Apostila 2 Desenho geométrico 1- Polígonos em geral

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APOSTILA
DESENHO GEOMÉTRICO I
SUMÁRIO
1.	BREVE HISTÓRICO DOS POLÍGONOS	1
1.1.	Definição de polígonos regular	1
1.2.	Não Polígono	2
1.3.	Propriedades dos polígonos regulares	2
2.	POLÍGONOS REGULARES SIMPLES	3
2.1.	Polígonos convexos	3
3.	POLÍGONOS REGULARES COMPLEXOS	4
3.1.	Polígonos estelares	4
4.	POLÍGONOS INSCRITOS	5
4.1.	Elementos do polígono regular inscrito	5
5.	Polígono Circunscrito	7
5.1.	Elementos do Polígono Regular Circunscrito	7
6.	SEGMENTOS PROPORCIONAIS	8
6.1.	Razão	9
6.2.	Definição: Segmentos Proporcionais	10
7.	POLÍGONOS SEMELHANTES	12
7.1.	Definição	12
7.2.	Propriedades	13
8.	POLÍGONOS EQUIVALENTES	14
9.	REFERÊNCIA	16
BREVE HISTÓRICO DOS POLÍGONOS 
Surgiram na Grécia Antiga, criados pelos filósofos seguidores de Pitágoras (pitagóricos) que faziam a associação de cada polígono a um ou mais deuses gregos. Exemplo: Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.
FIGURA 1: O dodecágono associado a Zeus
FONTE: weknowyourdreams & homesolutionscn
Definição de polígonos regular 
A definição de polígono regular está atrelada à definição de polígonos. Os polígonos são formas planas fechadas limitadas por uma cadeia de segmentos de reta. Em linguagem simples, são formas fechadas e com lados retos. 
A diferença dos polígonos regulares é que todos seus lados são iguais e os ângulos formados por esses lados também são iguais. Dizemos que eles são equiláteros e equiângulos. Então, Polígono Regular é: uma figura geométrica plana que possui as seguintes características:
· É formado apenas por segmentos de reta;
· É fechado;
· Esses segmentos de reta não se cruzam.
FIGURA 2: Polígonos Regulares
 FONTE: SOS Estudante Acessória Acadêmica
 FIGURA 3: Arte com Polígonos Regulares 
FONTE: URI Online Judge
 
Não Polígono 
Uma figura que possui outro ponto de encontro entre segmentos de reta, que não seus extremos, pode ser vista como um conjunto de polígonos, mas não como um polígono único. 
FIGURA 4: Polígonos e não polígonos
FONTE: Brasil Escola
A primeira figura tem segmentos de reta que se cruzam; a segunda não é fechada; e a terceira possui uma parte circular. Essas características tornam tais figuras não polígonos. Apenas a quarta figura é considerada polígono por estar totalmente de acordo com a definição desse tipo de figura.
Propriedades dos polígonos regulares
Os polígonos regulares têm propriedades que independem de serem convexos ou estelares. Vamos conhecer algumas:
· Todos os polígonos regulares podem ser girados em torno de um eixo de simetria, e ele ainda será igual;
· Todo polígono regular pode ser circunscrito por um círculo que toca todos os seus vértices;
· Todo polígono regular tem um círculo inscrito, ou seja, um círculo que toca os pontos médios de cada lado.
POLÍGONOS REGULARES SIMPLES
Que não têm lados que se interceptam, como os Polígonos Convexos.
Polígonos convexos
 É um polígono simples (sem interseções consigo mesmo) onde nenhum segmento de reta conectando dois pontos de seu perímetro passa por fora do polígono. Equivalentemente, é um polígono simples cujo interior é um conjunto convexo. Em um polígono convexo, todos os ângulos internos são menores ou iguais a 180 graus, enquanto, que em um polígono estritamente convexo todos os ângulos interiores são estritamente menores do que 180 graus. 
FIGURA 4: Polígono Convexo
FONTE: Tietew 
Curiosidade: perceba que cada vez que aumentamos o número de lados de um polígono regular convexo, cada vez mais ele se parece com um círculo. E sim, podemos pensar no círculo como um polígono regular de infinitos lados. 
Propriedades dos polígonos convexos
Já falamos sobre a primeira propriedade dos polígonos convexos: um segmento de reta que liga dois pontos do polígono está sempre contido nele. Uma outra propriedade bem importante é que todos os ângulos internos de um polígono convexo são menores ou iguais a 180º.
POLÍGONOS REGULARES COMPLEXOS 
Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos.
