Rotacao, torque e momento angular

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Prof. Dra. Tathiana Moreira Cotta 
Rotação, Torque e 
Momento Angular 
Conteúdo 
  O Sistema do Mundo 
  Cinemática Rotacional: Revisão 
  Energia Cinética Rotacional 
  Torque e a Segunda Lei de Newton para Rotação 
  Equilíbrio de Corpos extensos 
  Momento Angular e sua Conservação 
  Outras Situações Interessantes 
  Bibliografia 
Sistema do Mundo 
Sistema do Mundo 
  Entender o movimento circular para entender os 
movimentos celestes 
  Estudar o movimento celeste para prever estações do 
ano, ou seja, épocas de plantio e colheita. 
  Sábios da antiguidade, como os Egípcios, acreditavam 
que o Sol era o centro do universo e os planetas 
giravam ao seu redor 
  Alguns filósofos gregos (Anaxágoras, Demócrito, 
Aristóteles...) foram responsáveis pela introdução do 
modelo geocêntrico com órbitas sólidas. 
Sistema do Mundo 
  A órbita dos cometas condena esse modelo. 
  Como então os planetas ficam presos a órbitas 
limitadas ao invés de seguirem uma trajetória retilínea? 
  Força centrípeta introduzida por Newton resolve essa 
questão e todas as outras. 
  Newton encontrou uma justificativa de primeiros 
princípios para as três leis de Kepler. 
Sistema do Mundo 
  Como convencer as pessoas da existência de uma força 
que atuam entre dois objetos inanimados sem que haja 
sequer contato entre eles? 
Revisão: Cinemática Rotacional 
!a
Cinemática Rotacional 
  Trajetória Circular 
!v
!a
!v
!a
!v
!a
!v
!a
!v
!a
!v
!r
!r
!r = xî + yĵ
!r
Cinemática Rotacional 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!a
!r
!r = xî + yĵ
x = Rcosθ
θ
y = Rsenθ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
d!r
dt
=
d
dt
(Rcosθ )î + d
dt
(Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rsenθ
dθ
dt
î + Rcosθ dθ
dt
ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
ω ≡
dθ
dt
Velocidade angular 
Cinemática Rotacional 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!a
!r
θ
d!vt
dt
=
d
dt
(−Rω senθ )î + d
dt
(Rω cosθ ) ĵ
!ac = −Rω cosθ
dθ
dt
î − Rω senθ dθ
dt
ĵ
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
Aceleração e velocidade são perpendiculares!!! 
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
Aceleração e posição têm sentidos contrários!!! 
Cinemática Rotacional 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!v
!a
!r
!r = xî + yĵ
x = Rcosθ
θ
y = Rsenθ ωdt = dθ ⇒ ω dt
t 0
t
∫ = dθθ0
θ
∫
θ(t) =θ0 +ωt
Velocidade angular constante => movimento uniforme 
ω dt
t 0
t
∫ =θ −θ0 ⇒ω(t − t0 ) =θ −θ0
ω ≡
dθ
dt
Velocidade angular 
Cinemática Rotacional 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!a
!r
θ
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ Módulo da velocidade tangencial 
!vt ⋅
!vt = (−Rω senθ î + Rω cosθ ĵ) ⋅
(−Rω senθ î + Rω cosθ ĵ)
vt = Rω
!ac ⋅
!ac = (−Rω 2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ) ⋅
(−Rω 2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ)
ac = Rω
2
Módulo aceleração centrípeta 
S =θR
Distância percorrida ao descrever um ângulo θ 
⇒
dS
dt
=
d(θR)
dt
⇒ vt = Rω
Cinemática Rotacional 
  Movimento Circular Variável 
!v
!a
!r
θ
Velocidade tangencial variável 
d
dt
v = d
dt
Rω ⇒ at = R
d
dt
ω
at = Rα
α ≡
dω
dt
Aceleração angular 
Relação entre a aceleração angular e linear ac = Rω
2
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
vt = Rω
vt = Rω
Cinemática Rotacional 
  Movimento Circular Variável 
!v
!a
!r
θ
αdt = dω ⇒ α dt
t0
t
∫ = dωω0
ω
∫
α(t − t0 ) =ω −ω0 ⇒ω(t) =ω0 +αt
ω =
dθ
dt
ac = Rω
2
θ =θ0 +ω0t + 12αt
2
(ω0 +αt)dtt0
t
∫ = dθθ0
θ
∫
Aceleração angular constante α =
dω
dt
⇒ (ω0 +αt)dt = dθ
ω0t + 12αt
2!" #$t0
t
=θ −θ0
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
vt = Rω
at = Rα
(è velocidade variável) 
Cinemática Rotacional 
  Resumindo 
Tipo de movimento Variáveis lineares Variáveis Angulares 
Velocidade constante 
Aceleração constante 
Relação entre variáveis lineares e angulares 
θ =θ0 +ω0t + 12αt
2
ω(t) =ω0 +αt
at = Rαv = Rω ac = Rω
2
θ(t) =θ0 +ωt
S =θR
x = x0 + v0t + 12 at
2
v(t) = v0 + at
x(t) = x0 + vt
Cinemática Rotacional 
  Uma roda de bicicleta gira com uma aceleração angular 
constante de 3,50 rad/s2. Se a velocidade angular da roda é de 
2,00 rad/s em t = 0, calcule 
a)  o ângulo percorrido pela roda entre t = 0 e t = 2,00 s; 
b)  a velocidade angular da roda em t = 2,00 s 
Energia Cinética Rotacional 
Energia Cinética Rotacional 
  Corpo em rotação 
K = 12m1v1
2 + 12m2v2
2 + 12m3v3
2 +...
K = 12mivi
2∑
K = 12mi (ωri )
2∑
K = 12 miri
2∑( )ω 2
I = miri
2∑K = 12 Iω 2
ri
Energia Cinética Rotacional 
  Corpo em rotação 
I = 12M (r1
2 + r2
2 )
r1
r2
ri
I = miri
2∑K = 12 Iω 2
Energia Cinética Rotacional 
  Corpo em rotação 
I =Mr2r
r2 I = 12Mr
2
r
I = 12Mr
2
r
l
I = 14Mr
2 + 112Ml
2
I = 112Ml
2
l
Energia Cinética Rotacional 
  Corpo em rotação 
I = 23Mr
2I = 25Mr
2
Esfera maciça Esfera oca 
a
b
I = 112M (a
2 + b2 )
Energia Cinética Rotacional 
  Teorema dos eixos paralelos 
CM
h I = ICM +Mh
2
Energia Cinética Rotacional 
I = 112M (a
2 + b2 )
  A figura mostra uma placa fina de lados a e b, e quatro eixos de 
rotação, todos perpendiculares ao plano da placa. Encontre o 
momento de inercia em relação a cada um dos eixos. 
I = ICM +Mh
2
a
2
b
2h4
h3
h1
h2
a2 + b2
CM
Torque, Segunda Lei de Newton 
para Rotação e Trabalho 
Torque 
  Colocando um corpo para girar 
τ = rF senϕ
!
τ =
!r ×
!
F
O
!
F
!r
ϕ
O
!
F
!r
ϕ !
Fr
!
Ft
A direção do torque é dada pela regra da mão direita!!! 
Torque 
  A figura mostra uma vista superior de um bastão que pode girar 
em torno de um eixo que passa na posição 20 cm. As cinco 
forças aplicadas ao bastão são horizontais e têm o mesmo 
módulo. Ordene as forças de acordo com o módulo do torque 
que produzem, do maior para o menor. 
!
F1
!
F5
!
F2 !F3
!
F4
0 20 40 100
Segunda Lei de Newton 
para Rotação 
  Relação entre o torque e a aceleração angular 
 
