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Novas Tecnologias
no Ensino da Matemática
Tópicos em Ensino de
Geometria
A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria
2a edição
Ana Maria Martensen Roland Kaleff 
Presidente da República
Dilma Rousseff
Ministro da Educação – MEC
Aloizio Mercadante
Reitor da Universidade Federal Fluminense – UFF
Sidney Luiz de Matos Mello
Vice-Reitor da Universidade Federal Fluminense – UFF
Antonio Claudio Lucas da Nobrega
Pró-Reitor de Graduação da UFF
José Rodrigues de Farias Lima
Pró-Reitor de Pesquisa, Pós-Graduação e Inovação da UFF
Roberto Kant de Lima
Coordenador Geral da Universidade Aberta do Brasil da UFF – UAB
Celso José da Costa
Coordenadora de Educação a Distância da UFF
Regina Celia Moreth Bragança
Diretor do Instituto de Matemática e Estatística
Celso José da Costa
Novas Tecnologias
no Ensino da Matemática
Tópicos em Ensino de
Geometria
K14n 
Kaleff, Ana Maria Martensen Roland.
 Novas tecnologias no ensino da matemática: tópicos em ensino 
de geometria. 1 / Ana Maria Martensen Roland Kaleff. CEAD / UFF, 
2016. 2a edição. 
223p. ; 19 x 26,5 cm. 
ISBN: 978-85-6200-750-1
1. Geometria. 2. Geometria euclidiana. 3. Análise combinatória. 
I. Título. 
 CDD: 516
Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
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2a edição
 
UMA CONVERSA INICIAL COM O LEITOR _______________________________________7
PARTE 1: FERRAMENTAS PARA O PROFESSOR DE MATEMÁTICA ___________________ 13
Unidade 1: A HABILIDADE DA VISUALIZAÇÃO FRENTE À SALA DE AULA DE 
GEOMETRIA E OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS _______________ 15
Texto 1
Importância da Habilidade da Visualização para a Geometria _____________ 16
Texto 2
Operações Mentais Relacionadas à Habilidade da Visualização 
em Geometria___________________________________________________ 20
Texto 3
Os Parâmetros Curriculares Nacionais e o Ensino da Geometria ____________ 25
Unidade 2: A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DA GEOMETRIA E O 
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO ______________________ 39
Texto 4
Atributos, Conceitos e Definições em uma Aprendizagem Significativa 
da Geometria ___________________________________________________ 40
Texto 5
O Modelo de van Hiele do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico ____ 43
Unidade 3: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAIS DIDÁTICOS 
PARA A GEOMETRIA _____________________________________________ 53
Texto 6
Características de um Laboratório de Ensino para a Aprendizagem 
Significativa da Geometria ________________________________________ 54
Texto 7
Apresentação e Construção de Alguns Materiais para Laboratório ____________ 59
Texto Complementar
Um Laboratório para o Público em Geral: o Museu Interativo _____________ 66
SUMÁRIO
PARTE 2: O DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DA GEOMETRIA E SUAS CONSEQÜÊNCIAS PARA 
O ENSINO NO INÍCIO DO SÉCULO XXI _______________________________________ 71
Unidade 4: DOS PRIMÓRDIOS DA GEOMETRIA À GEOMETRIA 
PRÉ-EUCLIDIANA ________________________________________________ 73
Texto 8
A Geometria dos Egípcios, Babilônios, Chineses e Hindus: Situações do Cotidiano 
e o Surgimento do π _____________________________________________ 74
Para a Sala de Aula
Se os Alunos Tivessem um Esquadro de Cordas ...: Conjecturas sobre Algumas 
Relações Numéricas Conhecidas pelos Egípcios _________________________ 76 
Para a Sala de Aula
Se Os Alunos Tivessem Linhas e Discos ..: Uma Introdução ao Estudo 
do Número π ___________________________________________________ 83
Texto 9
A Geometria dos Pitagóricos: O Teorema de Pitágoras e suas 
Conseqüências __________________________________________________ 85
Para a Sala de Aula
Se os Antigos Gregos Tivessem Aparelhos Dinâmicos Modeladores de Formas 
Geométricas...: Classificando Triângulos e Paralelogramos ___________________ 87
Para a Sala de Aula
Se Pitágoras Tivesse Quebra-Cabeças Planos Especiais ...: Relações Algébricas do 
Teorema de Pitágoras e sua Generalização _____________________________ 93
Unidade 5: AINDA SOBRE A GEOMETRIA PRÉ-EUCLIDIANA: A ESCOLA 
DE PLATÃO ____________________________________________________ 107
Texto 10
Tesouros da Geometria e os Sólidos Regulares de Platão _______________ 108
Para a Sala de Aula
Se Os Gregos Tivessem uma Fita Métrica e Fizessem Propaganda Comercial...: 
O Surgimento do Número de Ouro e dos Retângulos Áureos ______________ 109
Para a Sala de Aula
Se Platão Tivesse Canudos ..: Os Sólidos de Platão e a Razão Áurea ________ 118
Unidade 6: O SURGIMENTO DA GEOMETRIA EUCLIDIANA ________________ 127
Texto 11
“Os Elementos” de Euclides _______________________________________ 128
Para a Sala de Aula
Se Euclides Tivesse Lápis de Cor e Dobrasse Papéis...: Introduzindo os Cinco 
Primeiros Axiomas ______________________________________________ 134
Para a Sala de Aula
Se Euclides Tivesse Peças Transparentes com Formas Poligonais ...: 
Introduzindo os Polígonos ________________________________________ 141
Unidade 7: O PERÍODO PÓS-EUCLIDES _____________________________ 149
Texto 12
Surgimento da Geometria Analítica e da Análise Matemática ____________ 150
Para a Sala de Aula
Se Descartes Tivesse Lápis, Barbante e Dobrasse Papeis...: Introduzindo as Cônicas 
por Meio da Elipse ______________________________________________ 151
Unidade 8 - A MODERNIDADE MATEMÁTICA __________________________ 163
Texto 13
O Surgimento das Geometrias Não-Euclidianas e o Movimento Matemática 
Moderna: o Banimento das Figuras dos Livros Didáticos ________________ 164
Unidade 9 - O PROGRAMA DE ERLANGEN DE FÉLIX KLEIN _______________ 175
Texto 14
A Geometria dos Movimentos das Figuras Rígidas e o Reaparecimento das Figuras 
nos Livros Didáticos_____________________________________________ 176
Para a Sala de Aula
Se Felix Klein Tivesse Pranchetas Dinâmicas Modeladoras de Polígonos...: 
Uma Incursão ao Ensino de Áreas __________________________________ 177
Texto Complementar
A Representação Matemática para as Formas Irregulares da Natureza _____ 180
Unidade 10 - OS CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS E A GEOMETRIA ESCOLAR 
NO INÍCIO DO SÉCULO XXI _______________________________________ 183
Texto 15
Chegando ao Século XXI: A Geometria Dinâmica e a do Táxi _____________ 184
Para a Sala de Aula
Se Descartes e Hilbert Tivessem um Táxi...: Uma Incursão à Geometria 
do Táxi ______________________________________________________ 189
UMA CONVERSA DE DESPEDIDA __________________________________________ 213
ANEXO ______________________________________________________________ 215
REFERÊNCIAS _________________________________________________________ 221
Creio que o nó com relação ao ensino de matemática não está na 
proposição de idéias. O problema, a meu ver, parece estar na prática. 
Afinal, quem hoje há de dizer que não trabalha com problemas e 
desafios? Quem dirá que não considera os conhecimentos prévios 
dos alunos e não busca trabalhar a partir deles? Quem ousará 
afirmar que o conhecimento não é construído? Ou ainda, que não é 
preciso relacionar as idéias matemáticas, trabalhando a ampliação 
dos conceitos? A pergunta que permanece, entretanto, é quem de 
fato consegue trabalhar dessa forma em sala de aula? Quem está 
conseguindo modificar a prática, para além do discurso? 
Idéias existem. Porém não bastam. Formas de colocá-las em prática 
parecem ser o fundamental nesse momento. 
PAOLA SZTAJAN (1999) 
UMA CONVERSA INICIAL COM O LEITOR
O Questionamento Motivador 
A história do desenvolvimento humano mostra que desde os tempos pré-
históricos o ser humano buscou traduzir, em desenhos, não somente as imagens 
reais da natureza percebidas pela sua visão, como também, as imagens mentais 
relacionadas a seus sonhos,suas idéias, suas emoções e seus sentimentos, expressão 
de seu mundo interior. 
Foi a partir da necessidade de homens e mulheres de compreender e descrever 
o seu meio ambiente - mental, físico e social - que as imagens, representadas em 
desenhos, foram gradativamente se socializando, até adquirirem uma forma teórica 
ao se tornarem em conceitos na Geometria.
Dessa maneira, a Geometria como parte do corpo teórico-científico em que 
se constitui a Matemática atual tem origens sócio-culturais, ou seja, não foi criada 
como uma teoria. Na verdade, sua origem vem da necessidade humana de dominar 
e entender o meio ambiente. Apesar de essa necessidade ser bem mais remota, 
foi a partir das culturas desenvolvidas pelas sociedades que viviam às margens de 
grandes rios como o Nilo, o Tigre, o Eufrates e o Ganges que os conceitos e relações 
geométricos foram sendo criados. 
As idéias geométricas foram sendo estabelecidas a partir da necessidade de 
se demarcar, delimitar e quantificar as superfícies alagadas pelas enchentes dos rios, 
e de se calcular os custos e impostos relativos às áreas cultiváveis destas superfícies. 
Assim, foi se estabelecendo uma geometria utilitária caracterizada pelo traçado de 
formas e padrões simples de desenhos, pelo estabelecimento consensual de fórmulas 
e pelo cálculo de medidas de comprimento, de área, de volume etc. 
