸︷︷︸
kg bolo A
+ 0, 3︸︷︷︸
kg farinha p/ kg bolo B
· y︸︷︷︸
kg bolo B
33/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:
{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Supondo que a confeitaria gastará todo o açúcar e toda a farinha que possui, podemos
igualar as expressões acima às quantidades dispońıveis, obtendo o sistema:{
0, 4x + 0, 2y = 10
0, 2x + 0, 3y = 6
Para resolver esse sistema, começamos isolando x na primeira equação:
0, 4x + 0, 2y = 10 Subtração de 0, 2y .
0, 4x + 0, 2y − 0, 2y = 10 − 0, 2y Subtração de 0, 2y .
0, 4x = 10 − 0, 2y Equação simplificada.
0, 4x
0, 4
=
10− 0, 2y
0, 4
Divisão por 0, 4
x = 25− 0, 5y x isolado
34/37
Solução (continuação).
Agora, substitúımos a expressão encontrada para x na segunda equação:
0, 2x + 0, 3y = 6 Segunda equação.
0, 2(25− 0, 5y) + 0, 3y = 6 Substituição de x por 25− 0, 5y .
(5− 0, 1y) + 0, 3y = 6 Propriedade distributiva.
5 + 0, 2y = 6 Equação em y .
35/37
Solução (continuação).
Agora, substitúımos a expressão encontrada para x na segunda equação:
0, 2x + 0, 3y = 6 Segunda equação.
0, 2(25− 0, 5y) + 0, 3y = 6 Substituição de x por 25− 0, 5y .
(5− 0, 1y) + 0, 3y = 6 Propriedade distributiva.
5 + 0, 2y = 6 Equação em y .
35/37
Solução (continuação).
Agora, substitúımos a expressão encontrada para x na segunda equação:
0, 2x + 0, 3y = 6 Segunda equação.
0, 2(25− 0, 5y) + 0, 3y = 6 Substituição de x por 25− 0, 5y .
(5− 0, 1y) + 0, 3y = 6 Propriedade distributiva.
5 + 0, 2y = 6 Equação em y .
35/37
Solução (continuação).
Agora, substitúımos a expressão encontrada para x na segunda equação:
0, 2x + 0, 3y = 6 Segunda equação.
0, 2(25− 0, 5y) + 0, 3y = 6 Substituição de x por 25− 0, 5y .
(5− 0, 1y) + 0, 3y = 6 Propriedade distributiva.
5 + 0, 2y = 6 Equação em y .
35/37
Solução (continuação).
Agora, substitúımos a expressão encontrada para x na segunda equação:
0, 2x + 0, 3y = 6 Segunda equação.
0, 2(25− 0, 5y) + 0, 3y = 6 Substituição de x por 25− 0, 5y .
(5− 0, 1y) + 0, 3y = 6 Propriedade distributiva.
5 + 0, 2y = 6 Equação em y .
35/37
Solução (continuação).
Tendo obtido uma equação que só depende de y , determinamos essa variável:
5 − 5 + 0, 2y = 6 − 5 Subtração de 5.
0, 2y = 1 Equação simplificada.
0, 2y
0, 2
=
1
0, 2
Divisão por 0, 2.
y = 5 Valor de y .
36/37
Solução (continuação).
Tendo obtido uma equação que só depende de y , determinamos essa variável:
5 − 5 + 0, 2y = 6 − 5 Subtração de 5.
0, 2y = 1 Equação simplificada.
0, 2y
0, 2
=
1
0, 2
Divisão por 0, 2.
y = 5 Valor de y .
36/37
Solução (continuação).
Tendo obtido uma equação que só depende de y , determinamos essa variável:
5 − 5 + 0, 2y = 6 − 5 Subtração de 5.
0, 2y = 1 Equação simplificada.
0, 2y
0, 2
=
1
0, 2
Divisão por 0, 2.
y = 5 Valor de y .
36/37
Solução (continuação).
Tendo obtido uma equação que só depende de y , determinamos essa variável:
5 − 5 + 0, 2y = 6 − 5 Subtração de 5.
0, 2y = 1 Equação simplificada.
0, 2y
0, 2
=
1
0, 2
Divisão por 0, 2.
y = 5 Valor de y .
36/37
Solução (continuação).
Tendo obtido uma equação que só depende de y , determinamos essa variável:
5 − 5 + 0, 2y = 6 − 5 Subtração de 5.
0, 2y = 1 Equação simplificada.
0, 2y
0, 2
=
1
0, 2
Divisão por 0, 2.
y = 5 Valor de y .
36/37Solução (continuação).
De posse de y , encontramos o valor de x usando a equação encontrada no
primeiro passo:
x = 25 − 0, 5y Equação obtida no Passo 1.
x = 25 − 0, 5(5) Substituição de y .
x = 22, 5 Valor de x .
Portanto, a confeitaria deve produzir 22, 5kg de bolo do tipo A e 5kg de bolo
do tipo B.
37/37
Solução (continuação).
De posse de y , encontramos o valor de x usando a equação encontrada no
primeiro passo:
x = 25 − 0, 5y Equação obtida no Passo 1.
x = 25 − 0, 5(5) Substituição de y .
x = 22, 5 Valor de x .
Portanto, a confeitaria deve produzir 22, 5kg de bolo do tipo A e 5kg de bolo
do tipo B.
37/37
Solução (continuação).
De posse de y , encontramos o valor de x usando a equação encontrada no
primeiro passo:
x = 25 − 0, 5y Equação obtida no Passo 1.
x = 25 − 0, 5(5) Substituição de y .
x = 22, 5 Valor de x .
Portanto, a confeitaria deve produzir 22, 5kg de bolo do tipo A e 5kg de bolo
do tipo B.
37/37
Solução (continuação).
De posse de y , encontramos o valor de x usando a equação encontrada no
primeiro passo:
x = 25 − 0, 5y Equação obtida no Passo 1.
x = 25 − 0, 5(5) Substituição de y .
x = 22, 5 Valor de x .
Portanto, a confeitaria deve produzir 22, 5kg de bolo do tipo A e 5kg de bolo
do tipo B.
37/37
Solução (continuação).
De posse de y , encontramos o valor de x usando a equação encontrada no
primeiro passo:
x = 25 − 0, 5y Equação obtida no Passo 1.
x = 25 − 0, 5(5) Substituição de y .
x = 22, 5 Valor de x .
Portanto, a confeitaria deve produzir 22, 5kg de bolo do tipo A e 5kg de bolo
do tipo B.
37/37
	Sistemas Lineares
	Equações
	Equações lineares
	Sistemas de equações lineares