 
  Sistema de partículas e corpos 
!r
θ
ϕ !
Fr
!
Ft
!
F
m
Ft =mat
F∑ =ma
rFt = rmat
at = rατ = rmrα =mr
2α
τ = Iα
τ∑ = Iα
Situações do Cotidiano 
  Derrubando o adversário no judô... 
Situações do Cotidiano 
  Para derrubar um adversário de 80 kg 
com um golpe de judô, você pretende 
puxar o quimono dele com uma força F 
e usar um braço de alavanca d1 = 0,30 
m em relação a um eixo de rotação 
situado no seu quadril direito. Você 
quer fazê-lo girar em torno do eixo de 
rotação com uma aceleração angular de 
–6,0 rad/s2 no sentido horário da 
figura. Suponha que o momento de 
inércia do seu adversário em relação ao 
eixo de rotação é de 15 kgm2. Qual deve 
ser o modulo da força se antes de 
derrubar o adversário, você inclinar o 
corpo dele para frente, de modo a 
reduzir a distância entre o centro de 
massa e o seu quadril? 
Situações do Cotidiano 
  Considerando a situação anterior, porem você não inclina o corpo 
dele para frente antes de derruba-lo. Qual deve ser o modulo da força 
se o peso dele tem agora um braço de alavanca d2 = 0,12 m? 
  Trabalho: 
 
