Noções da Teoria de Conjuntos

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1. REVISÃO DAS NOMENCLATURAS BÁSICAS 
 
a) Quantificadores 
 
∀ − Qualquer que seja; para todo 
∃ − Existe 
∃| − Existe um único 
∄ − Não existe 
 
b) Acessórios de linguagem 
 
∴ − Portanto 
| − Tal que 
 
c) Símbolos de pertinência 
 
∈ − Pertence 
∉ − Não pertence 
 
Obs.: os símbolos de pertinência devem ser utilizados somente entre “elemento” e “conjunto”. 
 
d) Símbolos de inclusão 
 
⊂ − Está contido 
⊄ − Não está contido 
 ⊃ − Contém 
⊅ − Não contém 
 
Obs.: os símbolos de inclusão devem ser utilizados somente entre dois conjuntos 
 
e) Símbolos lógicos 
 
⟹ − Implica 
⟺ − Equivale 
∧ − e 
∨ − ou 
 
 
 
 
 
 2 
2. FRAÇÃO GERATRIZ 
 
Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo denominador, o resultado é 
uma dízima periódica (número decimal periódico). Os números decimais periódicos apresentam 
um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se 
repetem representam o período do número. Quando a parte decimal é formada apenas pelo 
período, a dizima é classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte decimal, 
algarismos que não se repetem, a dízima será composta. Vejamos os exemplos: 
 
Dízima periódica simples: 4 9⁄ = 0,444 … = 0, 4̅ 
Dízima periódica simples: 32 9⁄ = 3,555 … = 3, 5̅ 
Dízima periódica composta: 52 90⁄ = 0,5777 … = 0,57̅ 
 
Observe que além da forma de fração, conhecida como fração geratriz, a dízima periódica pode 
ser representada como um número decimal de duas maneiras. Podemos inserir, ao final do número, 
reticências (…) ou podemos colocar um traço acima do seu período (parte que se repete na dízima), 
logo uma mesma dízima pode ser representada de duas maneiras. 
 
2.1. CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ 
Encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica muitas vezes é necessário para que possamos 
efetuar cálculos, por exemplo, em expressões numéricas. 
 
2.1.1. Dízima periódica simples 
Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos seguir os seguintes 
passos: 
1º passo) igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de forma a escrever uma 
equação do 1º grau. 
2º passo) multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. Para descobrir qual será 
o múltiplo, devemos identificar quantas casas decimais devemos "andar" para que o período fique 
antes da vírgula. 
3º passo) subtrair a equação encontrada da equação inicial. 
4º passo) isolar a incógnita. 
 
Vejamos os exemplos: 
 
 3 
(1) “Encontre a fração geratriz do número 0,333...” 
Primeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x: 
x = 0,333 … 
Observe que o período apresenta um único algarismo (3). Assim sendo, temos que "andar" apenas 
uma casa para ter o período na frente da vírgula. Assim, multiplicaremos a equação por 10. 
10x = 10 . 0,333. . . 
10x = 3,333. .. 
 
Agora vamos subtrair as duas equações, membro a membro, ou seja: 
 
 10x = 3,333 …
− x = 0,333 … 
 
___________________
9x = 3
 
 
Isolando o x, encontramos a fração geratriz: 
 
x =
3
9
=
1
3
 
 
(2) “Encontre a fração geratriz do número 0,4545 ...” 
Vamos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. A única diferença é que agora o período é 
formado por 2 algarismos (45). Neste caso, teremos que "andar" duas casas, e então vamos 
multiplicar por 100. 
x = 0,4545 … 
100x = 100 . 0,4545 … 
100x = 45,4545 … 
Subtraindo as equações: 
 100x = 45,4545 …
− x = 0,4545 … 
 
___________________
99x = 45
 
 
Isolando o x, encontramos a fração geratriz: 
 
x =
45
99
=
5
11
 
 
 
