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SUMÁRIO
2UNIARAXÁ - CENTRO UNIVERSITÁRIO DO PLANALTO DE ARAXÁ • TODOS OS DIREITOS RESERVADOS
Objetivo(s): 
• Analisar estruturas espaciais do tipo treliçadas (tridimensionais).
AULA 2
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CONTEXTUALIZANDO A APRENDIZAGEM
Caro(a) aluno(a), na Aula anterior, discutimos sobre os conceitos fundamentais da teoria 
das estruturas, aprendemos a classificar as estruturais, discorremos sobre os tipos de apoio e 
entendemos como solucionar um membro estrutural, estaticamente, determinado através das 
equações de equilíbrio.
Nesta Aula, falaremos um pouco sobre as treliças, a classificação destas e os métodos para 
solucioná-las.
Você sabe o que é a função de uma treliça?
Leia atentamente a Aula 2, além disso, é importante acompanhar a bibliografia recomendada 
e executar com cautela todos os exercícios propostos.
AULA 2 - ANÁLISE DE ESTRUTURAS 
ESPACIAIS
Então, vamos lá!!
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Para contextualizar e ajudá-lo(a) a obter uma visão panorâmica dos conteúdos que você 
estudará na Aula 2, bem como entender a inter-relação entre eles, é importante que se atente 
para o Mapa Mental, apresentado a seguir:
MAPA MENTAL PANORÂMICO
TIPOS COMUNS DE 
TRELIÇAS
CLASSIFICAÇÃO DE 
TRELIÇAS PLANAS
MEMBROS DE FORÇA 
ZERO
MÉTODO DAS SEÇÕES
MÉTODO DOS NÓS
ANÁLISE DE ESTRUTURAS ESPACIAIS
ANÁLISE DE 
ESTRUTURAS ESPACIAIS
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1. ANÁLISE DE ESTRUTURAS ESPACIAIS 
 
Na Aula anterior, discutimos sobre os principais elementos que compõem um sistema 
estrutural típico, sendo eles as lajes, as vigas e os pilares, como ilustrado na figura 1. 
 
Figura 1 - Modelo Estrutural Típico. 
 
Fonte: McCORMAC (2009). 
 
Nesta Aula, aprenderemos um pouco sobre as treliças, que são membros estruturais 
utilizados para vencer grandes vãos quando a arquitetura do membro estrutural não 
exige alturas elevadas. 
 
1.1. TIPOS COMUNS DE TRELIÇAS 
Treliças são compostas por membros delgados, conectados entre si, de força 
ordenada triangular. Os membros, comumente, utilizados para fabricação de 
treliças são barras de madeira, de metal, cantoneiras ou perfis U. 
As ligações entre as barras são chamadas de nós e estas podem ser feitas através 
de uma chapa, fixando todos os elementos entre si, denominada chapa de fixação, 
como ilustra a figura 2, ou através de um grande parafuso atravessando todos os 
elementos, denominado fixação aparafusada. 
 
Figura 2 - Chapa de fixação. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
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Como descrito anteriormente, estruturas treliçadas são, comumente, utilizadas em 
estruturas de telhados e pontes. 
Nas estruturas de telhado, a carga oriunda das telhas é transmitida através de uma 
série de terças para o elemento treliçado, chamado de tesoura, como ilustra a figura 
3. 
Os telhados são responsáveis por receber as cargas de peso próprio das telhas e mais 
as cargas oriundas de ventos e chuvas. 
 
Figura 3 - Representação de uma treliça de telhado. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Em seguida, a carga das tesouras é distribuída nos pilares e, consequentemente, nos 
elementos de fundação, como vimos na aula 1. 
Em estruturas metálicas, o espaço entre uma treliça e outra é chamado de baia, esta 
tem espaçamento aproximado de 4,5m para vãos até 18m e 6m para vãos de 30m 
ou mais. Baias são, frequentemente, ligadas entre si com o auxílio de 
contraventamentos diagonais com objetivo de se manter a rigidez da estrutura. 
 
 
 
 
Contraventamentos são elementos responsáveis pelo intertravamento de baias e 
pórticos, tornando estes menos susceptíveis a cargas laterais de vento. 
Estruturas metálicas são muito leves em relação às cargas suportadas por elas e, 
geralmente, são compostas por membros muito longos, tornando estes muito 
próximos da esbeltez. Isso torna as estruturas metálicas susceptíveis às cargas laterais 
de vento, podendo causar danos à estrutura. Como forma de tornar a estrutura mais 
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rígida e resistente às cargas laterais, são aplicadas barras diagonais travando cada 
membro estrutural ao mais próximo, como ilustrado na figura 4. 
 