 
  Teorema: Trabalho e Energia 
 
  Potencia 
Trabalho 
s = rθdW = Ftds ⇒ ds = rdθ
!r
θ
!
Ft
m
dW = Ftrdθ
dW = τdθ
W = τ dθ
θi
θ f∫
W = ΔK⇒ W = 12 Iω f
2 − 12 Iωi
2
P = dW
dt
⇒ P = τω= τdθ
dt
Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Equilíbrio de Corpos Rígidos 
  Partícula em equilíbrio 
 
 
  Corpos em equilíbrio 
!
F∑ =m!a
F∑ = 0 τ∑ = 0e 
!
F1
!
F2
!
F1
!
F2
Esta barra NÃO está em equilíbrio!!! 
F1 = F2
Situações do Cotidiano 
  Uma viga horizontal uniforme de comprimento de 8,00 m e peso 
de 200 N está ligada a uma parede por um pivô. A extremidade 
distante da parede está sustentada por um cabo que faz um ângulo 
de 53,0o com a horizontal. Se um homem de 600 N está parado a 
2,00 m da parede, encontre a tensão no cabo e a força exercida 
pela parede sobre a viga. 
53,0!
8,00 m 
Momento Angular e sua 
Conservação 
Momento Angular 
  Momento Linear: 
  Momento Angular: 
!p ≡m!v
!r !v
!p
!
l ≡ !r ×!p
l = rpsenφ = rmvsenφ
Momento Angular pode existir para qualquer tipo de trajetória! 
!
l =m!r × !v
l = Iωl =mrvt
l =mrvsenφ⇒
=mr2ω⇒
Momento Angular 
  Segunda Lei de Newton para Rotações 
!
l =m!r × !v
d
!
l
dt
=
d
dt
m!r × !v( )
d
!
l
dt
=m d
!r
dt
×
!v + !r × d
!v
dt
"
#
$
%
&
'
d
!
l
dt
=m !v × !v + !r × !a( )
!v × !v = vvsen0" = 0
d
!
l
dt
=m !r × !a( ) =
!r ×m!a
d
!
l
dt
=
!r ×ΣF = Σ(
!r ×
!
F)
Σ
!
τ =
d
!
l
dt
Στ = 0 !
l = constante
Situações do Cotidiano 
  Na figura um pinguim de massa m cai do repouso de uma 
geleira, a uma distância horizontal D da origem de um sistema 
de coordenadas xyz. 
a)  Qual é o momento angular do pinguim durante a queda, em relação 
à origem do sistema de coordenadas? 
b)  Qual é o torque em relação à origem a que é submetido o pinguim 
devido à força gravitacional? 
x
y
z !r
!
Fg
D
Conservação de Momento 
Angular 
  Sistema isolado 
Σ
!
τ =
d
!
l
dt Στ = 0 ⇔ 
!
l = constante ⇒ 
!
li =
!
l f l =mω( )
Situações do Cotidiano 
  A figura mostra um aluno sentado em um 
banco giratório inicialmente em repouso. Em 
sua mão está uma roda com momento de 
inércia I = 1,2 kg m2 em relação ao eixo central. 
A roda está girando com uma velocidade 
angular ω de 3,9 rad/s no sentido anti-horário 
(vista de cima). O aluno inverte a roda de 
modo que ela passa a girar no sentido horário 
(vista de cima). O banco, o aluno e a roda, 
possuem momento de inércia Ic = 6,8 kg m2 e 
passam a girar em conjunto. Com que 
velocidade angular e em que sentido o 
conjunto gira após a inversão da roda? 
Antes 
Depois 
Sistema de Partículas 
  Segunda Lei de Newton 
!
L =
!
l1 +
!
l2 +...+
!
ln =
!
lii=1
n
∑
d
!
L
dt
=
d
!
li
dti=1
n
∑
d
!
L
dt
=
!
τ i
res
i=1
n
∑
Στ ext =
d
!
L
dt
ri
Resumindo 
Translação 
  Força 
  Momento Linear 
  Momento Linear Sistema 
de Partículas 
 
