Análise Combinatória: Questões de Múltipla Escolha

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Questão 1/10 - Análise Combinatória
Dois eventos AA e BB são chamados independentes se P(A∩B)=P(A)⋅P(B).P(A∩B)=P(A)⋅P(B). Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de serem obtidas). Considere os eventos:
AA:  "O resultado é par".
BB: "O resultado é maior ou igual a 5".
CC: "O resultado é múltiplo de 3".
Com base nesse experimento e os eventos listados acima, assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I.  (   ) Os eventos AA e BB são independentes. 
II.  (   ) Os eventos AA e CC são independentes. 
III.  (   ) Os eventos BB e CC são independentes. 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
Inicialmente, as probabilidades de ocorrerem os eventos AA, BB e CC são dadas, respectivamente, por P(A)=36=12P(A)=36=12, P(B)=26=13P(B)=26=13 e P(C)=26=13.P(C)=26=13. Observamos que A∩B={6}.A∩B={6}. Assim, P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B),P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B), o que garante que os eventos AA e BB são independentes e a afirmativa I é verdadeira. Notamos agora que A∩C={6}.A∩C={6}. Logo, P(A∩C)=16=P(A)⋅P(C)P(A∩C)=16=P(A)⋅P(C) e a afirmativa II também é verdadeira. Além disso, B∩C={6}B∩C={6}, donde P(B∩C)=16≠P(B)⋅P(C),P(B∩C)=16≠P(B)⋅P(C), o que nos leva a concluir que BB e CC não são independentes. Portanto, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 2/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x3x3 no desenvolvimento de (x+3)5(x+3)5:
Nota: 0.0
	
	A
	60
	
	B
	70
	
	C
	80
	
	D
	90
O termo geral do desenvolvimento de (x+3)5(x+3)5 é dado por Tp+1=(5p)3px5−pTp+1=(5p)3px5−p com 0≤p≤5.0≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x3x3, devemos impor que 5−p=35−p=3, isto é, p=2p=2. Portanto, T3=(52)32x3=90x3.T3=(52)32x3=90x3.
	
	E
	100
Questão 3/10 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J,Q,KJ,Q,K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a este experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um JJ é 152152. 
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um JJ é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos MM o evento "sortear JJ". Logo, #M=4#M=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um JJ é P(M)=452=113P(M)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(M∩B)=152P(M∩B)=152 e P(B)=1352P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser JJ, dado que é de copas é P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113.P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 4/10 - Análise Combinatória
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R, a≠0.a∈R, a≠0.
111121133114641111121133114641
Nota: 0.0
	
	A
	x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4
Para obtermos os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)4,(x+a)4, consideramos a quinta linha do triângulo de Pascal. Como o termo geral é Tp+1=(4p)apx4−p,Tp+1=(4p)apx4−p, concluímos que o desenvolvimento deste binômio é dado por x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.
	
	B
	x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4
	
	C
	x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4
	
	D
	a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4
	
	E
	a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax
Questão 5/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento do binômio (3x+2)3.(3x+2)3.
Nota: 0.0
	
	A
	18
	
	B
	27
	
	C
	36
	
	D
	54
O termo geral do desenvolvimento do binômio (3x+2)3(3x+2)3 é dado por Tp+1=(3p)2p(3x)3−p=(3p)2p33−px3−p.Tp+1=(3p)2p(3x)3−p=(3p)2p33−px3−p. Como estamos interessados no coeficiente de x2x2, devemos impor que 3−p=23−p=2, isto é, p=1p=1. Portanto, este coeficiente vale (31)2⋅32=54.(31)2⋅32=54.
	
	E
	63
Questão 6/10 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a esse experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um AA é 152152.
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um AA é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos AA o evento  "sortear AA". Logo, #A=4#A=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um AA é P(A)=452=113P(A)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(A∩B)=152P(A∩B)=152 e P(B)=1352.P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser AA, dado que é de copas é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 7/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta a soma dos coeficientes do polinômio p(x)=(x+1)5.p(x)=(x+1)5.
Nota: 0.0
	
	A
	16
	
	B
	24
	
	C
	32
Desenvolvendo p(x)p(x) com auxílio do Binômio de Newton, temos p(x)=5∑p=0(5p)x5−p.p(x)=∑p=05(5p)x5−p. Da expressão acima, garantimos que a soma dos coeficientes do polinômio p(x)p(x) é obtida fazendo-se x=1x=1, ou seja, p(1)=(1+1)5=32.p(1)=(1+1)5=32.
	
	D
	40
	
	E
	48
Questão 8/10 - Análise Combinatória
Eduardo tem cinco camisas: uma preta de mangas curtas, uma preta de mangas longas, uma azul, uma cinza e uma branca, e quatro calças: uma preta, uma azul, uma verde e uma marrom. Assinale a alternativa que apresenta o número de maneiras que ele pode se vestir com uma camisa e uma calça de cores diferentes.
Nota: 0.0
	
	A
	12
	
	B
	15
	
	C
	17
Eduardo tem 5 possibilidades de escolha de camisas e 4 de calças. Assim, sem levar em conta as cores, existem 5×4=205×4=20 modos de se vestir. Destes, devemos descontar os casos em que se repetem as cores de calça e camisa, que são apenas 3: camisa preta de mangas curtas com calça preta, camisa preta de mangas longas com calça preta e camisa azul com calça azul. Logo, teremos 20−3=1720−3=17 maneiras de Eduardo vestir uma camisa e uma calça de cores diferentes.
	
	D
	18
	
	E
	20
Questão 9/10 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
 
II. (   ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. (   ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio  (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém oscoeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 10/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente independente de xx no desenvolvimento de (x2+1√x)9(x2+1x)9:
Nota: 0.0
	
	A
	192192
	
	B
	212212
O termo geral do desenvolvimento deste binômio é
Tp+1=(9p)(1√x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p.Tp+1=(9p)(1x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p.
Como buscamos o termo independente de xx, devemos impor que 18−3p2=018−3p2=0, isto é, p=6p=6. Desta forma, o termo independente de xx vale T7=(96)123=212.T7=(96)123=212.
	
	C
	232232
	
	D
	252252
	
	E
	292292