Polígonos estelares
FIGURA 5: Polígonos Estelares
Já os  Polígonos Estrelas são isso mesmo que o nome diz, estrelas de várias pontas. Quando desenhamos uma estrela de cinco pontas da forma tradicional, sem tirar o lápis do papel, temos um polígono regular estelar (se 
FONTE: Brasil Escola
você conseguir fazer todos os lados e os ângulos iguais).
Perceba que os lados de um polígono estelar sempre se interceptam. No caso da estrela de cinco pontas desenhada de forma tradicional, ela é formada por um pentágono central e cinco triângulos para as pontas. Mas se você apagar as linhas que formam o pentágono no interior da estrela, você terá um polígono não regular. Isso porque os lados ainda serão todos iguais, mas os ângulos das pontas serão diferentes dos ângulos formados entre lados de duas pontas diferentes.
POLÍGONOS INSCRITOS 
São aqueles que estão no interior de uma circunferência, de modo que todos os seus vértices são pontos dela.
FIGURA 6 : Polígono Inscrito
Todos os vértices do hexágono acima também são pontos pertencentes à circunferência ao seu redor. É nessa situação que dizemos que o hexágono é inscrito na circunferência ou que a circunferência circunscreve o polígono.
FONTE: Escola Kids
Elementos do polígono regular inscrito 
Centro do polígono regular
É o centro da circunferência onde esse polígono está inscrito. Pode ser encontrado a partir do ponto de encontro entre duas mediatrizes de lados distintos do polígono.
Raio do polígono regular
É o elemento que parte do centro de um polígono regular até um de seus vértices e tem a mesma medida do raio da circunferência na qual o polígono regular está inscrito.
Apótema
É o segmento de reta que liga o centro de um polígono regular ao ponto médio de um de seus lados. A apótema sempre forma um ângulo reto com o lado do polígono que ela toca.
FIGURA 7: Exemplo de centro, raio e apótema do polígono regular
FONTE: Escola Kids
Nessa imagem, r é o raio do polígono regular inscrito, o ponto O é seu centro e o segmento a é apótema.
Propriedades
As propriedades a seguir são válidas apenas para polígonos regulares, isto é, polígonos que possuem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos congruentes.
· Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência;
· Todo polígono regular pode ser circunscrito em uma circunferência;
· As mediatrizes dos lados de um polígono regular encontram-se no centro da circunferência que o circunscreve;
Em outras palavras, se um polígono regular está inscrito em uma circunferência, as mediatrizes de seus lados encontram-se no centro da circunferência, também chamado centro do polígono inscrito. A imagem a seguir ilustra essa situação:
· Em um polígono regular inscrito em uma circunferência, todos os ângulos centrais, cujos lados são formados por dois raios consecutivos do polígono regular inscrito, são congruentes. Além disso, é possível determinar sua medida dividindo 360° pelo número de lados do polígono.
Ângulo cujos lados são raios consecutivos do polígono regular inscrito
Polígono Circunscrito 
Neste caso é o polígono que circunscreve a circunferência. Também podemos dizer, nesse caso, que a circunferência está inscrita no polígono. Observe que, para isso, todos os lados do polígono são tangentes à circunferência.
É o polígono que circunscreve a circunferência. Também podemos dizer, nesse caso, que a circunferência está inscrita no polígono. Observe que, para isso, todos os lados do polígono são tangentes à circunferência.
FIGURA 8: Polígono Circunscrito 
 É o Polígono que circunscreve a circunferência. Também podemos dizer, nesse caso, que a circunferência está inscrita no polígono. Observe que, para isso, todos os lados do polígono são tangentes à circunferência.
FONTE: Escola Kids
Elementos do Polígono Regular Circunscrito 
Centro do Polígono Regular
Oseu centro, é também o centro da circunferência;
Raio do Polígono Regular
O raio da circunferência inscrita no polígono regular é igual à apótema dele. No caso em que a circunferência estiver circunscrita, ou seja, no caso de o polígono ser inscrito, o raio da circunferência equivale ao raio do polígono.
Apótema
O Raio da Circunferência é o Apótema do polígono regular circunscrito.
FIGURA 9: Elementos dos Polígonos Regulares inscritos
FONTE: Slideshare
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Segmentos de reta- são partes da reta que possuem ponto inicial e ponto final. Dessa forma, é possível medir o comprimento de um segmento de reta, diferentemente da reta, que não possui um ponto inicial ou um ponto final. Ela é infinita.
