CALCULO UNIDADE 01 NUMEROSA REAIS

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Números reais
APRESENTAÇÃO
Você sabia que toda a matemática moderna é organizada na forma de conjuntos? A noção de 
conjuntos é fundamental para compreender todas as estruturas matemáticas que são apresentadas 
ao longo do processo de ensino-aprendizagem. Podemos dizer, sem medo de errar, que ter 
conhecimentos sólidos sobre a matemática é fundamental para o profissional da área da saúde. 
Esses conhecimentos serão necessários para a leitura e a construção de gráficos, para estudos 
estatísticos (fundamentais para as tomadas de decisões diárias), para leituras de resultados de 
análises clínicas e muitas outras aplicações.
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, destacam-se a noção de conjuntos; suas relações, operações e 
aplicações; a definição de conjuntos numéricos; operações com números reais; e os intervalos 
numéricos.
 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Diferenciar o conjunto dos números reais dos demais conjuntos numéricos. •
Demonstrar um subconjunto dos números reais por meio de intervalos.•
Resolver problemas envolvendo números reais.•
DESAFIO
O leucograma é a parte do exame de sangue que consiste em avaliar os leucócitos, também 
chamados de glóbulos brancos, que são as células responsáveis pela defesa do organismo. Esse 
exame indica o número de neutrófilos, bastões ou segmentados, linfócitos, monócitos, 
eosinófilos e basófilos presentes no sangue. Existem 5 tipos de leucócitos que desempenham 
diferentes papéis no sistema imunológico: eosinófilos, basófilos, neutrófilos, linfócitos e 
monócitos.
Mediante o conhecimento dos intervalos numéricos, é possível realizar a leitura dos exames 
clínicos. Uma vez estabelecidos os parâmetros aceitáveis ou descritos como ideais, é possível 
informar ao indivíduo o seu quadro de saúde.
INFOGRÁFICO
É possível avaliar as diferentes quantidades de determinada grandeza ao organizar os números 
de acordo com suas características, seguindo determinada formulação. Ou seja, em sua 
classificação, os números são organizados em conjuntos numéricos, que podem ser classificados 
em naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Veja no Infográfico as particularidades de cada um desses conjuntos numéricos.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
CONTEÚDO DO LIVRO
Ao iniciar os estudos de aritmética, é necessário entender com clareza que, em sua totalidade, os 
números são divididos em conjuntos numéricos. Além disso, para compreender os números 
reais, é importante conhecer os demais conjuntos. Em sua maioria, os conjuntos representados 
são os numéricos, os de formas geométricas e os derivados desses.
Na obra Cálculo (aplicado à saúde), base teórica desta Unidade de Aprendizagem, leia o 
capítulo Números reais, no qual você irá conhecer os conjuntos numéricos e seus 
subconjuntos; suas relações, operações e aplicações; a definição de conjuntos numéricos; 
operações com números reais; e os intervalos numéricos.
CÁLCULO 
(APLICADO À SAÚDE)
Nome da Prof
Números reais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar o conjunto dos números reais dos demais conjuntos
numéricos.
 � Demonstrar um subconjunto dos números reais por meio de intervalos.
 � Resolver problemas envolvendo números reais.
Introdução
Instintivamente, como seres humanos (assim como muitas outras es-
pécies), tendemos a nos organizar de modo a formar conjuntos, e essa 
organização sempre gira em torno de características comuns. Alguns 
exemplos são os grupos que organizamos com a família, os amigos, os 
colegas de trabalho.
Esse conceito é o mesmo utilizado por matemáticos, ao longo da 
história, para estabelecer, formular e desenvolver a matemática como 
conhecemos. Assim, toda a matemática moderna é organizada em forma 
de conjuntos. Ter clareza sobre a noção de conjuntos é fundamental para 
compreender todas as estruturas matemáticas que serão apresentadas 
ao longo de nosso processo de ensino e aprendizagem, uma vez que 
todos os conceitos matemáticos serão expressos por meio da noção de 
conjuntos. Assim, não podemos iniciar este estudo sem ter clareza acerca 
de uma das mais simples ideias matemáticas, pois é preciso ter segurança 
sobre os conhecimentos relacionados aos conjuntos para que possamos 
compreender os números reais.