 4 
2.1.2. Dízima periódica composta 
 
Uma dízima periódica composta possui parte inteira (que vem antes da vírgula), parte não periódica 
e período, que vem depois da vírgula. O que diferencia uma dízima periódica simples de uma 
composta é que, na simples, só há o período depois da vírgula; na composta, existe uma parte que 
não se repete depois da vírgula. 
Exemplos: 
(1) 1,5888… 
1 → parte inteira 
5 → parte não periódica 
8 → período 
 
(2) 32,01656565… 
32 → parte inteira 
01 → parte não periódica 
65 → período 
 
Para calcular a fração geratriz de uma dízima periódica composta devemos seguir os mesmos 
passos que utilizamos para calcular a simples, porém devemos tomar alguns cuidados, vejamos 
no exemplo: 
 
(1) “Encontre a fração geratriz do número 2,1444...” 
Primeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x: 
x = 2,1444 … 
 
Observe que: 
2 → parte inteira 
1 → parte não periódica 
4 → período 
 
Temos que "andar" apenas uma casa para ter somente o período depois da vírgula. Assim, 
multiplicaremos a equação por 10. 
10x = 10 . 2,1444. . . 
10x = 21,444 … 
 
 5 
O próximo passo seria subtrair as duas equações, membro a membro, porém não conseguimos 
eliminar a parte decimal. Para conseguirmos, devemos multiplicar a segunda equação por 10, ou 
seja: 
10x .10 = 10 . 21,444 … 
100x = 214,444 … 
 
Agora sim conseguimos subtrair as duas equações, membro a membro: 
 
 100x = 214,444 …
− 10x = 21,444 … 
 
___________________
90x = 193
 
 
Isolando o x, encontramos a fração geratriz: 
 
x =
193
90
 
 
 
Observação: para a dízima periódica composta, também existe um método prático, que vamos 
usar para encontrar a fração geratriz da dízima periódica composta 2,13444 … 
1º passo) identificar as partes da dízima periódica. 
Parte inteira → 2 
Parte não periódica → 13 
Período → 4 
 
2º passo) encontrar o numerador. 
Para calcular o numerador, vamos escrever o número formado pela parte inteira, parte não 
periódica e período, ou seja, 2134 menos a parte inteira e a parte não periódica, ou seja, 213. 
2134 – 213 = 1921 
 
3º passo) encontrar o denominador. 
No denominador, para cada algarismo no período, acrescentamos um 9 e, para cada alagarismo 
na parte não periódica, um 0. No exemplo, o denominador é 900. 
Portanto, a fração geratriz é: 
1921
900
 
 
 6 
3. CONJUNTOS 
 
A compreensão de conjuntos é a principal base para o estudo da álgebra e de conceitos de grande 
importância na Matemática, como funções e inequações. A notação que usamos para conjuntos é 
sempre uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B). Em se 
tratando da representação dos conjuntos, ela pode ser feita pelo diagrama de Venn, pela 
enumeração dos elementos ou pela descrição de uma propriedade característica. Ao trabalhar com 
problemas que envolvem conjuntos, existem situações que exigem a realização de operações entre 
os conjuntos, sendo elas a união, a intersecção e a diferença. Vamos ver tudo isso 
detalhadamente? 
 
3.1. NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 
Na prática, para notação de conjuntos usamos as letras do alfabeto em maiúsculo: A, B, C,…, Z. 
Exemplos: 
(1) O conjunto de todos os alunos de uma sala (A); 
(2) O conjunto musical (M); 
 
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Esses devem 
ser listados entre chaves e devemos separá-los por vírgula ou ponto e vírgula, de acordo com a 
necessidade. 
Exemplos: 
(1) Considere A como o conjunto das vogais, então listamos assim: 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} 
(2) Considere B como o conjunto das cores primárias: 𝐵 = {𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜, 𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑒 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙𝑜} 
 