FIGURA 10: Segmento de reta
FONTE: Mundo da Educação
Razão
Divisão entre números reais.
As razões podem ser representadas de diversas formas. A representação que será utilizada aqui é a de frações, portanto, se a razão entre os números reais A e B tiver como resultado o número C, escreveremos: 
A =C
 B       
É importante notar que razões são utilizadas para relacionar grandezas. Assim, se calcularmos a razão entre as grandezas “distância percorrida” e “tempo”, por exemplo, teremos a grandeza “velocidade média” como resultado.
Deslocamento = velocidade média
 tempo     
Quando duas razões possuem o mesmo resultado, dizemos que essas razões (ou as grandezas em que foram observadas) são proporcionais. Dessa forma, podemos estudar a proporcionalidade entre duas grandezas observando os valores delas em momentos distintos e dividindo esses valores a fim de construir uma proporção.
O mesmo vale para segmentos de reta. Ao dividir as medidas entre dois segmentos de reta, obteremos a razão entre eles.
Definição: Segmentos Proporcionais 
As medidas entre segmentos de reta são proporcionais quando a razão entre essas medidas, seguindo uma ordem preestabelecida, tem o mesmo resultado, ou seja:
Dizemos que quatro segmentos de reta são proporcionais quando a razão entre as medidas de dois deles forem iguais à razão entre as medidas dos dois restantes.
FIGURA 11: Segmentos de reta
FONTE: Mundo da Educação 
Em outras palavras, de acordo com a imagem acima, os segmentos AB, CD, EF e GH são proporcionais porque:
AB = EF =0,5
 CD    GH         
Com essa informação, é possível descobrir a medida de um dos quatro segmentos. Observe o exemplo:
FIGURA 12: Segmentos 1
FONTE: Mundo da Educação 
Caso o problema mostre de alguma forma que os segmentos são proporcionais, seguindo a mesma ordem citada anteriormente, podemos facilmente encontrar a medida do segmento AB. Para tanto, basta escrever:
AB = EF
 CD    GH
Substitua as medidas:
AB = 4
  12   16 
Como 4/16 = 0,25, devemos procurar o número que, ao ser dividido por 12, resulta em 0,25. Agora resolvemos a equação:
AB =0,25
 12          
AB = 0,25 · 12
AB = 3
Portanto, AB mede 3 centímetros.
FIGURA 13: Segmentos 2
FONTE: Mundo da Educação 
Segmentos, dois a dois, cujas razões são iguais.
POLÍGONOS SEMELHANTES
Os polígonos semelhantes são aqueles que, comparados, apresentam igualdade entre ângulos e proporcionalidade entre lados correspondentes.
Em Geometria, as figuras comparadas podem ser congruentes, semelhantes ou diferentes. Figuras congruentes são aquelas que possuem as mesmas características e o mesmo tamanho; figuras semelhantes são aquelas que possuem as mesmas características, mas tamanhos diferentes; já as figuras diferentes são aquelas que sequer possuem características parecidas.
Definição 
Dois polígonos A e B são semelhantes se os seus ângulos respectivos forem congruentes e se os seus lados correspondentes forem iguais. Logo:
Para que dois polígonos sejam semelhantes, é necessário que as medidas de seus ângulos sejam congruentes e as medidas de seus lados correspondentes sejam proporcionais.
FIGURA 14: Polígonos Semelhantes 
Observe agora que os polígonos ao lado, apesar de terem o mesmo formato, não possuem o mesmo tamanho. Isso se dá porque esses dodecágonos regulares possuem ângulos correspondentes 
FONTE: Prepara Enem
 congruentes (repare que isso significa que os ângulos do primeiro polígono possuem as mesmas medidas dos ângulos do segundo polígono) e lados correspondentes proporcionais, isto é, se dividirmos os valores dos lados do primeiro polígono pelos lados correspondentes a eles no segundo polígono, o resultado sempre será o mesmo.
Portanto, para que dois polígonos sejam semelhantes, eles devem cumprir os três requisitos seguintes:
· Possuir o mesmo número de lados;
· Possuir ângulos internos respectivos congruentes;
· Possuir lados correspondentes proporcionais.
Propriedades
A respeito dos polígonos que se enquadram nesses requisitos, existem duas propriedades básicas:
Propriedade 1 – Dois polígonos congruentes são também semelhantes. Se dois polígonos são congruentes, eles já possuem o mesmo número de lados, além de possuírem ângulos internos respectivos congruentes e lados correspondentes congruentes. Como os lados são correspondentes, a divisão entre eles sempre dará 1, independentemente do tamanho dos lados. Portanto, esses lados são proporcionais, o que classifica os polígonos como semelhantes.