Entre os conhecimentos trabalhados neste capítulo, destacam-se 
a noção de conjuntos — suas relações, operações e aplicações —, a 
definição de conjuntos numéricos, as operações com números reais e 
os intervalos numéricos.
Noção de conjuntos
Uma das ideias mais simples da matemática é também aquela que formula 
toda a matemática atual. Trata-se da noção de conjuntos.
Um conjunto é formado por elementos com características comuns que os 
relacionam entre si. Assim, dados um conjunto A e um objeto qualquer a (que 
pode ser até mesmo outro conjunto), podemos formular a seguinte questão:
a é (ou não é) elemento do conjunto A?
Se a resposta for sim, podemos dizer que a ∈ A, onde se lê “a pertence a A”. 
Caso contrário, dizemos que a não pertence ao conjunto A que, em linguagem 
matemática, escreve-se: a ∉ A.
É importante destacar que a matemática, como a conhecemos, ocupa-se 
de números e de espaços (ELON, 2004). A maioria dos conjuntos que encon-
tramos frequentemente representados é formada pelos numéricos, pelos de 
formas geométricas e pelos seus derivados. Porém, há estudos que estabelecem 
conjuntos de diferentes elementos para a sua operacionalização matemática, 
a fim de obter as respostas para os questionamentos estabelecidos ao longo 
dos projetos de pesquisa. Um exemplo está relacionado à Teoria de jogos, que 
observa o perfil das respostas comportamentais possíveis, em determinadas 
situações (estabelecendo um conjunto), para a verificação da tendência do 
grupo estudado.
A seguir, serão apresentadas algumas relações importantes para nos apro-
priarmos da noção de conjuntos.
É importante revisarmos os símbolos matemáticos, como os símbolos de pertence 
e não pertence representados anteriormente. À medida que aprofundarmos nossos 
estudos, muitos deles estarão presentes em nossas atividades. Assim, recordemos de 
alguns desses símbolos.
< menor que
≤ menor e igual que
> maior que
≥ maior e igual que
≠ diferente
≅ aproximadamente
Números reais2
∀ para todo
∃ existe
∄ não existe
∅ conjunto vazio
∈ pertence
∉ não pertence
⊂ contém
⊃ está contido 
⟷ se e somente se
Existe um universo de símbolos matemáticos a serem utilizados e, aqui, destacamos 
apenas alguns, que serão mais utilizados em nossos estudos.
Relação de inclusão
Uma vez que já temos claro o conceito de conjuntos, bem como a sua impor-
tância nos estudos matemáticos (ou que possuem base matemática), passaremos 
a estabelecer definições e relações matemáticas que serão a base para o estudo 
dos números reais e também de estudos futuros. Iniciaremos pela relação de 
inclusão.
Sejam A e B conjuntos quaisquer; se observarmos que todo elemento de 
A for também elemento de B, dizemos que A é subconjunto de B. Com base 
na identificação do conjunto A como subconjunto de B, também podemos 
dizer que A está contido em B, ou que A é parte de B. Usando a linguagem 
matemática, podemos escrever a relação de A e B da seguinte forma: A ⊂ B.
A relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão. Quando A não é um sub-
conjunto de B, escrevemos A⊄B. Isso significa dizer que nem todo elemento 
de A pertence ou está contido em B.
A relação de inclusão apresenta propriedades fundamentais de extrema 
importância para as operações matemáticas. Assim: dados quaisquer conjuntos 
A, B e C, as propriedades fundamentais da inclusão são:
 � reflexividade (reflexiva): A ⊂ A
 � antissimétrica: se A ⊂ B e B ⊂ A, então, A = B
 � transitividade: se A ⊂ B e B ⊂ C, então, A ⊂ C
É importante ressaltar a condição de igualdade entre os conjuntos, onde os 
conjuntos A e B são iguais se, e somente se, possuírem osmesmos elementos. 
3Números reais
O pensamento matemático é muito utilizado em exemplos cotidianos. A relação de 
inclusão é a base do raciocínio dedutivo. Observe o exemplo a seguir.
