Aula sobre conjuntos numéricos

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AULA 1 
 
Introdução à linguagem e notação de conjuntos 
 
 Toda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos. Portanto a noção 
de conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem 
ser expressos. Ela também é a mais simples das ideias matemáticas. Um conjunto é 
simplesmente uma coleção de objetos ou de elementos. Por exemplo, os animais 
mamíferos formam um conjunto, os números naturais pares formam outro conjunto. 
Por simplicidade, quando precisamos nos referir a um conjunto várias vezes, atribuímos 
uma notação ao mesmo, em geral, uma letra maiúscula. Costuma-se chamar de Conjunto 
Universo o maior conjunto no contexto em que se está trabalhando (teorema, livro, 
capítulo de livro, exercício, aula, etc.). 
Podemos denotar um conjunto de várias formas: 
 
1. A = {−2, 2, 5} listagem dos elementos entre chaves. 
 
2. B = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} listagem dos elementos entre chaves usando “...”, 
onde usamos “...” quando há muitos elementos para representar e está claro quais 
são esses elementos . 
 
 
3. C = {x; x é ímpar} (lemos: o conjunto dos x, tais que x é ímpar) descrição do 
conjunto por meio de uma propriedade; neste caso, não há listagem dos elementos. 
 
Os conjuntos mais frequentemente encontrados na Matemática são os numéricos. 
 
Por exemplo: 
 
Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, ...}, 
 
Conjunto dos Números Inteiros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, 
Conjunto dos Números Racionais Q = 






 0,; beZba
b
a
. 
Este conjunto é formado por todos os números reais que podem ser escritos na forma de 
fração, onde o numerador e denominador são números inteiros. Note que, não listamos 
seus elementos como fizemos com N e Z, mais adiante você vai entender o porquê. 
 
 Dado um conjunto A e um objeto qualquer a, a única pergunta cabível em 
relação a eles é: a é ou não um elemento do conjunto A? No caso afirmativo, diz-se que 
a pertence ao conjunto A e escreve-se a 

A. Caso contrário, põe-se a

A e diz-se que 
a não pertence ao conjunto A. 
 
Exemplos: 1

N (1 pertence ao conjunto dos números naturais); -1

N, mas -1

Z 
( -1 não pertence ao conjunto dos números naturais, mas -1 pertence ao conjunto dos 
números inteiros). 
 
Quando um conjunto não possui elementos é dito vazio. O conjunto vazio é denotado por 
{ } ou pelo símbolo 

. Qualquer propriedade contraditória serve para definir o conjunto 
vazio. 
 Por exemplo, tem-se 

 = {x; x

x} (

 é o conjunto dos objetos x tais que x é diferente 
de si mesmo) 
 
Dois conjuntos A e B são iguais (A = B), quando possuem exatamente os mesmos 
elementos. Observe o exemplo: 
Se A = {x

N ; x > 0,5} e B = {x 

Z ; x >
2
1
} então A = B. 
Se todo elemento de A for também elemento de B diz-se que A é um subconjunto de B, 
que A está contido em B, ou que A é parte de B. Para indicar este fato, usa-se a notação 
A

 B . A relação A

 B chama-se relação de inclusão. 
Por Exemplo: N

Z e Z

Q 
 
Quando A não é um subconjunto de B escreve-se A 

 B isto significa que nem todo 
elemento de A pertence a B, ou seja, existe pelo menos um objeto a tal que a 

 A e 
a 

B. 
Por exemplo: seja A o conjunto dos números naturais pares e B o conjunto dos números 
naturais que são múltiplos de 3. Tem-se: A 

B por que 2 

A, mas 2 

B. Temos 
também que B 

 A pois 3

B mas 3 

A. 
 
Observe que A = B quando A

 B e também B

A. 
 
Obs: O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. De fato, se existir algum 
conjunto A, tal que 


 A, então deve existir também algum elemento no conjunto vazio 
que não pertence a A, o que é impossível já que o conjunto vazio não possui elementos. 
Então vale o contrário, ou seja, 


A. 
 