Figura 4 - Tipos de contraventamento. 
 
Fonte: MATOS (2014). 
 
Para estruturas de pontes, as treliças podem ter diversos formatos, como os 
demonstrados na figura 4, e são conhecidas pelos grandes vãos em que são 
submetidas. Saiba mais sobre contraventamentos, Clique Aqui: 
 
Figura 5 - Formatos de treliças para estruturas de pontes. 
Fonte: HIBBELER (2013). 
https://drive.google.com/file/d/1Kpd4vSc5dao9L7xynYt58PIbyemFoQy0/view
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Em pontes, as cargas de veículos e as pessoas são transmitidas ao tabuleiro (laje da 
ponte), em seguida, distribuídas nas vigas de piso e descarregadas nas treliças, que 
transportam essas cargas até o apoio, como demonstra a figura 6. 
 
Figura 6 - Representação de uma estrutura de ponte. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
No caso das pontes, em vãos muito longos, utiliza-se, em um dos lados, o apoio do 
tipo móvel devido a este não se opor a cargas horizontais, permitindo, assim, o livre 
movimento por dilatação térmica. 
Para projetar uma treliça, primeiro é necessário determinar a força que atua em 
cada um dos membros ao submetê-la a uma determinada carga. 
Para isso, devem ser considerados os seguintes pressupostos: 
● Os membros são fixados entre si sempre considerando a ligação por pinos lisos, 
ou seja, é permitida a rotação dos membros em torno dos nós. Essa regra é 
considerada mesmo que os membros sejam fixados entre si por chapa de 
fixação ou soldados. 
● Todas as cargas devem ser aplicadas nos nós. Uma carga de 100N aplicada 
a uma barra AB, por exemplo, tem ação de 50N na extremidade A e 50 N na 
extremidade B. 
● O peso próprio das barras é, geralmente, desconsiderado devido a este ser 
insignificante perante a carga aplicada nas barras. Entretanto, caso seja 
necessário incluir o peso dos elementos na análise, este deve ser considerado 
verticalmente para baixo e com metade de sua intensidade em cada 
extremidade do membro, como mostra a figura 7. 
 
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Figura 7 - Peso próprio atuando sobre membro estrutural em treliça. 
 
Fonte: Acervo Pessoal (2020). 
 
Partindo desses três pressupostos, podemos afirmar que os membros de uma treliça 
são submetidos às cargas axiais ao longo de seus eixos. Se esta carga tende a 
alongar o membro, chamamo-la de força de tração (figura 8a) e se a carga tende 
a encurtar o membro, chamamo-la de força de compressão (figura 8b). 
 
Figura 8 - Membros solicitados a cargas axiais. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Ao analisar um membro de uma treliça, é necessário indicar a natureza da força 
aplicada a este, seja ela de tração (figura 8a) ou compressão (figura 8b), pois 
elementos comprimidos tendem a ser mais robustos para suportar os efeitos da 
flambagem. 
 
 
 
Para uma concepção adequada dos conceitos discutidos acima, é necessário que 
você, aluno(a) compreenda bem os conceitos de esbeltez e flambagem. 
A esbeltez, ou índice de esbeltez, é a razão entre o comprimento de um membro 
estrutural e sua espessura. Um membro é considerado esbelto quando esta razão é 
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um valor baixo, tornando este susceptível à deformação quando aplicado uma 
carga de compressão. 
Matematicamente, a esbeltez é obtida por: 
 
𝜆𝜆𝜆𝜆 =
𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑟𝑟𝑟𝑟
 
 
Em que: 
 𝒌𝒌𝒌𝒌= constante que dependeda condição de apoio do membro; 
 𝑳𝑳𝑳𝑳= comprimento do membro; 
 𝒓𝒓𝒓𝒓= raio de giração da seção transversal escolhida. 
 
Para elementos comprimidos, a norma NBR-8800 nos define que o índice de esbeltez 
do membro deve ser menor ou igual a 200. 
Caso aplicada uma carga de compressão a um elemento esbelto, este pode estar 
sujeito ao fenômeno da flambagem, que consiste na encurvadura da peça, como 
demonstrado na figura 9. 
 
Figura 9 - Flambagem. 
 
Fonte: Acervo Pessoal (2020). 
 