O nome Geometria, formado por geo = terra, metria = medida, sintetiza 
e representa muito bem essa característica utilitária do desenvolvimento dos 
primeiros momentos desse ramo da Matemática, talvez um dos mais importantes 
dessa ciência. 
Sendo assim, devido a essas características relacionadas ao meio ambiente, 
quem diria, nos dias de hoje, que desconhece a importância da Geometria para o 
entendimento da realidade a nossa volta? 
A ênfase na importância escolar da Geometria, no entanto, nem sempre é 
bem entendida, apesar da existência de grandes questionamentos sobre como se 
ensinar Matemática e de como se modificar a prática em sala de aula, para além 
do discurso e das idéias, como tão bem foi colocado por Sztajan (1999). Por essa 
razão é que, no presente volume, são apresentadas formas de se colocar idéias em 
práticas para a sala de aula de Geometria. 
Inicialmente, são tratados os princípios teórico-metodológicos que o 
professor de Matemática, neste início de século, deve conhecer para estar bem 
instrumentado para o exercício de sua prática profissional. Em seguida, apresenta-
se um resumo do desenrolar da longa e fascinante história da Geometria, no qual 
se enfoca as maneiras de como suas características utilitárias originais foram se 
transformando em formulações teóricas e abstratas. Esse percurso permite que 
conteúdos geométricos sejam revistos, se analisem aspectos do desenvolvimento da 
Geometria frente a outros conhecimentos, se apresentem materiais e atividades para 
a sala de aula, e principalmente, se discuta o conhecimento do professor e o papel 
dessa disciplina no âmbito da escola. 
O percurso que você leitor ou leitora percorrerá nesse volume, permite que 
tais idéias sejam colocadas em prática. Dessa forma, ao final desse volume, espera-
se que você possa responder às questões a seguir.
- No início do século XXI, deve-se continuar a ensinar Geometria? Para quê?
- Como se ensina Geometria?
- O aluno desenvolve habilidades e competências específicas ao estudar 
Geometria?
- Como interligar a Geometria a outras áreas e disciplinas? 
- Que materiais didáticos podem ser utilizados na aula de Geometria?
- O nome da área de estudo poderia ser Geometrias?
- Houve um tempo em que se deixou de ensinar Geometria nas escolas? 
Meta Principal 
Caro leitor(a), se esses parágrafos iniciais são de difícil compreensão e se 
esse rol de perguntas lhe parece estranho, isso não deve ser um fator de desestímulo 
à leitura. 
As dificuldades iniciais desse texto e dos demais inseridos neste volume, 
não devem ser fonte de desânimo, pois sua escrita foi especialmente elaborada 
visando a capacitá-lo e prepará-lo para fazer uma boa escolha de um livro didático 
adequado à sua sala de aula. 
Este volume tem como meta principal a independência e a autonomia 
do profissional, ou seja, ele pretende preparar um professor atualizado para o 
enfrentamento do material didático necessário para as aulas de Geometria nas 
escolas. Essa preparação inclui, em primeiro lugar, o entendimento e a interpretação 
de um texto escrito. Para tanto, o fio diretor escolhido para motivar, direcionar 
e inter-relacionar a compreensão da leitura foi a História da Geometria. Assim, 
atividades didáticas e procedimentos considerados como atuais e adequados à sala 
de aula serão abordados por meio de um amplo questionamento sobre aspectos 
importantes do desenvolvimento histórico dos conceitos geométricos. 
Sobre os Textos e Conteúdos Abordados
Este volume não tem a pretensão de apresentar todos os conteúdos de 
uma disciplina básica de Geometria de um curso de licenciatura, mas pretende 
levar a você, leitor(a), a revisitar alguns tópicos da geometria escolar, bem como 
também dar-lhe a oportunidade de vivenciar, de maneira dinâmica e objetiva alguns 
conteúdos matemáticos pouco explorados nos programas escolares. Com essa 
experiência, busca-se ajudá-lo, professor-leitor(a), a tomar consciência de suas 
próprias dificuldades, alertando-o para as possíveis dificuldades que o seu aluno 
possa vir a apresentar.
Os textos incluem relatos e parte da experiência que vem sendo realizada, 
há mais de 15 anos, no Laboratório de Ensino de Geometria da UFF (LEG) e no 
Espaço-UFF de Ciências, com licenciandos do Curso de Matemática e com professores 
em formação continuada, em cursos de especialização (pós-graduação lato sensu) e 
de treinamento (extensão). 
Todas as atividades, procedimentos e materiais didáticos abordados já 
foram trabalhados por dezenas de profissionais e alguns, até mesmo, por centenas 
de professores de Matemática. O presente volume, portanto, encontra-se mesclado 
por observações sobre o comportamento de professores e de alunos, bem como as 
contribuições didáticas incluídas são advindas destes profissionais.
OBSERVAÇÃO 
IMPORTANTE!!!
A fim de evitar desencontros e 
desentendimentos na leitura 
dos textos que se seguem, 
deve ser observado que os 
participantes das experiências 
realizadas em nossa prática 
educacional serão chamados 
de licenciandos, professores 
ou brevemente, de cursistas. 
Os alunos dos Ensinos 
Fundamental e Médio serão 
referidos como alunos ou 
estudantes. Enquanto que 
você, caro professor-leitor(a), 
será chamado simplesmente 
de leitor.
Nos cursos ministrados foram percebidas significativas deficiências 
apresentadas por adultos no modo de visualizar e de interpretar informações 
gráficas, principalmente quando utilizadas para introduzir conceitos geométricos, 
cujo aprendizado na formação continuada fica muito prejudicado. Entre as 
dificuldades observadas encontra-se a de relacionar modelos concretos de polígonos 
e sólidos geométricos com suas representações gráficas, tanto na forma de desenhos 
sobre o papel, quanto virtuais, na tela do computador. Também foi observado que 
vários professores não dominam o traçado dos desenhos mais elementares e mais 
freqüentes nos livros didáticos. Este é o caso de poliedros regulares como cubo, 
tetraedro e octaedro regulares. Tais dificuldades apresentam reflexos significativos 
no ensino do cálculo de áreas e volumes relacionados aos sólidos mais elementares 
e ministrados nas séries escolares iniciais. 
Por outro lado, também foi constatado que muitos profissionais apresentam 
dificuldades na construção de materiais didáticos manipulativos encontrados nos 
livros destinados ao ensino Básico. Muitos professores, principalmente das primeiras 
séries, declaram ter duas razões para não se sentirem à vontade para aplicar tais 
materiais em suas salas de aula. A primeiraé por não estarem familiarizados com os 
procedimentos didáticos requeridos por estes tipos de recursos manipulativos, e a 
segunda, por não terem conhecimento de como reproduzi-los por meio de materiais 
de baixo custo.
Neste volume, considerando a experiência no LEG e as recomendações 
dos documentos governamentais Parâmetros Curriculares Nacionais, relacionados 
aos Ensinos Fundamental (PCN: 1° e 2° Ciclos; 3° e 4° Ciclos, segundo BRASIL, 
1998) e Médio (PCNEM, segundo BRASIL, 2000), orientadores da prática escolar 
e da formação do professor, optou-se por tratar prioritariamente os conceitos 
geométricos do ponto de vista do desenvolvimento da principal habilidade com a 
qual a Geometria pode contribuir para a preparação de cidadãos mais aptos à vida 
em uma sociedade do século XXI. Esta, cada vez mais, se apresenta ligada ao mundo 
virtual da computação e aos estímulos visuais na forma de imagens. Ou seja, será 
tratada a habilidade da visualização, a qual inclui a habilidade de ler, escrever e 
interpretar informações gráficas nas suas mais diversas formas de representações: 
do desenho geométrico, de gráficos cartesianos, de esquemas traçados sobre redes 
pontilhadas, de esquemas gráficos sem padronização, de tabelas etc. 
A fundamentação teórica adotada para as atividades, que tem origem 
construtivista, é o Modelo de van Hiele para o desenvolvimento do pensamento em 
Geometria (VAN HIELE, 1986), entremeada por resultados de pesquisas realizadas 
por educadores matemáticos do ponto de vista da Psicologia. Desta forma, você, 
leitor(a), será confrontado com muitas considerações advindas dessas pesquisas e 
vivenciará tarefas a elas relacionadas. Essas envolvem aspectos da vida cotidiana e 
de interdisciplinaridade com as Artes, a História, a Biologia, a Física etc.
Na Primeira Parte do volume apresentam-se os princípios teórico-
metodológicos que, você, como professor(a) de Matemática deve conhecer para 
trabalhar com materiais didáticos concretos ou virtuais, e estar bem instrumentado 
para o exercício de sua prática profissional em Geometria. Esses princípios visam a 
fundamentar uma base como profissional, para poder enfrentar principalmente as 
transformações advindas da tecnologia e que se apresentam no cotidiano da escola, 
neste início de século.
Incluem-se também observações sobre as principais características da 
habilidade da visualização, sobre os Parâmetros Curriculares Nacionais, sobre o 
Modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico, e sobre 
os atributos relevantes relacionados a uma conceituação e uma definição em 
Matemática. 
Encontram-se ainda considerações sobre a importância dos materiais 
concretos para o ensino, bem como a descrição e os procedimentos para a 
implementação de um laboratório e de um museu interativo para o ensino de 
Geometria na escola. Para tanto, apresentam-se elementos que permitem a 
construção de um rol de materiais didáticos concretos que auxiliam a prática do 
professor (geoplanos, artefatos articulados, placas dinâmicas para movimentação 
e geração de formas geométricas, jogos etc.), os quais, em sua maioria, podem ser 
emulados no computador. 
As unidades temáticas são apresentadas por meio de um TEXTO introdutório 
e quadros denominados de QUESTIONAMENTO AO LEITOR, os quais trazem temas 
e questões relativos ao assunto tratado e à formação do professor. Esses são 
novamente tratados nas seções CONSIDERAÇÕES SOBRE O QUESTIONAMENTO AO 
LEITOR, nas quais se tecem considerações relevantes e esclarecedoras sobre as 
questões levantadas na unidade. Além disso, pequenos quadros encontram-se 
espalhados à margem dos textos e englobam informações ou temas relevantes para 
a sua reflexão como professor.
