Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos

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 RESPOSTAS - Exercícios do Estudo de Funções. 
 ( ): A , A ,f y f x→  = 
 Prof. Me. Ayrton Barboni 
1) Estudar a monotonicidade das funções 
a)
 
2( ) 3 4f x x x= − + 
 Temos que '( ) 2 3f x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ '( ) 0 2 3 0 3/ 2f x x x=  − =  = 
 2º) Sinal de 'f : − +  − + 
 3/2 3/2 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 3/ 2]− e estritamente 
crescente em [3/ 2, [+ . 
 
b) 3 2( ) 4 1f x x x= − + 
 Temos que 2'( ) 3 8f x x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ 2 8/ 3'( ) 0 3 8 0 S {0, }f x x x=  − =  = 
 2º) Sinal de 'f : + − +  + − + 
 0 8/3 0 8/3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 8 / 3[0, ] e estritamente 
crescente em ] , 0]− e 8/ 3[ , [+ . 
 
c) 2( ) 5 3f x x x= − 
 Temos que '( ) 5 6f x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ '( ) 0 5 6 0 5/ 6f x x x=  − =  = 
 2º) Sinal de 'f : + −  + − 
 5/6 5/6 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [5/ 6, [+ e estritamente 
crescente em ] , 5/ 6]− . 
 
d)
 
4 2( ) 4 3f x x x= − + 
 Temos que 3'( ) 4 8f x x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ 3'( ) 0 4 8 0 S { 2, 0, 2}f x x x=  − =  = − 
 2º) Sinal de 'f − + − +  − + − + 
 2−
 
0 2 2−
 
 0 2 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 2] , ]− − e 2[0, ]
estritamente crescente em 2[ , 0]− e 2[ , [+ . 
 
e)
 
2( ) xf x x e= 
 Temos que 2'( ) (2 )xf x e x x= + . Estudo do sinal de 'f : 
 
2 
 
 1º) P/ 2'( ) 0 (2 ) 0 S { 2,0}xf x e x x=  + =  = − 
 2º) Sinal de 'f : + − +  + − + 
 −2 0 −2 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [ 2, 0]− e estritamente 
crescente em ] , 2]− − e [0, [+ . 
 
f)
 ( )
xf x xe= 
 Temos que '( ) (1 )xf x e x= + . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ '( ) 0 (1 ) 0 1xf x e x x=  + =  = − 
 2º) Sinal de 'f − +  − + 
 −1 −1 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 1]− − e estritamente 
crescente em [ 1, [− + . 
 
g)
 ( ) .ln , 0f x x x x=  
 Temos que '( ) ln 1f x x= + . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ 1'( ) 0 ln 1 0 S { }f x x e−=  + =  = 
 2º) Sinal de 'f : − +  − + 
 0 1e− 0 1e− 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 1]0, ]e− e estritamente 
crescente em 1[ , [e− + . 
 
h) 2( ) lnf x x= , 0x  
 Temos que 
2
'( )
x
f x = . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/
2
'( ) 0 0
x
f x =  =  não tem solução 
 2º) Sinal de 'f − +  − + 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 0[− e estritamente 
crescente em ]0, [+ . 
 
 i) 2( ) /( 9)f x x x= − , 3 e 3x x −  
 Temos que 
2
2 2
( 9)
( 9)
'( )
x
x
f x
− +
−
= . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/
2
2 2
( 9)
( 9)
'( ) 0 0
x
x
f x
− +
−
=  =  não tem solução
 
 2º) Sinal de 'f : − − −  − − − 
 −3 3 −3 3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em { 3, 3}− − . 
 