 
1.2. CLASSIFICAÇÃO DE TRELIÇAS PLANAS 
Treliças podem ser simples, compostas ou complexas e, dentro de cada uma dessas 
três categorias, ainda podem ser, estaticamente, determinadas ou indeterminadas. 
É importante conhecer a classificação da estrutura para saber qual método será 
utilizado para solucioná-la. A seguir, vamos observar cada uma das classificações 
citadas. 
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1.2.1. TRELIÇAS SIMPLES 
A treliça mais básica possível é formada por um triângulo simples, conectando três 
barras entre si através de três nós, como ilustrado na figura 10. Treliças maiores podem 
ser formadas através da expansão desta até atingir o comprimento necessário. 
 
Figura 10 - Treliça simples. 
 
Fonte: HIBBELER (2014). 
 
Um exemplo muito comum de treliça simples é o demonstrado na figura 11, este é 
largamente utilizado telhados de estruturas metálicas por ser um elemento baixo e a 
telha metálica não exigir grandes inclinações. 
 
Figura 11 - Treliça simples em estrutura de telhado metálico. 
 
 Fonte: Disponível em pág 29 - Acesso em 22 jun. 2020.
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1.2.2. TRELIÇA COMPOSTA 
Treliças compostas são formadas pela conexão de dois ou mais tipos de treliças 
simples, são, largamente, utilizadas para suprir vãos grandes, tendo em vista que é 
mais barato construir uma treliça desse tipo ao invés de uma treliça maior. 
A figura 12 nos ilustra um exemplo de uma treliça composta que é formada por duas 
treliças simples, conectadas entre si, utilizando um membro estrutural localizado no 
segmento BE. 
 
Figura 12 - Treliça composta. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
 
1.2.3. TRELIÇAS COMPLEXAS 
As treliças complexas, como a ilustrada na figura 13, são elementos treliçados que 
não podem ser classificados como treliças simples ou compostas e, geralmente, são 
fabricadas para atender ocasiões especiais. 
 
Figura 13 - Treliça complexa. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
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1.2.4. DETERMINAÇÃO 
Como nas estruturas planas, as treliças também têm que atender as condições de 
determinação para que estas possam ser solucionadas através das equações de 
equilíbrio. 
Podemos definir o grau de determinação de uma treliça através da seguinte 
equação: 
 
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 (𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑟𝑟𝑟𝑟) = 2𝑗𝑗𝑗𝑗, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑆𝑆𝑆𝑆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ç𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎; 
𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆 (𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑟𝑟𝑟𝑟) > 2𝑗𝑗𝑗𝑗, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑆𝑆𝑆𝑆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ç𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑑𝑑𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎. 
 
Em que:𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑒𝑒𝑒𝑒ú𝑒𝑒𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒; 
 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑒𝑒𝑒𝑒ú𝑒𝑒𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎çõ𝑆𝑆𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐿𝐿𝐿𝐿𝑡𝑡𝑡𝑡𝐿𝐿𝐿𝐿; 
 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑒𝑒𝑒𝑒ú𝑒𝑒𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑒𝑒𝑒𝑒. 
 
 
 
Como exemplo, vamos verificar se a treliça simples, demonstrada na figura 14, é, 
estaticamente, determinada ou indeterminada. 
 
Figura 14 - Treliça simples. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Na extremidade esquerda, temos um apoio fixo, resultando em duas componentes 
de reação horizontal e vertical. Já na extremidade direita, temos um apoio móvel 
posicionado na horizontal resultando em apenas uma componente horizontal de 
reação de apoio. 
Observamos, então, que o sistema é composto por três reações de apoio, sete barras 
e cinco nós. Aplicando a equação de determinação, temos: 
 
𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟕𝟕𝟕𝟕; 𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝒋𝒋𝒋𝒋 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ã𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒋𝒋𝒋𝒋 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏; 
ou seja: 
(𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒓𝒓𝒓𝒓) = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒋𝒋𝒋𝒋 → (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 
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Então, a treliça analisada é, estaticamente, determinada. 
 
 
1.3. MÉTODO DOS NÓS 
Para que uma treliça esteja em equilíbrio, é necessário que cada um dos seus nós 
também esteja. Sendo assim, tendo uma treliça, estaticamente, determinada, é 
possível obter a ação presente em cada uma de suas barras aplicando as equações 
de equilíbrio através do método dos nós. 
O método dos nós consiste em analisar o equilíbrio de cada nó separadamente, 
utilizando de um diagrama de corpo livre para cada um. Podemos compreender 
melhor esse método no exemplificando a seguir. 
 
