Derivadas_com_GeoGebra1

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Derivando com GEOGEBRA
Trabalharemos diferentes processos de derivação: métodos analíticos e por 
diferenças finitas. Para o último caso leiam as subseções 2.4, 2.4.1 e 2.4.2 do 
arquivo Fisica_Comp.pdf.
1) Derivando algebricamente com Geogebra: dada uma função f(x) contínua e n 
vezes diferenciável desejamos obter a expressão da função analítica g(x) →
derivada de f(x): ou 
1.1) Abra o GeoGebra
Na caixa de Entrada defina a função: f(x) = 2*x^4 – 3*x^2 + 2
Instrua o GeoGebra a obter g(x)= f ’(x): g(x) = Derivada[f (x), 1]
Instrua o GeoGebra a obter h(x)= f ’’(x): h(x) = Derivada[f (x), 2]
1.2) Na caixa de Entrada defina a função: m(x,y) = 2*x^4 *y – 3*x^2 + 2*y^2
Instrua cálculo de gmx(x, y) = m/x : gmx(x,y) = Derivada[m, x, 1]
Instrua cálculo de hmx(x, y) = 2m/x2 : hmx(x,y) = Derivada[m, x, 2]
1.3) Para derivadas parciais em relação a y fazemos de modo similar ao item 1.2
Instrua cálculo de gmy(x, y) = m/y : gmy(x,y) = Derivada[m, y, 1]
Instrua cálculo de hmx(x, y) = 2m/y2 : hmy(x,y) = Derivada[m, y, 2]
( ) '( ) df
dx
g x f x= =
2
2
( ) ''( ) d f
dx
h x f x= =
2) Derivada 1ª por diferenças: considere uma tabela de dados (x, f) onde os N 
valores de x e f são conhecidos: x = [x1 , x2 , ..., xN] f =[f1 , f2 , ... , fN ]. Desejamos 
obter estimativas da taxa de variação primeira dos valores de f. Pelo exposto na 
Seção 2.4.1 (Fisica_Comp.pdf) existem 3 possibilidades: as derivadas numéricas
atrasada
centrada
adiantada
As expressões acima podem ser obtidas através da tangente de , ângulo entre a reta 
secante a f e o eixo horizontal, como 
ilustrado na Figura 2.3 do arquivo pdf. 
Elas representam, por exemplo, o valor 
da velocidade média no intervalo t: 
Caso t tenda a um valor pequeno vi tende para 
a vel. instantânea. x e t podem ser substituídos por qualquer uma das aprox. acima.
1
1
' i i
i
i i
f f
f
x x
−
−
−
=
−
1
1
' ii
i
ii
f f
f
x x
+
+
−
=
−
1
1
' ii
i
ii
f f
f
x x
+
+
−
=
−
i
i
i
v
x
tg
t


= =

2.1) Abra o GeoGebra e em Exibir → Planilha (ajuste p/ ver colunas A B C D E)
Vamos passar os dados de tempo e posição para as colunas A e B, respectivamente
- tempos na coluna A: A1=0.0 A2=0.5 A3= 1.0 A4=1.5 A5=2.0 A6=2.5 A7=3.0 
- posições na coluna B: B1=1.9 B2=3.1 B3=5.0 B4=8.1 B5=12 B6=17.2 B7=22.8
- salve a aplicação com o nome Derivada_1.ggb
2.2) Na célula C2 vamos calcular as velocidades com fórmula
- atrasada: em C2 defina expressão: = (B2-B1)/( A2 – A1)
- Use o mouse para calcular as outras velocidades até a linha 7
2.3) Na célula D2 vamos calcular as velocidades com fórmula
- centrada: em D2 defina expressão: = (B3-B1)/( A3 – A1)
- Use o mouse para calcular as outras velocidades até a linha 6
2.4) Na célula E1 vamos calcular as velocidades com fórmula
- adiantada: em E1 defina expressão: = (B2-B1)/( A2 – A1)
- Use o mouse para calcular as outras velocidades até a linha 6
Observação 1: A coluna C possui as estimativas das velocidades usando a 
aproximação atrasada. Como não existe o ponto (t0 , x0) não dá para preencher a 
célula C1.
Observação 2: A coluna D possui as estimativas das velocidades usando a 
aproximação centrada. Como não existem os pontos (t0 , x0) e (tN+1 , xN+1) não 
dá para preencher as células D1 e D7.
Observação 3: A coluna E possui as estimativas das velocidades 
usando a aproximação adiantada. Como não existe o ponto 
(tN+1 , xN+1) não dá para preencher a célula D7.
1
1
i i
i
i i
x x
t t
v −
−
−
=
−
1 1
1 1
i i
i
i i
x x
t t
v + −
+ −
−
=
−
1
1
ii
i
ii
x x
t t
v +
+
−
=
−
Valores de i
ti xi
N=7
3) Derivada 2ª por diferenças: considere uma tabela de dados (x, f) onde os N 
valores de x e f são conhecidos: x = [x1 , x2 , ..., xN] f =[f1 , f2 , ... , fN ]. Desejamos 
obter estimativas da taxa de variação segunda dos valores de f. Pelo exposto na 
Seção 2.4.2 (Fisica_Comp.pdf) existem 3 possibilidades: as derivadas numéricas
atrasada
centrada
adiantada
A expressão centrada de f ’’(x) pode ser obtida usando a soma das Séries de Taylor de 
fi-1= f(x-x) e de fi+1= f(x+x). Elas podem representar, por exemplo, o valor da 
aceleração média no intervalo t: 
Caso t tenda a um valor pequeno ai tende para a acel. Instantânea
2x e t2 podem ser substituídos por qualquer uma das aprox. acima 
3.1) Abra o arquivo Derivada_1.ggb e garde-o como Derivada_2.ggb
Iremos configurar as colunas C D e E para calcular as derivadas 2ªs
- Em C3 digite: =(B3 – 2 B2 +B1)/(A3-A2)^2 e complete a coluna até a linha 7
- Em D2 digite: =(B3 – 2 B2 +B1)/(A3-A2)^2 e complete a coluna até a linha 6
- Em E1 digite: =(B3 – 2 B2 +B1)/(A2-A1)^2 e complete a coluna até a linha 5
‘
2
1 2
2
'' i i i
i
f f f
f
x
− −
− +
=