 
3 
 
2) Obter pontos de máximos e mínimos utilizando a monotonicidade das funções 
 
 a)
 
2( ) 3 2f x x x= − + 
 Temos que '( ) 2 3f x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ '( ) 0 2 3 0 3/ 2f x x x=  − =  = 
 2º) Sinal de 'f : − +  − + 
 3/2 3/2 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 3/ 2]− e estritamente 
crescente em [3/ 2, [+ . 
 Temos que 23/ 2 3 / 2 3 / 2( ) ( ) 3( ) 2 1/ 4f = − + = − 
 4º) Ponto mínimo local: m(3/2, −1/4). 
 
 b) 4 2( ) 2f x x x= − 
 Temos que 3'( ) 4 4f x x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ 3'( ) 0 4 4 0 S { 1, 0, 1}f x x x=  − =  = − 
 2º) Sinal de 'f − + − +  − + − + 
 1−
 
 0 1 1− 0 1 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 1]− − e [0, 1]
estritamente crescente em [ 1, 0]− e [1, [+ . 
 Temos que 4 21 1 1( ) ( ) 2( ) 1f − − −= − = − , 4 20 0 0( ) ( ) 2( ) 0f = − = e 
4 2
1 1 1( ) ( ) 2( ) 1f = − = − . 
 4º) Pontos de mínimo local: m1(−1 , −1) e m2(1, −1) 
 Pontos de máximo local: M(0 , 0). 
 
 c) 3( ) 5 6f x x x= − 
 Temos que 2'( ) 15 6f x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ 2'( ) 0 15 6 0 S { 10 /5, 10 /5}f x x=  − =  = − 
 2º) Sinal de 'f + − +  + − +10 / 5−
 
 10 / 5 10 / 5−
 
 10 / 5 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 10 10[ / 5, / 5]− e 
estritamente crescente em 10] , / 5]− − e 10[ / 5, [+ . 
 Temos que 
10
10
4
( / 5)
5
f − = e 
10
10
4
( / 5)
5
f
−
= . 
 4º) Pontos de mínimo local: 
10
10
4
m( / 5, )
5
−
 
 Pontos de máximo local: 
10
10
4
M( / 5, )
5
− . 
 
 d) 2( ) 6 8f x x x= − + 
 Temos que '( ) 2 6f x x= − . Estudo do sinal de 'f : 
 
4 
 
 1º) P/ '( ) 0 2 6 0 3f x x x=  − =  = 
 2º) Sinal de 'f : − +  − + 
 3 3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 3]− e estritamente 
crescente em [3, [+ . 
 Temos que 23 3 3( ) ( ) 6( ) 8 1f = − + = − 
 4º) Ponto mínimo local: m(3, −1). 
 
 e) 0( ) ln ,f x x x x = 
 Temos que '( ) ln 1f x x= + . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ 1'( ) 0 ln 1 0f x x x e−=  + =  = 
 2º) Sinal de 'f : − +  − + 
 0 1e− 0 1e− 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 1]0, ]e− e estritamente 
crescente em 1[ , [e− + . 
 Temos que 1 1 1( ) 1.f e e e− − −= − = − 
 4º) Ponto mínimo local: 1 1m( , )e e− −− . 
 
f) 
2
( ) xf x e= 
 Temos que 
2
'( ) 2 xf x xe= . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/
2
'( ) 0 2 0 0xf x xe x=  =  =
 
 2º) Sinal de 'f : − +  − + 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 0]− e estritamente 
crescente em [0, [+ . 
 Temos que 
20(0) 1f e= = 
 4º) Ponto mínimo local: m(0, 1) . 
 
 g)
 
2
( ) xf x e−= 
 Temos que 
2
'( ) 2 xf x xe−= − . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/
2
'( ) 0 2 0 0xf x xe x−=  − =  =
 
 2º) Sinal de 'f : + −  + − 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [0, [+ e estritamente 
crescente em ] , 0]− . 
 Temos que 
20(0) 1f e−= = 
 4º) Ponto máximo local: M(0, 1) . 
 
 
 
5 
 
 h) 2( ) 2 /( 1)f x x x= + 
 Temos que 2 2 2'( ) 2( 1) /( 1)f x x x= − − + . Estudo do sinal de 'f : 
 1º) P/ 2'( ) 0 2( 1) 0 S { 1, 1}f x x=  − − =  = − 
 2º) Sinal de − + −  − + − 
 1− 1 1− 1 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 1]− − e [1, [+
estritamente crescente em [ 1, 1]− . 
 Temos que 
2
2( 1)
1
( 1) 1
( ) 1f
−
−
− +
= = − , 
2
2(1)
1
(1) 1
( ) 1f
+
= = . 
 4º) Pontos de mínimo local: m(−1 , −1) 
 Pontos de máximo local: M(1, 1). 
 