 
 
Considere a treliça ilustrada na figura 15 e determine a reação em cada uma das 
barras utilizando o método dos nós. 
 
Figura 15 - Exemplo de carga atuante em treliça simples. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Representando o diagrama de corpo livre no nó 𝑩𝑩𝑩𝑩,verificamos três forças atuantes 
sobre este, sendo a força de 500N e as forças resultantes das barras 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 e 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩. 
Para confeccionar o diagrama de corpo livre, devemos partir do princípio de que as 
barras exercem forças de tração ou compressão. Ao calcularmos a força atuante 
desta barra, caso o resultado dê negativo, indica que erramos a natureza da força. 
Para obter o ângulo 𝜽𝜽𝜽𝜽 entre as barras 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 e 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩. da treliça, utilizamos a lei da tangente 
aplicando a seguinte equação: 
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𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕𝜽𝜽𝜽𝜽 =
𝑩𝑩𝑩𝑩𝑪𝑪𝑪𝑪
𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩
 
𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕𝜽𝜽𝜽𝜽 =
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
 
𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕𝜽𝜽𝜽𝜽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜽𝜽𝜽𝜽 = 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜽𝜽𝜽𝜽 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° 
 
Dessa forma, temos o diagrama de corpo livre para o nó 𝑩𝑩𝑩𝑩, como mostra a figura 16 
a seguir: 
 
Figura 16 - Diagrama de corpo livre do nó B. 
 
Fonte: Acervo Pessoal (2020). 
 
Aplicando a equação de equilíbrio para somatório das forças horizontais, temos: 
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 =
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓°
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 =
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒓𝒓𝒓𝒓𝒆𝒆𝒆𝒆𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔ã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
Como o resultado encontrado foi um valor positivo, significa que acertamos o sentido 
da força ao defini-la, sendo assim, 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩é uma força de compressão e tem intensidade 
de 707,11 N. 
Aplicando, agora, a equação de equilíbrio para somatório das forças verticais, 
temos: 
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𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓°− 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 
𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕çã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
Como o resultado foi um valor positivo, significa que também acertamos o sentido 
da força 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩, sendo esta uma força de tração e intensidade de 500 N. 
Analisando, agora, o nó 𝑩𝑩𝑩𝑩, já temos a resultante da barra 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 que exerce uma força 
de compressão de 707.11N, temos o apoio do tipo rolete 𝑩𝑩𝑩𝑩com uma resultante na 
vertical e temos a barra 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩. 
Partiremos do princípio de que a resultante vertical do apoio C, denominada 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑩𝑩𝑩𝑩, seja 
para cima, causando uma força de compressão e a força resultante da barra 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 seja 
de tração. Desenhando o diagrama de corpo livre, temos: 
 
Figura 17 - Diagrama de corpo livre do nó C.
 
Fonte: Acervo Pessoal (2020). 
 
Aplicando a equação de equilíbrio para somatório das forças horizontais, temos: 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° − 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕çã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
O resultado é positivo, então acertamos o sentido da força 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩, ou seja, a mesma 
exerce uma solicitação de tração com intensidade de 500 N. Aplicando, agora, a 
equação de equilíbrio para somatório das forças verticais, temos: 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑽𝑽𝑽𝑽𝑩𝑩𝑩𝑩 − 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒐𝒐𝒐𝒐𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
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𝑽𝑽𝑽𝑽𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° 
𝑽𝑽𝑽𝑽𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° 
𝑽𝑽𝑽𝑽𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒓𝒓𝒓𝒓𝒆𝒆𝒆𝒆𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔ã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
Assim, temos que 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑩𝑩𝑩𝑩, sendo esta uma força de compressão de 500N. 
Para finalizar, analisaremos, agora, o nó 𝑨𝑨𝑨𝑨, nele temos a resultante da barra 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 que 
exerce uma força de tração de 500 N, a barra 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 que também exerce uma força de 
tração de 500 N e temos as componentes horizontal e vertical do apoio 𝑨𝑨𝑨𝑨. 
Para fins de equilíbrio, admitiremos que 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨 e 𝑯𝑯𝑯𝑯𝑨𝑨𝑨𝑨 também exerçam forças de tração. 
Logo, desenhando o diagrama de corpo livre, temos: 
 
Figura 18 - Diagrama de corpo livre do nó A. 
 
Fonte: Acervo Pessoal (2020). 
 