Na Segunda Parte, cada capítulo é composto por várias seções que ampliam o 
rol das anteriores e ilustram como se trabalhar alguns materiais didáticos e relacioná-
los a conceitos geométricos. O TEXTO inclui um resumo de fatos históricos importantes 
para o ensino da Geometria e, além do questionamento direto ao professor, 
apresentam-se seções PARA A SALA DE AULA nas quais são relatadas atividades para 
o aluno, incluindo o material concreto empregado e o procedimento didático a ser 
realizado. Visando a exemplificar o emprego do Modelo de van Hiele, a maioria desses 
procedimentos inclui perguntas específicas e objetivamente direcionadas ao aluno, 
com as quais se pretende ilustrar como levar o estudante à construção de conceitos e 
relações geométricas. É importante notar que, para diferenciar esse questionamento 
daquele específico e destinado a você, leitor-professor(a), os textos com as perguntas 
para o estudante estão grafados em tipo itálico. 
Nessa Segunda Parte as seções CONSIDERAÇÕES SOBRE O QUESTIONAMENTO 
AO LEITOR, apresentam-se geralmente colocadas no final de uma coleção de atividades 
destinadas à sala de aula. Nessas considerações são apresentadas detalhadamente as 
características técnicas das atividades didáticas, ou seja, objetivos matemáticos a 
serem atingidos, faixa etária do aluno, pré-requisitos matemáticos necessários para 
a sua realização, procedimentos a serem realizados e observações importantes para o 
professor. Muitas vezes, tais características são sintetizadas em uma FICHA TÉCNICA 
DA ATIVIDADE. Além disso, várias das atividades são analisadas por meio de uma 
TABELA DESCRITORA DA ATIVIDADE na qual se destacam as peculiaridades, segundo 
o do Modelo de van Hiele, de cada procedimento a ser realizado pelo aluno. 
No Anexo encontram-se algumas redes gráficas para serem utilizadas nas 
atividades ou na construção dos materiais manipulativos.
Boa leitura! 
agradecimentos
Aos alunos da UFF, dos cursos de Licenciatura 
e de Especialização em 
Matemática para Professores 
de Ensino Fundamental e 
Médio, que contribuíram 
com atividades didáticas e 
sugestões para este livro.
Um agradecimento especial 
à ex-aluna Bruna Moustapha 
Corrêa, tutora do CEDERJ, 
pela atenta leitura dos 
originais.
Ferramentas
para o Professor 
de Matemática
PARTE 1
Unidade 1
A Habilidade da Visualização 
Frente à Sala de Aula de 
Geometria e os Parâmetros 
Curriculares Nacionais
METAS 
Esta unidade apresenta a importância da habilidade mental 
da visualização e da sua relação com os traçados de desenhos 
na sala de aula de Geometria. 
OBJETIVOS
Ao final desta unidade você deve:
• compreender a importância da habilidade da visualização;
• identificar os principais conceitos diretamente relacionados 
à visualização em Geometria: imagem mental, figura, figura 
matemática e figura geométrica euclidiana;
• identificar exemplos de operações mentais relacionadas à 
habilidade da visualização;
• entender como o ensino da Geometria é considerado pelos 
Parâmetros Curriculares Nacionais. 
MATERIAIS UTILIZADOS
• Folhas de papel sulfite totalmente em branco; tiras de papel 
de 2cm de largura. 
• Lápis e régua. 
• Palitos de picolé perfurados nas extremidades; grampos tipo 
“Bailarina”.
• Ripas de madeira Grampo tipo “Bailarina”.
16
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Texto 1
A IMPORTÂNCIA DA HABILIDADE DA VISUALIZAÇÃO PARA A GEOMETRIA
Entre os pesquisadores da Educação Matemática, tem sido muito divulgada 
que a habilidade para visualizar é uma das mais importantes para o desenvolvimento 
dos conceitos da Geometria, e, portanto, no que se refere à sala de aula, esta é 
a principal habilidade para tornar os alunos capazes de dominar e de apresentar 
autonomia no lidar com conceitos geométricos elementares (HERSHKOWITZ et al., 
1994). 
Tem sido observado que na literatura sobre Educação Matemática termos 
e expressões como “visualizar”, “visualização”, “imagem mental”, “figura”, “figura 
matemática” e “figura geométrica euclidiana” são interpretados das mais variadas 
maneiras, dependendo do contexto em que são utilizados. 
Cabe,portanto, inicialmente, apresentar um pequeno glossário destes 
termos e expressões, enfatizar os seus significados e esclarecer como eles serão aqui 
considerados. 
O Significado das Expressões “Imagem Mental”, “Figura Matemática” e “Figura 
Geométrica Euclidiana” 
A expressão imagem mental significa uma imagem de um objeto 
ausente do campo visual, ou seja, como ela é percebida pela mente de 
um indivíduo. 
O termo figura designa qualquer organização de elementos gráficos que 
emerge de um fundo uniforme por meio da presença de pontos, traços ou 
elementos de uma superfície (sombreados ou coloridos), representando 
uma unidade (ou congregação de elementos) de informação. Uma figura 
pode ser apresentada em um meio gráfico convencional (papel) ou 
especial (tela de vídeo, tecelagem, pintura e outros). 
Os Termos “Visualizar” e “Visualização” como Apresentados em um Dicionário.
Os termos visualizar e visualização são apresentados no Novo Dicionário Aurélio 
da Língua Portuguesa (FERREIRA, 1986, p. 1783-1784) como:
visualizar. Formar ou conceber uma imagem visual, mental (de algo que 
não se tem ante os olhos no momento).
visualização. 1. Ato ou efeito de visualizar. 2. Transformação de 
conceitos abstratos em imagens reais ou mentalmente visíveis.
17
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
Em Matemática, portanto, não existe figura sem uma legenda, ainda que 
esta possa estar implícita. Por exemplo, o desenho de um quadrado só pode ser 
considerado como o de uma figura geométrica euclidiana se, de fato, seus atributos 
geométricos determinantes estiverem, de alguma forma, sendo levados em conta 
(ainda que não explicitamente), pois um desenho pode ser um esquema de traços 
sem estar ligado à Matemática (como se verá a seguir).
Ao se dizer, isto é um quadrado, está sendo considerado que a figura 
desenhada tem as características de ter quatro lados iguais e quatro ângulos retos. 
Por outro lado, o simples desenho de uma figura quadrada, por mais perfeito que 
seja, não permite que se saiba se estas características estão realmente presentes nos 
traços. Por exemplo, ao se considerar os lados de dois cubos como os desenhados em 
perspectiva na Figura 1(a), isso fica bem visível ao se observar como se apresentam 
as suas faces, que deveriam ter a forma de um quadrado. No caso da Figura 1(b), 
fica claro que se trata de um quadrado, pelo fato da figura apresentar a legenda 
explicitada pelo desenho e indicada pela expressão simbólica de que o ângulo é 
igual a 90°.
Uma figura é considerada uma figura matemática quando preenche 
exigências específicas relativas a duas maneiras de ser representada: 
por um lado, em uma forma de pontos e traços, e por outro em uma 
forma proposicional, isto é, na forma de proposições expressas em 
linguagem natural ou simbólica formal, representando suas propriedades 
matemáticas características, isto é seus atributos relevantes. 
Uma figura geométrica euclidiana se caracteriza, por um lado, por ser 
uma figura composta por traços obtidos por meio de ferramentas de 
desenho (régua, esquadro, compasso, curvas francesas etc.), ou outras 
mais atuais, como as advindas do uso do computador. E por outro lado, por 
estar ancorada em um discurso expresso na linguagem natural na forma 
de proposições que sintetizam suas propriedades geométricas euclidianas 
características, isto é, seus atributos determinantes relevantes.
Existe uma âncora descritora das 
propriedades matemáticas, 
que fornece um elo 
determinante entre 
o desenho e o objeto 
abstrato da Matemática. 
É o conjunto de suas 
propriedades que caracteriza 
uma figura em Matemática. 
Dessa maneira, uma 
figura matemática sempre 
apresenta uma legenda, 
mesmo que esta esteja 
subentendida. 
18
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
b
FIGURA 1 – O quadrado desenhado como lados de um cubo em perspectiva.
a
Resumidamente, pode-se dizer que o simples 
traçado não garante se ter 
uma figura matemática, 
pois, como se verá a seguir, 
os desenhos podem ser, até 
mesmo, obras de arte. 
Essas características que 
diferenciam as figuras 
matemáticas das demais são 
muito conhecidas, mas nem 
sempre são bem percebidas 
pelos estudantes. 
A Interpretação dos Desenhos Geométricos na Vida
O ato de interpretar desenhos geométricos não é importante por si só, 
mas está muito ligado com a vida do cidadão comum, pois a interpretação 
de informações visuais está presente tanto nos simples problemas do dia 
a dia como em problemas da Engenharia, da Arquitetura, da Medicina, 
das Artes etc. 
A interpretação de informações visuais está em jogo quando se trata, 
por exemplo, do mais simples esboço de uma figura geométrica como o 
triângulo, ou de um mapa que indique o caminho entre duas localidades, 
ou até mesmo de sofisticadas representações gráficas. 
Por outro lado, a Informática e as ferramentas advindas da Computação 
criam, a cada dia, novas situações nas quais as formas virtuais ganham 
aspectos de uma realidade quase material, abrindo novos rumos para 
o entendimento das formas que se apresentam no plano da tela do 
computador. 
As representações gráficas podem ser o registro de indicadores numéricos, 
de esboços de objetos, de imagens impressas em fotos ou chapas de raio-
X, de imagens observadas através de microscópios e outros meios ópticos 
ou computadorizados, até mesmo na forma de imagens pintadas por 
artistas representando a natureza ou suas visões imaginárias.