3) Estudar a concavidade das funções 
a)
 
3 2( ) 4 3f x x x x= − + 
 Temos que 2'( ) 3 8 3f x x x= − + e ''( ) 6 8f x x= − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ ''( ) 0 6 8 0 S {4/3}f x x=  − =  = 
 2º) Sinal de ''f − +  − + 
 
 
 4 / 3 4 / 3 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ] , 4 /3[− e concavidade 
p/ cima em e ]4 /3, [+ . 
 
b)
 
4 3( ) 2f x x x= − 
 Temos que 3 2'( ) 4 6f x x x= − e 2''( ) 12 12f x x x= − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 2''( ) 0 12 12 0 S {0,1}f x x x=  − =  = 
 2º) Sinal de ''f + − +  + − + 
 
 
 0 1 0 1 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ]0, 1[ e concavidade p/ 
cima em ] , 0[− e ]1, [+ . 
 
 c)
 ( ) .ln , 0f x x x x=  
 Temos que '( ) ln 1f x x= + e 
1
''( )f x
x
= . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ ''( ) 0 1/ 0 S {}f x x=  =  = 
 2º) Sinal de ''f +  + 
 
 
0 0 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/cima em ]0, [+ . 
 
 
6 
 
d)
 
2( ) ln , 0f x x x=  
 Temos que '( ) 2 /f x x= e 
2
2
''( )f x
x
−
= . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 2''( ) 0 2/ 0 S {}f x x=  − =  = 
 2º) Sinal de ''f − −  − − 
 
 
0 0 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em {0}− . 
 
e)
 ( ) .
xf x x e= 
 Temos que '( ) (1 ). xf x x e= + e ''( ) (2 ). xf x x e= + . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ ''( ) 0 (2 ). 0 2 0 S { 2}xf x x e x=  + =  + =  = − 
 2º) Sinal de ''f − +  − + 
 
 
−2 −2 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ] , 2[− − e concavidade p/ 
cima em ] 2, [− + . 
 
 f) 2( ) . xf x x e= 
 Temos que 2'( ) (2 ). xf x x x e= + e 2''( ) ( 4 2). xf x x x e= + + . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 2 2 2 2 2''( ) 0 ( 4 2). 0 S { , }xf x x x e − − − +=  + + =  = 
 2º) Sinal de ''f + − +  + − + 
 2 2− − 2 2− + 2 2− − 2 2− + 
 3º)Conclusão:f tem concavidade p/baixo em 2 2 2 2] , [− − − + e 
concavidade p/ cima em 2 2] , [− −− e 2 2] , [− + + . 
 
4) Determinar pontos máximos ou mínimos de funções utilizando estudo concavidade 
 
a)
 
2( ) 3 4f x x x= − 
 Temos que '( ) 6 4f x x= − . Se '( ) 6 4 0,f x x= − =
 
então 2 / 3x = . Questão: 
Teremos em 2 / 3x =
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima. 
 Temos que ''( ) 6f x = . Logo, ''f é positiva para todo x real e, sendo assim, 
a concavidade de f estará voltada para cima em 2 / 3x = . Fato que nos permite 
concluir que aí teremos um ponto de mínimo local de f. 
 