Então, aplicando a equação para somatório das forças horizontais, temos: 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑯𝑯𝑯𝑯𝑨𝑨𝑨𝑨 − 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑯𝑯𝑯𝑯𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 
𝑯𝑯𝑯𝑯𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒆𝒆𝒆𝒆𝒓𝒓𝒓𝒓𝒕𝒕𝒕𝒕çã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
E aplicando a equação para somatório das forças verticais, temos: 
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑽𝑽𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨 − 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑽𝑽𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝑩 
𝑽𝑽𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒆𝒆𝒆𝒆𝒓𝒓𝒓𝒓𝒕𝒕𝒕𝒕çã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
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Agora, exercite o seu conhecimento adquirido sobre a análise de treliças pelo 
método dos nós solucionando o exercício abaixo. 
 
 
 
 
1. (HIBBELER, 2013) Determine a força em cada membro da treliça representada na 
figura 19 e informe se estes estão em tração ou compressão. 
 
Figura 19 - Treliça plana. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Ao final do seu Livro-texto, você terá acesso à resposta desta questão. Confira se 
você está no caminho certo. 
 
1.4. MEMBROS DE FORÇA ZERO 
A análise de estruturas treliçadas pelo método dos nós pode ser bastante 
simplificada caso sejam determinados previamente os membros de força zero. 
Membros de força zero são elementos que fazem parte da composição da treliça, 
porém não estão sujeitos a nenhuma força axial. Estes existem como forma de 
equilíbrio e estabilidade para o corpo treliçado. 
Segundo Hibbeler (2013), os membros de força zero de uma treliça podem, 
geralmente, ser determinados através de um exame dos nós e estes ocorrem em dois 
casos. 
● Caso 1: Considere a treliça representada na imagem 20. Observe os dois 
membros conectados pelo nó C, onde ambos formam um ângulo reto sem 
nenhuma força aplicada sobre eles. 
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Figura 20 - Treliça com membro de força zero. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Representando o diagrama de corpo livre do nó C (ilustrado na figura 21), 
observamos que, ao aplicar as equações de equilíbrio de somatório das 
forças verticais e horizontais sobre o nó C, ambas as barras têm força zero. 
 
Figura 21 - Diagrama de corpo livre do nó C. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
● Caso 2: Outro caso que resulta em membro de força zero ocorre na treliça 
representada na figura 22 abaixo. 
 
Figura 22 - Treliça composta com membro de força zero. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Observe o nó D que possui duas barras 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 colineares e uma terceira 
barra 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 perpendicular a estas. Representando o diagrama de corpo livre 
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(ilustrado na figura 23) e rotacionando o eixo cartesiano de forma a melhor 
análise, temos: 
 
Figura 23 - Diagrama de corpo livre do nó D. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Aplicando o somatório das forças em y, verificamos que a barra 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 é um 
membro de força zero e a mesma só existe para estabilidade construtiva da 
treliça em questão. 
 
 
 
Como vimos nesse tópico, os membros de força zero não são submetidos a nenhuma 
força e existem apenas como forma de equilíbrio construtivo para o elemento 
estrutural. Ao defini-los, posteriormente, à aplicação do método dos nós, simplifica 
muito a solução do corpo analisado. A seguir, veja um vídeo sobre determinação de 
membros de força zero, clicando Aqui: 
 
Agora, aplique seu conhecimento relacionado a membros de força zero 
solucionando o exercício a seguir. 
 
 
 
 
2. (HIBBELER, 2013) Usando o método dos nós, indique todos os membros de força 
zero da treliça ilustrada na figura 24. 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=qQvhWEzW7sk&t=48s
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Figura 24 - Treliça exercício 2. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Ao final do seu Livro-texto, você terá acesso à resposta desta questão. Confira se 
você está no caminho certo. 
 
1.5. MÉTODO DAS SEÇÕES 
Treliças muito longas podem se tornar cansativas de serem analisadas pelo método 
dos nós. Então, quando é necessário obter apenas a força aplicada em alguns dos 
membros da treliça, é possível utilizar o método das seções. 
Tal método consiste em cortar a treliça em dois ou mais segmentos através de uma 
seção imaginária passando pelo membro que se deseja analisar. 
Partindo do princípio de que se a treliça está em equilíbrio, todos os membros que a 
compõem também estão, portanto, podemos aplicar as equações de equilíbrio 
sobre as seções para determinar as forças de um dado membro. 
Vale constatar o cuidado ao selecionar o ponto por onde passará a seção de corte. 
Procure deixar o mínimo de barras desconhecidas possível na seção a ser analisada 
paranão prejudicar a execução de seus cálculos. 
Podemos compreender melhor esse método no exemplificando a seguir. 
 