Voltemos ao conjunto dos números racionais: Q =






 0,; beZba
b
a
. 
Lembre que: 
 
 Todo número fracionário é um número racional 
 Exemplos: 
5
6
,
3
2
,
2
1
,
7
3


 
 
 Todo número inteiro também é um número racional 
 Exemplos: 
1
0
0,
1
7
7,
1
3
3 


 
 
 Todo número decimal exato é um número racional 
Exemplos: 
4
1
25,0,
10
34
4,3,
10
7
7,0 


 
 
 Todo número decimal periódico é um número racional 
 
Exemplos: 0,222... e - 0,0707... são dízimas periódicas e portanto são números 
racionais. 
De fato, cada dízima periódica possui uma fração geratriz. Vejamos como 
encontrá-la: 
,
9
2
...222,0 
(escrevemos o período, que é a parte que repete, 
neste caso é o número 2, sobre quantos algarismos nove for a quantidade de 
algarismos do período, neste caso um algarismo nove. Assim a geratriz da dízima 
será 
9
2
). 
Você deve estar se perguntando por que 9 ? 
Vejamos outra forma de encontrar a geratriz da dízima periódica: 
Escrevemos x = 0,222... 
Multiplicamos ambos os lados desta igualdade por 10 (porque o período possui 
um algarismo, se fosse dois algarismos seria por 100, três algarismos por 1000, 
etc) 
10 x = 2,222.... 
Agora subtraímos desta igualdade a primeira igualdade: 
 
10 x = 2,222... 
- x = 0,222... 
___________________ 
 9x = 2 Logo: x = 
2
9
 
 
99
7
...0707,0


 (escrevemos o período que é 07, logo tem dois algarismos, 
sobre dois algarismos 9, logo a fração geratriz da dízima será 07 sobre 99). 
 
Tarefa: Use o procedimento acima para chegar a esta fração geratriz. 
 
 
 Existem números cuja representação decimal infinita não é periódica. Por 
exemplo, vamos considerar o número decimal cuja parte inteira é zero e cujas casas 
decimais são formadas pelos algarismos que compõem a sucessão dos números naturais 
não nulos: 0,123456789101112... 
Este é um número decimal com infinitas casas e não periódico. Ele representa um número 
não racional. Números como estes, são chamados de Números Irracionais. 
 
 
O conjunto dos Números Reais 
 
 O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é 
chamado Conjunto dos Números Reais e representado por R. 
Qualquer número que tenha representação decimal finita, infinita periódica ou infinita 
não periódica é um número real. 
As relações de inclusão entre os conjuntos numéricos apresentados até aqui são: 
 
 N

Z

Q

R. 
 
 
O eixo real 
 Vamos considerar uma reta r e associar o número 0 (zero) a um ponto O de r. O ponto O 
determina em r duas semirretas opostas de origem O. A cada ponto A, A diferente de O, 
de uma dessas semirretas, vamos associar um número real positivo x, que indica a 
distância entre A e O em certa unidade u. A cada ponto A`, simétrico de A em relação a 
O, vamos associar o oposto de x, isto é: 
 A` O A 
 | | | 
 -x 0 x 
 
Dessa maneira, a cada ponto da reta está associado um único número real e a cada 
número real está associado um único ponto da reta. Ou seja, existe uma 
correspondência biunívoca entre R e a reta. O sistema assim construído é o eixo real 
cuja origem é o ponto O e cujo sentido é o mesmo da semirreta que representao 
conjunto dos números reais positivos. 
 
 
Intervalos 
 
 
Sendo a e b números reais quaisquer, com a < b, os subconjuntos de R descritos abaixo 
são chamados de intervalos. 
 
 O conjunto formado pelos números reais compreendidos entre a e b, não incluindo os 
extremos a e b, é denominado intervalo aberto e representado por (a, b) ou ]a, b[. 
 Assim: (a, b) = { x

R | a < x < b}. 
 
