Métodos Quantitativos e Cálculos Atuariais_2013_2_web

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Métodos 
Quantitativos e 
Cálculos Atuariais
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
Adaptada/Revisada por Celi Cristina Passarelli Iamazaki (janeiro/2013)
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Métodos Quantitativos 
e Cálculos Atuariais, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado 
dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar 
aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 O QUE VAMOS ESTUDAR? ............................................................................................................... 7
1.1 Resumo do Capítulo .......................................................................................................................................................8
1.2 Atividades Propostas ......................................................................................................................................................8
2 MÉTODOS QUANTITATIVOS .......................................................................................................... 9
2.1 Revisão de Estatística Descritiva ................................................................................................................................9
2.2 Estatística Inferencial ...................................................................................................................................................11
2.3 Estimação ........................................................................................................................................................................13
2.4 Testes de Hipóteses......................................................................................................................................................16
2.5 Os Erros .............................................................................................................................................................................16
2.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................17
2.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................18
3 TÁBUAS ATUARIAIS ............................................................................................................................ 19
3.1 Tábuas de Mortalidade ou Sobrevivência ...........................................................................................................19
3.2 Construindo uma Tábua de Mortalidade ............................................................................................................21
3.3 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................23
3.4 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................24
4 FUNÇÕES BIOMÉTRICAS ................................................................................................................ 25
4.1 Funções Biométricas Básicas para uma Vida ......................................................................................................25
4.2 Probabilidade de Falecimento em Grupos Abertos ........................................................................................28
4.3 Funções Biométricas Auxiliares ...............................................................................................................................28
4.4 Funções Biométricas Complementares ...............................................................................................................29
4.5 Tabelas de Comutação ................................................................................................................................................30
4.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................31
4.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................31
5 SEGUROS ................................................................................................................................................... 33
5.1 Seguros em Caso de Morte .......................................................................................................................................34
5.2 Seguros de Sobrevivência .........................................................................................................................................36
5.3 Seguros Mistos ..............................................................................................................................................................37
5.4 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................37
5.5 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................38
6 RENDAS ...................................................................................................................................................... 39
6.1 Conceituando Rendas Financeiras e Atuariais ..................................................................................................39
6.2 Rendas Tontineiras .......................................................................................................................................................40
6.3 Rendas de Sobrevivência...........................................................................................................................................40
6.4 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................44
6.5 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................44
7 PREVIDÊNCIA E CAPITALIZAÇÃO ............................................................................................ 45
7.1 Conceito de Previdência ............................................................................................................................................45
7.2 Previdência Social no Brasil ......................................................................................................................................45
7.3 Previdência Social e a Atuária ..................................................................................................................................467.4 A Previdência Privada no Brasil ...............................................................................................................................48
7.5 PGBL e VGBL ..................................................................................................................................................................50
7.6 Os Títulos de Capitalização .......................................................................................................................................50
7.7 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................51
7.8 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................51
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 53
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 55
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 59
ANEXOS .......................................................................................................................................................... 61
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Primeiramente, queria dar-lhe boas-vindas a mais um curso da área atuarial e dizer-lhe que é com 
muito prazer que esta apostila foi feita para aprofundar seus conhecimentos nessa área tão interessante 
e de grande expansão no mercado de trabalho em nosso país.
Os seus estudos vão se dividir em duas partes. Na primeira, você estudará os métodos quantitati-
vos, importantes para o desenvolvimento dos conceitos que irão, depois, nortear a segunda parte: os cál-
culos atuariais aplicados a uma série de situações e modelos usados em seguradoras, bancos, empresas 
de previdência privada e capitalização.
Espero sinceramente que os conteúdos aqui desenvolvidos possam descortinar um novo mundo 
de conhecimentos, que poderá e trará a você novas possibilidades de ter um contato um pouco mais 
profundo com o mundo dos seguros e da previdência privada, além de, quem sabe, despertá-lo(la) para 
esse novo possível campo de trabalho.
O objetivo principal é propiciar os conhecimentos dos métodos quantitativos aplicados aos proble-
mas securitários, em cálculos relacionados com setores de previdência social e privada, com atuação nas 
áreas de avaliação de riscos, cálculos de prêmios de seguros, pecúlios, planos de aposentadorias e pen-
sões, bem como de planos de financiamento e capitalização. Nessa linha, pretende-se demonstrar para 
o(a) aluno(a) a importância dos Métodos Quantitativos para o cálculo de Probabilidades nas operações 
que envolvam a atuária. 
Um grande abraço e, novamente, seja bem-vindo(a)!
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
 
 
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O QUE VAMOS ESTUDAR?1 
Caro(a) aluno(a),
Ao estudar Ciências Atuariais, você estará 
se preparando para a possibilidade de aprender 
conceitos ligados a uma profissão que está sendo 
considerada uma das profissões do futuro. E por 
que se pode afirmar isso? Pois estamos vivendo 
uma fase de expansão dos mercados de seguros, 
previdência privada e de títulos de capitalização. 
O campo de atuação profissional do atuário 
vai desde as próprias companhias de seguradoras 
até repartições das esferas municipal, estadual e 
federal, a previdência social, sociedades de eco-
nomia mista ou privadas, empresas de capitali-
zação, financiamentos e refinanciamentos e sor-
teios. A demanda de profissionais na área é tão 
grande que já se buscam atuários a partir do 4º 
semestre nas universidades.
Mas vamos relembrar (pois você já viu al-
gumas dessas atribuições no curso de Noções de 
Ciências Atuariais, no módulo XII) os principais ra-
mos de atuação do atuário:
�� cálculo das reservas matemáticas;
�� elaboração dos planos técnicos;
�� avaliações das contribuições;
�� tarifação e determinação de prêmios e 
indenizações;
�� análise dos riscos ligados aos diversos 
tipos de seguro;
�� assinar os balanços atuariais das empre-
sas de seguro, capitalização e, ressegu-
ros, balanços técnicos e caixas mutuá-
rias de pecúlios;
�� sorteios, quando publicados;
�� análise atuarial dos lucros dos seguros e 
de que forma deve ser sua distribuição 
entre segurados e portadores de títulos;
�� gerência das carteiras mantidas pelas 
instituições de seguro, previdência pri-
vada ou de capitalização.
Mas como o atuário realiza suas atividades? 
Para a realização desses documentos e das 
outras atividades, seu trabalho é focado em ri-
gores técnicos. Além de ter sólida formação em 
áreas como Contabilidade, Economia e Direito, 
também deve ter extrema intimidade em Esta-
tística e Informática. Na sua atuação diária, é ele 
quem avalia os riscos, através do cálculo das pro-
babilidades dos eventos, e, dessa forma, pode fi-
xar prêmios, indenizações e benefícios. 
Saiba maisSaiba mais
Além disso, existem dois documentos que se desta-
cam em sua atuação: 
•	Parecer Atuarial: documento pelo qual o atuário 
comprova e atesta a situação de solvência eco-
nômico-financeira da organização, identificando 
problemas e propondo soluções para eles;
•	Avaliação Atuarial: em que são estudados os 
aspectos quantitativos e qualitativos relativos ao 
ativo e passivo do plano atuarial.
AtençãoAtenção
É da obrigação do atuário assegurar a solvência 
financeira (que é as obrigações que vencem to-
dos os dias), bem como a solvência econômica 
(que é o equilíbrio entre o total das obrigações e 
haveres da empresa), através da prática de suas 
atividades.
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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Mas você pode estar se perguntando: como 
é feito esse cálculo de probabilidades? No que se 
baseia?
Posso lhe dizer que são essas as questões 
que nos interessam neste curso, afinal, ele trata 
dos métodos utilizados por esse profissional, de 
forma que, em linhas gerais, tratará, de forma es-
tatística, das seguintes ocorrências:
�� mortalidade, morbilidade e morbidade;
�� doença e invalidez;
�� fecundidade e natalidade;
�� outros fenômenos demográficos e bio-
lógicos.
Calculam-se, através deles, as probabilida-
des de ocorrência, para, assim, gerir e quantificar 
o risco.
Nos próximos capítulos, você verá como 
isso deve ser feito, através dos métodos quanti-
tativos de inferência e das tábuas de mortalidade, 
suas funções de sobrevivência, morte e de comu-
tação e as aplicações nas rendas e anuidades.
Sendo assim, podemos resumir, a seguir, as 
ideias deste capítulo.
DicionárioDicionário
Risco: s.m. (ital rischio) Possibilidade de perigo, incer-
to, mas previsível, que ameaça de dano a pessoa ou 
a coisa. R. bancário, Com.: o que decorre do negócio 
entre banqueiros ou entre o banco e os correntis-
tas. R. profissional, Dir.: perigo inerente ao exercício 
de certas profissões, o qual é compensado pela taxa 
adicional de periculosidade. A risco de, com risco de: 
em perigo de. A todo o risco: exposto a todos os pe-
rigos. Correr risco: estar exposto a.
Caro(a) aluno(a),
De nossa conversa inicial, seria importante guardar:
�� qual é a motivação de se estudar ciências atuariais;
�� quais são os ramos de atuação do atuário;
�� as atribuições do profissional em atuária;
�� como o atuário executa sua função.
Sendo assim, agora, após recordar essas ideias iniciais, vamos para os exercícios?
1.1 Resumo do Capítulo
1.2 Atividades Propostas
1. Por que é importante para o contador estudar ciências atuariais?
2. Quais as principais atribuições do atuário?
3. Como o atuário trata os dados que obtém estatisticamente?
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Caro(a) aluno(a),
Para começar seus estudos sobre métodos 
quantitativos,poderíamos perguntar: afinal, o que 
são métodos quantitativos e para que servem? E, 
principalmente, por que temos que estudar isso 
dentro do meu curso de cálculos atuariais?
A resposta é bastante simples. Na atuária, 
como lidamos com grandes carteiras ou caracte-
rísticas de populações inteiras para obter dados 
sobre a vida, a saúde, a possibilidade de morte ou 
invalidez destas, o estudo que nos traz isso de for-
ma confiável é a estatística, disciplina que já foi 
discutida no módulo IV do seu curso.
Sendo assim, métodos quantitativos são mé-
todos matemáticos que, usando a estatística e os 
mais diversos tipos de distribuição de probabilida-
des, podem ajudar a testar hipóteses e tomar deci-
sões nas mais diversas áreas do conhecimento. 
A aplicação desses métodos em ciências 
atuariais é de suma importância, já que, como 
já leu nos parágrafos anteriores, elas analisarão 
grandes números para a tomada de decisão acer-
ca de seus conceitos.
Portanto, neste capítulo, você verá os se-
guintes conceitos:
�� revisão de estatística descritiva:
 • medidas de tendência central;
 • medidas de dispersão;
�� introdução aos conceitos de estatística 
inferencial:
 • tipos de distribuições;
 • estimação;
 • teste de hipóteses.
 