O ser humano é um animal, todo animal é mortal, logo, todo ser humano é mortal. 
Se fossemos escrever essa dedução em linguagem matemática de conjuntos, seria:
Seja H, A e M, respectivamente, o conjunto dos humanos, animais e mortais. Temos 
H ⊂ A e A ⊂ M, logo, H ⊂ M.
Reunião e interseção
Assim como a relação de inclusão, as relações de reunião (também chamadas 
de união) e interseção também são conceitos muito intuitivos para nós. Com 
frequência, reunimos grupos de informações ou, ainda, utilizamos apenas 
uma parcela desses dados, que atendem a dois conjuntos ao mesmo tempo. 
Dessa forma, observemos as definições para essas relações.
Dados os conjuntos A e B, a reunião (ou união) de A e B, representada 
por A∪B, é o conjunto formado por todos os elementos de A mais todos os 
elementos de B.
Já a interseção, representada por A∩B, é o conjunto formado pelos ele-
mentos que são, ao mesmo tempo, conjuntos de A e de B.
Concisamente:
 � x ∈ A ∪ B significa x ∈ A ou x ∈ B
 � x ∈ A ⋂ B significa x ∈ A e x ∈ B
A união e a interseção podem ser representadas pelos diagramas a seguir.
 � União:
A B
A ∪ B
Números reais4
 � Interseção:
A ∪ B
A B
As operações de união e interseção são constituídas pelos conectivos lógicos e e 
ou. Esses conectivos são muito utilizados em nosso cotidiano. Observe os exemplos.
1. Se um paciente der entrada em uma unidade de saúde com um quadro de cálculo 
renal, com o cálculo medindo até 0,5 mm, ele poderá usar um medicamento e ex-
pelir o cálculo naturalmente ou usar um duplo J para facilitar a expulsão do cálculo.
2. Se um paciente der entrada em uma unidade de saúde com um quadro de cálculo 
renal, com o cálculo medindo mais que 0,5 mm, ele poderá usar um medicamento 
para expelir o cálculo naturalmente e usar um duplo J para facilitar a expulsão do 
cálculo.
Observe que, no primeiro exemplo, não há obrigatoriedade em realizar os dois 
procedimentos (tratamentos). Já no segundo exemplo, por usarmos o conectivo e, 
os dois tratamentos deverão ocorrer.
Igualdade entre conjuntos
Sobre as relações entre conjuntos, estabeleceremos a definição da relação de 
igualdade. 
A relação A = B (A igual a B) significa que todos os elementos de A são 
iguais aos elementos de B, e apresentam as seguintes propriedades.
 � Reflexividade: A = A.
 � Simetria: se A é igual a B, então, B é igual a A.
 � Transitividade: se A = B e B = C, então, A = C.
5Números reais
Cabe destacar que as propriedades estabelecidas nas relações de inclusão, 
união, interseção e igualdade são as mesmas presentes nas operações matemá-
ticas básicas, respeitando as especificidades de cada uma das operações. Essa 
observação é pertinente, pois, para podermos buscar soluções matemáticas na 
prática diária do profissional da saúde, precisaremos estar atentos às definições 
para a escolha adequada das relações e operações matemáticas que melhor 
atendem à demanda apresentada.
Conjuntos numéricos
Desde os tempos mais remotos, o homem apresenta a necessidade de estabelecer 
relações para definir a quantidade de bens (produtos) que possuí. Há diversos 
relatos que descrevem as relações que estabeleciam quantidades. Alguns 
exemplos desses relatos são as construções gráficas presentes em cavernas com 
o desenho representativo de animais e, por consequência, sua quantidade, ou a 
relação entre a quantidade de pedras e a quantidade de animais de um rebanho.
Em algum momento, o homem percebeu que era necessário criar um sistema 
de contagem que facilitasse sua vida diária e, com isso, surge a história dos 
números. Em um primeiro momento, são apresentadas representações gráficas 
locais, como o sistema numérico babilônico, até evoluir para a criação de um 
sistema simbólico que, independentemente da localização geográfica, é de 
fácil entendimento. Isso surge devido à necessidade do homem em estabelecer 
relações comerciais com diferentes povos.
