Conjuntos e Conjuntos numéricos

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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1) O conjunto dos números naturais, é representado por: IN = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}. 
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}, onde o zero é excluído do 
conjunto IN. 
 
2) O conjunto dos números inteiros é definido por: Z = {...,–3,–2,–1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}. 
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,–1,–2,–3,–4,–5,...} 
 
3) O conjunto dos números racionais é representado por Q = {p/q ; p e q  Z e q  0}. 
Exemplos de racionais: 
 
 
 
 
 
 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS: Há frações que não possuem representações decimais exatas. A esses 
números, que possuem repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de 
dízimas periódicas. Numa dízima periódica, os algarismos que se repetem infinitamente, constituem o 
período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e compostas. 
 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES: Temos as dízimas periódicas simples, quando a parte periódica 
(parte periódica) apresenta-se imediatamente após a vírgula. Veja os exemplos: 
 
a) 15,3333... (parte periódica é 33333...) 
b) 0,1111... (parte periódica é 1111...) 
c) 0,32323... (parte periódica é 32323...) 
d) 2,32153215321... (parte periódica é 3215...) 
e) 2,3222... não é uma dízima periódica simples, já que possui, após a vírgula, o algarismo 3 destoando 
na parte periódica. 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS: São dízimas periódicas compostas as que possuem, entre o 
período e a vírgula, uma parte não periódica (parte não periódica). Veja os exemplos: 
 
a) 15,43333... (parte não periódica é 4 e parte periódica é 3333...) 
b) 0,22111... (parte não periódica é 22 e parte periódica é 1111...) 
c) 0,3143232... (parte não periódica é 314 e parte periódica é 32323...) 
 
Para calcularmos a fração geratriz de uma dízima periódica composta, procede-se da seguinte forma: 
 
Exemplo: Calcule a fração geratriz da dízima 2,321212... 
 
Multiplicamos toda dízima por potências de 10 até encontrarmos dois valores com parte periódica 
iguais: 
 
i) Multiplicando por 10: 10x = 23,21212... 
ii) Multiplicando por 100: 100x = 232,1212... 
iii) Multiplicando por 1000: 1000x = 2321,21212... 
As partes periódicas de (i) e (iii) são iguais: 
Logo, 1000x – 10x = (2321,21212... – 23,21212....). 
 
As partes periódicas se anulam nesta subtração, então teremos que: 990x = 2321 – 23 ou 990x = 
2298. 
Logo, 
990
2298 é a fração geratriz. 
 
4) O conjunto dos números irracionais é formado por decimais infinitas não periódicas, ou seja, os 
números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Um número irracional 
bastante conhecido é o número π (Pi = 3,1415926535... 
 
Uma representação para os irracionais pode ser vista como IR – Q. Outros exemplos de irracionais: 
...4142135,12  
...7320508,13  
 
5) O conjunto dos números reais, representado por IR, é a união entre os conjuntos dos números 
racionais, Q, e dos irracionais. Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são 
todos, números reais. 
 
IR+ = conjunto dos números reais não negativos; 
IR = conjunto dos números reais positivos. 
 
 
 
 
 
 
Intervalo Real: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo, entre os 
números 1 e 2 existem vários números reais tais como: 
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 . . . 
 
Escrever todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa um intervalo de tais números onde, 
se inclui os extremos, considera-se fechado e se não inclui, considera-se aberto. Sendo a e b números 
reais e a < b, temos: 
 
INTERVALO FECHADO: 
 
[a , b] = {x  IR / a  x  b} 
 
 
 INTERVALO ABERTO: 
 
]a , b[ = {x  IR / a < x < b} 
 
 
INTERVALO FECHADO À ESQUERDA: 
 
 [a , b [ = { x  IR / a  x < b} 
 
 
INTERVALO FECHADO À DIREITA: 
 
 ]a , b] = { x  IR / a < x  b} 
 
 
INTERVALOS INFINITOS: 
 
[a , + [ = { x  IR / x  a}; 
 
 
] a , +  [ = {x  IR / x > a}; 
 
 
] – , a] = { x  IR / x  a }; 
 
 
] –, a[ = { x  IR / x < a} 
 
 
 
a) Conjuntos: A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem 
cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo: Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto. 
 
b) Elemento: Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim: 
 
V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima. 
 
c) Pertinência entre elemento e conjunto: Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras 
maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence. 
 