 
 
(HIBBLER, 2013) Dada a treliça ilustrada na figura 25, defina as barras 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩,𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑮𝑮𝑮𝑮𝜮𝜮𝜮𝜮 
através do método das seções utilizando a seção a-a. 
 
 
 
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Figura 25 - Método das seções em treliças. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
Aplicando o corte a-a na seção demonstrada acima, separamos a viga em dois 
segmentos representados nas figuras 26a e 26b. Para os membros que foram 
cortados pela seção, adotamos forças com naturezas (tração ou compressão) 
arbitrárias para aplicar as equações de equilíbrio. 
Ao aplicar as equações de equilíbrio, caso algum dos membros resulte em um valor 
negativo da força, significa que erramos a natureza da força ao arbitrá-la e basta 
adotar a natureza contrária. 
 
Figura 26 - Cortes obtidos pela seção da treliça. 
 
Fonte: HIBBELER (2013). 
 
O primeiro passo é solucionar as reações de apoio, observamos que a treliça em 
questão possui um apoio fixo em D e um apoio móvel horizontal em E. Inicialmente, 
utilizamos o somatório dos momentos em torno do apoio E para determinar a reação 
horizontal em D. 
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑴𝑴𝑴𝑴𝑬𝑬𝑬𝑬 = 𝟏𝟏𝟏𝟏; 
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 ⋅ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐𝟐𝟐 −𝑫𝑫𝑫𝑫𝑿𝑿𝑿𝑿 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑿𝑿𝑿𝑿 = (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 ⋅ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐𝟐𝟐) ÷ (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐) 
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑿𝑿𝑿𝑿 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 
 
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Em seguida, aplicamos as equações de equilíbrio de somatório das forças horizontais 
e verticais para obter as demais reações de apoio. 
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝑿𝑿𝑿𝑿 = 𝟏𝟏𝟏𝟏; 
−𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟓𝟓𝟓𝟓−𝑬𝑬𝑬𝑬𝑿𝑿𝑿𝑿 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑬𝑬𝑬𝑬𝑿𝑿𝑿𝑿 = −𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝟏𝟏𝟏𝟏; 
−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓+ 𝑫𝑫𝑫𝑫𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑫𝑫𝑫𝑫𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 
O sinal negativo em 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒀𝒀𝒀𝒀 indica que erramos o sentido deste, ou seja, o mesmo tem 
sentido para a direita. 
No segmento ilustrado pela figura 26a, temos como força atuante apenas a ação de 
1000N, tornando este mais simplificado para nossa análise. 
Também podemos calcular a partir do segmento ilustrado na figura 26b, mas neste 
temos duas reações horizontais e uma vertical, que, apesar de solucionadas, 
deixariam o nosso cálculo mais complexo. 
Para aplicar a equação de equilíbrio dos momentos, devemos solucionar um dos nós 
como ponto de origem para momentos e considerar que os demais membros giram 
em torno deste como um todo. 
Então, iremos considerar arbitrariamente o nó 𝑮𝑮𝑮𝑮. Para este, temos a força vertical de 
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 com distância horizontal de 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 do ponto de origem, está causando momento 
anti-horário. Observamos também a força horizontal de 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 com distância vertical 
de 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 causando momento horário. 
Expressando matematicamente: 
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑴𝑴𝑴𝑴𝑮𝑮𝑮𝑮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓+ 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 =
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕çã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
Ressalta-se que, como discutido anteriormente, ao obter um resultado positivo nas 
equações de equilíbrio, indica que acertamos ao arbitrar a natureza da força, ou 
seja, 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 é uma força de tração. 
Agora que temos 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩, podemos aplicar a equação do equilíbrio a partir do somatório 
das forças verticais, como demonstrado na equação abaixo: 
 
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𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓+ 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩 =
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓°
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕çã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
Agora temos 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩, então, podemos aplicar a equação do equilíbrio a partir do 
somatório das forças horizontais, como podemos ver na equação a seguir: 
 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝜮𝑿𝑿𝑿𝑿 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
−𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝜮𝜮𝜮𝜮 + 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° + 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑩𝑩𝑩𝑩 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° + 𝜮𝜮𝜮𝜮𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓° + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 
𝜮𝜮𝜮𝜮𝑮𝑮𝑮𝑮𝜮𝜮𝜮𝜮 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔ã𝒐𝒐𝒐𝒐) 
 
Assim, obtemos as três forças que nos foram solicitadas sem a necessidade de 
solucionar a treliça inteira nó a nó. 
 