Você concentrará seus estudos nos dois 
primeiros itens de inferência, mas, mesmo assim, 
não esgotará os assuntos sobre eles, dada a sua 
profundidade. 
2.1 Revisão de Estatística Descritiva
MÉTODOS QUANTITATIVOS2 
Medidas de Tendência Central
As medidas mais conhecidas de tendência 
central são a média, a moda e a mediana. Elas são 
as primeiras informações que você pode tirar de 
um conjunto de dados de uma amostra ou popu-
lação e lhe informam sobre a variável referente ao 
valor médio que se repete mais ou, ainda, que di-
vide o nosso conjunto de dados em dois.
Quando se fala sobre a média de uma po-
pulação ou amostra, está-se referindo a um valor 
médio de todos os valores considerados, ou seja, os 
valores da variável que estamos que estamos estu-
dando centralizam-se em torno desse valor médio.
Porém a média não é uma boa forma de ti-
rar conclusões sobre os nossos dados se possui 
valores que podem deslocar o valor médio para 
cima ou para baixo; vejamos um exemplo: vamos 
supor que, ao estudar a média da nota de uma 
disciplina, você vê que a maioria das notas encon-
tra-se entre as notas seis e sete, porém alguns alu-
nos possuem notas muito altas, tais como nove 
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e dez, o que acaba por arrastar o valor da média 
acima dos valores gerais da sala e, assim, dá-lhe 
uma resposta não muito confiável sobre o real va-
lor médio das notas desses alunos.
Em casos como estes, você pode se valer 
de outra medida de tendência central: a media-
na. Nesse caso, ao dividir os dados ou intervalos 
em duas partes, os valores ordenados em ordem 
crescente podem nos dar uma ideia muito mais 
real do verdadeiro valor médio das notas da sala, 
pois os valores que estavam “arrastando” nossa 
média para valores não confiáveis acabam fican-
do nas pontas da distribuição de dados e, agora, 
são computados de forma a não prejudicar os 
seus estudos sobre a amostra ou população.
Muitas vezes, em estudos estatísticos, é pos-
sível perceber um ou dois valores que se repetem 
na coleção de dados; essa característica pode ser 
muito importante para nossa coleta de informa-
ções e não é vista nem se fazendo a média nem 
a mediana, apesar de esses valores mostrarem-se 
importantes já nesses cálculos. Usaremos, então, 
a moda para caracterizar essa amostra ou popu-
lação.
Observe que podemos ter mais de uma 
amostra da população em que também é de seu 
interesse querer saber o quanto essa variável se 
dispersa ou não em torno desse valor médio, ou 
seja, o quanto essa população ou amostra é ho-
mogênea em torno do valor médio. Para isso, 
você se utiliza das medidas de dispersão, que lhe 
dirão o quão ou não os seus dados estão disper-
sos e, por elas, pode-se até começar pensar se a 
escolha de nossa variável para essa população ou 
amostra é boa para caracterizá-la ou se as diver-
sas amostras da população realmente refletem o 
caráter médio dessa característica.
Medidas de Dispersão
 
Talvez a mais conhecida medida de disper-
são seja o desvio padrão, pois ele mede a disper-
são dos valores dos dados analisados da média 
encontrada para eles.
Note que ele é de crucial importância para 
inferirmos se os dados podem ser confiáveis; 
como verá mais a diante, ele lhe dará o sentido de 
homogeneidade ou não desses dados.
Sua obtenção e estudo são importantes, 
pois é através dele que começamos a nos posi-
cionar em relação à variável estudada. Imagine, 
por exemplo, que você está estudando os casos 
de sucesso em tratamentos de tumores (aqui, a 
coisa é bem séria, não?). O valor da taxa média de 
morte do tumor sob a ação de um determinado 
medicamento é importante para o estudo do uso 
dos medicamentos em pacientes em larga escala 
e o desvio padrão em torno desse valor pode le-
var ao seu abandono ou sua implementação no 
mercado.
Temos, também, a variância, que será impor-
tante no caso de compararmos amostras diferentes 
de uma mesma população, sendo seu valor calcula-
do para encontrarmos o desvio padrão. Nesse caso, 
temos que a variância é uma prévia dos valores de 
dispersão para um conjunto de dados. Além disso, 
temos sua presença nos cálculos do intervalo de 
confiança na estimação por intervalo.
Para terminar, vamos falar sobre a ampli-
tude dos dados ou intervalo de classe dos dados 
de uma distribuição. Apesar de parecer simples, 
a diferença entre o maior valor e o menor valor 
de nossos dados leva-nos a pensar que, ao se ter 
uma grande dispersão nos valores, pode-se inva-
lidar o estudo da variável em questão.
Todas as expressões matemáticas dos con-
ceitos anteriormente citados estão no Anexo 1 
da nossa apostila. Vale a pena dar uma olhada e 
pensar nessas expressões antes de continuar seus 
estudos. Não se esqueça de anotar suas dúvidas e 
tirá-las com o seu professor tutor.
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Inferir quer dizer tirar conclusões sobre algo 
através do conhecimento de partes desse todo. 
Sendo assim, a estatística inferencial, ao usar os 
preceitos da estatística, pode, ao examinar amos-
tras e até mesmo pequenas amostras de uma po-
pulação, validar um estudo sobre uma determi-
nada característica delas.
Quando você estuda uma população, o faz 
através de suas medidas numéricas descritivas 
(por isso a importância de relembrar o estudo 
da estatística descritiva antes) e é sobre elas que 
você se apoiará para realizar as inferências.
Mas, antes de começarmos, vamos relem-
brar e conhecer alguns tipos de distribuições de 
variáveis, suas características e usos.
Distribuição Normal
Também chamada gaussiana, por causa do 
nome de seu idealizador, o grande físico e mate-
mático Gauss, é de grande importância por ser a 
distribuição base na inferência estatística. Gran-
des números de fenômenos e variáveis aleatórias 
podem ser descritos dessa forma e outros podem 
ser aproximados por ela. Podemos usá-la de forma 
aproximada para estudar várias variáveis discretas. 
Possui algumas características bem interes-
santes:
�� tem forma de sino e é simétrica;
�� a média, moda e mediana são todas 
iguais, ou seja, são um mesmo valor;
�� a variável aleatória contínua pode to-
mar qualquer valor entre -∞ e +∞;
�� a maior parte da probabilidade está 
concentrada em torno da média;
�� podemos caracterizar uma distribuição 
normal de uma variável aleatória atra-
vés de sua média (m) e seu desvio pa-
drão (s); 
�� o valor da probabilidade de se encon-
trar x em dado intervalo é fornecido por:
( )
∫=<<
−
−b
a
2
x
2
2
e
2
1bxap s
m
sπ
.)(
�� por fim, dizemos que sua notação é: 
x ~N(m,s.).
Distribuição Normal Padrão
É a distribuição normal com valores m = 0 e 
s = 1, o que facilita nos cálculos,pois a expressão 
de sua probabilidade fica simplificada e tais valo-
res já se encontram colocados em uma tabela: a 
tabela da distribuição normal padrão. 
2.2 Estatística Inferencial
AtençãoAtenção
Geralmente, chamamos parâmetros essas carac-
terísticas (variáveis) que estudamos nas popula-
ções ou amostras e os mais comuns são:
•	o desvio padrão (s);
•	a média (m);
•	a proporção (p).
Saiba maisSaiba mais
Distribuições mais comuns
Distribuições ou funções densidade de probabilida-
des são funções em que atribuímos a variável ale-
atória X à probabilidade de obtenção de seu valor 
dentro de uma população, amostra ou intervalo de 
classe. Em geral, possuem as seguintes proprieda-
des:
•	são sempre maiores que zero;
•	o maior valor possível para a função é 1.
Neste item de nossa apostila, vamos rever e ver de 
forma mais atenta alguns tipos de distribuição de 
variáveis aleatórias que poderemos utilizar em nos-
sas inferências e testes, a saber:
•	Distribuição Normal ou Gaussiana;
•	Distribuição Normal Padrão;
•	Distribuição c2 (lê-se Qui-quadrado);
•	Distribuição t;
•	Distribuição f.
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Essa distribuição tem as mesmas caracterís-
ticas da anterior e podemos ver a tabela no Ane-
xo 2 de nossa apostila.
Distribuição c2
Se pudermos dizer que certa variável alea-
tória Z é dada por N(0,1), podemos dizer, então, 
que Z é uma distribuição do tipo qui-quadrado 
de grau de liberdade 1: Z2 ~ c2(1). Sendo assim, a 
soma das variáveis aleatórias independentes, se 
for dada com a distribuição anteriormente cita-
da, também é uma distribuição do mesmo tipo, 
em que os graus de liberdade são iguais à soma 
dos graus de liberdade dados pelas variáveis em 
questão.
Portanto, c2 só é positiva e dependente dos 
graus de liberdade da variável aleatória em ques-
tão. Quanto maiores os graus de liberdade, me-
nos assimétrica é a distribuição. Você pode vê-la 
no Anexo 4.
Distribuição t
Normalmente, é utilizada quando desco-
nhecemos o desvio padrão da população, mas 
sabe-se o desvio padrão da amostra.
Chamamos distribuição t – t de Student 
aquela na qual temos as seguintes características: 
Z é uma variável aleatória com distribuição N(0;1) 
e U também é uma variável aleatória. Se c2, Z e U 
são independentes, temos que:
Em que: r é os graus de liberdade da distri-
buição t. Temos, então, as seguintes propriedades:
r
U
ZT =
�� é uma distribuição simétrica em torno 
do zero e com forma de sino, como a 
distribuição normal; também como 
esta, é normalizada;
�� tem mais áreas nas abas (caudas) que 
no centro;
�� depende só dos graus de liberdade;
�� quando o número de graus de liberda-
de aumenta, converge para N(0; 1). 
A função t – está definida em tabela no 
Anexo 3 de nossa apostila.
Distribuição f
Se as variáveis aleatórias U e V em estudo 
são independentes e apresentam distribuição c2 
de r1 e r2 graus de liberdade, então:
 2
1
r
V
r
U
F =
 