 
 Sinal de ''f +  + 
 
 
 2/3 
 
7 
 
Conclusão: 
 Ponto mínimo local: 22 / 3 2 / 3( ) 3( ) 4( ) 4 /3f x = − = − . Logo, m(2/3, −4/3). 
 
b)
 
4 2( ) 2f x x x= − 
 Temos que 3'( ) 4 4f x x x= − . Se 3'( ) 4 4 0,f x x x= − =
 
então { 1,0,1}x − . 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, 
mínimo local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x. 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, com esta informação, resolveremos a questão. 
 Temos que 2''( ) 12 4f x x= − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 2 ,''( ) 0 12 4 0 S { 3 /3 3 /3}f x x −=  − =  = 
 2º) Sinal de ''f + − +  + − + 
 3 / 3− 3 / 3 3 / 3− 3 / 3 
 Conclusão: 
 1x• = − é menor que 3 / 3− e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
4 2( 1) ( 1) 2( 1) 1f − = − − − = − e m( 1, 1)− − é ponto mínimo local de f. 
 0x• = é valor entre 3 / 3− e 3 / 3 e a concavidade de f é voltada 
p/baixo. Logo, 4 2(0) 0 2(0) 0f = − = e M(0,0) é ponto máximo local de f. 
 1x• = é maior que 3 / 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
4 2(1) (1) 2(1) 1f = − = − e m(1, 1)− é ponto mínimo local de f. 
 
c)
 
2
( ) xf x e−= 
 Temos que
2
'( ) 2
x
f x xe
−
= − . Se 
2
'( ) 2 0,xf x xe−= − =
 
então {0}x . Questão: 
Teremos em 0x =
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das 
alternativas acima. 
 Temos que 
2 2''( ) 2 (1 2 )xf x e x−= − − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/
2 2
,''( ) 0 2 (1 2 ) 0 S { 2 / 2 2 / 2}xf x e x− −=  − − =  = 
 2º) Sinal de ''f + − +  + − + 
 2 / 2− 2 / 2 2 / 2− 2 / 2 
 Conclusão: 
 0x• = é valor entre 2 / 2− e 2 / 2 e a concavidade de f é voltada 
p/baixo. Logo, 
20
(0) 1f e
−
= = e M(0,1) é ponto máximo local de f. 
 
 
 
 
8 
 
d)
 
3 2( ) 2 6 12 1f x x x x= + − + 
 Temos que 2'( ) 6 12 12f x x x= + − . Se '( ) 0,f x =
 
então { 2,1}x − . Questão: 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo 
local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x. 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes 
para cada valor de x. 
 Temos que ''( ) 12 6f x x= + . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 1 2''( ) 0 12 6 0 S { / }f x x −=  + =  = 
 2º) Sinal de ''f − +  − + 
 1/ 2− 1/ 2− 
 Conclusão: 
 2x• = − é valor menor que 1/ 2− e a concavidade de f é voltada p/baixo. 
Logo, 3 22 2 2 2( ) 2( ) 336( ) 12( ) 1f − − − −= =+ − + e M( 2− ,33) é ponto máximo 
local de f. 
 1x• = é valor maior que 1/ 2− e a concavidade de f é voltada p/cima. 
Logo, 3 2(1) 2(1) 36(1) 12(1) 1f = = −+ − + e m(1 ,−3) é ponto mínimo local de f. 
 
e) ( ) ln , 0f x x x x=  
 Temos que '( ) ln 1f x x= + . Se '( ) 0,f x =
 
então 1{ }x e− . Questão: 
Teremos em 1x e−=
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das 
alternativas acima. 
 Temos que ''( ) 1/f x x= . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ ''( ) 0 1/ 0 S { }f x x=  =  = 
 2º) Sinal de ''f +  + 
 0 0 1e− 
 Conclusão: 
 • A concavidade de f é voltada p/cima em 
1x e−= . Logo, 
1 1 1 1
( ) ln( )f e e e e− − − −= = − e m( 1e− , 1e−− ) é ponto mínimo local de f 
 
f) 
2
( ) , 1
1
x
f x x
x
= 
−
 
 Temos que
2
2
'( )
2
( 1)
f x
x x
x
=
−
−
. Se '( ) 0,f x =
 
então {0,2}x . Questão: 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo 
local ou inflexão horizontal em cada um destes valores de x. 
 