Quando um conjunto apresenta infinitos elementos, ou seja, que não é possível contabilizar todos 
os elementos, usamos a reticência (…) para indicar que o conjunto é infinito. A mesma notação 
também é empregada quando o conjunto é finito com grande número de elementos: escrevemos 
os elementos iniciais, colocamos reticências e indicamos o último elemento. 
Exemplos: 
(1) Conjunto dos números pares positivos: 𝑃 = {2,4,6,8,10, … } 
(2) Conjunto dos números inteiros de 0 a 500: 𝐹 = {0, 1, 2, 3, . . . , 500} 
 
 
 7 
E a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras. Vamos ver cada uma delas 
adiante:• Enumerar os elementos 
Exemplo: 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} 
• Através da descrição de uma propriedade 
Exemplo: 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 é 𝑣𝑜𝑔𝑎𝑙} corresponde ao conjunto do exemplo anterior. 
• Através do Diagrama de Venn 
Exemplo: Representação a seguir corresponde ao conjunto do exemplo anterior. 
 
 
 
 
3.2. TIPOS DE CONJUNTOS 
 
a) Conjunto Unitário 
É todo conjunto que possui um único elemento, ou seja, seu cardinal é um. 
Exemplo: 
A = {x ∈ ℕ | 2x + 1 = 25} 
A = {12} 
n(A) = 1 
b) Conjunto Vazio 
Denota-se por ∅ ou { } o conjunto vazio, isto é, o conjunto cuja cardinalidade é igual a zero. 
Exemplo: 
A = {x ∈ ℕ | 0x = 5} 
A = { } ou A = ∅ 
n(A) = 0 
c) Conjunto Finito 
É o conjunto que contando seus elementos, um a um, chegamos ao final da contagem. 
Exemplo: 
A = {1,3,5,7, … , 99} 
 
d) Conjunto Infinito 
É o conjunto que contando seus elementos, um a um, não chegamos ao final da contagem. 
Exemplo: 
 
 8 
A = {… , 3,4,5,6, … } 
B = { 10, 20, 30, 40, … } 
 
e) Conjunto Universo 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos em questão. Designaremos esse conjunto por 
𝑈. 
Exemplo: em geometria plano, o conjunto universo é o conjunto de todos os pontos do plano. 
 
 
3.3. CONJUNTOS IGUAIS 
 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo 
elemento de B pertence a A. 
Exemplo: {a, b, c, d} = {d, c, b, a} 
 
Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre 
os elementos; portanto: {a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d} 
 
Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto não é necessária, 
pois, por exemplo: {a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d} 
 
 
3.4. SUBCONJUNTOS 
 
Dado um conjunto A, dizemos que B é um subconjunto de A, se B estiver contido em A, denotado 
por: B ⊂ A (B está contido em A). É o mesmo que dizer que B está dentro de A, ou seja, se todos 
os elementos de B estão dentro de A. 
 
Exemplo: 
C = {a, e, i, o, u} e D = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} 
O conjunto das vogais C é subconjunto do conjunto do alfabeto da língua portuguesa D, ou seja, o conjunto das vogais está contido no conjunto do 
alfabeto D. 
 
 
 
 
 9 
3.5. CONJUNTO DAS PARTES 
 
Seja A um conjunto qualquer. Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto formado por todos 
os subconjuntos possíveis do conjunto A. É representado por P(A). 
Exemplo: 
A = {1, 2, 3} 
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 
 
3.5.1. Número de elementos do conjunto das partes 
 
Podemos determinar o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto A dado, ou 
seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrever todos 
os elementos do conjunto P(A). Para isso, basta partirmos da ideia de que cada elemento do 
conjunto A tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao 
subconjunto ou ele não pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras 
de contagem, se cada elemento apresenta duas opções, teremos: 
 
n[P(A)] = 2n(A), na qual n(A) é a quantidade de elementos de A. 
 