Em que se chama a função densidade de 
probabilidade F de distribuição f.
A distribuição f é utilizada em vários tes-
tes de inferência e seus valores também são ta-
belados, conforme podemos ver no Material de 
Apoio.
Para terminar, você pode observar que tan-
to c2 quanto a distribuição t e a distribuição f cor-
relacionam mais do que uma variável aleatória; 
por isso, são importantes em testes em que se vão 
relacionar duas ou mais variáveis.
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Quando você estima ou faz uma estimativa, 
está, através dos parâmetros de uma amostra, in-
ferindo uma estimativa dos parâmetros popula-
cionais. Podemos ter dois tipos de estimativa:
�� por ponto;
�� por intervalo.
Estimação por Ponto
Ao estimar por ponto, você usa como base, 
nos parâmetros amostrais para estimar, o valor do 
parâmetro populacional. Sendo assim, o valor da 
média amostral ( x ) é a estimativa por ponto da 
média populacional (m). Portanto, para os outros 
parâmetros, como o desvio padrão, pode-se fazer 
a estimativa por ponto de modo análogo.
Veja um exemplo: uma amostra aleatória 
de 100 mulheres de uma fábrica com um total de 
1.000 funcionárias revelou um consumo mensal 
médio de 3,2 L de cerveja ao mês. Portanto, o x 
=3,2 L é uma estimativa pontual da verdadeira 
média mensal do consumo de cerveja das funcio-
nárias da fábrica.
Estimação por Intervalo
Ao fazer estimativas por intervalo para um 
parâmetro populacional, você está inferindo um 
intervalo determinado por dois números obtidos 
das amostras populacionais e que se espera, em 
um dado nível de confiança, contenha o parâme-
tro populacional. 
Note que podemos chamar o nível de con-
fiança de um intervalo probabilidade de (1-a)%. 
Normalmente, esses valores são de 90%, 95%, 
97,5%, entre outros.
Para termos elevado grau de precisão da in-
ferência realizada em uma população, precisamos 
que o comprimento do intervalo de confiança seja 
pequeno.
Podemos estimar por Intervalo de Confian-
ça (IC) de diversas formas:
�� IC para média populacional quando a 
variância é conhecida;
�� IC para média populacional quando a 
variância é desconhecida;
�� IC para a variância;
�� IC para o desvio padrão;
�� IC para a proporção.
Neste momento, antes de começarmos nos-
sos cálculos, devemos atentar para o risco de erro 
na construção do intervalo de confiança; assim, se 
o nível de confiança for de 90%, o risco que esta-
mos correndo de inferirmos um intervalo errado 
é de 10%.
Portanto, é importante frisar agora que, ao 
construirmos 100 intervalos de confiança a partir 
de amostras diferentes da população, mas de ta-
manhos iguais, 10% deles, ou seja, 10 intervalos, 
podem não conter o parâmetro estudado (média, 
desvio padrão, variância ou proporção). Então, 
será correto falar que: “existe a probabilidade de 
encontrar o parâmetro estudado dentro do inter-
valo” ou “de a probabilidade do intervalo incluir o 
parâmetro estudado”.
Vamos, nos cálculos a seguir, eliminar as 
passagens de demonstração e nos ater apenas 
aos resultados.
IC para média populacional quando a variância é 
conhecida
Sabe-se que o estimador de m é x ; sendo 
assim, fixando um intervalo de confiança (1-a), 
para uma variável Z aleatória, temos que o inter-
valo de confiança para a média populacional (m), 
quando a variância (s2) é conhecida, é: 
2.3 Estimação
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14
�� Para populações infinitas:
a
s
m
s
aa −=







+≤≤−= 1
n
Zx
n
ZxP
22
..
Para ilustrar, veja um exemplo: certa peça 
de um equipamento hospitalar tem uma duração 
de vida tal que s = 5 horas. Foi feita uma amostra 
de 100 dessas peças pelo controle de qualidade, 
dando uma média de 500 horas de funcionamen-
to. Deseja-se construir um intervalo de confiança 
para medir a verdadeira duração média da peça, 
com um nível de confiança de 95%.
Solucionando, temos: 
�� s = 5;
�� x = 500 horas;
�� n = 100;
�� (1-a) = 95%=0,95 z/2 = 0,475.
Usando a tabela da distribuição normal, te-
mos que procurar onde está o valor da probabi-
lidade no corpo da tabela e, ao encontrarmos o 
valor, verificar a linha (1,9) e a coluna (0,06), que 
nos dão o valor somado de 1,96. 
A partir daí, colocamos na expressão do IC:
P
P
= − ≤ ≤ +





 =
= ≤ ≤
500 1 96 5
100
500 1 96 5
100
95
499 02 500 9
, . , . %
( , ,
µ
µ 88 95) %=
�� Para populações finitas:
P x Z
n
N n
N
x Z
n
N n
N
= −
−
−
≤ ≤ +
−
−





 = −α α
σ
µ
σ
α
2 21 1
1. . . .
Podemos utilizar o exemplo anterior, mas 
fazendo com que a população seja finita e tenha 
1000 peças. Sendo assim, vamos tirar os dados 
para a solução:
�� s = 5;
�� x = 500 horas;
�� N = 1.000;
�� n = 100;
�� (1-a) = 95%=0,95 z/2 = 0,475.
Você pode calcular, agora, o intervalo 
de confiança. O valor que você deve chegar é: 
[499,07;500,93].
IC para média populacional quando a variância é 
desconhecida
 
Nesse caso, só podemos utilizaras expres-
sões a seguir se a distribuição for normal, ou seja, 
a amostra for retirada de uma população que te-
nha uma distribuição normal.
Assim, para o caso, não conhecemos s e o 
substituímos por S – desvio padrão amostral –, 
que sabemos ser uma variável aleatória. Portan-
to, de posse das duas variáveis aleatórias conhe-
cidas: x e S, podemos fazer seu quociente e usar 
a distribuição t de Student com (n-1) graus de li-
berdade.
Métodos Quantitativos e Cálculos Atuariais
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15
�� Populações infinitas:
P x t S
n
x t S
n
= − ≤ ≤ +





 = −α αµ α
2 2
1. .
�� Populações finitas:
P x t S
n
N n
N
x t S
n
N n
N
= −
−
−
≤ ≤ +
−
−





 = −α αµ α
2 21 1
1. . . .
Não se desespere ao ver essas expressões, 
pois são resolvidas da mesma forma, mas agora 
utilizamos a tabela da distribuição t, usando os va-
lores dos graus de liberdade dados pelo exercício.
Veja, então, uma aplicação: de certa amos-
tra de dez valores, colhemos um valor médio x
=8,7 e S = 2. Encontre um intervalo de confiança 
que contenha a média para a variável, com nível 
de 95%.
Vamos solucionar então:
�� x = 8,7;
�� S = 2;
�� n=10;
�� (1-a) = 95% = 0,95 erro de 5% = 
0,05/2 0,025 (olhe, no corpo da tabela, 
esse valor cruzando a linha do grau de 
liberdade com a do erro);
�� Graus de liberdade = gol = n - 1 = 10 - 1 = 9.
Temos, então, o intervalo: 
P
P
= − ≤ ≤ +





 =
= ≤ ≤
8 7 2 2622 2
10
8 7 2 2622 2
10
95
7 27 10 13
, , . , , . %
( , ,
µ
µ )) %= 95
IC para a variância
No caso da variância, o estimador é S2 para 
a variância populacional. Como é sabido que S2 
tem distribuição qui-quadrado, com (n-1) graus 
de liberdade, temos, para esse caso, se a popula-
ção de onde a amostra foi retirada for normal e 
fixando um nível de confiança de (1-a):
p
n S n S−( )
≤ ≤
−( )




 = −
1 1
1
2
2
2
2
2
. .
sup infχ
σ
χ
α
IC para o desvio padrão
No caso do desvio padrão, se a variável alea-
tória cumprir todos os requisitos do caso anterior, 
teremos:
p
n S n S−( )
≤ ≤
−( )







= −
1 1
1
2
2
2
2
. .
sup infχ
σ
χ
α
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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16
No presente item, você será apresentado a 
outro meio de fazer inferências estatísticas sobre 
uma população. Agora, você não vai estimar por 
ponto ou por intervalo, mas sim vai dar um valor 
hipotético para certo parâmetro populacional e, 
ao realizar o teste estatístico, poderá rejeitar ou 
aceitar o valor hipotético.
No caso de se aceitar ou não o valor hipo-
tético dado por você ao parâmetro, podem-se ter 
erros em aceitar ou descartar a hipótese; sendo 
assim, não há decisões absolutamente corretas, 
mas você poderá ter uma dimensão da probabi-
lidade do que a tomada de decisão representa, 
seja qual ela for.
Hipótese Estatística
É um valor suposto de um parâmetro po-
pulacional ou quanto à natureza da distribuição 
de probabilidades de certa variável da população 
que está estudando. Para gerar essas hipóteses, o 
pesquisador (que, neste momento, é você) toma 
como base informações teóricas ou conjecturas 
sobre o fenômeno. A seguir, há uma lista com 
uma série de exemplos de hipóteses estatísticas:
�� a distribuição de probabilidades de 
peso dos atletas em uma olimpíada é 
normal;
�� a proporção de casais que se separam 
após o sétimo ano de casamento é de 
10%,
�� a média de altura da população brasilei-
ra de mulheres é de 1,60 m.
 