9 
 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes 
para cada x . 
 Temos que 3''( ) 2 / ( 1)f x x= − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 3''( ) 0 2/( 1) 0 S { }f x x=  − =  = 
 2º) Sinal de ''f − +  − + 
 1 0 1 2 
 Conclusão: 
 0x• = é valor menor que 1 e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo, 
2
(0) 0 / (0 1) 0f = − = e M( 0 , 0) é ponto máximo local de f. 
 2x• = é valor maior que 1 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
2
(2) 2 4/(2 1)f = =− e m( 2 , 4) é ponto mínimo local de f. 
 
5) Determinar, se houver, os pontos de inflexão das funções 
 
a)
 
4 2( ) 6 12 1f x x x x= − + + 
 Temos que 3'( ) 4 12 12f x x x= − + e 2''( ) 12 12f x x= − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 2''( ) 0 1,112 120 S { }f x x=  −− =  = 
 2º) Sinal de ''f + − +  + − + 
 1− 1 1− 1 
 Conclusão: 
 • A ''f é zero em 1x = − e “troca de sinal” na vizinhança de −1. Logo, 
4 2
1 1 1( 1) ( ) 6( ) 12( ) 1 16f − − −− = − + + = − e 1I ( 1, 16)− − é ponto de inflexão de f . 
 • A ''f é zero em 1x = e “troca de sinal” na vizinhança de 1. Logo, 
4 2
1 1 1(1) ( ) 6( ) 12( ) 1 8f = − + + = e 2I (1,8) é ponto de inflexão de f . 
 
 b) 4 3( ) 2f x x x= − 
 Temos que 3 2'( ) 4 6f x x x= − e 2''( ) 12 12f x x x= − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ 2''( ) 0 0,112 12 0 S { }f x x x=  − =  = 
 2º) Sinal de ''f + − +  + − + 
 0 1 0 1 
 Conclusão: 
 • A ''f é zero em 0x = e “troca de sinal” na vizinhança de 0. Logo, 
4 3(0) (0) 2(0) 0f = − = e 1I (0,0) é ponto de inflexão de f . 
 • A ''f é zero em 1x = e “troca de sinal” na vizinhança de 1. Logo, 
4 2
1 1(1) ( ) 2( ) 1f = − = − e 2I (1, 1)− é ponto de inflexão de f . 
 
 
10 
 
c) 
2
( ) xf x e−= 
 Temos que
2
'( ) 2
x
f x x e
−
= − e 
2 2
''( ) 2 (1 2 )xf x e x−= − − . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/
2 2
2''( ) 0 (1 2 ) 2 / 2 2 / 2,0 S { }xef x x−−=  − =  = − 
 2º) Sinal de ''f + − +  + − + 
 2 / 2− 2 / 2 2 / 2− 2 / 2 
 Conclusão: 
 • A ''f é zero em 2 / 2x = − e “troca de sinal” na vizinhança de 2 / 2− . 
Logo, 
2( 2 / 2) 1/ 2( 2 / 2)f e e− − −= =− e 1/ 21 2 / 2I ( , )e
−
− é ponto de inflexão de f 
 • A ''f é zero em 2 / 2x = e “troca de sinal” na vizinhança de 2 / 2 . 
Logo, 
2( 2 / 2) 1/ 2( 2 / 2)f e e− −= = e 1/ 21 2 / 2I ( , )e
− é ponto de inflexão de f . 
 
d) 3( ) 1f x x= + 
 Temos que 2'( ) 3f x x= e ''( ) 6f x x= . 
 Estudo do sinal de ''f : 
 1º) P/ ''( ) 0 6 S {0}0f x x=  == 
 
 2º) Sinal de ''f − +  − + 
 0 0 
 Conclusão: 
 • Note que '(0) ''(0) 0, mas '''(0) 6 ( 0)f f f = = = e ''f “troca de sinal” 
na vizinhança de 0x = , assim teremos ponto de inflexão horizontal em x = 0. 
Logo, 3(0) (0) 1 1f = + = e I(0, 1) é ponto de inflexão horizontal de f. 
 Observe, neste exemplo, que a 'f não troca se sinal na vizinhança de 0, 
logo não poderia ter ponto de máximo ou mínimo em x = 0. 
 