Notação: 
 
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C,… 
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z,… 
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) 
indicamos por: Ax . Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A escrevemos: Ax . 
 
Representações de Conjuntos 
 
a) Extensão ou Enumeração: Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração 
de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. 
 
Exemplos: Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana}. 
 
b) Propriedade dos Elementos: Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade 
característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente: A = {x | x tem a Propriedade P} e 
lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P. 
 
Exemplos: A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006}. 
 
c) Diagrama de Euler-Venn: Um conjunto pode ser representado por meio de 
uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos 
dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto. 
 
 
 
 
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio: Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à ideia de 
pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um 
elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de 
conjunto vazio (Ø). 
 
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente 
falsa. 
 
Exemplo de Conjuntos Unitários: Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro}; 
 
Exemplos de Conjuntos Vazios: {x | x > 0 e x < 0} = Ø; 
 
Conjunto Universo: É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um 
determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U. Assim, se procuramos determinar as 
soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos 
números reais). 
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto 
universo em que estamos trabalhando, escrevendo: 
 
 Pepropriedadatemx/UxA  ou  PepropriedadatemxeUx/xA  . 
 
Igualdade de Conjuntos: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B 
e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:   BxAxxBA  . 
 
Observações: 
 
1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”; 
 
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de 
conjuntos; 
 
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou 
vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}. 
 
Subconjunto: Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e 
somente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B: 
  BxAxxBA  , onde a notação BA  significa “A é 
subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da 
notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura 
do sinal de inclusão fica sempredirecionada para o conjunto “maior”. Na forma 
de diagrama é representado como na figura. 
 
Exemplos: {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 {a, b, c}  {a, c, d, e}, onde  significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do 
primeiro conjunto não pertence ao segundo. 
 
Propriedades da Inclusão: Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes 
propriedades: 
1. Ø  D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; 
2. D D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva); 
3. D E e E  D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica); 
4. D  E e E  F => D  F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um 
terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva). 
 
Conjunto das Partes: Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E, representado por P(E) o 
conjunto formado por todos os subconjuntos de E:  EX/X)E(P  . 
 
Exemplo: Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}. 
 
Observações: 
1. Apesar de colocado na própria definição, os elementos de P(E) são conjuntos; 
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido 
(não contido); 
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A); 
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A 
propriedade é válida para conjuntos finitos; 
5. Exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21. 
 
União de conjuntos: Dado dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar 
todos os elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O 
conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
 
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
 
Intersecção de conjuntos: Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer 
que queremos os elementos que eles têm em comum. 
 
Dado dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo 
símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6, 7}, pois 5, 6 e 7 são elementos que pertencem aos dois conjuntos. 
 
Se dois conjuntos não tem nenhum elemento comum a intersecção deles será um conjunto vazio. 
Dentro da interseção de conjuntos há algumas propriedades: 
 
1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A 
2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é: A ∩ B = B ∩ A. 
3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C . 
 
Diferença de conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto 
formado pelos elementos de A que não pertence a B. 
Exemplo: A – B = {x | x  A e x  B }  A – B = {2, 7, 8} e B – A = {0 ,1}. 
Para quaisquer conjuntos A e B são válidas as propriedades: 
 
A – A =  A –  = A  – A =  B  A  B – A =  
 
 
Exercícios 
 
1) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {x / x²-11x+18 = 0}, use o símbolo  ou  para relacionar: 
a) 0 e A 
b) 0 e B 
c) 2 e A 
d) 2 e B 
e) 9 e A 
f) 4 e B 
 
2) Se A e B são dois conjuntos tais que A  B e A ≠ ∅, então: 
a) sempre existe x A tal que x ∉ B. 
b) sempre existe x B tal que x ∉ A. 
c) se x  B então x  A. 
d) se x ∉ B então x ∉ A. 
e) A ∩ B = ∅. 
 