Propriedade 2 – Dois polígonos semelhantes possuem perímetros e diagonais proporcionais às medidas de dois lados correspondentes. Observe essa propriedade no exemplo seguinte:
FIGURA 15: Polígonos Semelhantes
FONTE: Prepara Enem
Esses polígonos são regulares (foram construídos assim) e, por isso, possuem todos os lados e ângulos iguais. Comparando os dois, teremos o mesmo número de lados, ângulos respectivos congruentes e lados correspondentes congruentes. Dessa forma, eles são semelhantes. A propriedade 2 garante que os perímetros desses polígonos são proporcionais a dois lados quaisquer.
Para verificar essa propriedade, observe que a base do primeiro polígono é 2 e a base do segundo é 1. Os perímetros desses polígonos, respectivamente, são: 24 e 12. Agora escreva as razões respeitando a ordem do primeiro polígono para o segundo: 
2 = 24 = 2
 1    12
     
POLÍGONOS EQUIVALENTES 
 A palavra equivalência deriva de: equi = igual + valência = valor. Em Geometria, equivalência
significa área igual, ou seja, figuras equivalentes são aquelas que possuem a mesma área, assim dois  polígonos são equivalentes se têm a mesma área.
FIGURA 16: Polígonos Equivalentes
FONTE: Projeto Unijui
REFERÊNCIA 
MOURA, Larissa. Como surgiram os polígonos. Brainly.com. 2015. Disponível em: <https://brainly.com.br/tarefa/2846481>. Acesso em 13 Dez. 2020.
Wikipédia. Polígono. Última modificação em 15 nov. 2015. Disponível em: < https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono>. Acesso em: 13 Dez. 2020.
Wikipédia, a enciclopédia livre. Polígono Convexo. Esta página foi editada pela última vez às 15h14min de 14 de setembro de 2019. Disponível em: <Polígono convexo – Wikipédia, a enciclopédia livre (wikipedia.org)> Acesso em 13 Dez. 2020.
Stoodi. Polígonos Regulares: Propriedades, ângulos, fórmulas e muito mais. 2020. Disponível em:< 0Acesso em: 13 Dez. 2020.
Brasil Escola. Elementos de um Polígono. C2020. Disponível em:< https://brasilescola.uol.com.br/matematica/elementos-um-poligono.htm>. Acesso em: 13 Dez. 2020.
SILVA, Marcos, N. P. Polígonos Inscritos e Circunscritos. Mundo da Educação. C2020. Disponível em: <https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/poligonos-inscritos-circunscritos.htm>. Acesso em: 13 Dez. 2020.
MOREIRA, Luís, P. Polígonos inscritos e circunscritos. Escola Kids. C2019. Disponível em: < https://escolakids.uol.com.br/matematica/poligonos-inscritos-circunscritos.htm>. Acesso em: 13 Dez. 2020.
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Construção de polígonos circunscritos"; Brasil Escola. Disponível em: Construção de polígonos circunscritos - Brasil Escola (uol.com.br). Acesso em 17 de dezembro de 2020.
Blog do Ferreto. Triângulo Equilátero. [S.d]. Disponível em: < https://blog.professorferretto.com.br/triangulo-equilatero/amp/>. Acesso em: 13 Dez. 2020.
SILVA,Luiz, P. M. Segmentos Proporcionais. Mundo da Educação. C2020. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/segmentos-proporcionais.htm>. Acesso em: 14 Dez. 2020.
MOREIRA, Luiz, P. Segmentos Proporcionais. Brasil Escola. C2020. Disponível em: <https://m.brasilescola.uol.com.br/amp/matematica/segmentos-proporcionais.htm>. Acesso em: 14 Dez. 2020
SILVA, Luiz, P. M. Polígonos Semelhantes. Prepara Enem. [s.d]. Disponível em: https://www.preparaenem.com/amp/matematica/poligonos-semelhantes.htm>. Acesso em: 14 Dez. 2020.
Projetos Unijui. Polígono. [s.d]. Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/medio/plana/poligono/def_poligono.htm#:~:text=Pol%C3%ADgonos%20Congruentes%20%2D%20Dois%20pol%C3%ADgonos%20s%C3%A3o,se%20t%C3%AAm%20a%20mesma%20%C3%A1rea.>. Acesso em: 14 Dez. 2020.
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