6) Obter, se houver, as assíntotas das funções: 
 
a) ( ) , 1
1
x
f x x
x
= 
−
 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que finitolim lim 1 ( )
1x x
x x
x x→ →
= =
−
. Logo, r: 1y = é assíntota 
horizontal. 
 2º) Assíntota vertical 
 
 Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x→ − → − −
 
= = = − 
−  
 e 
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x→ + → + +
 
= = = + 
−  
. 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 1x = como 
assíntota vertical. 
 
11 
 
 
 3º) Assíntota inclinada: y a x b= + 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x→
= e  lim ( )
x
b f x ax
→
= − ambos finitos) 
 Temos 
11lim lim 0
1x x
x
xa
x x→ →
−= = =
−
 e 0
1
1lim
x
x
x
x
b
→
−
−
 
= =
   
(finitos). 
 Logo, r: y = 0 x + 1 é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). 
 
 Obs: Utilizamos x→ apenas por comodidade, visto que os limites têm o 
 mesmo valor. 
 
b) 
2
( ) , 1
1
x
f x x
x
= 
−
 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
2 2
lim lim lim
1x x x
x x
x
x x→ → →
= = = 
−
. Logo, não há assíntota 
horizontal. 
 2º) Assíntota vertical 
 
 Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
2
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x→ − → − −
 
= = = − 
−  
 e 
2
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x→ + → + +
 
= = = + 
−  
. 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 1x = como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: y a x b= + 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x→
= e  lim ( )
x
b f x ax
→
= − ambos finitos) 
 Temos 
2
1lim lim lim 1
1x x x
x
x xxa
x x x→ → →
−= = = =
−
 e 
2
1.
1
lim
x
x
x
x
b
→
−
−
 
= = 
  
2
1 1
( 1)
lim lim 1
x x
x x
x x
x x
→ →− −
− −   
= == =     
 (ambos finitos). 
 Logo, r: y = 1 x + 1 é assíntota inclinada. 
 
c) 
3
2
8
( ) , 0
x
f x x
x
+
=  
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
3 3
2 2
8
lim lim lim
x x x
x x
x
x x→ → →
+
= = =  . Logo, não há assíntota 
horizontal. 
 
 
12 
 
 2º) Assíntota vertical 
 
 Vemos que x = 0 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
3
20 0
8 8
lim ( ) lim
0x x
x
f x
x→ − → −
+  
= = = + 
 
 e 
3
20 0
8 8
lim ( ) lim
0x x
x
f x
x→ + → + +
 +
= = = + 
 
. 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 0x = como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: y a x b= + 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x→
= e  lim ( )
x
b f x ax
→
= − ambos finitos) 
 Temos 
3
3 32
3 3
8
8
lim lim lim 1
x x x
x
x xxa
x x x→ → →
−
−
= = = = e 
3
2
1.
8
lim
x
x
x
x
b
→
−
− 
=  
  
3 2
2 2
88 ( )
lim lim 0
x x
x
x x
x x
→ →
−− −   
= = =     
 (ambos finitos). 
 Logo, r: y = 1 x + 0 é assíntota inclinada. 
 
d) 
sen
( ) , 0
x
f x x
x
=  
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
finitosen [ ]
lim lim 0
x x
x
x x→ →
= = (finito). Logo, : 0r y = é assíntota 
horizontal. 
 
 2º) Assíntota vertical 
 Vemos que x = 0 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
0 0
sen
lim ( ) lim 1
x x
x
f x
x→ →
= = (finito), limite fundamental. 
 O fato de não haver limite tendendo ao infinito implica que não existe 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: y a x b= + 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x→
= e  lim ( )
x
b f x ax
→
= − ambos finitos) 
 Temos 
2 2
finito
sen
sen [ ]
lim lim lim 0
x x x
x
xxa
x x x→ → →
= = = = e 
sen
0.lim
x
xx
x
b
→
−
 
=
   
sen
lim 1
x
x
x→
= = (ambos finitos). 
 Logo, r: y = 0 x + 1 é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). 
 