3) Indique as sentenças verdadeiras em relação aos conjuntos A, B e C. 
 
a) Se AB e BA, então A = B. 
b)  B ØB. 
c) Se CA e AB, então CB. 
d) Se x A e x B, então AB. 
 
 
 
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/tipos-conjunto.htm
4) Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) 
cada afirmação abaixo: 
 
a) ( ) A  B 
b) ( ) {1}  A 
c) ( ) A  C 
d) ( ) B  C 
e) ( ) B  C 
f) ( ) {0;2}  B 
 
5) Sendo A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine: 
a) AB 
b) AB 
 
6) São dados os conjuntos: 
 
A = {x  N / x é ímpar}, 
B = {x  Z / – 3 ≤ x < 4}, 
C = {x  Ζ / x < 6}. 
Calcule: 
a) A = 
b) B = 
c) C = 
d) (A∩B)  (B∩C) = 
e) (A∩ C)  B = 
 
 
7) Observe o diagrama e responda: 
 
 
Quais os elementos dos conjuntos abaixo: 
a) A = 
b) B = 
c) C = 
d) (A∩B)  (B∩C) = 
e) (A∩C)B = 
 
8) Se A = {2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 6, 8} C = {1, 4, 6, 8}, então: 
 
a) (A – B) ∩ C = {1, 2} 
b) (B – A) ∩ C = {1} 
c) (A – B) ∩ C = {1} 
d) (B – A) ∩ C = {2} 
e) n.d.a 
 
9) Se A = {x / x é número ímpar e 0 < x < 10}, B = {x / x é divisor de 24} e C = {x / x é um número 
par e 2 < x < 13}, determine: 
 
a) BCA  )( 
b) )( BAC  
c) CBA  )( 
 
10) Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que: 
AB = {1;2;3;4;5;6;7;8}, A – B = {1;3;6;7} e B – A = {4;8} então A ∩ B é o conjunto: 
 
a) ∅ 
b) {1;4} 
c) {2;5} 
d) {6;7;8} 
e) {1;3;4;6;7;8} 
 
11) Use V ou F conforme o caso 
 
a) 3,1  Q ( ) l) 3,555 = 3,555... ( ) 
b) 2  Q ( ) m) 0,777... = 
1000
7
 ( ) 
c) 3 8  Z ( ) n) 0,222... = 
9
2
 ( ) 
d) 25 = ±5 ( ) o) e ≅ 2,7 (n° de Euler) ( ) 
e) 9 = 3 ( ) p) 0,85  R ( ) 
f) -3² = 9 ( ) q) 7  Q ( ) 
g) (-3)²= 9 ( ) r) 
2
0
 N ( ) 
h) 7,3  Q ( ) s) 0 Q ( ) 
i) 64  R ( ) t) 25  N ( ) 
j) 3,222  Q ( ) u) 3 27  Z ( ) 
k) π = 3,14 ( ) 
 
12) Dados os conjuntos 
A = {x  Ν | - 1< x ≤ 4} e B = {x  Ζ | 0 ≤ x < 2}, o conjunto A ∩ B é igual a: 
 
a) {-1;0;1} 
b) {-1;0;1;2} 
c) {0;1} 
d) {1;1, 2} 
e) {-1;0;1;2;3;4} 
 
13) Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, 
nenhum esporte. O número total de alunos é 
 
a) 230 
b) 300 
c) 340 
d) 380 
 
14) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua 
inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que 
falam as línguas inglesa e francesa é 
 
a) 778 b) 120 c) 658 d) 131 
 
 
 15) . Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e 
P3 mostrou que, dos entrevistados: 
20 consumiam os três produtos; 
30 os produtos P1 e P2; 
50 os produtos P2 e P3; 
60 os produtos P1 e P3; 
120 o produto P1; 
75 o produto P2 
 
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-
se: 
 
a) Quantas consumiam somente o produto P3? 
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? 
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3? 
 
16) Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o 
segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova? 
 