Exemplo: 
A = {1, 2, 3} 
n[P(A)] = 2³ = 8 
 
 
3.6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
3.6.1. União 
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por 
A ∪ B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: 
A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
 
 10 
Exemplos: 
(1) {a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d} 
(2) {a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d} 
(3) {a, b, c} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e} 
 
 
3.6.2. Intersecção 
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto 
representado por A ∩ B , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, 
ou seja: 
A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
Exemplos: 
(1) {a, b, c} ∩ {b, c, d, e} = {b, c} 
(2) {a, b} ∩ {a, b, c, d} = {a, b} 
(3) {a, b, c} ∩ {a, b, c} = {a, b, c} 
(4) {a, b} ∩ {c, d} = ∅ 
 
 
3.6.3. Diferença 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A − B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não 
pertencem a B, ou seja: 
 
A − B = { x | x ∈ A e x ∉ B} 
Exemplos: 
(1) {a, b, c} − {b, c, d, e} = {a} 
(2) {a, b, c} − {b, c} = {a} 
(3) {a, b} − {c, d, e, f } = {a, b} 
(4) {a, b} − {a, b, c, d, e} = ∅ 
 
 
 
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3.7. CONJUNTO COMPLEMENTAR 
 
Conjunto complementar de um conjunto A é aquele que contém todos os elementos do conjunto 
universo que não estão no conjunto A. 
Definição: Seja A um conjunto. O conjunto complementar AC é definido por: 
 
AC = U − A = { x | x ∈ U e x ∉ A} 
 
Observação: Se A e B são dois conjuntos tais que B ⊂ A, chamamos de complementar de B em 
relação a A, o conjunto A − B, ou seja, o conjunto formado pelos elementos de A que não estão 
pertencem a B. Indicaremos por: 
CA
B = A − B 
 
Exemplo: 
Dado o conjunto A = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } e B = { 5, 10 }, calcule o complementar de B em relação a A: 
Basta observar os elementos que pertencem a B, e descontá-los, tirá-los, ou riscá-los do conjunto 
A. Os elementos que restarem formarão o conjunto complementar. Os elementos 5 e 10 são 
comuns a ambos os conjuntos. Tiramos estes elementos do conjunto A e teremos então o 
conjunto complementar: 
CA
B = { 6, 7, 8, 9 } 
 
3.8. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) Conjunto dos Números Naturais (ℕ) 
ℕ = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } 
ℕ∗ = { 1 , 2 , 3, 4 , … } conjunto dos números naturais diferentes de zero 
 
b) Conjunto do Números Inteiros (ℤ) 
ℤ = {… , −3 , −2, −1, 0 , 1 , 2 , 3 , … } 
 
ℤ∗ = {… , −3 , −2, −1, 1 , 2 , 3 , … } = conjunto dos números inteiros diferentes de zero 
ℤ+ = {0, 1 , 2 , 3 , … } = conjunto dos números inteiros não negativos 
ℤ− = {… , −3 , −2, −1, 0} = conjunto dos números inteiros não positivos 
ℤ +
∗ = {1 , 2 , 3 , … } = conjunto dos números inteiros positivos 
 
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ℤ −
∗ = {… , −3 , −2, −1} = conjunto dos números inteiros negativos 
 
c) Conjunto dos Números Racionais (ℚ) 
 
É o conjunto formado pelos números que podem ser escritos na forma de fração: 
 
ℚ = { x | x = 
p
q
 , p ∈ ℤ , q ∈ ℤ∗} 
São números racionais: 
• Os números naturais. 
 Exemplo: 3 = 6 2⁄ 
• Os números inteiros. 
 Exemplo: −4 = − 12 3⁄ 
• Os números decimais exatos. 
 Exemplo: 0,54 = 54 100⁄ 
• As dízimas periódicas simples. 
 Exemplo: 0,313131 … = 31 99⁄ , ou seja, 0, 31
̅̅̅̅ = 31 99⁄ 
• As dízimas periódicas compostas. 
 Exemplo: 0,31222 … = 281 900⁄ , ou seja, 0,312̅ =
281
900⁄ 
 
d) Conjunto dos Números Irracionais (𝕀) 
 
É o conjunto formado pelos números que não podem ser escritos na forma de fração. São números 
irracionais todas as dízimas não periódicas: 
 Exemplo: 3,657483... , número 𝜋 (𝜋 = 3,1415 … ), raízes não exatas (√2 = 1,4142…). 
 
 
e) Conjunto dos Números Reais (ℝ) 
 
É o conjunto formado por todos os números racionais e todos os números irracionais, portanto: ℝ =
ℚ ∪ 𝕀. São números reais os números naturais, inteiros, racionais e os irracionais. 
 