19
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
QUESTIONAMENTO AO LEITOR
a) Você conhece alguma obra de arte envolvendo figuras com formas 
geométricas, mas que não são figuras geométricas euclidianas? Por exemplo, 
procure obras do artista Piet Mondrian na Internet. Em http://www.eco.ufrj.br/
epos/tema/mondrian.htm encontram-se algumas destas obras. 
b) Já que este texto trata da interpretação das informações visuais 
e dos desenhos, uma pergunta importante sobre s relações entre um 
desenho e aquilo que ele representa pode surgir em uma sala de aula, 
principalmente com adolescentes e adultos, ou mesmo nos cursos de 
formação de professores:
você acha que, a partir de um desenho pode-se sempre construir um 
protótipo, uma maquete ou um modelo concreto daquilo que está 
traçado? Isto é, você acha que de qualquer esquema traçado sobre uma 
superfície plana, pode-se sempre construir um objeto correspondente no 
espaço da realidade à nossa volta?
Se você não consegue responder, não desanime e continue com a leitura 
do próximo texto. 
20
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
TEXTO 2
OPERAÇÕES MENTAIS RELACIONADAS À HABILIDADE DA VISUALIZAÇÃO 
EM GEOMETRIA
Apesar das muitas controvérsias entre os pesquisadores sobre a forma pela 
qual a habilidade da visualização se processa em nossa mente, é importante que esta 
habilidade ocupe seu lugar no ensino da Geometria, pois já se sabe que vários de 
seus aspectos podem ser desenvolvidos na escola. 
O desenvolvimento dessa habilidade acontece na medida em que se coloca 
para o aluno um apoio didático baseado em materiais concretos que representam o 
objeto geométrico em estudo. 
O material concreto permite ao indivíduo 
efetivamente ver o objeto 
e ter uma imagem visual 
do que está estudando 
e não somente ver a sua 
imagem mental por meio da 
imaginação, ou seja, na tela 
mental da sua cabeça. 
Habilidade da Visualização: um Conjunto de Operações Cognitivas e Ações 
Mentais
Você sabia que ao visualizar objetos geométricos, o indivíduo passa a 
mobilizar um conjunto de operações cognitivas, isto é, de ações mentais, 
relacionadas à habilidade da visualização e exigidas no tratoda Geometria?
Conheça a seguir alguns exemplos dessas operações mentais.
Apresentam-se a seguir, as operações mentais envolvidas na habilidade de 
visualização e mais importantes para a aprendizagem em Geometria.
a) Identificar uma determinada figura plana, isolando-a dos demais elementos 
de um desenho. Por exemplo, o aluno reconhecer uma face quadrada em 
um cubo, quando este se apresenta em um desenho em perspectiva, como 
aqueles na Figura 1(a), no texto anterior.
b) Reconhecer que as formas geométricas de um objeto são independentes de 
suas características físicas, tais como tamanho, cor e textura. Por exemplo, o 
aluno, ter a sua frente os desenhos de três quadrados de mesmo comprimento 
de lado, pintados nas cores laranja, vermelha e verde e perceber que as três 
figuras têm o mesmo tamanho. Ou seja, o aluno não se deixar influenciar 
pela aparência visual do objeto de cor laranja, o qual parece ser maior, pois 
esta cor é mais significativa para a percepção visual e, por isso chama mais 
a atenção para o objeto.
c) Identificar um objeto, ou um desenho, quando apresentado em diferentes 
posições. Por exemplo, como no caso da Figura 2, o aluno reconhece a forma 
de uma figura quadrada em qualquer posição sobre uma folha de papel, 
mesmo que a figura não esteja com os lados paralelos às bordas da folha. 
21
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
d) Produzir imagens mentais de um objeto e visualizar suas transformações e 
movimentos, mesmo na sua ausência visual. Por exemplo, no caso em que o 
aluno percebe que movimenta, na sua imaginação e até mesmo com os olhos 
fechados, a figura de um cubo.
e) Relacionar um objeto a uma representação gráfica ou a uma imagem desse 
objeto. Por exemplo, no caso em que o aluno relaciona o objeto que está 
vendo a um desenho, ou a uma foto deste objeto, ou a uma representação em 
raio-X, ou a um outro tipo de representação virtual (computadorizada) deste 
objeto. 
f) Relacionar vários objetos, representações gráficas ou imagens mentais entre 
si. Por exemplo, no caso em que o aluno é capaz de relacionar vários objetos 
(que está vendo) a diversos tipos de representações desse objeto: como um 
desenho no papel, uma pintura em um quadro, fotos, desenhos na tela do 
computador etc.
g) Comparar vários objetos, suas representações gráficas e suas imagens para 
identificar diferenças e regularidades entre eles. Por exemplo, como na 
Figura 3, no caso em que o aluno reconhece um indivíduo, quando lhe são 
apresentadas suas fotos em vários tamanhos, ou quando o retratam em 
diferentes fases da vida, ou também o reconhece em charges e caricaturas.
FIGURA 2 – Reconhecendo uma forma geométrica em diferentes posições
FIGURA 3 – Comparando e reconhecendo diferenças e regularidades
22
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Resumo das Principais Operações Mentais Envolvidas na Visualização em 
Geometria
a) Identificar uma determinada figura plana, isolando-a dos demais 
elementos de um desenho. 
b Reconhecer que as formas geométricas de um objeto são independentes 
de suas características físicas, tais como tamanho, cor e textura. 
c) Identificar um objeto, ou um desenho, quando apresentado em diferentes 
posições. 
d) Produzir imagens mentais de um objeto e visualizar suas transformações 
e movimentos, mesmo na sua ausência visual. 
e) Relacionar um objeto a uma representação gráfica ou a uma imagem 
desse objeto.
f) Relacionar vários objetos, representações gráficas ou imagens mentais 
entre si. 
g) Comparar vários objetos, suas representações gráficas e suas imagens 
para identificar diferenças e regularidades entre eles. 
Como tem sido mostrado por psicólogos e como 
se verá durante este estudo, 
a habilidade da visualização 
possui uma peculiaridade 
muito importante para a 
Educação: o potencial de 
visualização individual varia 
de sujeito para sujeito, o que 
demanda um aprendizado 
especial, a fim de que cada 
sujeito possa atingir os níveis 
de ensino matemáticos 
mais avançados. Esta 
peculiaridade é muito 
importante de ser 
considerada na escola 
e, até mesmo no 
ensino universitário, 
principalmente nas 
disciplinas relacionadas 
ao Cálculo e à Geometria 
Analítica (PRESMEG, 
1997).
QUESTIONAMENTO AO LEITOR
Tente responder aos questionamentos apresentados com muita calma e, 
conforme você vá lendo este volume, volte a analisar as suas respostas. 
Nos textos que se seguem, provavelmente você encontrará todas as 
respostas desejadas.
a) Observe atentamente o desenho apresentado na Figura 4. Ele foi criado, 
em 1915, por um cartunista famoso chamado W. E. Hill, mas nele é difícil 
saber o que se deve ver. O que você acha que vê nele? 
b) Você vê a figura de uma mulher? Ela é jovem ou velha?
c) Observe novamente o desenho. Você continua a ver somente uma figura 
de mulher?
d) Mostre o desenho para alguma outra pessoa, mas não comente com 
ela sobre o que você viu. Peça que lhe descreva o que ela vê. Analise 
atentamente o que ela descreve.
23
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
e) Ela observou as mesmas fi guras que você? Em que ordem ela viu essas 
fi guras? Descreva as suas observações.
FIGURA 4 – Uma Figura Intrigante
Frente à habilidade da visualização não ser inata a todos os indivíduos, isto 
é, ao nascer cada ser humano apresenta uma capacidade diferente para visualizar, 
essa diferença acarreta a existência de indivíduos visualizadores e de indivíduos 
não-visualizadores. Se os profi ssionais não estiverem conscientes desse fato podem 
surgir grandes confl itos na escola, pela confrontação de alunos visualizadores e 
professores não-visualizadores e vice-versa.
Um outro obstáculo ao bom relacionamento entre alunos e professores pode 
surgir em sala de aula e ele está relacionado à origem e ao signifi cado dos objetos 
geométricos. É importante ressaltar um fator para o qual poucos profi ssionais estão 
atentos: a existência de uma ambigüidade relacionada à origem e à natureza dos 
objetos geométricos, a qual frequentemente se apresenta no ensino da Geometria. 
Como se verá mais a frente, na segunda parte deste volume, embora os 
objetos geométricos tenham tido sua origem histórica no mundo físico, atualmente 
são considerados abstrações matemáticas que necessitam de uma linguagem para 
serem expressados e, portanto, representados. Ou seja, para os matemáticos não 
há dúvidas de que os elementos geométricos (ponto, reta, plano, sólidos etc.) 
pertençam ao mundo das idéias matemáticas e necessitam de representações 
gráfi cas, isto é, necessitam de signos, sinais, desenhos etc. para serem percebidos. 
24
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Na escola, essa mudança de concepção filosófica sobre os objetos 
geométricos se mostra como um fator perturbador ao entendimento do significado 
das definições geométricas, as quais se apresentam como uma grande dificuldade 
para os alunos, que não percebem os objetos geométricos como abstrações. 
Vale ainda lembrar que, no processo de aprendizado do ser humano 
desde tenra idade, as crianças pequenas percebem o espaço a sua volta por 
meio do conjunto de seus sentidos, isto é, o conhecimento dos objetos resulta 
de um contato direto com os mesmos por meio da visão, do olfato, do paladar, 
do tato e da audição. Disso decorre que é a partir do contato com as formas do 
objeto, através da visão das cores do material de que ele é composto, bem como 
da percepção da sua textura pelo tato e sua manipulação, que tem origem a 
construção de uma imagem mental a qual permitirá à criança a evocar o objeto 
na sua ausência. Assim, a criança vai formando um conjunto de imagensmentais 
que representam o objeto, as quais são envolvidas no raciocínio. 