A história da evolução do sistema numérico até os dias de hoje é extrema-
mente rica, e está entrelaçada com a evolução da sociedade moderna, o que 
nos permite perceber a importância de estudá-la. Contudo, em nossa unidade 
de aprendizagem, nosso foco será a relação entre os diferentes conjuntos 
numéricos e suas aplicações em nossas práticas profissionais. Dessa forma, 
utilizaremos a definição de Elon (2004), que classifica os números como entes 
“abstratos desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e 
medir”, bem como avaliar as diferentes quantidades de determinada grandeza. 
Quando organizamos os números de acordo com suas características (par-
ticularidades), seguindo determinada formulação, ou seja, os classificados, 
estamos apenas organizando os números em conjuntos.
Os conjuntos numéricos são elencados como: naturais, inteiros, racionais, 
irracionais e reais, conforme veremos a seguir. 
Números reais6
Conjunto dos números naturais (ℕ)
O conjunto dos números naturais é composto por números inteiros positivos, 
e o número zero é o primeiro elemento desse conjunto. Nesse conjunto, o 
sucessor de cada elemento é igual à soma dele mesmo com uma unidade, ou 
seja, o sucessor de 3 será 4, pois 3 + 1 = 4.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Para representar o conjunto dos números naturais não nulos (ou seja, dife-
rentes de zero), deve-se colocar um * ao lado do símbolo. Assim:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
O conjunto dos números inteiros é composto pelo conjunto dos números 
naturais acrescido dos números inteiros negativos. Assim, o conjunto dos 
números inteiros pode ser escrito da seguinte forma:
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
O conjunto dos números inteiros apresenta a relação de simetria em sua 
composição. Em outras palavras, para cada número existe o seu oposto, ou 
o seu simétrico. Um exemplo é o elemento 3, que possui o seu oposto no 
conjunto, sendo ele o –3. Dessa forma, o 3 e o –3 são opostos ou simétricos.
Veja que todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é 
natural. Assim, é possível observar que o conjunto dos números naturais está 
contido no conjunto dos números inteiros.
Conjunto dos números racionais (ℚ)
Assim como houve, ao longo do processo evolutivo do ser humano, a necessi-
dade de estabelecer um sistema de contagem, surgiu também a necessidade de 
descrever partes de algo inteiro. Desse modo, surgem os valores, ou melhor, 
os números fracionários ou, simplesmente, as frações. Quando adicionamos 
as frações aos números inteiros, obtemos o conjunto dos números racionais. 
São exemplos de números racionais:
7Números reais
Q = {−1, −2/5, 4/3, 5, ...}
Então, um número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma 
de uma fração. Usando a linguagem matemática, dizemos que um número 
pertence ao conjunto dos racionais se: 
Q = {x/x = a/b, a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}
Onde se lê “x e x é igual a a sobre b” (ou a dividido por b), com a per-
tencente ao conjunto dos inteiros e b pertencente ao conjunto dos inteiros e 
diferente de zero.
Observe que todo número inteiro é racional, mas nem todo número racional é 
inteiro. Por exemplo, –1 é inteiro e é racional, mas 4/3 é racional e não é inteiro.
Conjunto dos números irracionais (𝕀)
Mesmo com o conjunto dos números racionais, há valores numéricos que não 
conseguimos expressar na forma fracionária como, por exemplo, raízes não 
exatas, como √2, √3, √5 , e do número π, do logaritmo neperiano, além do 
número de ouro ϕ (fi). Assim, o conjunto dos números irracionais é composto 
por todos os números que não são possíveis de se descrever na forma inteira 
ou fracionária.
Esse conjunto não está contido em nenhum dos outros três, ou seja, nenhum 
número irracional é racional, inteiro ou natural, e nenhum número natural, 
inteiro ou racional é irracional.
Conjunto dos números reais (R)
Usando as relações de inclusão,podemos definir o conjunto dos números reais 
como o conjunto formado da reunião do conjunto dos números racionais com 
os números irracionais (PROFESSOR FERRETO, 2018). 