 
13 
 
e)
 
2
( ) , 1
( 1)
x
f x x
x
= 
−
 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
2 2
finito
1
lim lim lim 0 ( )
( 1)x x x
x x
x x x→ → →
= = =
−
. Logo, r: 0y = é 
assíntota horizontal. 
 
 2º) Assíntota vertical 
 Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
2
1 1
1
lim ( ) lim
( 1) 0x x
x
f x
x→ − → −
+
= = = +
−
 
 
 
 e 2
1 1
1
0
( )
( 1)
lim lim
x x
x
f x
x
+
→ + → + −
= = = +
 
 
 
 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 1x = como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: y a x b= + 
 Temos 
2
2
1( 1)
lim lim 0
( 1)x x
x
x
a
x x→ → 
−
= = =
−
 e 
2
0
( 1)
lim 0
x
x
x
x
b
→
−
−
= =
 
   
(finitos). 
 Logo, r: y = 0 x + 0 é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). 
 
 f) 
2
( ) , 2
2
x
f x x
x
=  −
+
 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
2 2
lim lim lim
2x x x
x x
x
x x→ → →
= = = 
+
. Logo, não há assíntota 
horizontal. 
 
 2º) Assíntota vertical 
 Vemos que x = −2 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
2
( 2) ( 2)
4
0
lim ( ) lim
2x x
x
f x
x
−
→ − − → − −
 
= = = − +  
 e
2
( 2) ( 2)
4
0
lim ( ) lim
2x x
x
f x
x
+
→ − + → − +
 
= = = + +  
 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 2x = − como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: y a x b= + 
 Temos 
2
2
2
lim lim lim 1
x x x
x
x xx
x x x
a
→ → →
+
+
= = = = e 
2
1.
2
lim
x
x
x
x
b
→
−
+
 
= = 
  
2
2
2 2
( 2)
lim lim 2
x x
x x
x x
x x
→ →
−
+ +
− +   
= = = −     
 (ambos finitos). 
 Logo, r: 1. 2y x= − é assíntota inclinada. 
 
14 
 
7) Esboçar o gráfico das funções dadas 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g) h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = x - x
3 2
 2 0
 3
x
 
f(x) = x - x
4 2
1
 0
 2
 y
x-1
 
f(x) = x . x
1
 0
 y
x
ln
 
x
y
f(x) = x - xarctg
 
x
y
f(x) = x e
x
0
 
x
y
f(x) =
20
x - 
x
2
1
 
x
y
f(x) = e
0
/x1
 
x
y
f(x) =
0
x -
2
1
x
( )
1
 
15 
 
 
 i) 
 
 
 
 
8) A função f, real de variável real, tem seu gráfico cartesiano descrito abaixo. 
 Sabendo- se que possui derivadas até terceira ordem, pede os esboços gráficos de 
 ' e ''.f f 
 
a) I1(0, 3) e I2(?, 2) são pontos de inflexão de f. 
 m1(-1, 2) e m2(3, 0) são pontos mínimos de f. 
 M(1, 4) é ponto máximo de f. 
 
b) '( ) 0f x  em , 1 1, 3(] [ ] [)x − −  , visto que f é decrescente nestes intervalos. 
 '( ) 0f x  em 1,1 ,(] [ ]3 [)x − +  , visto que f é crescente nestes intervalos. 
 '( ) 0f x = em { 1, 1, 3}x − , visto que f tem pontos de máximo e mínimo. 
 
 
x
y
f(x) =
0
x +
2
2
x
 
16 
 
 
c) ''( ) 0f x  em ,?]0 [x , pois f tem concavidade voltada para baixo neste intervalo. 
 ''( ) 0f x  em ,0 ,(] [ ]? [)x − +  , pois f tem concavidade voltada para cima 
nestes intervalos. 
 '( ) 0f x = em {0, ?}x , pois f tem pontos de inflexão.