É a partir da observação do real, que a criança poderá vir a representar 
com sucesso, o objeto geométrico observado, na forma de um esboço gráfico ou 
de um modelo concreto.
Na sala de aula, é importante que o professor esteja atento para o fato 
de que, no caso do aluno necessitar visualizar um objeto geométrico, um modelo 
concreto desse objeto pode servir de representação visual para gerar uma imagem 
mental. Esta primeira imagem dá partida a um processo de raciocínio visual no 
qual, dependendo das características do objeto, o aluno recorre à habilidade da 
visualização para executar diversas operações mentais, as quais geram outras 
imagens mentais ou representações do objeto. Essas representações podem ser 
expressadas por meio de um desenho ou de outro modelo concreto do objeto 
geométrico em questão. 
É por essa razão que a utilização de uma grande variedade de modelos 
concretos representantes de uma mesma idéia geométrica pode auxiliar o aluno 
a reconhecer que algumas propriedades do objeto geométrico transcendem suas 
propriedades materiais, tais como tamanho, cor e textura e, portanto, pertencem 
ao mundo ideal da Geometria. 
Como se levar tudo isso para a sala de aula, é o que se pretende 
apresentar nos textos que se seguem.
Assim, a maior parte dos estudantes, e 
até mesmo professores 
do Ensino Básico, não 
aceitam que ao observarem 
o desenho de uma figura 
geométrica no livro-texto, 
ou no quadro-negro, ou até 
mesmo a imagem na tela 
do computador, estão, na 
realidade, vendo apenas 
uma representação do 
objeto geométrico, que é 
um conceito abstrato.
Embora a maioria das representações dos 
objetos geométricos seja 
perceptível visualmente, 
é importante não se 
confundir a habilidade 
da visualização, isto é, a 
habilidade de se perceber o 
objeto geométrico em sua 
totalidade, com a percepção 
sensorial das diferentes 
representações disponíveis 
desse objeto. Ou seja, não 
confundir ver com os olhos 
da mente (visualizar) e ver 
o objeto (imagem real) por 
meio do aparato sensorial, 
principalmente daquele 
advindo das imagens visuais 
geradas por um desenho, 
sinais, fotos, traçados 
gráficos computadorizados 
etc. 
Uma boa utilização didática dos materiais 
concretos, ao contrário 
do que muitos professores 
consideram, pode propiciar 
uma economia de tempo no 
andamento da sala de aula, 
pois possibilita ao aluno não-
visualizador alcançar mais 
facilmente os resultados 
geométricos e ultrapassar os 
seus desafios. 
25
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
TEXTO 3
OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E O ENSINO DA 
GEOMETRIA
Nos dias de hoje, os Parâmetros Curriculares Nacionais constituem os 
principais documentos orientadores da formação do professor e das ações didáticas 
voltadas para a escola básica, ou seja, para os Ensinos Fundamental (PCN, 1° e 2° 
Ciclos; 3° e 4° Ciclos - BRASIL, 1998) e Médio (PCNEM - BRASIL, 2000). 
Publicados em meados da década de 1990, esses parâmetros foram elaborados 
conjuntamente por um grupo de educadores no âmbito dos órgãos governamentais, 
buscando transformá-los na principal referência para o trabalho didático a ser 
realizado nas escolas, tanto nas da rede pública como nas particulares.
Esses documentos apresentam características de grande abrangência, 
pois além de sintetizarem as diretrizes didáticas para o trabalho nas disciplinas 
tradicionais Língua Portuguesa, Matemática, Ciências Naturais, Geografia e História, 
também norteiam outras mais inovadoras nas áreas das Artes, Educação Física e 
Língua Estrangeira. As diretrizes de cada disciplina específica ainda são permeadas 
por orientações advindas dos chamados Temas Transversais, os quais englobam 
conteúdos que podem ser abordados em todas as outras disciplinas. 
Desta forma, esses documentos enfatizam a necessidade de se relacionar 
os temas específicos do âmbito de cada disciplina a outros pertencentes as mais 
diversas áreas, considerando como prioritária a educação para a cidadania. Como 
conseqüência, entende-se que os aspectos disciplinares específicos deverão 
perpassar toda a formação do educando, embasando também os aspectos éticos e 
sócio-culturais que lhes permitirão entender melhor a si mesmo e ao mundo à sua 
volta em sua diversidade e complexidade. 
É importante observar que esses documentos consideram a Matemática 
como um conjunto de conhecimentos dinâmicos, construídos historicamente pela 
reflexão e pela experiência humana, na interação constante entre o meio ambiente 
e os contextos social e cultural. 
26
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Em busca do desenvolvimento escolar para a melhoria do ensino da Matemática tais 
parâmetros apresentam um conjunto de habilidades e competências que o aluno 
necessita desenvolver, e o professor tomar como base para sua prática didática 
e para o planejamento de suas aulas. Em PCNEM (BRASIL, 1998, p. 46) pode ser 
encontrada uma listagem das habilidades e competências desenvolvidas pelo ensino 
da Matemática para a escola básica.
Principais Características da Matemática, segundo os PCN
“A Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar 
no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber, como um fruto 
da construção humana na sua interação constante com o contexto 
natural, social e cultural. Esta visão opõe-se àquela presente na maioria 
da sociedade e na escola que considera a Matemática como um corpo 
de conhecimento imutável e verdadeiro, que deve ser assimilado pelo 
aluno. 
A Matemática é uma ciência viva, não apenas no cotidiano dos cidadãos, 
mas também nas universidades e centros de pesquisas, onde se verifica, 
hoje, uma impressionante produção de novos conhecimentos que, a par de 
seu valor intrínseco, de natureza lógica, têm sido instrumentos úteis na 
solução de problemas científicos e tecnológicos da maior importância.
Em contrapartida, não se deve perder de vista os caracteres especulativo, 
estético não imediatamente pragmático do conhecimento matemático 
sem os quais se perde parte de sua natureza.
Duas forças indissociáveis estão sempre a impulsionar o trabalho em 
Matemática.
De um lado, o permanente apelo das aplicações às mais variadas 
atividades humanas, das mais simples na vida cotidiana, às mais 
complexas elaborações de outras ciências. De outro lado, a especulação 
pura, a busca de respostas a questões geradas no próprio edifício da 
Matemática. A indissociabilidade desses dois aspectos fica evidenciada 
pelos inúmeros exemplos de belas construções abstratas originadas em 
problemas aplicados e, por outro lado, de surpreendentes aplicações 
encontradas para as mais puras especulações” 
(BRASIL, 1998, p. 24. http://www.im.ufrj.br/licenciatura/PCNmat-ensfund-
pag.pdf).
Os Parâmetros consideram a ciência 
Matemática como um 
conjunto de conhecimentos 
que se renovam e ampliam a 
cada dia, e cujas aplicações, 
no cotidiano, nas Ciências 
e Tecnologia são de grande 
importância. Ou seja, 
consideram a Matemática 
como um conjunto 
de saberes dinâmicos, 
contrapondo-os àqueles 
acabados e enclausurados 
em si mesmo. 
27
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
Objetivos do Ensino da Matemática
Resumidamente, o ensino de Matemática deve levar o estudante do Ensino 
Básico a desenvolver habilidades e competências, tornando-o apto para:
• planejar ações e projetar soluções para problemas novos, que exigem 
iniciativa e criatividade; 
• compreender e transmitir idéias matemáticas, por escrito ou oralmente, 
desenvolvendo a capacidade de argumentação; 
• usar independentemente o raciocínio matemático, para a compreensãodo meio ambiente; 
• interpretar matematicamente situações do cotidiano ou do mundo 
tecnológico e científico; 
• avaliar resultados obtidos na solução de situações-problema considerando 
se elas são adequadas; 
• fazer estimativas mentais de resultados ou cálculos aproximados; 
• saber usar o pensamento aritmético, incluindo a aplicação de técnicas 
básicas de cálculo, regularidade das operações etc.; 
• saber empregar o pensamento algébrico, incluindo o uso do conceito de 
função e de suas várias representações, na forma de gráficos, tabelas, 
fórmulas etc.; 
• saber utilizar os conceitos fundamentais relativos a grandezas e medidas 
em situações concretas; 
• reconhecer regularidades e semelhanças entre formas, conhecer as 
propriedades das figuras geométricas planas e sólidas, relacionando-
as com objetos de uso cotidiano, desenvolvendo progressivamente o 
pensamento geométrico; 
• utilizar o pensamento estatístico e probabilístico, incluindo noções de 
combinatória e o tratamento de dados; 
• estabelecer relações entre os conhecimentos da aritmética, álgebra, 
geometria, grandezas e medidas, combinatória, estatística e proba-
bilidade, para resolver problemas, integrando esses saberes, enriquecendo 
a interpretação do problema e encarando-o sob vários pontos de vista.
28
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Fundamentalmente, tais documentos têm por objetivo maior levar à escola 
básica condições didáticas que permitam a melhoria da qualidade de ensino. Na busca 
de tal melhoria, a Geometria ocupa uma posição especial no ensino da Matemática. 
Essa perspectiva permite que situações, há muito estabelecidas para a Geometria 
escolar, venham, aos poucos, se modificando. Além de incentivar a inclusão 
curricular dos conteúdos geométricos, esses parâmetros oferecem orientações 
específicas sobre a importância de se apresentar aos alunos os relacionamentos 
entre formas geométricas e suas relações em situações de problemas cotidianos. 
Portanto, nos últimos tempos, tem sido quase um consenso geral que o estudo 
da Geometria auxilia a criança a organizar o pensamento para a resolução de 
problemas, através da visualização e da análise das propriedades características de 
modelos geométricos que representam os objetos do mundo à sua volta. As formas 
ou padrões geométricos podem servir como os padrões mais elementares para muitos 
tipos de fenômenos da vida cotidiana.