Ainda, com base nos estudos das relações de conjuntos, podemos dizer 
que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números 
reais. Podemos afirmar, também, que o conjunto dos números reais contém 
o conjunto dos números naturais, inteiros e racionais.
Números reais8
Representação geométrica dos conjuntos numéricos
Graficamente, é possível realizar a representação geométrica dos conjuntos 
numéricos, conforme o diagrama ilustrado na Figura 1.
Figura 1. Representação geométrica dos conjuntos numéricos.
ℝ
ℚ
ℤ
ℕ
�
É possível observar que o conjunto dos números reais, ℕ, contém todos os 
demais conjuntos. Se fixarmos o conjunto dos números reais como o nosso 
universo, 𝑢, podemos dizer, por exemplo, que o conjunto dos números naturais, 
ℕ, é subconjunto de 𝑢, ou seja: se ℕ ∈ 𝑢, logo, ℕ ∈ ℝ.
Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais nos permite trabalhar com grandezas contínuas, 
uma vez que esse é o conjunto que contém os demais conjuntos numéricos. Para 
melhor representá-lo, usamos um segmento de reta, que também é conhecida 
como reta real ou, simplesmente, reta.
A representação da reta surge para esclarecer as posições dos números 
racionais entre os inteiros, bem como para facilitar o entendimento dos pro-
cedimentos de operações, como a soma e a subtração, entre os valores de 
grandezas expressas por números inteiros (positivo ou negativo) e fracionários.
9Números reais
A reta real é dividida pelo ponto O, chamado origem ou zero. No sentido 
da origem para a direita, encontram-se os números positivos e, da origem para 
a esquerda, os negativos. É importante recordar que a reta tende ao infinito, 
tanto pela esquerda quanto pela direita.
Segundo Guidorizzi (2001), é possível elencar as seguintes propriedades básicas dos 
números positivos:
 � Dado um número real x, há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou x 
é positivo; ou x = 0; ou x é negativo.
 � A soma do produto de números positivos também será positiva. A desigualdade 
entre números reais está reduzida aos números positivos, uma vez que a sentença 
x < y significa que y – x apresenta resultado positivo. Dessa relação, é possível 
estabelecer os seguintes princípios:
 ■ Tricotomia: dados x, y ∈ ℝ, vale uma, e somente uma, das seguintes alternativas: 
x < y, x = y ou y < x.
 ■ Transitividade: se x < y e y < z, então, x < z.
 ■ Monotocidade da adição: se x < y, então, para todo z ∈ ℝ, tem-se x + z < y + z.
 ■ Monotocidade da multiplicação: se x < y e z é positivo, então, xz < yz.
Intervalos
Há situações em que, para estabelecer relações métricas e solucionar questões, 
faz-se necessário determinar parâmetros numéricos. Um exemplo seria a leitura 
do resultado de exames patológicos. Essa ação de estabelecer parâmetros, 
que realizamos de forma intuitiva, tem como base matemática o estudo dos 
intervalos numéricos.
É possível definir um intervalo numérico como o conjunto numérico que é 
composto por cada número real entre dois extremos indicados, seja numérica ou 
geometricamente. Cabe destacar que não é possível representar subconjuntos ou 
conjuntos que não sejam reais (ou contidos nos reais) pela notação de intervalo.
Números reais10
Suponha que o conjunto A é um subconjunto dos números reais, e podemos escrever 
da seguinte maneira:
A ={x ∈ ℝ R: 1 ≤ x ≤ 2} = [1,2]
onde se lê “x pertencente ao conjunto dos números reais tal que um é menor e igual 
a x que é menor e igual a dois”. Essa definição de intervalo indica que o conjunto A é 
composto por todos os valores reais contidos no intervalo entre 1 e 2. Como os sinais 
que indicam as extremidades do intervalo são de maior e igual e menor e igual, eles 
indicam que os valores 1 e 2 pertencem ao conjunto A.
Também podemos representar o conjunto A de forma geométrica. Assim,
1 2
Ao definirmos intervalos, podemos dizer que o intervalo é aberto, o que significa que 
os extremos desses intervalos não estão inclusos, ou podemos dizer que o intervalo 
é fechado. Isso significa que os extremos estão inclusos.