 
 
O procedimento para se solucionar uma treliça através do método dos nós é: 
1. Definir os membros da treliça a serem determinados; 
2. Seccionar a treliça, de forma que a seção passe cortando os membros a 
serem analisados, deixando o mínimo possível de incógnitas para resolver; 
3. Desenhar o diagrama de corpo livre separando os dois segmentos separados 
pela seção aplicada; 
4. Utilizar das equações de equilíbrio para definir as reações de apoio da treliça 
analisada; 
5. Selecionar qual dos segmentos será utilizado para determinar os membros 
necessários; 
6. Aplicar as equações de equilíbrio para determinação dos membros, 
lembrando que para somatório dos momentos deve ser selecionado um nó 
da treliça como ponto de origem e supor que todos os demais membros giram 
em torno deste. 
 
Bem, para finalizar a nossa aula, solucione o exercício proposto a seguir, praticando 
o conhecimento adquirido neste tópico. 
 
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3. (HIBBLER, 2013) Determine as forças nos membros 𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑪𝑪𝑪𝑪 da treliça do telhado 
demonstrada na figura 27. As dimensões e cargas estão representadas na ilustração 
desta. Indique a natureza dos membros determinados. 
 
Figura 27 - Treliça 
 
Fonte: HIBBLER (2013). 
 
Ao final do seu Livro-texto, você terá acesso à resposta desta questão. Confira se 
você está no caminho certo. 
 
 
Ao fim dessa aula, você, aluno(a) é capaz de interpretar as condições de equilíbrio 
de uma estrutura treliçada? Consegue solucionar treliças utilizando os métodos dos 
nós e das seções? Caso você consiga responder essas questões, parabéns! Você 
atingiu os objetivos específicos da Aula 2. Caso tenha dificuldades para responder a 
algumas delas, aproveite para reler o conteúdo das Aulas, e acessar o UNIARAXÁ 
Virtual e interagir com seus colegas e Tutor(a). Você não está sozinho nessa 
caminhada. Conte conosco! 
 
 
RECAPITULANDO 
Nesta Aula, falamos sobre as treliças, como são formadas, suas principais aplicações 
e como classificá-las conforme sua composição. 
UNIARAXÁ - CENTRO UNIVERSITÁRIO DO PLANALTO DE ARAXÁ • TODOS OS DIREITOS RESERVADOS 25
Logo após, aprendemos que treliças são compostas por membros delgados 
ordenadosna forma triangular, sendo estes expostos a forças de natureza 
tracionada ou comprimida. 
Discutimos também sobre os membros de força zero, como estes se formam e qual 
a sua função para uma estrutura treliçada. Por fim, exercitamos como determinar os 
membros de uma treliça através dos métodos dos nós e das seções. 
Na próxima Aula, discutiremos sobre as forças internas que se desenvolvem nos 
membros estruturais solicitados a cargas de carregamento. 
 
Até lá!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIDEOAULA
Após a leitura e o estudo do seu livro-texto, chegou o momento de 
complementar seu conhecimento. Vá até seu Ambiente Virtual 
de Aprendizagem e acesse a Videoaula referente à Aula.
UNIARAXÁ - CENTRO UNIVERSITÁRIO DO PLANALTO DE ARAXÁ • TODOS OS DIREITOS RESERVADOS 26
 
 
1. Como o exercício já nos deu as reações de apoio, podemos verificar que a treliça 
analisada é simétrica. Ou seja, partindo do eixo central suas duas extremidades são 
iguais, fazendo necessária a análise de apenas metade desta. 
Representando o diagrama de corpo livre do nó A, temos: 
 
Aplicando as equações de equilíbrio sobre este, temos: 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0; 4 − 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 30º = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 8𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝐶𝐶𝐶𝐶) 
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 8 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 30º = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐸𝐸𝐸𝐸 = 6,92𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑇𝑇𝑇𝑇) 
 
Partindo, agora, para o nó G, realizamos a rotação do eixo cartesiano neste para 
facilitar a análise, assim, temos o seguinte diagrama de corpo livre: 
 
Aplicando as equações de equilíbrio sobre este, temos: 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 60º − 3 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 30º = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 3𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝐶𝐶𝐶𝐶) 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0; 8 − 3 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 30º − 3 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 60º − 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 =
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐺𝐺𝐺𝐺 = 5𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝐶𝐶𝐶𝐶) 
 