Embora exista uma intensa relação entre as formas geométricas e o mundo 
ambiente, até há bem pouco tempo, nas aulas de Geometria, quase não se dava 
atenção ao seu estudo. Quando estas eram estudadas, mesmo nas séries do Ensino 
Fundamental, a ênfase era colocada nas relações métricas de cálculo de medidas de 
comprimento de lados ou de medidas de áreas e de volumes. 
Os parâmetros, mesmo nos documentos destinados ao Ensino Fundamental, 
buscam reverter esta situação ao apontarem como o aluno deve entender o papel 
da Matemática e como pode ser estimulado a valorizá-la como um instrumental para 
compreender o mundo à sua volta. Para tanto, deve ser incentivado a vê-la como 
uma área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de 
investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. Nesta 
direção, aos primeiros anos escolares cabe levar o aluno a desenvolver atitudes 
de segurança com relação à própria capacidade de construir conhecimentos 
matemáticos, de cultivar a auto-estima, de respeitar o trabalho dos colegas. Os 
parâmetros valorizam o papel do professor para a construção desse conhecimento 
na forma de um saber escolar ao colocarem explicitamente que: 
“o conhecimento matemático formalizado precisa, necessaria-
mente, ser transformado para se tornar passível de ser ensinado/
aprendido; ou seja, a obra e o pensamento do matemático 
teórico não são passíveis de comunicação direta aos alunos. 
Essa consideração implica rever a idéia, que persiste na escola, 
de ver nos objetos de ensino cópias fiéis dos objetos da ciência” 
(BRASIL, 1998, p.30).
As razões históricas que levaram a esta 
situação na escola serão 
intensamente tratadas nos 
textos seguintes. Nestes, 
se verá que durante as 
décadas de 1960 a 1980, 
nos tempos do chamado 
Movimento da Matemática 
Moderna, a Geometria 
Euclidiana foi, no currículo 
escolar, relegada a um 
segundo plano, até mesmo 
na Escola Básica, tendo 
sido privilegiado o uso das 
linguagens matemáticas 
simbólicas em detrimento 
do uso de figuras e 
desenhos.
29
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
No âmbito do Ensino Médio, os parâmetros também são coerentes ao 
apontarem para o valor formativo da Matemática, considerando o seu papel 
estruturador do pensamento e do raciocínio dedutivo, e também ao enfatizarem o 
seu papel instrumental, pois a consideram ser uma ferramenta para a vida cotidiana 
e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas. Além disso, 
apontam para o seu papel como ciência:
“[...]. Contudo, a Matemática no Ensino Médio não possui apenas 
o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista 
como ciência, com suas características estruturais específicas. É 
importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações 
e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir 
novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para 
validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. (BRASIL, 
2000, p. 40).
Como conseqüência desta busca da revisão do papel da Matemática na 
escola, em nossos dias, há um renascer da postura escolar frente às representações 
gráficas, as quais são consideradas cada vez mais importantes para o entendimento 
dos conceitos matemáticos e da realidade virtual advinda dos meios computacionais. 
Como bem fica sinalizado nos PCN:
“No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: 
um consiste em relacionar observações do mundo real com 
representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste 
em relacionar essas representações com princípios e conceitos 
matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande 
importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a ’falar’ 
e a ‘escrever’ sobre Matemática, a trabalhar com representações 
gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e 
tratar dados” (BRASIL, 1998, p. 19).
Por outro lado, os parâmetros do Ensino Médio também dão especial 
atenção às potencialidades da habilidade da visualização e de suas relações com as 
habilidades para o desenho, para a argumentação lógica e de sua aplicação na busca 
de soluções para problemas. Tais relações podem ser desenvolvidas com um trabalho 
adequado em Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades 
geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. Os 
PCNEM consideram que:
“essas competências são importantes na compreensão e ampliação 
da percepção de espaço e construção de modelos para interpretar 
questões da Matemática e de outras áreas do conhecimento. De 
fato, perceber as relações entre as representações planas nos 
desenhos, mapas e na tela do computador com os objetos que 
30
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
lhes deram origem, conceber novas formas planas ou espaciais e 
suas propriedades a partir dessas representações são essenciais 
para a leitura do mundo através dos olhos das outras ciências, em 
especial a Física” (BRASIL, 2000, p. 44).
No questionamento que se segue apresenta-se uma atividade que pode 
ajudar o leitor a relacionar diversos aspectos da habilidade da visualização à 
Psicologia e às Artes em uma visão de interdisciplinaridade como a preconizada 
pelos parâmetros aqui considerados. 
Sob essas perspectivas,conforme apresentado 
em muitos livros didáticos 
destinados ao Ensino 
Básico e aos cursos de 
formação de professores, 
uma grande variedade de 
representações gráficas tem 
sido amplamente utilizada 
nas salas de aula. Essa 
utilização visa a motivar 
o aluno a observar com 
mais atenção desenhos, 
diagramas, gráficos e tabelas, 
e também a vivenciar 
situações interdisciplinares, 
que permitam relacionar 
a Matemática às Artes, 
às Ciências e às novas 
tecnologias relacionadas às 
imagens. 
QUESTIONAMENTO AO LEITOR
a) Nos últimos 30 anos o ilustrador holandês Maurits Cornelis Escher tem 
tido as suas obras muito divulgadas no Brasil. Você conhece alguma obra 
desse artista? As obras de Escher podem ser encontradas na Internet na 
página ofi cial da Fundação M. C. Escher (www.mcescher.com). Visite a 
página e procure estas obras antes de continuar a leitura deste texto.
b) Busque três destas obras e faça uma breve análise sobre o que você acha 
que elas representam. 
c) Busque as fi guras denominadas de Belvedere (1958) e Queda de 
Água (1961). Observe-as atentamente. Você acha que os edifícios 
representados nestes desenhos foram realmente construídos? 
d) O desenho na Figura 5 representa um esquema gráfi co muito interessante, 
chamada de grade louca, segundo o autor Bruno Ernst (1991, p. 87).
e) Utilizando ripas de madeira, tente construir um objeto que represente esta 
grade. Você conseguiu? Analise e faça uma descrição do seu procedimento 
para a construção.
f) Agora, tente montar a grade utilizando tiras de papel. O que aconteceu? 
Conseguiu? 
FIGURA 5 – Mais uma Figura Intrigante
31
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
g) E se você utilizasse palitos de madeira, como aqueles usados nos picolés, 
perfurados nas extremidades e ligados pelos furos, por algum tipo de 
grampo de papel, sendo os do tipo “bailarina” os mais indicados? Você 
conseguiria fazer?
h) Nestes dois últimos casos, você obteve um objeto concreto que 
aparentemente é uma figura espacial, ou ele se parece mais com uma 
figura plana? Você acha que este objeto realmente reapresenta a 
profundidade da grade louca? 
i) Você acha que a grade louca tem alguma relação com a figura Belvedere 
de Escher? 
j) Você acha que a figura Belvedere tem alguma relação com o desenho da 
mulher apresentado no quadro anterior? Descreva as suas conclusões.
CONSIDERAÇÕES SOBRE O QUESTIONAMENTO AO LEITOR
Você, caro leitor, pode estar com muitas dúvidas sobre os questionamentos 
que lhe foram feitos ao longo dos textos anteriores. Agora tente acompanhar as 
considerações que se seguem, revendo as respostas que você elaborou.
Você deve ter realizado as atividades relacionadas à Figura 4, na qual 
encontrou um desenho do tipo ilusão de ótica. Saiba que, na prática do LEG, tem sido 
observado que frente a esse desenho, a maioria das pessoas percebe inicialmente os 
traços de uma figura de mulher jovem e, em segundo lugar, a de uma velha, sendo 
muito raros os sujeitos que observam tais figuras em ordem inversa, ou, ainda, 
aqueles que não conseguem observar as duas. Além disso, também se constata que 
os sujeitos podem apresentar intervalos de tempo variados para perceberem estas 
duas figuras. 
A partir dessa atividade, podem-se resumir as particularidades de duas 
características psicológicas importantes da habilidade da visualização. Tais 
características são pouco consideradas e necessitam ser lembradas e, portanto, você 
deve trabalhá-las didaticamente quando optar pelo uso dos desenhos de ilusão de 
ótica em sala de aula. 
E você leitor, qual foi o resultado da sua 
observação?
32
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Você sabia que o desenho com figuras de ilusão de ótica foi divulgado no 
Brasil, durante a década de 1980, principalmente por meio de gravuras do ilustrador 
holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972)? 
As obras deste artista são hoje amplamente conhecidas, pois ilustram livros 
escritos por matemáticos, físicos, químicos e filósofos, como também aparecem em 
trabalhos de educadores e em livros didáticos, encantando professores e alunos em geral. 
Nos meios relacionados à Matemática, chamam à atenção, principalmente 
aquelas obras criadas pelo artista cujos traçados têm como base desenhos de figuras 
matemáticas ou cujos traços foram concebidos aparentemente segundo as regras do 
desenho em perspectiva. Exemplos do primeiro tipo de traçados encontram-se em 
extensas séries de litografias baseadas na Faixa de Möbius, mas é nos desenhos de 
Sólidos Platônicos, envolvendo elementos de uma perspectiva impossível, que se 
encontram as obras mais interessantes do ponto de vista da ilusão de ótica. Você 
conhece essas obras?
Nos meios educacionais, têm sido muito divulgadas as gravuras de duas 
de suas litografias: Belvedere (1958) e Queda de Água (1961). Estes desenhos, 
como pode ser constatado em um livro escrito pelo próprio artista, Escher on 
Escher: Exploring the Infinite, representam o impossível como realidade, nas formas 
de objetos tridimensionais, cujos traçados têm por base figuras bidimensionais 
(ESCHER, 1989, p. 77-79). 