Como Funciona um Teste de Hipóteses
Um teste desse tipo é uma decisão que você 
irá tomar para aceitar ou rejeitar uma hipótese, a 
partir de seus elementos amostrais; sendo assim, 
sempre você terá, em um teste de hipótese:
�� H0: hipótese nula, que é a hipótese que 
será testada. É dada por uma igualdade;
�� H1: hipótese alternativa, expressa por 
uma desigualdade.
Veja, a seguir, um exemplo de teste estatísti-
co com um dos itens anteriores:
H0: m = 1,65 m
H1: m 1,65 m ou m < 1,65 m ou m > 1,65 m
Parece até meio bobo ou simples demais, 
mas é nessa simplicidade que está a beleza do 
teste, como veremos a seguir.
2.4 Testes de Hipóteses
2.5 Os Erros
Há dois tipos de erro possíveis quando acei-
tamos ou rejeitamos H0: aceitar quando a hipóte-
se é falsa e rejeitar quando ela é verdadeira. No 
quadro a seguir, vemos os tipos de erro ligados 
às tomadas de decisão em um teste de hipóteses.
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Realidade
H0 verdadeira H0 falsa
Decisão
Aceitar H0
Decisão correta
(1 - a) Erro do tipo II (b)
Rejeitar H0 Erro do tipo I (a)
Decisão correta
(1 - b)
2.6 Resumo do Capítulo
Portanto, a probabilidade de se cometer um 
erro do tipo I é denominada a e a probabilidade 
do tipo II é b. É claro que o tomador de decisões 
gostaria de reduzir ao máximo os dois tipos de 
erro, mas isso pode levar a um aumento muito 
grande da amostra, que, em alguns casos, pelos 
mais diversos problemas, é inviável. Também, se 
minimizarmos a ação de um dado erro, maximi-
zarmos o outro e vice-versa, o que fazer então?
Nesse caso, observamos qual parâmetro é o 
estimador de nosso estudo e, a partir dele, vê-se 
como fica sua distribuição normal padrão; é cons-
truído, a partir daí, um limite crítico, assumindo 
um valor para a desse parâmetro. Nesse momen-
to, faz-se a conversão para a variável Z para achar 
o valor do limite; com isso, estabelece-se uma re-
gra a partir da observação dos dados para se acei-
tar ou rejeitar a hipótese nula.
Ao fixar a, está-se livre para determinar o 
valor de b; sendo assim, refaz-se o teste com outra 
hipótese nula, até minimizar seu valor. Para tal, é 
construído um gráfico chamado Curva Caracterís-
tica de operação, em que temos o comportamen-
to de b, quando colocamos diversas hipóteses 
alternativas de H0.
Portanto, as curvas características consti-
tuem elementos importantes para observarmos 
os valores de a e b. O que se faz, na prática, para 
que se tomem decisões com grande grau de efi-
cácia, é considerar apenas o erro de tipo I, admitir 
os valores de a entre 1 e 10% e testar a hipótese 
nula, observando os valores de b para mantê-los 
suportáveis; assim, a indicação de rejeição de H0 
com risco baixo implica melhor decisão na esco-
lha do valor do parâmetro analisado.
É claro que métodos computacionais aju-
dam no cálculo e na montagem das curvas com 
rapidez, o que minimiza mais ainda os riscos de 
uma tomada de decisão errada.
Portanto, para que você relembre os as-
pectos mais importantes deste capítulo, leia com 
atenção o resumo a seguir.
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você viu:
�� o porquê do uso da estatística nas Ciências atuariais;
�� o que é um método quantitativo;
�� revisão de estatística descritiva:
 • medidas de tendência central;
 • medidas de dispersão;
�� introdução aos conceitos de estatística inferencial
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18
 • tipos de distribuições;
 • estimação;
 • teste de hipóteses.
Com essas ideias já organizadas, você pode, agora, realizar as atividades propostas.
2.7 Atividades Propostas
1. O que é um método quantitativo?
2. O que são medidas de tendência central?
3. O que é fazer uma inferência?
4. Do que se trata um teste de hipóteses?
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19
Caro(a) aluno(a),
Neste novo capítulo, você realmente entra-
rá em contato com os conceitos de cálculos atua-
riais e conhecerá baseado no que o atuário faz o 
seu trabalho. Sendo assim, neste capítulo você 
verá os seguintes itens:
�� o que são tábuas de sobrevivência ou 
mortalidade;
�� o que se precisa estudar para melhor 
conhecê-las e compreendê-las;
�� como é construída uma tábua de mor-
talidade, suas simbologias e notações;
�� cálculos de probabilidade usando as 
tábuas;
�� as tábuas mais usadas no Brasil e no 
mundo.
3.1 Tábuas de Mortalidade ou Sobrevivência
TÁBUAS ATUARIAIS3 
Pode-se definir uma tabelade mortalidade 
ou de sobrevivência como um instrumento esta-
tístico em que se medem as probabilidades de 
morte ou vida de uma classe de pessoas ou em 
dada população total.
Sua importância para o trabalho do atuário 
é grande, pois é sobre seus dados que são feitos, 
como você vai ver, os cálculos atuariais para cons-
truir planos de previdência, seguros em geral, va-
lores ligados aos planos de saúde e sobre as ren-
das e benefícios em geral.
As primeiras tábuas foram feitas pelos go-
vernos para conhecer os problemas básicos de 
suas populações, as expectativas de sobrevivên-
cia de seus cidadãos e estatística sobre saúde. 
Tem-se conhecimento que, ainda no Império Ro-
mano, por ordem do imperador Severus, o pre-
feito de Roma foi quem primeiro elaborou uma 
tábua muito simples sobre a expectativa de vida 
da cidade de Roma e ela estava ligada aos em-
préstimos a juros.
Também havia as Tontinas, que eram títulos 
ao portador que surgiram na França e se apoiavam 
em tabelas de mortalidade da época (século XVII).
Estudos mais apurados (mas ainda semen-
tes) sobre a sobrevivência e morte populacionais 
começaram a ser realmente relevantes no século 
XVII; os primeiros modelos desse estudo aparece-
ram, em Londres, com John Graunt e levavam em 
consideração em sua construção o falecimento 
de pessoas nas mais diversas idades, o sexo, o tipo 
de ocupação, os riscos de suas atividades, ideia 
muito parecida com a da construção das tábuas 
de hoje em dia.
Deparcieux, em 1746, montou uma das pri-
meiras tábuas conhecidas, porém não era muito 
bem construída, partia de apenas 1.286 vidas e 
sua idade extrema era de 95 anos, além de ou-
tros problemas. Mas, se observarmos a vida das 
pessoas, principalmente para grandes números, 
vemos que o comportamento é muito parecido 
no geral:
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20
�� nos primeiros anos de vida, o número 
de mortes, tanto para meninos quanto 
para meninas, é muito forte (note que 
essa tendência é maior para países sub-
desenvolvidos e para os meninos);
�� diminui na infância e na adolescência e 
se mantém constante até a vida adulta 
(meia-idade);
�� o número de falecimentos vai aumen-
tando conforme a idade madura vai se 
aproximando de seu termo.
Mas existe uma ciência que estuda o por-
quê das possibilidades de vida e morte das pes-
soas durante a sua vida? A resposta é sim e sua 
importância para a atuária é imprescindível. Essa 
ciência é a Demografia.
Assim, os estudos atuariais, muitas vezes, 
baseiam-se nos estudos e nas leis da demografia. 
Muitos de seus estudos você já conhece, como o 
Censo, mas, a seguir, pode ver algumas de suas 
subdivisões que são importantes para a monta-
gem das tábuas.
Além desses, estudos focados na morbi-
dade, que estudam as doenças, seus dias de in-
fecção, tempo de recuperação médio, são im-
portantes para a ciência atuária. Dados como a 
mortalidade, a migração e a taxa de natalidade 
também influenciam a formação dessas tabelas.
Junto ao estudo das conurbações e da 
densidade demográfica, os movimentos dessas 
populações e as condições de saneamento bá-
sico, a eficiência do sistema de saúde público, a 
fecundidade e os processos dinâmicos dos fenô-
menos demográficos ajudam-nos a melhorar a 
construção das diversas tábuas e a entender me-
lhor a população ou grupo estudado.
Saiba maisSaiba mais
•	Bioestatística: analisa, organiza e registra os fatos 
de registros de vida e morte e os analisa através 
da estatística;
•	Patometria: estuda, de forma estatística, as doen-
ças do ser humano e suas morbidades (taxa de 
portadores de certa doença em relação a uma 
certa população estudada);
•	Censo: já conhecido nosso, é uma coleta de da-
dos com informações socioeconômicas, em que 
se têm informações sobre movimentos de pesso-
as, doenças, separações, nascimentos, mortes, ca-
samentos, sendo que esses dados serão utilizados 
para fazer previsões;
•	Biometria: divisão da estatística que agrupa e ana-
lisa os dados sobre a “quantidade de existência”, “a 
vida média” e a “vida provável” de um agrupamen-
to de indivíduos;
•	Antropometria: parte da estatística que estuda as 
medições dos dados biométricos da população, 
de forma quantitativa: o envelhecimento, o cres-
cimento, o peso e a estatura, entre outras variá-
veis, estando intimamente ligada à Biometria.
DicionárioDicionário
Conurbação: s.f. Aglomeração formada por uma 
cidade e suas cidades-satélites (http://www.dicio.
com.br).
AtençãoAtenção
Todas essas informações estão disponíveis aos 
pesquisadores em órgãos do governo. Aqui no 
Brasil, órgãos como o Instituto Brasileiro de Ge-
ografia e Estatística (IBGE), a Agência Nacional de 
Saúde Suplementar (ANS), o Banco de Dados do 
Sistema Único de Saúde (DATASUS), a Empresa 
de Tecnologia e Informações da Previdência So-
cial (Dataprev), entre outros órgãos, além de hos-
pitais, maternidades e do serviço funerário.
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21
Além dos estudos do governo, as segurado-
ras também começaram a construir suas próprias 
tábuas, usando os dados conseguidos pelas agên-
cias governamentais, afinal, os seguros, de modo 
geral, lidam com a vida das pessoas e seus dados 
representam a média dessas situações estudadas.
Assim, dados como a idade média de uma 
população, sua esperança de vida ao nascer, ida-
de mediana, taxa de envelhecimento e sua vida 
provável são itens importantes nos estudos e na 
confecção das tábuas. 
Partindo dessas ideias, você pode estar se 
perguntando: como é construída uma tábua de 
sobrevivência (ou mortalidade)? Primeiro, você 
terá que conhecer a notação e os símbolos usa-
dos na atuária para suas funções, conforme as 
formas adotadas, em 19/05/1989, no II Congresso 
Internacional de Atuários:
�� as letras minúsculas l, d, p e q represen-
tam sobrevivência ou falecimento;
�� as minúsculas x, y e z representam idade;
�� as minúsculas m, n, s, t e k representam 
a passagem do tempo;
�� as maiúsculas são funções ligadas à ta-
bela de comutação.
Ainda existem outros símbolos, que apren-
deremos conforme nossos estudos forem se com-
pletando.
Veja, agora, um modelo simples da monta-
gem de uma tábua de sobrevivência e mortalidade:
3.2 Construindo uma Tábua de Mortalidade
IDADES SOBREVIVENTES FALECIMENTOS 
x l
x
 d
x = 
l
x
 – l
x+1
 