17) As figuras a seguir representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em 
que a região hachurada representa o conjunto YZX. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Um certo número de alunos de uma escola de ensino médio foi consultado sobre a preferência em 
relação às revistas A ou B. O resultado obtido foi o seguinte: 180 alunos lêem a revista A, 160 lêem a 
revista B, 60 lêem A e B e 40 não lêem nenhuma das duas. 
 
a) Quantos alunos foram consultados? 
b) Quantos alunos lêem apenas a revista A? 
c) Quantos alunos não lêem a revista A? 
d) Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B? 
 
 
 
 
19) Foramconsultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. 
Obteve-se o seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao canal Z, 270 assistem ao canal W e 
80 assistem a outros canais distintos de Z e W. 
 
a) Quantas pessoas assistem aos dois canais? 
 
b) Quantas pessoas assistem somente ao canal W? 
 
c) Quantas pessoas não assistem ao canal Z? 
 
20) Uma escola ofereceu cursos paralelos de informática (I), xadrez (X) e fotografia (F) aos 
alunos da 1a série do ensino médio. As inscrições nos cursos foram feitas segundo a tabela 
abaixo. Baseando-se nas informações desta tabela, responda às perguntas que se seguem. 
 
 
a) Quantos alunos cursavam a 1a série do ensino 
médio? 
b) Quantos alunos optaram somente por um curso? 
c) Quantos alunos não se inscreveram no curso de 
xadrez? 
d) Quantos alunos se inscreveram somente no curso de 
informática? 
e) Quantos alunos fizeram inscrição para o curso de 
informática ou fotografia? 
f) Quantos alunos fizeram inscrição para o curso de 
informática e xadrez? 
g) Quantos alunos não se inscreveram no curso de xadrez e nem no de fotografia? 
 
 
21) Dados dois conjuntos E e F, sabe-se que: 
 
1o) 45 elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos; 
2o) 13 elementos pertencem a ambos; 
3o) F tem 8 elementos a mais que E. 
Quantos elementos possui cada um desses conjuntos? 
 
22) Considere as seguintes equações: I. x2 + 4 = 0 II. x2 - 2 = 0 III. 0,3x = 0,1 
 
Sobre as soluções dessas equações é verdade que em: 
a) II são números irracionais. 
b) III é número irracional. 
c) I e II são números reais. 
d) I e III são números não reais. 
e) II e III são números racionais. 
 
23) Complete com os símbolos , , , de modo a tornar verdadeira cada uma das sentenças: 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso 
 
 Número de 
inscritos 
 I 24 
 X 10 
 F 22 
 I e X 3 
 I e F 5 
 F e X 4 
I e X e F 2 
Nenhum 4 
Qa __33,7) QNb __) Zc __7,0) Nd __
5
7
) 
ZNe __) ZQf __) Qg __48,2) Nh __
2
4
)

 
 
 
24) Usando  ou , complete: 
25) Classifique em V ou F: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) Considerando-se os conjuntos: A = {x IN / x < 4}, B = { x  Z / 2x + 3 = 7 } e C = { x IR / 
x2 + 5x + 6 = 0 }, é verdade que: 
 
Escreva a soma das afirmações verdadeiras: ____________________________________ 
 
27) Represente na reta numérica os seguintes subconjuntos de IR: 
 
a) A = {x  |R / x > -3/2} 
 
b) B = {x  |R / 2 < x < 5} 
 
28) Dados os subconjuntos de IR: A = {x  IR / -2 ≤ x < 3}, B = {x  IR / 1 ≤ x < 4} e C = {x  
IR / x < 0}, determine: 
 
 a) A  B = b) A  B = c) (A  C)  B = 
 
 
29) Dados os conjuntos: A = {x  IR, x > 0}, B = {x  IR, x  1} e C = {x  IR, 3 < x  
2}, determine: 
 
a) A  B = b) A  C = c) (A  C)  (A  B) = 
 
 
30) Sendo D = ] , 1[, E = ] 5, 2 [ e F = ] 1, 4], obtenha: 
 
 a) D  E = b) E  F = c) (E  F)  (D  E) = 
 
 
 Ra ___)  Rb ____66.2) Rc ____9)  Rd ___16) 