 
 
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f) Conjunto dos Números Complexos (ℂ) 
 
É o conjunto formado por todos os números reais e todos os números imaginários. As raízes 
quadradas de números negativos (que não pertencem ao conjunto dos reais) são exemplos de 
números imaginários. 
 
 Exemplo: 
 √−4 , 𝑖 , √−16
4
 
 
 
4. INTERVALOS 
 
Os conjuntos numéricos podem ser representados de diversas maneiras, e uma das mais 
importantes para a matemática é a representação por intervalos. Ela é capaz de mostrar em que 
ponto um conjunto começa e termina, ou seja, seu menor e maior elemento. Essa representação 
também pode indicar os números que não pertencem a esseconjunto, caso eles existam. Toda 
essa representação dos conjuntos numéricos é feita por símbolos. Geralmente, a representação 
por intervalos é usada para demonstrar subconjuntos dos números reais, entretanto, ela também é 
igualmente útil quando envolve qualquer outro conjunto numérico. Por exemplo, o subconjunto S 
dos números reais menores ou iguais a 5 e maiores ou iguais a 0 é representado da seguinte 
maneira: 
S = { x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 5} 
Sua representação por intervalos pode assumir ainda a forma a seguir: 
S = [ 0 ; 5 ] 
Sua representação gráfica é: 
 
 
As regras para usar essas representações são: 
 
1) Regras da representação por intervalos 
– Os símbolos [ ] indicam que os extremos daquele conjunto estão incluídos nele; 
– Os símbolos ][, virados para fora, indicam que os extremos daquele conjunto não estão incluídos 
nele. 
 
 14 
Exemplo: 
O conjunto dos números reais entre – 7 e 4,2, inclusive os extremos: 
𝑆 = [– 7 ; 4 , 2] 
 
2) Representação geométrica 
 
É possível representar esses intervalos (subconjuntos) por meio da geometria. Para isso, basta se 
lembrar das retas numéricas: elas são o resultado de uma relação de cada ponto de uma reta com 
um número real. Assim, existe uma ordem entre os números, na qual, ao percorrer a reta para um 
sentido, os números reais sempre serão maiores e, no sentido oposto, os números reais sempre 
serão menores. 
 
Para usar essa representação, as regras são as seguintes: 
1 – Identificar os extremos do subconjunto na reta; 
2 – Marcá-los com bola fechada se pertencem ao conjunto ou com bola aberta se não pertencem; 
3 – Sinalizar o interior desse intervalo pintando a parte da reta correspondente a ele. 
Da mesma forma, podemos combinar bola fechada e aberta quando um dos extremos pertence ao 
conjunto e o outro não. Também existe a possibilidade do subconjunto ser definido de modo que 
alguns números no seu interior não pertençam a ele. Nesse caso, é só encontrar o ponto que 
representa esse número na reta numérica e sinalizá-lo com bola aberta. Caso o subconjunto possua 
um ponto além de suas extremidades, basta marcar esse ponto com bola fechada. Para melhor 
compreensão dessas regras e de suas variações. 
 
Exemplo: 
Intervalo [–5, – 2[: 
 
Observe que números que não pertencem ao intervalo são representados com uma bola aberta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
DEMANA, Franklin D. [et. al.]. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013. 
GOUVEIA, Rosimar. Fração Geratriz. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. — São Paulo: 
Atual, 2013. 
 
Livros do Sistema COC de Ensino. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, [2015?]. 
 
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. Conjuntos & Dízima Periódica. 
 
SILVA, Luiz Paulo Moreira. Representação de subconjuntos por intervalos: As representações de 
subconjuntos por intervalos podem ser feitas por seus extremos, ou seja, assume-se que seus 
pontos (números) pertençam ao intervalo. 
 
 
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