0 l
0
 D
0 = 
l
0
 – l
1
 
1 l
1
 d
1 = 
l
1
 – l
2
 
2 l
2
 d
2 = 
l
2
 – l
3
 
... ... ... 
x l
x
 d
x = 
l
x
 – l
x+1
 
x+1 l
x+1
 d
x +1= 
l
x+1
 – l
x+2
 
... ... ... 
w-1 l
w-1
 d
w -1= 
l
w-1
 – l
w
 
w l
w 
= 0 mas l
w
 =0 
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22
Veja que, nessa tabela, temos:
�� a idade dos componentes da tabela é 
dada por x; assim, w-1 é a idade extre-
ma da tabela (a maior idade da tabela); 
�� o número de sobreviventes da idade x 
é representado por lx; assim, lw será os 
sobreviventes da idade w, que, na ver-
dade, não chegam a nessa idade. O va-
lor l0 chamamos raiz da tábua, que é os 
sobreviventes com idade inferior a um 
ano (a letra l é de lives – vidas, em in-
glês);
�� a terceira coluna dá-nos o número de 
falecidos na idade x: a função dx – do in-
glês dead (morto).
Assim, a terceira coluna é obtida pela ex-
pressão:
D
0= 
l
0
 – l
1
Generalizando para uma idade qualquer x:
d
x = 
l
x
 – l
x+1
Nesse momento, você pode calcular as pro-
babilidades de certa pessoa estar viva na idade x 
(px) e a probabilidade de uma pessoa estar morta 
na idade x (qx). Então, vamos a uma delas:
�� probabilidade de vida de alguém na 
idade x:
x
1x
x l
lp +=
�� probabilidade de morte na idade x:
xx p1q −=
A seguir, colocamos as tábuas mais usadas 
no mercado internacional:
�� Grupo AT: as Annuity Mortality Tables 
são tábuas de origem americana, ela-
boradas pela The Society of Actuaries:
 • Annuity Table 1949 (AT-49): cons-
truída a partir de dados coletados 
entre os anos de 1941e 1946. Esta 
tábua trabalha com a expectativa 
média de vida de 78 anos e possui 
para os parâmetros atuais uma ten-
dência mais conservadora em rela-
ção à expectativa de vida;
 • Annuity Table 1983 (AT-83): atualiza-
ção da AT-49, foi construída através 
de observações feitas entre os anos 
de 1971 e 1976;
 • Annuity Table 2000 (AT-2000): ter-
ceira tábua do grupo AT, represen-
ta a expectativa de vida de uma 
população americana, a partir de 
Tábuas Brasileiras
Em 2003, o IBGE lançou uma tábua elaborada 
com base na projeção da mortalidade, a partir da 
tábua de três anos antes, em que foram incorpo-
rados os dados obtidos no Censo Demográfico 
de 2000 e as estimativas de mortalidade infantil 
sobre o registro de óbitos do triênio 1999-2001. 
No cálculo do fator previdenciário, para as apo-
sentadorias e outros benefícios, são usadas as 
tábuas feitas pelo IBGE, que tomam como base 
toda a população brasileira. São utilizadas pelo 
Instituto Nacional de Seguridade Social.
No mercado brasileiro de seguros, não se utilizam 
as tábuas de expectativa do IBGE. Costumam-se 
utilizar as tábuas americanas e isso tem como di-
retiva diminuir as margens de erro nos cálculos. 
A tábua nacional oficial do IBGE mostra a longevi-
dade dos brasileiros em geral, mas os investidores 
de previdência privada têm um perfil diferente 
da média da população brasileira e, sendo assim, 
espera-se uma expectativa de vida mais elevada. 
Portanto, as tábuas americanas estariam mais de 
acordo com a realidade do brasileiro sobre que 
renda aplicar em previdência privada. 
CuriosidadeCuriosidade
http://www.soa.org/
http://pt.wikipedia.org/wiki/Instituto_Nacional_de_Seguridade_Social
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23
um estudo feito em 2000, em que a 
expectativa de vida está, em média, 
na ordem de 84 anos;
�� GKs: as tábuas do grupo GK foram 
construídas com base na experiência 
de seguradoras suíças:
 • GKM-80 e GKM-95: tábuas masculi-
nas;
 • GKF-80 e GKF-95: tábuas femininas;
�� CSOs: as Commissioner’s Standard Or-
dinary Tables foram criadas a partir de 
dados das seguradoras dos Estados 
Unidos:
 • 1958 US Commissioner’s Standard 
Ordinary Table (CSO-58): estrutura-
da com dados dos anos de 1950 a 
1954;
�� GAM: a The 1971 Group Annuity Morta-
lity Table (GAM 71) é uma tábua de mor-
talidade, elaborada pela Joint Actuarial 
Committee of the American Life Con-
vention e pela The Life Insurance Asso-
ciation of America. 
Portanto, uma tabela de mortalidade pode 
ser apresentada pela tabela a seguir:
X lx dx px qx e0
x
0 1.000.000 2.311 0,997689 0,002311 80,1
1 997.689 904 0,999094 0,000906 79,3
2 996.785 502 0,999496 0,000504 78,3
... ... ... ... ... ...
Fonte: Adaptado de TSA (1996).
Observe que, nessa tabela, há uma nova 
função: e0
x, que se chama esperança completa de 
vida e representa o número de anos de sobrevi-
vência de um indivíduo de idade x, até o fim de 
sua vida.
Terminamos este capítulo, esperando que 
você tenha entendido como são construídas as 
tábuas de sobrevivência e do que dependem 
para sua realização. No próximo capítulo, iremos 
ver as principais funções biométricas obtidas e 
formadas pelas probabilidades obtidas dessa 
nossa tabela inicial.
Agora que o capítulo já terminou, o item 
a seguir expõe as informações importantes que 
você deve guardar.
Caro(a) aluno(a),
A seguir, observe o que você deve memorizar:
�� o que são tábuas de sobrevivência ou mortalidade;
�� o que se precisa estudar para melhor conhecê-las e compreendê-las;
�� como é construída uma tábua de mortalidade, suas simbologias e notações;
�� cálculos de probabilidade usando as tábuas;
3.3 Resumo do Capítulo
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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24
�� as tábuas mais usadas no Brasil e no mundo.
Depois de reler esses itens, faça com atenção as atividades propostas.
3.4 Atividades Propostas
1. Defina tábuas de mortalidade.
2. De que fatores depende a construção das tábuas de mortalidade?
3. Quais são as funções atuariais de maior importância?
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25
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você irá se aprofundar em 
alguns cálculos atuariais de funções biométricas 
mais presentes e simples. Você verá processos 
que envolvem apenas uma vida, pois não é as-
sunto deste curso o aprofundamento em cálcu-
los com mais de uma cabeça e sua generalização, 
mas verá cálculos para grupos abertos, que repre-
sentam a situação mais comum: seguros de vida, 
planos de saúde e planos de previdência. 
Assim, você vai ver neste capítulo:
�� a conceituação e descrição das princi-
pais funções biométricas, funções com-
plementares e comutações;
�� seus cálculos de probabilidade para 
uma vida.
Vejamos, então, as principais funções bio-
métricas, usando as probabilidades das tabelas 
de mortalidade.
4.1 Funções Biométricas Básicas para uma Vida
FUNÇÕES BIOMÉTRICAS4 
�� Probabilidade de vida de alguém na 
idade x:
x
1x
l
l +=xp
�� Probabilidade de morte de alguém na 
idade x:
x
x
xxx
1xx
x l
dqp1qllq =⇒−=⇒−= +
xl
�� Probabilidade de alguém com idade x 
sobreviver a n anos:
x
x
l
l n
xn p +=
�� Probabilidade de alguém com idade x 
falecer na idade de x+n anos:
 x
x
l
dq nxn +=
Graficamente, os valores de px e qx compor-
tam-se na forma do gráfico a seguir, sendo im-
portante frisar que essa não é uma distribuição 
normal; assim, a forma de se tirar a média é dife-
rente, bem como os cálculos das demais variáveis 
quantitativas:
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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26
Observe que, enquanto uma das funções 
decresce (sobrevivência), a outra cresce (mortali-
dade).
Exemplos
1. Vamos calcular as funções básicas an-
teriores, usando a tábua AT-2000, com 
juros de 0% ao ano:
a) Qual a probabilidade de se estar 
vivo aos 45 anos?
podemos fazer de duas formas:
Olhando direto na linha dos 455 anos na tabela 
até a coluna do e encontrando o valorpx ::
 ou 
ou fazendo os cálculos:
p , %
px
45 0 998052 99 81=
= +
,
l
l
x 1
x
⇒⇒ ⇒ = = =+aplicando a idade de 45 anos p l
l45
45
45
46
45
96 630l
l
. ,1 997
96 812 57
0 9981
. ,
,=
Vemos o mesmo valor como resultado final.
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27
b) Qual a probabilidade de se estar 
morto aos 50 anos?
podemos fazer de duas formas:
Olhando direto na linha dos 500 anos na tabela até a coluna do e encontrando o valorqx ::
 ou 
ou fazendo os cálculos:
q %
q l lx x x
50
1
0 003330 0 33=
=
− +
, ,
ll
,
.x
⇒ = ⇒ =
d
l
d
l
x
x
 aplicando a idade de 50 anos 50
50
318 43
95 627,,
,
l
l
. , . ,
. ,
,
12
0 0033
95 627 12 95 308 69
95 627 12
0 050 50 51
50
=
=
−
=
−
=p l 0033
Novamente, observa-se que o resultado é 
igual calculando das duas formas.
c) Qual a probabilidade de alguém 
com 35 anos sobreviver mais 10 
anos?
10 35
35 10
35
45
35
96 819 57
97 889 05
0 9981p l
l
= = = =+
l
l
. ,
. ,
,
Note que essa pergunta poderia estar for-
mulada como: qual a possibilidade de uma pes-
soa de 35 anos estar viva aos 45 anos?
d) a probabilidade de alguém com 25 
anos vir a falecer daqui 5 anos?
5 25
25 5
25
30
25
77 60
98 637 41
0 000787 0 078q d
l
d
l
= = = =+
,
. ,
, , % ou 
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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28
Primeiramente, vamos definir o que são 
grupos “fechados” e “abertos”.
Para esse caso, temos que definir grandezas 
para o número de pessoas que saem do grupo 
com idade x, que chamaremos Sx, e as que entram 
na idade x, que denotaremos ex. 
Define-se, então, uma função da diferença 
entre os que entram e saem, chamada Ux:
 xxx SeU −=
Se pensarmos que as entradas e saídas de 
participantes são uniformes no grupo, nesse caso, 
em um período de um ano (x e x+1), as pessoas 
que podem ter morrido aumentaram ou diminuí-
ram o número de vivos (lx). Portanto, nesse caso, 
há uma variação dosparticipantes ao risco de 
morte e, dessa forma, precisamos de uma nova 
representação da probabilidade, que chamare-
mos Nx.
Assim, Nx representa a quantidade de pes-
soas que, no período de um ano, foram expostas 
ao risco de morte. Então:
( )
2
UlSe
2
1lN xxxxxx +=−−=
Dessa forma, para grupos abertos, pode-
mos escrever que a probabilidade de morte qx 
aumenta ou diminui, usando a expressão de Nx. 
Temos, agora:
x
x
x N
d
q =
Veja, agora, outras funções biométricas im-
portantes. Tais funções indicam, como já disse-
mos, as probabilidades de certos acontecimentos; 
portanto, também são importantes para análises 
e avaliações atuariais.
4.2 Probabilidade de Falecimento em Grupos Abertos
4.3 Funções Biométricas Auxiliares
AtençãoAtenção
Os chamados grupos fechados são grupos em 
que o número de participantes é fechado em 
todo o seu desenvolvimento durante o tempo. Já 
os chamados grupos abertos são os planos com 
grupos em que, todo o tempo, entram e saem 
indivíduos.
São importantes para avaliações de fundos 
de pensão, previdência aberta e seguros em gru-
po. Veremos, agora, os conceitos de algumas fun-
ções biométricas importantes.
Taxa Central de Mortalidade
Denotada por mx, dá-nos a relação entre os 
que faleceram, em certo instante de tempo, entre 
as idades x e x+1. Sendo assim, usando qx, temos:
x
x
x q2
q.2m
−
=
Pessoas Vivas na Metade da Idade x (Lx)
Define o que exatamente seu nome diz: 
pessoas vivas na metade da idade x ou no meio 
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29
do ano da idade x. É importante, pois é calculada 
para grupos fechados na chamada população es-
tacionária:
2
1xx
lL
+
=
Vida Provável (Vp)
Nesse caso, é definida como a expectativa 
de vida ou quantos anos uma pessoa de idade x 
espera viver. Usando, para exemplificar, a tábua 
CSO-1980, podemos calcular a vida provável de 
uma pessoa de 30 anos: L30 = 958.000 (esse núme-
ro foi obtido observando-se, na tabela, a linha da 
idade de 30 anos até a coluna lx).
Assim, fazemos: Vp = l30/2 = 958.000/2 = 
479.000. Volta-se à tabela e se procura em lx um 
valor aproximado a 479.000; encontra-se para a 
idade de 75 anos. Por fim, fazemos 75 – 30 = 45 
anos. Logo, Vp = 45 anos.
4.4 Funções Biométricas Complementares
São funções que podem aparecer nas tá-
buas de mortalidade e têm papel importante nos 
cálculos atuariais em geral. Vamos conhecer algu-
mas delas.
Quantidade de Existência (Tx)
É o acompanhamento de um grupo ano a 
ano até a sua extinção, em que se somam os anos 
vividos pelos membros do grupo de uma certa 
idade x até a sua extinção; assim, sua expressão é:
x
x
x N2
lT +=
Observando os números consecutivos des-
sa tabela, obtemos o número de sobreviventes da 
maior idade analisada: N24 – N25 = total de sobrevi-
ventes de idade de 25 anos. 
Vejamos, então, aplicando isso a uma tábua 
(vamos usar a CSO-1980):
N24 = 46.713.912
N25 = 45.747.548
N24 – N25 = 46.713.912 - 45.747.548 = 966.364
Esperança Completa de Vida (ex
0)
Definida como a quantidade média de anos 
que alguém de idade x deverá viver, é chamada 
completa, pois considera a metade do ano anterior:
x
x0
x l
N
2
1e +=
Veja um exemplo para facilitar a compreen-
são: qual seria a esperança de vida completa de 
um homem de 41 anos usando como tábua a 
CSO-1980:
e N
l41
0 41
41
1
2
0 5 30 529 045
934 891
0 5 32 66 33 16= + = + = + =, . .
.
, , , 
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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30
Observe que os dados de Nx e lx foram obti-
dos na tabela, observando a linha dos 41 anos até 
as colunas de Nx e lx.
São tabelas usadas para simplificar os cálcu-
los da determinação de prêmios para cada idade 
e foram criadas, em 1785, pelo alemão Hans-Ni-