Para finalizar, analisaremos o nó G representando o seguinte diagrama de corpo 
livre: 
 
Aplicando as equações de equilíbrio sobre este, temos: 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 60º − 3 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 30º = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐺𝐺𝐺𝐺 = 1,73𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑇𝑇𝑇𝑇) 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1,73 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 60º + 3 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 30º − 6,928 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 =
3,46𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑇𝑇𝑇𝑇) 
FOLHA DE RESPOSTAS
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2. Analisando o diagrama de corpo livre do nó D, observamos que não há nenhuma 
força para equilibrar h, verticalmente, com a barra 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, tornando esta membro de 
força zero e também a barra 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 em consequência do somatório das forças 
horizontais, como demonstrado abaixo. 
 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜃𝜃𝜃𝜃 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 0 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 + 0 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 0 
 
Analisando, agora, o nó E, verificamos que a barra 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷também é força zero em 
consequência do membro horizontal 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 que não tem força resultante para equilibrar 
com esta, como demonstrado abaixo. 
 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐺𝐺𝐺𝐺 + 0 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐺𝐺𝐺𝐺 = 0 
 
Passando para o nó H, onde ocorre o caso dois discutido no tópico 1.4 desta aula, 
duas barras colineares possuindo um membro perpendicular a ambas, este membro 
é força zero, como representado abaixo. 
 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐻𝐻𝐻𝐻𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0 
 
Finalizando no nó G, onde ocorre o mesmo caso acima, como representado abaixo. 
 
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𝛴𝛴𝛴𝛴𝐷𝐷𝐷𝐷𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0 
 
 
3. Para determinar tais membros, devemos executar duas seções, como as 
representadas na figura 23 no enunciado do exercício. 
Inicialmente, determinaremos o membro 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 através da seção a-a, para este 
representaremos o diagrama de corpo livre abaixo. 
 
Podemos deslocar 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 para o ponto G utilizando o princípio da transmissibilidade. 
Assim, temos uma solução direta para 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 aplicando a equação de momentos em 
torno do nó I. 
 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝑀𝑀𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 = 0; −𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 ⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 30º ⋅ 2𝑒𝑒𝑒𝑒 + 1200 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 1,155𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺 = 1386 𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝐶𝐶𝐶𝐶) 
 
Logo, para 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, temos o diagrama de corpo livre a seguir, da seção b-b. 
 
 
Aplicando as equações de momento em torno do nó A, temos: 
 
𝛴𝛴𝛴𝛴𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0; −1200 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 1,155𝑒𝑒𝑒𝑒 + −𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ 2𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 693 𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑇𝑇𝑇𝑇) 
 
 
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CRÉDITOS
Figura 11 - Treliça simples em estrutura de telhado metálico - Fonte: O CALCULISTA DE 
AÇO. Disponível em: <http://calculistadeaco.com.br/wp-content/uploads/2017/10/
trelicaMetalica.jpg>. Acesso em: 25 fev. 2020.
LISTA DE FIGURAS
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ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800: Projeto de 
estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. 1 ed. Rio de 
Janeiro, 2008. 237 p. 
 
 
FAKURY, R.H., CASTRO E SILVA, A.L., CALDAS, R.B. Dimensionamento de Elementos 
Estruturais de Aço e Mistos de Aço e Concreto. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2016. 
 
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 522 p. 
Tradução de: Structural Analysis, 8th ed. 
 
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia – 12. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2014.Disponível em: 
http://uniaraxa.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576058151 Acesso 
em: 01 de mar. 2020. 
 
MATOS, Rafael Carrijo Barreto de. Sistemas de contraventamentos em edifícios de 
estrutura metálica. 2014. 65 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia Civil, 
Faculdade de Tecnologia e Ciências Sociais Aplicadas, Brasília, 2014. Disponível em: 
https://repositorio.uniceub.br/jspui/bitstream/235/6404/1/21016114.pdf. Acesso em: 
01 mar. 2020. 
 
MCCORMAC, Jack C. Análise Estrutural: Usando Métodos Clássicos e Métodos 
Matriciais. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda., 2009. 
482 p. Tradução de: Structural Analysis: Using Classical and Matrix Methods, 4th ed. 
 
O CALCULISTA DE AÇO. Treliça metálica é sempre mais econômica? s.a. Disponível 
em: <http://calculistadeaco.com.br/wp-
content/uploads/2017/10/trelicaMetalica.jpg>. Acesso em: 25 fev. 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS
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CONTATO:
3669.2008 • 3669.2017 • 3669.2028
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