Notações
A definição e a representação dos intervalos numéricos indicam se os valores 
das extremidades estão contidos ou não no intervalo. Assim, faz-se necessário 
estar atento às notações que representam os intervalos estabelecidos.
11Números reais
Intervalo aberto
Ao definirmos um intervalo como aberto, queremos informar que os valores das 
extremidades não pertencem ao intervalo. Para isso, representamos a abertura 
de um intervalo por meio de colchetes invertidos, conforme o exemplo a seguir. 
Esses colchetes podem ser substituídos escrevendo os sinais de maior ou menor.
]a,b[={x ∈ ℝ R: a < x < b}
O intervalo também é aberto quando indicamos apenas um dos extremos, 
enquanto o outro pode ser uma infinidade de elementos à direita (+∞) ou à 
esquerda (−∞). Note que sabemos que a infinidade é dada à esquerda ou à direita 
da reta real por meio dos sinais positivos ou negativos ao lado do símbolo de 
infinito, e também na posição ocupada na representação do par ordenado que 
compõe as extremidades do intervalor (direita ou esquerda). Então:
]a,+∞[={x ∈ ℝ: x > a}
Geometricamente, a representação do intervalo aberto se dá por meio de 
um círculo vazado na reta.
]a,b[
a b
]a, +∞[
a
]-∞, a[
a
Números reais12
Intervalo fechado
O intervalo é fechado e, tanto em sua definição quanto em sua representação, 
o oposto do aberto. Assim, representamos o intervalo fechado por colchetes 
e sinais de maior e igual ou menor e igual e, na reta, com circunferências 
totalmente preenchidas, conforme os exemplos a seguir.
[a,b]={x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b}
a b
Os intervalos numéricos não precisam ser fechados nas duas extremidades ou abertos 
nas duas extremidades. Eles podem assumir uma forma mista com uma das extremi-
dades aberta e a outra fechada. Assim, podemos definir um intervalo A, por exemplo, 
[a,∞[, que é fechada em a e aberto para o infinito à direita.
Operações
É possível realizar operações matemáticas com intervalos numéricos, pois 
podemos assumir que um intervalo é um subconjunto dos números reais. 
Dessa forma, é possível realizar algumas operações entre intervalos, como 
união e interseção de intervalos. 
13Números reais
Vamos supor que temos dois intervalos: [a, b] e [c, d], e que d > c > b > a.
A união dos intervalos será dada por:
[a,b] ∪ [c,d] = {x ∈ ℝ R: a ≤ x ≤ b ou c ≤ x ≤ d}
Geometricamente, representamos da seguinte maneira:
a b c d
A sua interseção é vazia, pois não existem elementos comuns em ambos os intervalos:
[a,b] ∩ [c,d] = ∅
Vamos tomar um exemplo com valores. Supondo os intervalos [1,5] e [2,7]. A sua 
união será:
[1,5] ∪ [2,7] = [1,7] = {x ∈ ℝ R: 1 ≤ x ≤ 7}
Se representarmos na reta, veremos que seus elementos estão ligados linearmente:
1 2 5 7
Então, a sua união será a junção, ou inclusão, utilizando, assim, o estudo das relações 
de todos os elementos de seus intervalos, resultando em um intervalo único de 1 a 7. 
Porém, a sua interseção será dada por:
[1,5] ∩ [2,7] = [2,5] = { x ∈ ℝ R: 2 ≤ x ≤ 5}
Geometricamente, vemos que existe um intervalo entre eles composto pelos ele-
mentos que são comuns em ambos, no caso, o intervalo [2,5], veja:
1 2 5 7
Números reais14
Na área da saúde, constantemente, deparamo-nos com intervalos numéricos. Um 
exemplo é a leitura de exames clínicos, em que verificamos se o indivíduo está dentro 
do que é considerado normal, e se o valor obtido em seu resultado está dentro de um 
intervalo preestabelecido. Um exemplo seria o nível de creatinina. Para um adulto do 
sexo feminino, o valor da creatinina, para ser considerado normal, deve estar entre 
0 ≤ c ≥ 1, onde c é o valor do sujeito. A leitura desse intervalo é a seguinte: creatinina 
deve estar maior ou igual a zero e menor ou igual a 1. Note que são intervalos fechados, 
logo, os valores 0 e 1 pertencem aointervalo.