A litografia Belvedere tem por fundamento um esboço gráfico que 
aparentemente parece representar um cubo desenhado em perspectiva. Para 
que você possa entender melhor essa obra de Escher, é necessário que observe 
atentamente os desenhos (a), (b) e (c) da Figura 6. 
Características Psicológicas Importantes da Visualização
•	 Nem todos os sujeitos percebem as mesmas configurações de traços 
sobre o plano de fundo de uma mesma figura. 
•	 Os sujeitos apresentam diferentes intervalos de tempo para estabelecer 
as suas percepções a partir de uma mesma figura. 
Foram os desenhos do físico e matemático 
Roger Penrose (1931- ) e 
de seu pai, o matemático 
Lionel. S. Penrose, 
que fascinaram Escher 
e definitivamente 
influenciaram a sua arte 
na direção do emprego da 
ilusão de ótica para a criação 
de mundos impossíveis. 
Você pode encontrar 
uma grande variedade de 
desenhos de ilusão de ótica 
e do tipo daqueles que 
inspiraram a Escher na 
página da Internet http://
brisray.com/optill/oreal.
htm. Vale ainda lembrar 
que a página oficial da 
Fundação M. C. Escher é 
www.mcescher.com, e que 
o livro O Espelho Mágico 
de M. C. Escher (ERNST, 
1991) encontra-se traduzido 
em língua portuguesa e 
apresenta uma extensa 
análise da obra do artista.
33
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
O esquema (a) representa um cubo em perspectiva, enquanto que (b) e 
(c) são desenhos denominados de cubóides. Note ainda que, ao olhar o cubo (a), 
poderá observá-lo de quatro maneiras: a primeira, aceitando que os pontos 1 e 4 
estejam mais próximos e, portanto os pontos 2 e 3, mais longe. Na outra possível 
visada, acontece o contrário, ou seja, os pontos 2 e 3 estejam mais perto. Mas 
também é possível ver 2 e 4 à frente e, 1 e 3, atrás. Todavia, conforme tem sido 
constatada pela Psicologia, esta última situação “vai contra a nossa imaginação de 
um cubo e, por esta razão, não chegamos, por nós próprios, a esta interpretação” 
(ERNST, 1991, p. 86). Por outro lado, se você tentar engrossar os traços das arestas 
do cubo, dando-lhes a aparência de um certo volume, poderá perceber mais duas 
interpretações: uma delas, como no esquema (c), deixando correr a aresta A-2 antes 
da aresta 1-4 e C-4 antes de 3-2; ou ainda, um desenho, como do esquema (b).
Observe que o esquema (c) é o traçado básico para o desenho de Belvedere. 
De fato, o cubóide apresenta pares de supostas arestas cuja superposição torna 
impossível a ligação entre elas no mundo real. Tal superposição permite que a 
percepção da dimensão de profundidade seja modificadae que o artista crie a figura 
do edifício do castelo, o qual, na realidade física tridimensional e, portanto, fora do 
papel, não pode ser construído. 
a) CUBO b) CUBÓIDE c) CUBÓIDE
d) CUBO EM BELVEDERE e) CUBÓIDE DE PENROSE f) TRIBAR 
FIGURA 6 – Ilusões de Ótica e a Geometria
Segundo Ernst (1991), nos estudos prévios feitos 
para a litografia Belvedere, e 
realizados em 1958, Escher 
chamou este edifício de 
casa-fantasma. No entanto, 
como a atmosfera do 
desenho final não tinha em 
si nada de fantasmagórico, 
o artista mudou o nome da 
litografia. Cabe considerar 
que, fantasmagórico ou não, 
a arquitetura do edifício 
do castelo é, de qualquer 
maneira, impossível. 
34
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Você talvez não tenha percebido, mas em Belvedere, esta situação é 
completamente clara, pois embora o desenho pareça como a representação de um 
prédio, na realidade concreta, não se pode ter nenhum edifício, como o que está 
ali representado. No entanto, este aparente enigma gráfico é tão ilustrativo, que 
apresenta a sua resposta na parte inferior da própria litografia: na forma dos traços de 
uma figura colocada nas mãos de um jovem pensativo. Você chegou a perceber isso?
É nessa figura, cuja forma é a de um aparente cubo, que se encontra a pista 
para o enigma da gravura Belvedere. 
Antes de analisar esta forma de cubo em relação à gravura, cabe, no 
entanto, uma olhada mais acurada à sua parte central. Nesta vê-se uma escada 
de mão que parece estar dentro do edifício e ao mesmo tempo encostada às suas 
paredes exteriores. A escada está desenhada completamente reta e, no entanto, a 
sua extremidade superior está encostada contra a parede exterior do pavilhão do 
edifício, enquanto que a extremidade inferior está dentro dele. Observe que, se um 
sujeito estivesse em pé no degrau do meio da escada, não poderia dizer se estaria 
dentro ou fora do edifício, pois visto de baixo, o mesmo sujeito estaria claramente 
dentro do pavilhão, visto de cima, claramente fora dele.
Por outro lado, se o desenho do pavilhão for cortado horizontalmente ao 
meio, verifica-se que ambas as metades são completamente normais. Note que, é 
na combinação, como se fora uma justaposição destas duas partes, que se encontra 
a impossibilidade da construção tridimensional e, portanto, real do pavilhão 
Belvedere. 
O jovem que aparece sentado no banco, aparentemente parece meditar 
sobre a combinação impossível destas duas partes ao observar o modelo que segura 
nas mãos. Observe que este modelo apresenta o traçado de um aparente cubo, isto é, 
um cubóide devido a Penrose, cujo lado superior é ligado ao inferior, de uma forma 
impossível, por meio de arestas muito estranhas. Observe novamente a Figura 6(e). 
Um Desenho que não Corresponde a um Objeto da Realidade
Considerando que todos os desenhos das representações da realidade 
tridimensional são tidos como uma projeção sobre o plano do papel, no 
exemplo da litografia do Belvedere tem-se um caso de uma representação 
desenhada no plano que não é a projeção da realidade tridimensional. 
Ou seja, esse desenho não corresponde a nenhum objeto criado por um 
ser humano ou existente na natureza. 
35
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
É mesmo impossível se segurar na mão um cubóide, pois, simplesmente, 
este não pode existir no espaço da realidade, na forma de uma construção material. O 
jovem, no entanto, teria como encontrar a solução para o enigma da construção das 
duas partes do pavilhão, e das colunas que as ligam, se observasse cuidadosamente 
o desenho que está no chão, em frente a ele e a seus pés. Pois, este desenho 
desvela o segredo do cubóide relativamente à posição das colunas do Belvedere, ao 
apresentar indicadas as superposições possíveis das arestas no desenho, as quais 
são, no entanto, impossíveis de serem realizadas em uma construção material real. 
Observe a Figura 6(d).
Ao tentar criar o objeto correspondente à grade a partir do desenho, você 
pode ter observado que: mesmo ao lidar com as tiras de papel ou com palitos de 
picolé, cuja espessura aparentemente não é relevante para a construção da grade, 
o objeto construído na realidade espacial não foi fiel ao esperado. Tudo isso, sem 
contar a possibilidade de quebra dos palitos, ao tentar conectá-los em planos 
diferentes. 
De fato, você deve ter percebido que os objetos construídos para representar 
a grade, não apresentam a característica tridimensional relativa à profundidade, 
ainda que as suas arestas apresentem posições coerentes com as do desenho.
Você gostou das atividades envolvendo a observação da figura com os traços 
das duas mulheres, a da construção frustrada e impossível da profundidade da grade 
louca, e o da observação da gravura do Belvedere de Escher?
Embora essa atividade de construção concreta da grade louca como 
figura plana, já tenha sido realizada com sucesso por adolescentes com cerca de 
13 anos, no LEG, tem sido observado um comportamento peculiar entre alguns 
professores em exercício e familiarizados com a obra de Escher. Ou seja, muitas 
vezes, é somente após esse exercício de construção e de representação impossível da 
profundidade, que alguns profissionais percebem a ilusão de ótica representada no 
mundo impossível da litografia Belvedere. Tal ilusão pode ser constatada na ligação 
impossível desenhada entre o piso superior e o inferior do suposto castelo. 
É somente após esta frustrada construção de um objeto espacial, 
representando a profundidade, a partir de um desenho, que muitos cursistas 
percebem que a partir de um esboço traçado no plano, nem sempre se pode construir 
um protótipo, uma maquete ou um modelo concreto daquilo que está traçado no 
plano do papel. 
E você, leitor, está lembrado da grade 
louca na Figura 5? Você 
realmente tentou construí-
la?
Agora, você deve estar se perguntando no 
que Escher se baseou para 
desenhar a outra litografia, a 
da Queda de Água. 
Analisando agora essa 
outra gravura, note que ela 
representa uma queda de 
água traçada com base no 
desenho de um triângulo, 
que aparentemente pode ser 
construído no mundo físico. 
Este desenho, denominado 
tribar, apresentado Figura 
6(f), passa a sensação de que 
os lados de um triângulo 
estão em planos diferentes. 
Aparentemente um tribar 
representa o esboço de 
um objeto que pode ser 
construído, por exemplo, 
por meio de ripas de 
madeira, cujas extremidades 
se justapõem. Todavia, da 
mesma forma que no caso do 
cubóide, tal construção, ou 
outra qualquer com algum 
tipo de material concreto, é 
impossível.
E você, leitor, ainda duvida, 
ou quer tentar construir um 
tribar? 
Observe que é a justaposição 
engenhosa de três desenhos 
do tipo tribar que permitiu a 
Escher traçar uma queda de 
água em que se apresenta uma 
ilusão de ótica. Esta permite 
ter a impressão de se ver o 
movimento contínuo de uma 
corrente de água, a mover 
uma roda de moinho. Esta 
roda parece levar a água de 
um plano para outro, do qual 
aparentemente volta a cair em 
direção ao primeiro plano. 