2
2
i
i i
i
i
a
x v
t t
=
 
=
 
2
1 1
2
'' ii i
i
f f f
f
x
+ −
− +
=

2
2 1
2
'' ii i
i
f f f
f
x
+ +
− +
=

O resultado esperado 
Os valores obtidos para as acelerações são 
os mesmos porém locados em tempos diferentes.
Obs.: as derivadas centradas são mais precisas do que as atrasadas e adiantadas.
Podemos observar nos resultados do item 2) que as velocidades v1 e v7 não estão 
presentes na coluna D. Um procedimento comum é usar os valores das derivadas 
atrasadas e adiantadas para preencher os valores nas células D1 e D7. 
Usando o mesmo raciocínio para os resultados obtidos no item 3) obtemos 
valores das velocidades valores das acelerações 
4) Derivadas Numéricas: neste item avaliaremos as derivadas numéricas de 1ª 
ordem confrontando seus valores com os advindos da derivada analítica.
Abra o GeoGebra e a Planilha. Ajuste para visualizar as colunas de A até F.
4.1) Definir a função v(t). Digite em Entrada: v(t) = Função[2 t cos(0.5 t), 0, 3]
4.2) Obter expr. da aceleração. Em Entrada: a(t) = Derivada[v(t) , 1]
4.3) Definir lista c/ valores de tempo: ValoresT = Sequência[t, t, 0, 3, dt]
4.4) Aceite controle deslizante. Editá-lo 
min = 0.1 ; max = 0.5 ; incremento= 0.1
4.5) Lista velocidades. Digite em Entrada: ValoresV = Sequência[v(t), t, 0, 3, dt]
4.6) Lista acelerações. Digite em Entrada: ValoresA = Sequência[a(t), t, 0, 3, dt]
4.7) Preencha a Coluna A com valores A1=1, A2=2 ... até A22=22
4.8) Escreva na célula B1: = ValoresT(A1) completar a coluna B até linha 22 
4.9) Escreva na célula C1: = ValoresV(A1) completar a coluna C até linha 22 
4.10) Na célula D1 implemente a derivada 1ª adiantada: = (C2-C1)/(B2-B1)
4.11) Na célula D2 implemente a derivada 1ª centrada: = (C3-C1)/(B3-B1)
use o mouse no canto direito inferior de D2 e arraste até a linha 21
4.12) Na célula E1: =ValoresA(A1) completar a coluna E até linha 21 (valores precisos)
4.12) Na célula F1 implemente o erro %: = 100*(E1-D1)/E1
use o mouse para completar a coluna F até a linha 21
4.13) desloque o controle deslizante para dt=0.5 e avalie os erros percentuais
4.14) diminuindo os dt’s no controle deslizante percebe-se diminuição dos erros?
Resultado esperado após as atividades constantes no Item 4)
Valores de i t v 
Derivada numérica
Derivada analítica
Erro %
6) Aplicação Física 1. Uma pessoa mediu a velocidade instantânea de um veículo 
elétrico a cada 10s iniciando de 0s e finalizando em 1min. As velocidades medidas 
foram v = [ 0 1.5 2.8 4.5 7.9 10 15 ]. Use o GeoGebra para calcular o deslocamento 
por
a) Regra dos Retângulos
b) Regra dos Trapézios
c) Regra de Simpson
Obs: neste caso não temos a expressão da função v(t). Use a planilha do GeoGebra
para definir na coluna A os valores de tempo e na coluna B as velocidades. 
7) Aplicação Física 2. Uma pessoa mediu a velocidade instantânea de um veículo 
elétrico a cada 10s iniciando de 0s e finalizando em 1min. Neste caso verificou-se 
que a velocidade varia linearmente com o tempo segundo a expressão
v(t) = v0 + a∙t
2 com v0 = 2 m/s e a = 0.5 m/s
2
Obtenha o deslocamento do veículo entre t=0 s e t=1 min pora) Usando a instrução: ResPrec = Integral[v(t), t, a, b] → resultado preciso
b) Regra de Simpson
c) Usando a instrução: SomaDeRiemannÀEsquerda analogamente ao que foi 
apresentado no item 4)