  Momento Linear Corpo 
Rígido 
  Segunda Lei de Newton 
Rotação 
  Torque 
  Momento Angular 
  Momento Angular Sistema 
de Partículas 
 
  Momento Angular Corpo 
Rígido 
  Segunda Lei de Newton 
 
 
!
F
!
τ =
!r ×
!
F
!p =m!v
!
l = !r × !p
!
P = Σ!pi
!
L = Σ
!
li
!
P =M!vCM L = Iω
Σ
!
F = d
!
P
dt
Σ
!
τ =
d
!
L
dt
Outras Situações Interessantes 
Outras Situações Interessantes 
  Rolamento 
!vCM
!vCM
!vCM
Translação 
!vt
!vt
Rotação 
!vCM
2!vCM
Rolamento 
vcm = vt =ωr K = 12 ICMω
2 + 12Mvcm
2
!vt !vCM
!v
Outras Situações Interessantes 
  Uma esfera sólida de massa M e raio R desce rolando 
(sem deslizar) uma rampa de altura h e inclinação θ 
como mostrado na figura. Calcule a velocidade e a 
aceleração de translação da esfera ao chegar na base da 
rampa. 
ICM = 25Mr
2
Outras Situações Interessantes 
  Um pai de massa mp e sua filha de massa mf estão sentados em 
extremidades opostas de uma gangorra a distâncias iguais do 
ponto de rotação. Podemos considerar a gangorra como uma haste 
rígida de massa M e comprimento l e que sua articulação não 
possui atrito. Se o conjunto gira com velocidade ω, encontre 
expressões para o módulo do momento angular e para a 
aceleração angular do sistema. 
  Para ser possível manter a 
gangorra em equilíbrio, em 
que lugar o pai deve se 
sentar? 
Outras Situações Interessantes 
  Um cadeirante precisa subir o meio 
fio de altura h. Para conseguir ele 
deve aplicar uma força tangente à 
roda que possui um raio r. Qual é o 
menor módulo da força necessária 
para que ele consiga subir? 
Fg = 700N
Considere: 
r = 0,30m
h = 0,10m
(Pessoa + Cadeira) 
Bibliografia 
Bibliografia 
  Princípios de Física – Mecânica Clássica. Raymond A. 
Serway e John W. Jewett Jr. 3ª edição, 2004, editora 
CENGAGE. 
  Fundamentos de Física – Mecânica, vol 1. Hallyday, 
Resnick e Jearl Walker. 8ª edição, 2009, editora LTC. 
  O Circo Voador da Física. Jearl Walker. 2ª edição, 
2008, editora LTC. 
  Um Pouco da Física do Cotidiano – Otaviano Helene, 
1ª edição, 2016, Editora Livraria da Física.