 Representação: 
 ______________________ 
 a b 
 
 O conjunto formado por a, b e pelos números reais compreendidos entre a e b é 
denominado intervalo fechado e representado por [a, b] . 
 Assim, [a, b] = { x

R | a 

 x 

b}. 
 
 Representação: 
 ______________________ 
 a b 
 
 
 O conjunto formado por b e pelos números reais compreendidos entre a e b é denominado 
intervalo aberto à esquerda e fechado a direita e representado por (a, b] ou ]a, b]. 
Assim, (a, b] = { x 

R| a < x 

 b}. 
 
 Representação: 
 ______________________ 
 a b 
 
 O conjunto formado por a e pelos números reais compreendidos entre a e b é denominado 
intervalo fechado à esquerda e aberto a direita e representado por [a, b) ou [a, b[ . Assim, 
[a, b) = { x

R | a 

x < b }. 
 Representação: 
 ______________________ 
 a b 
 
Temos também as semirretas: 
 
 Intervalo ilimitado fechado à esquerda em a. [a, +

) = [a, + 

[ = { x

R | x 

 a} 
Representação: 
 
 
 a 
 
 Intervalo ilimitado aberto à esquerda em a. (a, + 

) = ]a, + 

[ = {x

R | x > a } 
Representação: 
 
 a 
 Intervalo ilimitado fechado à direita em b. (-

, b] = ]- 

, b] = { x

R | x 

 b } 
Representação: 
 
 b 
 
 
 Intervalo ilimitado aberto à direita em b. (-

, b) = ]- 

, b[ = { x

R | x < b } 
Representação: 
 
 
 b 
 
 
+∞ 𝑒 − ∞ 
Os símbolos -

 (menos infinito) e + 

 (mais infinito) não representam números reais. 
Eles são apenas partes da notação de intervalos ilimitados. Por isso o intervalo sempre 
será aberto nos extremos +

 e -

. 
Os quatro primeiros tipos de intervalos são chamados de intervalos limitados. 
O conjunto dos números reais também pode ser escrito com a notação de intervalo: 
 R = ( -

, +

 ) = ]- 

, + 

[. 
Podemos destacar um fato particularmente relevante a respeito de intervalos: Todo 
intervalo contém números racionais e números irracionais. Isto significa que os números 
racionais e os irracionais estão por toda parte em R. 
 
Comparação de Números Reais 
 
Comparar dois números reais a e b significa estabelecer qual das afirmações abaixo é 
verdadeira: 
 a < b ou a = b ou a > b 
 
1) Quando a e b são racionais, reduzimos as representações por frações de a e b a 
um mesmo denominador positivo e comparamos os numeradores. 
Exemplos: 
 
3
7
4
5

 pois 
12
28
3
7
12
15
4
5
 e
 e 15 < 28 
 
5
16
3
11 


 pois 
15
48
5
16
15
55
3
11 




e
 e -55 < -48 
 
 
2) Quando a e b estão na forma decimal comparamos as partes inteiras. O maior 
número é o que tem a parte inteira maior. 
 Exemplos: 
1,21 < 3,007 pois 1 < 3 
 
-1,7 > -3,584 pois -1 > -3 
 
3) Quando as partes inteiras são iguais tomamos igual número de casas decimais em 
a e b até que surja uma casa com algarismos distintos em a e b. Em seguida, 
comparamos os números resultantes. 
 Exemplos: 
1,13 < 1,37 pois 1,1 < 1,3 
 
2,35 > 2,231 pois 2,3 > 2,2 
 
-4,832 > -4,833... pois -4,832 > -4,833 
 
 
Observação: Uma vez representados por pontos da reta, os números reais ficam 
colocados em ordem crescente quando se percorre a reta da esquerda para a direita. Em 
consequência temos: 
 Um número real a é menor do que um número real b quando a está à 
esquerda de b na reta. 
 Todos os reais negativos são menores que zero. 
 Zero é menor do que todos os reais positivos. 
 Todo real negativo é menor que qualquer real positivo.