36
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
Ainda que a obra de Escher venha influenciando a introdução das figuras de 
ilusão de ótica nos meios educacionais e a sua ligação com a Matemática tenha sido 
uma grande inspiradora de práticas pedagógicas para o ensino dessa disciplina, as 
vivências educacionais no LEG apontam que vários aspectos relacionados à Psicologia 
têm sido negligenciados na escola. Em muitos livros didáticos e na prática de muitos 
professores esses aspectos não são considerados, no afã de apresentarem atividades 
lúdicas e motivadoras da curiosidade do aluno. Tal fenômeno acontece até mesmo 
em livros destinadosao ensino superior e aparentemente, a maioria dos profissionais 
desconhece que tais características psicológicas podem ser desenvolvidas no ensino 
da Geometria, com o trabalho didático a partir da aplicação desses desenhos tão 
instigantes.
Saiba que, as atividades didáticas aqui consideradas também têm 
incentivado muitos professores a uma mudança de postura profissional: alguns 
declaram que após realizá-las se tornaram mais pacientes e passaram a ser mais 
tolerantes com seus alunos, buscando evitar conflitos desnecessários à sala de aula, 
principalmente aqueles estabelecidos entre o professor que visualiza rapidamente 
formas geométricas e o aluno que não apresenta a mesma maestria, e vice-versa. 
As atividades aqui apresentadas efetivamente auxiliam na transposição 
dos desafios à convivência, em sala de aula, de indivíduos visualizadores e não-
visualizadores.
Cabe lembrar que nem todos os alunos apreciam figuras instigantes 
e artisticamente elaboradas, como as apresentadas na obra de Escher, pois 
tais gravuras, nem só provocam a curiosidade, mas podem também produzir 
estranhamento e emoções negativas. Nesses casos, as características artísticas das 
figuras deixam de ser um fator positivo para o alcance dos objetivos educacionais e 
passam a servir como um elemento de dispersão e de distração para o aluno. 
No caso de grupos de estudantes mais 
sensíveis e dispersivos, é 
aconselhável se trabalhar 
com figuras menos 
elaboradas, como, por 
exemplo, a da ilusão de 
ótica com os traços das duas 
mulheres, ou outras mais 
simples e mais geométricas, 
como aquelas que você, 
leitor, já deve ter visto em 
http://brisray.com/optill/
oreal.htm. 
Se quiser mais informações sobre os 
temas ligados às figuras 
de ilusão de ótica veja em 
Kaleff (2007 a).
37
Parte 1 | Unidade 1 – A Habilidade da Visualização Frente à Sala de Aula de Geometria e os Parâmetros Curriculares Nacionais
RESUMO DA UNIDADE
Nessa unidade você viu que:
• O trabalho didático sobre as representações gráficas e os objetos que 
representam, fica mais objetivo e produtivo quando se levam em conta as inter-
relações cognitivas enfatizadas pela Psicologia, entre as figuras de ilusão de 
ótica e o desenvolvimento da habilidade da visualização.
• O trabalho pedagógico cuidadoso com este tipo de figuras pode ir muito além 
da simples mediação lúdica e curiosa, podendo tornar o ensino das representações 
geométricas mais ameno e significativo. 
• Ao se quebrar a ilusão de que todos os educandos possuem igualmente as 
mesmas características cognitivas da habilidade da visualização, abrem-se 
caminhos mais amplos para a aquisição individual e para o desenvolvimento do 
conhecimento nas salas de aula de Matemática.
• Respeitada a individualidade do educando tem-se chance de um sucesso maior 
na sala de aula. 
• Nem tudo que se desenha pode ser construído na realidade do mundo concreto 
e espacial.
Unidade 2
A Aprendizagem 
Significativa da Geometria 
e o Desenvolvimento do 
Pensamento Geométrico
METAS 
Esta unidade apresenta elementos que permitem entender o 
que seja uma aprendizagem significativa em Matemática e 
como o aluno desenvolve conhecimentos em Geometria.
OBJETIVOS
Ao final desta unidade você deve:
•	 conhecer	 como	são	 tratados	os	atributos,	 conceitos	e	defi-
nições do ponto de vista de uma aprendizagem significativa 
da Geometria;
•	 ter	conhecimento	do	que	seja	o	Modelo	de	van	Hiele	do	desen-
volvimento de um conceito geométrico;
•	 saber	reconhecer	no	modelo	os	níveis	 referentes	ao	desenvol-
vimento cognitivo;
•	 conhecer	algumas	propriedades	do	Modelo	de	van	Hiele;
•	 conhecer	a	metodologia	de	ensino	adequada	ao	desenvolvimento	
dos	níveis;
•	 conhecer	 as	 características	 de	 um	 laboratório	 de	 ensino	 que	
permitem levar o aluno a uma aprendizagem significativa.
MATERIAIS UTILIZADOS
•	 Nenhum	material	especial.
40
Tópicos em Ensino de Geometria – A Sala de Aula Frente ao Laboratório de Ensino e à Historia da Geometria 
TEXTO 4
ATRIBUTOS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES EM UMA APRENDIZAGEM 
SIGNIFICATIVA DA GEOMETRIA
Considerando	 que	 os	 PCN	 apontam	 para	 o	 fato	 de	 que	 “o conhecimento 
matemático formalizado precisa, necessariamente, ser transformado para se tornar 
passível de ser ensinado/aprendido; ou seja, a obra e o pensamento do matemático 
teórico não são passíveis de comunicação direta aos alunos”	(BRASIL,	1998,	p.30),		é	
necessário	refletir	em	como	o	professor	pode	atuar	em	sala	de	aula	a	fim	de	tornar	
possível	 essa	 transformação	 didática,	 em	 um	 dos	 momentos	 mais	 importantes	 e	
delicados	da	sala	de	aula,	ou	seja,	o	do	ensino	de	uma	definição	geométrica.
É	 a	 educadora	 matemática	 israelense	 Rina	 Hershkowitz	 quem	 traz	 uma	
importante	 contribuição	 para	 a	 reflexão	 escolar	 no	 que	 se	 refere	 a	 como	 se	
trabalhar	a	introdução	dos	atributos	relacionados	a	um	conceito	geométrico	e	à	sua	
definição.	
O quadrado é um exemplo de retângulo, 
pois tem os quatro ângulos 
iguais e do fato de ter quatro 
lados iguais, também tem 
lados iguais dois a dois, 
dessa forma possui as duas 
características relevantes 
de um retângulo. No 
entanto, um retângulo é 
um não-exemplo de um 
quadrado, pois não tem 
todos os quatro lados iguais 
(característica relevante 
do quadrado), apesar de 
ter lados iguais dois a 
dois. Assim, o quadrado 
é um exemplo particular 
de retângulo, embora um 
retângulo qualquer também 
seja um não-exemplo de 
quadrado.
Atributos Relevantes de um Conceito
Ao	 se	 trabalhar	 em	 sala	 de	 aula	 um	 conceito	 geométrico	 devem	 ser	
levadas	ao	aluno	atividades	nas	quais	se	apresentem	atributos,	ou	seja,	
características	relevantes	do	referido	conceito,	bem	como	seus	atributos	
não-relevantes	(HERSHKOWITZ,	1994).	
São	considerados	atributos	relevantes	àqueles	que	aparecem	em	qualquer	
exemplo	 do	 conceito,	 isto	 é,	 são	 todos	 os	 atributos	 que	 devem	 ser	
satisfeitos	para	se	ter	um	exemplo positivo do conceito	(como	preferem	
alguns	autores,	como	Bairral	e	Silva,	2004).	Enquanto	que,	os	atributos	
não	relevantes	são	características	que	se	apresentam	em	apenas	alguns	
exemplos	do	conceito.	Esses	casos	são	chamados	de	não-exemplos. 
No	caso	da	definição	do	quadrado são	atributos	relevantes:	quatro	lados	
iguais	e	quatro	ângulos	iguais.	Por	sua	vez,	para	o	retângulo são	atributos	
relevantes: lados iguais dois a dois e quatro ângulos iguais. 
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Parte 1 | Unidade 2 – A Aprendizagem Significativa da Geometria e o Desenvolvimento do Pensamento Geométrico
Figura 
Geométrica
Atributos 
 Relevantes
Atributos 
Não-relevantes
Classificação 
Quanto aos Atributos
Quadrado
Quatro lados iguais
Quatro ângulos iguais
Lados iguais dois a 
dois
Exemplo	de	Retângulo
Retângulo
Lados iguais dois a dois
Quatro ângulos iguais
Lados	paralelos,	dois	
a dois
Não-Exemplo	de	Quadrado
Observação Importante!!!
A Definição de um Conceito como Conseqüência de um Processo Construtivo de 
Elaboração do Pensamento
Caro	 leitor,	 você	 pode	 ter	 observado	 que,	 neste	 texto,	 não	 se	 está	
tratando de contra-exemplos	e	que	este	termo	também	não	foi	utilizado.	
Como	 as	 atividades	 visam	 à construção do	 conceito	 pelo	 aluno,	 tal	
conceito	ainda	não	lhe	foi	apresentado	por	meio	de	uma	definição,	pois	
o	estudante	ainda	o	está	elaborando	em	sua	mente.	Desta	forma,	em	um	
procedimento	didático	como	o	aqui	tratado,	a	definição	de	um	conceito	
geométrico surge como conseqüência desse processo construtivo de 
elaboração.	
Leitor,	ainda	que	lhe	possa	parecer	estranho,	saiba	que	é	importante	ao	
aluno	vivenciar	experiências	que	simulem	tanto	situações	didáticas	nas	
quais	ocorram	exemplos	do	conceito	geométrico	em	que	apareçam	todos	
os	atributos	relevantes,	como	também	ocorram	também	não-exemplos,	
os	quais,	no	entanto,	devem	apresentar	apenas	alguns	desses	atributos	
relevantes.
As	pesquisas	israelenses	indicam	ser	do	confronto	entre