colas Tittes.
Essas tabelas são construídas, basicamente, 
pelas funções lx e dx e pelo fator 
x.
Quando falamos de tabelas de comutação, 
temos que saber que teremos seis colunas, além 
de lx e dx, e que as suas funções podem ser dividi-
das em dois grupos básicos; vejamos a seguir:
Funções de Sobrevivência ou Primeira Série
∑=
∑=
=
=
=
ω
ω
υ
xx
xx
xx
xx
x
xx
NS
DN
lD .
Observe que a última função depende dos 
valores obtidos na segunda, que depende dos va-
lores da primeira. O símbolo S (somatório) signifi-
ca que a função é a soma de todos os valores até 
o valor dado para x.
Essa mesma dependência veremos nas fun-
ções de morte, que virão a seguir.
Funções de Morte ou Segunda Série
∑=
∑=
=
=
=
ω
ω
υ
xx
xx
xx
xx
x
xx
MR
CM
dC .
Nos próximos capítulos, iremos utilizá-las 
para calcular os valores dos prêmios de seguro e 
das rendas. Note que, para cada taxa de juros dife-
rente, temos uma tabela de comutação diferente.
4.5 Tabelas de Comutação
AtençãoAtenção
x é chamado fator de desconto e definido por 
uma função que depende da taxa de juros anual 
(i) e da idade x:
( )x
x
i1
1
+
=ν
Então, para uma mesma tabela, teremos várias 
tabelas diferentes se mudarmos os valores dos 
juros anuais.
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Caro(a) aluno(a),
Você viu, neste capítulo:
�� a conceituação e descrição das principais funções biométricas, funções complementares e co-
mutações;
�� seus cálculos de probabilidade para uma vida.
Este capítulo foi muito importante, pois as funções são a alma do cálculo atuarial; assim, agora você 
está preparado(a) para resolver as atividades.
4.6 Resumo do Capítulo
4.7 Atividades Propostas
1. Qual é a diferença entre grupos abertos e fechados?
2. O que são tabelas de comutação?
3. Quais são as funções de vida?
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33
Caro(a) aluno(a),
Os assuntos deste capítulo tratam dos con-
ceitos de seguro de vida e de sobrevivência, do 
que dependem e cálculos simples do uso desses 
conceitos. Você verá, portanto, neste capítulo:
�� o conceito de seguro de pessoas e suas 
implicações;
�� o conceito de seguro de sobrevivência;
�� alguns exemplos de cálculo.
Os seguros de pessoas podem ser definidos 
de várias formas, mas, em relação ao novo Código 
Civil, são aqueles que protegem contra os riscos a 
que as pessoas estão sujeitas:
�� acidentes dos mais vários tipos;
�� doença e invalidez;
�� de vida em grupo ou individual;
�� educação e saúde.
Como você já viu, um contrato de seguros 
precisa estar devidamente regulamentado e fir-
mado nas bases da boa-fé e da verdade, em que 
as circunstâncias descritas sejam verdadeiras e 
que seja de interesse real das duas partes a não 
realização do sinistro.
Sendo assim, o seguro de pessoas tem seu 
valor dado pela seguradora e o segurado pode ter 
mais de uma apólice na mesma seguradora ou em 
outras várias. Portanto, a seguradora deve mos-
trar-se preparada em caso de sinistro, para cobrir a 
falta ou invalidez de seu segurado, bem como de 
seu cônjuge, descendentes, parentes próximos ou 
beneficiários nos mais diversos casos.
No tocante aos cálculos atuariais para o se-
guro de vida individual, seu tratamento matemá-
tico é parecido com o daqueles dados aos planos 
de previdência complementar. Sendo esses cálcu-
los norteados pela taxa de juros que incidirá nos 
cálculos e pelas probabilidades de ocorrência do 
risco, a escolha de uma taxa errônea pode ser ruim 
tanto para a seguradora quanto para o cliente.
As seguradoras, em geral, trabalham com 
taxas um pouco abaixo das do mercado, na mé-
dia, criando uma taxa média em longo prazo. 
Note que aqui vale a pena destacar que países 
com economia estável têm, com certeza, meno-
res taxas médias e valores de prêmio menores, 
devido a não volatização do mercado financeiro.
Podemos dizer, então, que as vigas mestras 
que sustentam os seguros são as probabilidades 
de ocorrência de risco e a taxa de juros técnicos. 
Cabe dizer aqui que, após eleita certa taxa de ju-
ros para determinado seguro, esta o acompanha-
rá durante toda a sua vigência.
SEGUROS5 
Saiba maisSaiba mais
Veja, portanto, quais sãoos principais fatores que in-
correm no risco, na formulação de diversos tipos de 
seguros de vida, e que, junto às funções biométricas 
e de comutação, são base para o cálculo dos prê-
mios. Perceba que tais fatores podem vir sozinhos 
ou podem ser colocados juntos no cálculo do valor:
•	duração da cobertura;
•	vigência do seguro;
•	 forma de pagamento dos prêmios – postecipado 
ou antecipado;
•	periodicidade do pagamento – mensal, anual etc.;
•	 forma de pagamento da quantia segurada – ca-
pital ou renda;
•	período de tempo para o pagamento da cobertu-
ra – vitalício ou temporário.
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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34
Segundo Ferreira (1985), podem-se classifi-
car os seguros de vida individual em:
�� seguros de sobrevivência;
�� seguros em caso de morte;
�� seguros mistos.
Podemos definir os seguros em caso de 
morte como aqueles em que, ao falecimento do 
segurado, os beneficiários que constam na apóli-
ce são indenizados. 
Essa modalidade é dividida em dois grupos:
Seguro Temporário
Nesse caso, tem-se que o segurado é cober-
to dentro de certo período de tempo predefinido. 
Caso o segurado faleça antes desse tempo, os be-
neficiários não terão direito ao capital segurado.
O seguro temporário é dividido em duas 
classes distintas:
�� imediato;
�� diferido.
Essas classes estão ligadas ao instante tem-
poral da cobertura do seguro. No imediato, o se-
gurado é coberto a partir da data da assinatura da 
apólice e o seguro estende-se até um prazo já de-
terminado para terminar. Já no diferido, há uma 
data a partir da qual a cobertura irá acontecer e 
uma data para seu término; fora, desse prazo, tal-
vez não haja nenhum tipo de indenização.
Vejamos, então, como se calcula o prêmio 
puro que o segurado deverá pagar nos casos ci-
tados; observe que, também para os valores de 
comercialização, devem-se colocar a taxa de car-
regamento (prêmio comercial) e os valores de co-
brança de impostos (prêmio bruto).
Portanto, temos, agora, a expressão dos 
prêmios para cada caso citado:
�� seguro imediato temporário:
Q.
D
MM
A
x
nxx
xn|
+−=
�� seguro diferido temporário:
Q.
D
MM
A
x
nmxmx
xm|n
+++ −=
Vejamos a aplicação dessas expressões 
num exemplo: Ricardo, que tem 35 anos, quer 
fazer um seguro de vida de um capital segurado 
de R$ 100.000,00, porém está em dúvida de qual 
forma o faz, usando a tabela AT-2000, com juros 
de 6% ao ano:
a) que seja imediato, mas que termine 
quando fizer 65 anos;
b) que seja diferido, comece quando ele 
tiver 45 anos e termine quando tiver 65 
anos.
5.1 Seguros em Caso de Morte
AtençãoAtenção
Para conseguirmos a expressão do prêmio puro, 
devemos conhecer a equação que rege o prin-
cípio de equivalência atuarial, o qual diz que, na 
data da determinação do prêmio, deve haver um 
equilíbrio entre o Valor Atual dos Prêmios devi-
dos pelo segurado (VAP) e o Valor Atual dos Be-
nefícios prometidos pelo segurador (VAB) (FANA, 
MARTÍNEZ; ZANÓN, 1999). Sendo assim, temos 
que ter: (VAP) = (VAB).
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35
Resolução:
a) Nesse caso, vamos dispor os elementos 
de nosso problema em nossa fórmula e 
buscar os dados na tábua indicada:
| . .
. , ,
. ,30 35
35 35 30
35
35 65
35
1 151 32 707 60
12 735
A M M
D
Q M M
D
Q= − = − = −+
888
100 000 00
3 011 5430 35
. . ,
. ,|Prêmio = =A
Note que o valor à esquerda de A é a di-
ferença entre a idade em que se quer ter-
minar o prazo e a idade que ele tem no 
momento. Para obter os valores, tem-se 
que ir à tabela e procurar, nas linhas das 
idades indicadas, os valores das colunas 
com as funções indicadas nos cálculos.
b) Usando a expressão indicada:
10 20 35
35 10 35 10 20
35
45 65
35
10 20 35
1 053
|
|
. .
. ,
A M M
D
Q M M
D
Q
A
=
−
=
−
=
+ + +
448 707 60
12 735 88
100 000 00 2 715 79− =,
. ,
. . , . ,
Seguem-se as mesmas orientações do cál-
culo anterior, frisando que:
�� 10 = 45 - 35 (idade do início do prazo de 
cobertura – idade atual);
�� 20 = 65 - 45 (idade final do prazo de co-
bertura – idade do início do prazo);
�� 35 = idade atual de contratação do se-
guro.
Seguro Vitalício
Já nesses casos, cobre-se o risco de forma vi-
talícia, independentemente do instante da morte 
do segurado. O valor obtido pelo cálculo é o valor 
que o segurado deve dar em cota única para estar 
coberto de um dado valor no momento do sinistro. 
Também é chamado seguro de vida inteira.
Usa-se a mesma equação atuarial, mas com 
os riscos desse tipo de apólice, que também é di-
vidido em imediato e diferido. No caso do imedia-
to, logo após o pagamento do valor que vamos 
calcular, o segurado já está coberto por toda a sua 
vida; já no caso do diferido, a cobertura dá-se na 
data prevista ao deferimento, sendo que os bene-
ficiários correm o risco de nada receber de inde-
nização caso o segurado venha a falecer antes da 
data estipulada.
A seguir, vemos as expressões para os prê-
mios puros nos casos de renda vitalícia imediata 
e diferida:
�� seguro imediato vitalício:
Q.
D
MA
x
x
x =
�� seguro diferido vitalício:
Q.
D
MA
x
nx
x/n
+=
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Veja, agora, alguns exemplos.
Saiba maisSaiba mais
Depois de conhecer os valores dos prêmios para os seguros temporários, Ricardo ficou tentado em conhecer os valores 
dos seguros vitalícios. Então, para uma mesma importância segurada (capital segurado) de R$ 100.000,00, da mesma 
tábua atuarial usada anteriormente, sua pergunta foi:
a) Qual seria o seguro vitalício na sua idade?
b) Qual será o valor do seguro vitalício se a data do deferimento for quando fizer 65 anos? 
Resolvendo:
a) usando a expressão que nos indica o prêmio para a renda vitalícia, temos:
A M
D
Q35 35
35
1 151 72
12 735 88
100 000 00
9 043 11
= =
=
. . ,
. ,
. . ,
. ,Prêmio 
b) usando a expressão indicada para o caso:
30 35
35 30
35
65
35
707 60
12 735 88
100 000 00/ . .
,
. ,
. . ,A M
D
Q M
D
Q= = =+
Prêmiio = 5 555 96. ,
Vamos, agora, para uma nova modalidade 
de seguro de vida, do tipo sobrevivência.
5.2 Seguros de Sobrevivência
Podemos definir seguros de sobrevivência 
como aqueles em que o segurado tanto pode 
ser indenizado se vencer o prazo de sua apólice 
quanto seus beneficiários receberem a indeniza-
ção no caso de seu falecimento.
Para tal, é necessário que todos os segu-
rados formem um fundo, em que se deve pagar 
uma parcela única correspondente à expressão 
a seguir. Note que não faremos a dedução dessa 
expressão, mas ela se apoia na equação do equi-
líbrio atuarial.
Q.
D
D
E
x
nx
xn
+=
A seguir, observe um exemplo: Maria José, 
que está com 41 anos, fará um seguro de sobre-
vivência para que receba um valor de capital se-
gurado de R$ 50.000,00 quando fizer 60 anos. Sa-
bendo que o corretor usou a tabela AT-2000, com 
juros de 6% ao ano, qual a valor do prêmio único 
e puro que ela deverá pagar?
Resolução:
Basta que apliquemos a expressão, mas 
tome cuidado que o valor de n = idade no 
final do prazo – idade atual e que utilizare-
mos a tábua citada:
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37
19 41
41 19
41
60
41
2 758 94
8 931 09
50 000 00E D
D
Q D
D
Q= = =+ . . . ,
. ,
. . ,
Prêmioo =15 445 71. ,
5.4 Resumo do Capítulo
5.3 Seguros Mistos
Modalidade na qual se combinam os casos 
de seguro por morte e sobrevivência. O valor do 
prêmio puro é calculado pela soma dos tipos de 
coberturas efetuados pelo seguro.
Note que há diversas formas de formular o 
seguro para o caso, combinando os tipos ante-
riormente destacamos, mas à guisa de exemplo, a 
seguir observe um caso em que o seguro usa uma 
cobertura de morte temporária mais a de sobre-
vivência: Giovanna, que tem 30 anos, gostaria de 
saber qual será o prêmio único e puro a pagar se 
contratar um seguro misto, que cubra seu faleci-
mento ou, no caso de ela sobreviver 10 anos, re-
ceba ovalor de capital segurado de R$ 50.000,00 
(usar a tabela AT-2000, i = 6% ao ano).
Resolução:
Usando as expressões que já estudou, você 
tem:
No caso, iremos somar as expressões do seguro desobrevivênccia e a cobertura 
por morte temporária:
A E D
D
Qx n n x x n
x
: .¬ = = + ++ =
−
=
¬ =
− +
=
+ +
+
+ +
n m x
x x n
x
x n
x x n x n
X
A M M
D
Q
A M M D
D
Q M M D
D
|
:
.
. .30 40 40
30
QQ
Ax n
=
¬
− +
=:
. , . , . ,
. ,
. . ,1 208 46 1 106 68 9 476 84
17 110 84
100 000 00
Prêmmio = 55 979 84. ,
Você termina este capítulo neste ponto e se 
prepara, agora, para estudar os seguros de 
rendas, em que verá casos de pagamentos 
em série dos mais diversos tipos. Agora, re-
leia os conceitos que estão assinalados no 
resumo a seguir.
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você viu:
�� o conceito de seguro de pessoas e suas implicações;
�� o conceito de seguro de sobrevivência;
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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38
�� alguns exemplos de cálculo.
Portanto, agora você está pronto(a) para as atividades; realize-as com atenção.
1. O que é um seguro de sobrevivência?
2. O que são seguros mistos?
3. O que é um seguro em caso de morte?
 