1. Um conjunto é a reunião de 
elementos com características em 
comum como, por exemplo, o 
conjunto das estações do ano. Em 
matemática, os elementos de um 
conjunto são relacionados segundo 
a sua lei de formação, o que 
possibilita infinitos agrupamentos. 
Porém, alguns representam uma 
situação ou lei de formação 
especial, como o conjunto dos 
números reais e, por conta disso, 
recebem um símbolo que os 
representa. Assim, é correto afirmar 
que o símbolo Ø representa: 
a) um conjunto unitário, ou seja, 
que contém um único elemento.
b) conjuntos iguais, ou seja, 
que contêm, exatamente, 
os mesmos elementos.
c) o conjunto dos números 
complexos.
d) o conjunto dos valores 
infinitos ou finitos.
e) o conjunto vazio, ou seja, que 
não contém elemento. 
2. Qual alternativa apresenta 
corretamente a definição 
de subconjunto?
a) Caso todo elemento do 
conjunto A pertença também 
ao conjunto B, sem que todos 
os elementos desse segundo 
grupo pertençam a B, diremos 
que A é subconjunto de B: A ⊂ B.
b) Caso todo elemento do conjunto 
A não pertença também ao 
conjunto B, sem que todos os 
elementos desse segundo grupo 
pertençam a B, diremos que A 
é subconjunto de B: A ⊂ B.
c) Caso todo elemento do conjunto 
A não pertença também ao 
conjunto B, sem que todos os 
elementos desse segundo grupo 
pertençam a B, diremos que A 
é subconjunto de B: B ⊂ A.
d) Caso todo elemento do 
conjunto A pertença também 
ao conjunto B, sem que todos 
os elementos desse segundo 
grupo pertençam a A, diremos 
que A é subconjunto de B: A ⊂ B.
15Números reais
e) Caso os elementos de B estejam 
contidos em A, sem que todos 
os elementos de B pertençam 
a A, podemos dizer que A é 
subconjunto de B: A ⊂ B.
3. Sejam os pontos a e b 
pertencentes ao conjunto dos 
números reais, identifique quais 
das representações a seguir 
caracterizam um intervalo fechado.
a) ]b,a]
b) ]a,b]
c) [a]
d) [a,+∞[
e) ]−∞,a]
4. Com base nos estudos sobre 
o conjunto dos números reais, 
é correto afirmar que:
a) o conjunto dos números 
reais não contém todos 
os demais conjuntos.
b) o conjunto dos números reais 
contém todos os demais 
conjuntos, exceto o conjunto 
dos números complexos.
c) o conjunto dos números 
irracionais está contido 
nos naturais.
d) o conjunto dos números 
reais não contém o 
conjunto dos naturais.
e) o conjunto dos números 
inteiros contém o conjunto 
dos números reais.
5. Dizemos que um exame de 
creatinina é normal se seus valores 
estiverem contidos no intervalo 
[0,1]. Assim, é correto dizer que:
a) o intervalo [0,1] é um 
intervalo semiaberto.
b) se o sujeito apresentar resultado 
superior a 1, estará dentro 
do considerado normal, 
pois atende aos valores de 
referência do exame.
c) se o sujeito apresentar valores 
iguais a 0,6, estará dentro 
do considerado normal, 
pois atende aos valores de 
referência do exame.
d) os valores considerados 
normais para esse exame 
não podem ser considerados 
um intervalo numérico.
e) para serem um intervalo 
numérico, os valores das 
extremidades devem ser, 
obrigatoriamente, racionais.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
PROFESSOR FERRETO. Números irracionais e reais. 2018. Disponível em: <http://www.
professorferretto.com.br/numeros-irracionais-e-reais/>. Acesso em: 7 dez. 2018.
