Prova 02 - Algumas propriedades dos pares e ímpares

Prévia do material em texto

Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Autor: Gabriel F. Ferrari
Área: Matemática
Disciplina: Provas e Demonstrações
Prova 02 - Algumas propriedades dos inteiros
Soma e Produto de pares e ímpares
1 Apresentação
Olá caro estudante, Meu nome é Gabriel F. Ferrari Melo e produzo conteúdo voltado para
Matemática e Física do Ensino Superior, caso queira ver outros conteúdos como esse recomendo
que acesse meu perfil no Passei Direto que é a plataforma onde publico diversos materiais de
estudo dentre esses: resumos, notas de estudo pessoais, exercícios resolvidos e outros, para isso
basta acessar o link: https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/.
2 Comentários
Apresentamos a demonstração de alguns resultados de algumas operações dos números in-
teiros
1
https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Teorema 2.1 Se p e q são pares então p+ q e p · q são pares.
Proof. (Demonstração direta P → Q). Se por hipótese p e q são pares, então existem k, k′ ∈ Z
tais que p = 2k e q = 2k′ segue que a soma p + q = 2k + 2k′ = 2(k + k′) e o produto
p · q = (2k) · (2k′) = 2(2kk′) e logo p+ q e p · q são pares.
Teorema 2.2 Se p e q são ímpares então p+ q é par p · q é ímpar.
Proof. (Demonstração direta P → Q). Se p, q são ímpares então existem inteiros k, k′ tais que
p = 2k + 1 e q = 2k′ + 1 e segue que p + q = (2k + 1) + (2k′ + 1) = 2(k + k′ + 1) e logo
p+ q é par, do produto p · q = (2k+1)(2k′ +1) = 4kk′ +2(k+ k′) + 1 = 2(kk′ + k+ k′) + 1
e tem-se que o p · q é ímpar e o enunciado fica demonstrado.
Teorema 2.3 Se p é par e q é ímpar, então p+ q é ímpar e p · q é par.
Proof. (Demonstração Direta P → Q). Por hipótese temos que p é par e logo existe k ∈ Z e q é
ímpar então existe k′ ∈ Z tal que q = 2k′+1. Segue que, p+q = (2k)+(2k′+1) = 2(k+k′)+1
e logo p + q é ímpar, do produto p · q = (2k)(2k′ + 1) = 2(2k′ + 1) e assim o produto é par.
Deste modo o enunciado fica demonstrado.
Teorema 2.4 Se p é par então p2 é par.
Proof. (Demonstração Direta P → Q). Se p é par então existe um inteiro k tal que p = 2k
segue que, p2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2) e logo p2 é par. Assim fica demonstrado o enunciado.
Teorema 2.5 Se p é ímpar então p2 é ímpar.
Proof. (Demonstração Direta P → Q). Se p é ímpar existe k ∈ Z tal que p = 2k+1 logo segue
que p2 = (2k+1)2 = 4k2 +4k+1 = 2(2k2 +2k)+ 1 e portanto p2 é ímpar e o enunciado fica
demonstrado.
2
https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
	1 Apresentação
	2 Comentários