5.5 Atividades Propostas
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39
Caro(a) aluno(a),
Você pode definir renda como certo valor 
em dinheiro que se dará, por um determinado 
intervalo de tempo ou pelo resto da vida, de for-
ma periódica, a uma seguradora, banco, fundo de 
pensão ou previdência social. Mas como são 
divididas e classificadas as rendas? Este é o assun-
to tratado neste capítulo; assim, você verá:
�� conceito de renda financeira e atuarial;
�� tipos de renda;
�� classificação e conceituação das rendas 
atuariais.
6.1 Conceituando Rendas Financeiras e Atuariais
RENDAS6 
A renda financeira é o tipo de renda (paga-
mentos periódicos por determinados intervalos 
de tempo) em que não ocorre nenhuma eventua-
lidade, ou seja, após fixados os pagamentos, seus 
valores não variam e não há indenização para o 
segurado caso ocorra algum tipo de sinistro; além 
disso, são por tempo limitado. 
São exemplos os pagamentos de créditos 
pessoais, de empréstimos em geral, duplicatas, 
entre outros tipos de problemas ligados à mate-
mática financeira.
No caso, após certo período de pagamen-
tos à seguradora (ou companhia de previdência 
privada aberta) ou o pagamento único, o segu-
rado estará coberto, recebendo da empresa que 
contratou uma série de pagamentos: mensais, 
anuais e outros intervalos de tempo previamente 
acordados. As rendas, então, podem ser:
�� tontineiras;
�� antecipadas: quando pagas no início do 
período;
�� postecipadas: quando pagas no final do 
período;
�� crescentes ou decrescentes;
�� vitalícias ou temporárias.
AtençãoAtenção
No caso das rendas atuariais ou aleatórias, o pa-
gamento, apesar de previamente combinado, 
tem duração incerta. Um exemplo disso é um 
seguro de vida, em que a pessoa se compromete 
a pagar um determinado valor à seguradora por 
toda a sua vida, até a ocorrência do sinistro.
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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Desenvolvidas, no século XVII, por Louren-
zo Tonti, representam o benefício individual a ser 
recebido pelo próprio comprador após uma série 
de pagamentos.
Seu raciocínio de composição é que um gru-
po com lx pessoas contribuindo, se vivas n anos 
em seu início, formará um fundo que, rendendo a 
juros, manterá os recursos necessários para pagar 
os sobreviventes no prazo final.
Sua expressão será, portanto:
/ .n x x x n
x n
S N N
D
P = − +
+
6.2 Rendas Tontineiras
6.3 Rendas de Sobrevivência
Saiba maisSaiba mais
Veja, a seguir, um exemplo do tipo: Mariana tem trinta anos e vai contribuir durante 20 anos em um plano de previdên-
cia em que os prêmios anuais e constantes são fixados em R$ 2.400,00. Qual será o valor recebido por Mariana ao fim 
desses 20 anos? (AT-2000 e i = 0% ao ano).
Solução:
Utilizando as mesmas funções de comutação que usamos em seguro e seguindo as mesmas ideias na substituição dos 
subíndices:
/
/
. . . ,20 20 20 20 20
20 20
20 40
40
20 20
2 400 00
6