Números reais16
Leituras recomendadas
ACCBARROSO. Teoria dos conjuntos. 2016. Disponível em: <https://ensinodematemtica.
blogspot.com/2010/12/teoria-dos-conjuntos.html>. Acesso em: 7 dez. 2018.
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 2.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013. v. 1.
DIAS, J. Projeção oblíqua. [2018]. Disponível em: <https://www.geogebra.org/m/
kKu5kA9t>. Acesso em: 7 dez. 2018.
LIMA, E. L. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016. v. 1.
17Números reais
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Um dos temas de maior aplicabilidade para os profissionais da área da saúde, quando estudamos 
o conjunto dos números reais, é a noção de intervalos numéricos.
Veja nesta Dica do Professor como os intervalos numéricos são representados e como operá-los.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Um conjunto nada mais é do que a reunião de elementos com características em 
comum, como, por exemplo, o conjunto das estações do ano. Em matemática, os 
elementos de um conjunto são relacionados segundo a sua lei de formação, o que 
possibilita infinitos agrupamentos. Porém, alguns representam uma situação ou lei de 
formação especial, como o conjunto dos números reais, e por conta disso recebem um 
símbolo que os representa. Assim, é correto afirmar que o símbolo Ø representa:
A) um conjunto unitário, ou seja, que contém um único elemento.
B) conjuntos iguais, ou seja, que contêm exatamente os mesmos elementos.
C) o conjunto dos números complexos.
D) o conjunto dos valores infinitos ou finitos.
E) o conjunto vazio, ou seja, que não contém nenhum elemento.
2) Qual das alternativas a seguir apresenta corretamente a definição de subconjunto?
A) Caso todo elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os 
elementos desse segundo grupo pertençam todos a B, diremos que A é subconjunto de B: 
A ⊂ B.
B) Caso todo elemento do conjunto A não pertença também ao conjunto B, sem que todos os 
elementos desse segundo grupo pertençam todos a B, diremos que A é subconjunto de B: 
A ⊂ B.
C) Caso todo elemento do conjunto A não pertença também ao conjunto B, sem que todos os 
elementos desse segundo grupo pertençam todos a B, diremos que A é subconjunto de B: 
B ⊂ A.
D) Caso todo elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os 
elementos desse segundo grupo pertençam todos a A, diremos que A é subconjunto de B: 
A ⊂ B.
E) Caso os elementos de B estejam contidos em A, sem que todos os elementos de B 
pertençam a A, podemos dizer que A é subconjunto de B: A ⊂ B.
3) Sejam os pontos a e b, sendo a e b pertencentes ao conjunto dos números reais. 
Identifique quais das representações abaixo caracterizam um intervalo fechado.
A) ]b,a].
B) ]a,b].
C) [a].
D) [a,+∞[.
]E) 
−∞,a].
4) Com base em nossos estudos sobre o conjunto dos números reais, é correto afirmar 
que:
A) o conjunto dos números reais não contém todos os demais conjuntos.
B) o conjunto dos números reais contém todos os demais conjuntos, exceto o conjunto dos 
números complexos.
C) o conjunto dos números irracionais está contido nos naturais.
D) o conjunto dos números reais não contém o conjunto dos naturais.
E) o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números reais.
5) Dizemos que um exame de creatinina é normal se seus valores estiverem contidos no 
intervalo [0,1]. Assim, é correto dizer que:
A) o intervalo [0,1] é um intervalo semiaberto.
B) se o sujeito apresentar resultado superior a 1, estará dentro do considerado normal, pois 
atende aos valores de referência do exame.
C) se o sujeito apresentar valores iguais a 0,6, estará dentro do considerado normal, pois 
atende aos valores de referência do exame.
D) os valores considerados normais para esse exame não podem ser considerados um 
intervalo numérico.
E) para serem um intervalo numérico, os valores das extremidades devem ser 
obrigatoriamente racionais.
NA PRÁTICA
Na área da saúde, constantemente nos deparamos com questões de matemática básica, como, 
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matemática e compreender de que modo esse conhecimento afeta as atividades do seu dia a dia. 
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Matemática em toda parte
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Conjunto dos números reais
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Interseção e união de conjuntos
Veja neste vídeo exemplos de interseção e união de conjuntos.
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