S N N
D
P N N
D
S
=
−
=
−
=
=
+
+
.. . , . . ,
. ,
. . . ,
. ,
068 815 53 4 102 963 18
97 476 07
1 965 852 35
97 476 07
−
=P ..
, . , . ,/
P
S x20 20 20 17 2 400 00 48 402 09 = =
As de nosso interesse são as de sobrevivên-
cia, que são definidas como aquelas em que a 
seguradora paga o valor acordado durante toda 
a vida do segurado, cessando os pagamentos 
quando do seu falecimento.
Na figura a seguir, podemos ver suas divi-
sões e subdivisões:
Métodos Quantitativos e Cálculos Atuariais
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No geral, são esses modelos de renda que 
temos para os planos de previdência privada. Ve-
jamos, a seguir, as expressões e exemplos para as 
rendas vitalícias.
Renda Anual Imediata Vitalícia Antecipada
Da equação do equilíbrio atuarial, temos 
para o caso:
a N
D
Rx x
x
= .
Note que R é o valor da renda desejada.
Vamos ver um exemplo: João tem 45 anos e 
deseja receber, de forma imediata e até o fim de 
sua vida, o valor de R$ 1.500,00. Qual seria, então, 
o prêmio único e puro necessário para tal opera-
ção? (usar tábua AT-2000 e i = 6% ao ano).
Resolução:


a N
D
a
45
45
45
45
1 500 00 105 651 48
7 033 95
1 500 00
15
= =
=
. . , . ,
. ,
. . ,
,002 1 500 00 22 230 33x . , . ,=
Celi Cristina Passarelli Iamazaki
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Renda Anual Imediata Vitalícia Postecipada
Nesse caso, como já vimos, o pagamento é 
no fim de cada ano e sua expressão é dada por:
a N
D
Rx x
x
= +1 .
Vamos, então, usar o exemplo anterior, só 
que agora de forma postecipada:
a N
D
N
D45
45 1
45
46
45
1 500 00 1 500 00 98 617 53
7 033 95
1= = =+ . . , . . , . ,
. ,
. .5500
14 02 1 500 00 21 030 3345
=
= =a x, . , . ,
Nos próximos itens, veremos os modelos 
mais comumente usados nos planos de previdên-
cia privada.
Renda Anual Diferida Vitalícia Antecipada
n x
n x
x
a N
D
R/ . = +
 
Carla contratou um plano de previdência, o 
qual permitirá que, a partir de 65 anos, ela rece-
ba R$ 2.000,00 anualmente até o fim de sua vida. 
Carla, hoje, tem 40 anos; quanto deverá pagar de 
prêmio único e puro? (usar tábua AT-2.000 e i = 
6% ao ano).
Vamos resolver então:
25 40
25 40
40
65
40
2 000 00 22 406 76
9 476 84
2 0/ . . . ,
. ,
. ,
. .a N
D
R N
D
= = =+ 000 00
4 728 7425 40
,
. ,/ a =
Observe que o índice inferior à esquerda é 
o número de anos que faltam para sair da idade 
atual e chegar à idade do início dos pagamentos.
Renda Diferida Vitalícia Postecipada
n x
n x
x
a N
D
R/ .= + +1
 
 
Veja que podemos fazer um exemplo de 
postecipada usando o exemplo anterior, se Car-
la quisesse que os pagamentos fossem no fim do 
ano:
Métodos Quantitativos e Cálculos Atuariais
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25 40
25 40 1
40
66
40
2 000 00 20 430 85
9 476 84
2 0/ . . . ,
. ,
. ,
. .a N
D
R N
D
= = =+ + 000
2 16 2 000 00 4 320 0025 40
=
= =/ , . , . ,a x
Agora, veremos para as rendas temporárias.
Renda Anual Imediata Temporária Antecipada
Nesse caso, temos a situação de alguém 
que quer receber seu benefício de renda estando 
vivo, durante certo prazo de anos, a partir de sua 
idade atual, no início do ano:
/ .n x x x n
x
a N N
D
R = − +
Observe que a notação mudou: a barra que 
existia no subíndice, no canto esquerdo, ficou 
mais à esquerda do que era antes.
Exemplo: Josué está com 45 anos e contra-
tou um plano de previdência no qual irá receber 
imediatamente e no começo de cada ano um va-
lor de R$ 1.500,00, se encontrar-se vivo durante 
20 anos. Qual o valor do prêmio puro e único que 
Josué deverá pagar? (AT-2000 e i = 6% ao ano).
/
/
. .
. , .
20
45 45 20
45
45 65
45
20
105 651 48 22


a N N
D
R N N
D
R
a
x =
−
=
−
=
=
−
+
4406 76
7 033 95
1 500 00 83 244 72
7 033 95
1 500