TEOREMA DE EULER

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MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representações 
2 
Vértice 
Aresta 
Face 
Base 
Base 
POLIEDROS 
LEMBRETES 
 
FACES = LADOS 
ARESTAS = LINHAS 
VÉRTICES = PONTOS, 
CANTOS 
MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representações 
POLIEDROS 
 
 
 
 
 
Poliedro 
 
 
 
 
Nº de faces 
 
Nº de arestas 
Nº de vértices 
 4 
tetraedro 
 6 
hexaedro octaedro 
 12 
dodecaedro icosaedro 
 12 
 8 
 12 6 
 4 20 
 30 30 
 8 
 6 12 
 20 
Vamos rever o quadro dos principais poliedros e acrescentar nele 
informações do tipo: quantas arestas e quantos vértices têm cada um 
deles. 
MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representações 
POLIEDROS 
 
 
 
Percebeu alguma 
regularidade nos 
números do quadro 
anterior?? 
Vamos ver alguns 
detalhes do quadro 
novamente ?? 
 
Poliedro 
 
 
Nº de 
vértices 
(V) 
 
Nº de 
faces 
(F) 
 
Nº de 
arestas 
(A) 
 
 
V + F = A + 2 
TETRAEDRO 4 4 6 4 + 4 = 6 + 2 
HEXAEDRO 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2 
OCTAEDRO 6 8 12 6 + 8 = 12 +2 
DODECAEDRO 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2 
ICOSAEDRO 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2 
Observe que em todos os 
poliedros a soma do 
número de vértice mais o 
de faces é igual a soma do 
número de arestas mais 2 
Imagem: Emanuel Handmann / United 
States Public Domain 
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Poliedros: classificação e representações 
POLIEDROS 
 
 
 
É uma relação que existem 
em todos os poliedros 
convexos... 
... e recebe o nome de 
Relação de Euler, em 
homenagem a mim... 
A propósito, meu nome é 
Leonhard Paul Euler. Nasci 
em São Petersburgo, em 
1707. 
Desenvolvi trabalhos em 
áreas como a Física, 
Filosofia e Matemática. 
Imagem: Emanuel Handmann / United 
States Public Domain 
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Poliedros: classificação e representações 
POLIEDROS 
 
 
 
Agora, então, vamos 
definir a Relação de Euler 
para que você possa 
utilizá-la... 
Observe ao lado a fórmula 
que relaciona vértices , faces e 
arestas de um poliedro 
convexo... 
A partir de agora, você poderá 
encontrar informações sobre 
os poliedros, relacionando 
estes dados 
V + F = A + 2 
 
1) Determine o número de faces de 
um sólido que apresenta 10 arestas e 
6 vértices. 
 
2) Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o 
número de arestas desse poliedro? 
 
Usando, agora, a Relação de Euler, temos: 
V + F – A = 2 
18 + 16 – A = 2 
34 – A = 2 
34 – A = 2 
34 – A = 2 
– A = 2 – 34 
– A = – 32 x ( -1 ) 
 A = 32 
34 – A = 2 
34 = 2 + A 
34 – 2 = A 
32 = A 
Determinar o número de arestas e o número de vértices 
de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 
faces triangulares? 
V + F – A = 2 
Para usar a relação de Euler é preciso primeiro descobrir o 
número de arestas, para isso “multiplica-se o número de 
faces pelo seu formato” e depois “divide-se sempre por 2” 
18 arestas 
V + 10 – 18 = 2 
V = 2 + 18 – 10 
V = 20 – 10 
V = 10 vértices 
6 faces com 4 lados: 6 . 4 = 24 
4 faces com 3 lados: 4 . 3 = 12 
Somando: 24 + 12 = 36 
 Atenção: A = 36 ÷ 2 = 18. 
Nº de faces: 6 + 4 = 10 
9) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro 
convexo que possui 12 faces triangulares é? 
Usando, agora, a Relação de Euler, temos: V + F – A = 2 
Para descobrir o número de arestas 
“multiplica-se o número de 
faces pelo seu formato” e depois 
“divide-se sempre por 2” 
12 faces triangulares (3) 
12 x 3 = 36 
36 ÷ 2 = 18 arestas 
18 arestas 
V + 12 – 18 = 2 
V = 2 + 18 – 12 
V = 20 – 12 
V = 8 
 
4) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 
lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o 
número de vértices desse poliedro? 
Número de faces: 
Número de arestas: 
 Atenção: A = 38 ÷ 2 = 19. 
Usando, agora, a 
Relação de Euler, 
temos: 
 V + F – A = 2 
Somando: 12 + 6 + 20 = 38 
3 + 2 + 4 = 9 
V + 9 – 19 = 2 
V = 2 + 19 – 9 
V = 21 – 9 
V = 12 vértices 
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12 
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6 
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20 
 
5) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de 
arestas excede o número de vértices em 6 unidades. 
Calcule o número de faces. 
Usando, agora, a Relação de Euler, temos: V + F – A = 2 
O que é excede é o que 
passa sobra, ou seja, é o 
que está a mais. 
Logo “EXCEDE” quer dizer “ + ” 
Então valor da A = V + 6 
V + F – (V + 6) = 2 
V + F – V – 6 = 2 
V – V + F – 6 = 2 
V – V + F – 6 = 2 
F – 6 = 2 
F = 2 + 6 
F = 8 
 
6) (UF-AM) O número de faces de um poliedro 
convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. 
Determine, utilizando a relação de Euler, o número 
de faces desse poliedro. 
Resolução: 
Considerando que o número 
de faces é igual ao número de 
vértices, podemos 
representar os valores 
desconhecidos pela incógnita 
x. Dessa forma, 
F = x e V = x. 
 
7) Arquimedes descobriu um poliedro convexo 
formado por 12 faces pentagonais e 20 faces 
hexagonais, todas regulares. Esse poliedro 
inspirou a fabricação da bola de futebol que 
apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. 
Quantos vértices possui esse poliedro? 
Resolução: 
Número de arestas: 
 Atenção: A = 180 ÷ 2 = 90. 
Usando a Relação de 
Euler, temos: 
 V + F – A = 2 
Do enunciado, sabemos que 
Número de faces: 12 + 20 = 32 
Somando: 60 + 120 = 180 
V + 32 – 90 = 2 
V = 2 + 90 – 32 
V = 92 – 32 = 60 
R = 60 vértices 
12 faces com 5 lados: 12 . 5 = 60 
20 faces com 6 lados: 20 . 6 = 120 
MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representações (ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, 
obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte 
plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é 
um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do 
cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor 
distinta das demais faces. 
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que 
serão utilizadas na pintura das faces do troféu? 
A) 6 
B) 8 
C) 14 
D) 24 
E) 30 
 6 + 8 
Antes Depois 
 = 14 
Imagem: Emanuel Handmann / United 
States Public Domain 
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Poliedros: classificação e representações POLIEDROS 
 
 
 
Para concluir nosso estudo 
sobre poliedros, sua 
classificação e suas 
representações, passo a “bola” 
para um cara que é “fera”... 
... Fala aí, Platão... 
E isso aí, Euler. Vamos concluir 
falando sobre os Poliedros 
Regulares e os meus poliedros, 
ou seja, os Poliedros de 
Platão... 
Vamos lá, pessoal... 
Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain 
MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representações 
17 
POLIEDROS 
Bom... mas antes vou falar um 
pouco de mim. Sou grego, nasci 
em 427 a.C. 
Desenvolvi trabalhos nas áreas 
da Filosofia e da Matemática... 
Mas minha paixão declarada 
era realmente a Geometria... 
A paixão de Platão pela 
matemática era tanta que, às 
portas de sua escola, ele 
mantinha a seguinte 
inscrição, em destaque: 
όποιος αγνοεί την γεωμετρία εισάγετε εδώ 
Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui 
Imagem: Autor 
desconhecido / United 
States Public Domain 
MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representações POLIEDROS 
 
 
 
Poliedros de Platão: 
Um Poliedro para ser de Platão, tem que possuir as seguintes características : 
I. Todas as faces têm que ter o mesmo números de arestas; 
II. Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas; 
III. É válida a Relação de Euler. 
Propriedade: 
Todo Poliedro Regular é também Poliedro de Platão. mas existem 
poliedros de Platão que não são regulares. 
Poliedros Regulares: 
As condições para um Poliedro ser regular são bem específicas: 
I. Todas as faces são regiões poligonais regulares (polígonos regulares) e 
congruentes entre si; 
II. Todos os seus ângulos poliédricos também são congruentes entre si. 
MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representaçõesSólido formado por 4 faces, triângulos equiláteros, 
e em cada vértice concorre 3 faces. O 
prefixo tetra deriva do grego e significa quatro 
(quatro faces). Este sólido representa o fogo, 
porque segundo Platão (séc. IV ac.) o átomo do 
fogo teria a forma de um poliedro com 4 lados 
(tetraedro). 
O cubo o único poliedro regular com faces 
quadrangulares. O cubo tem 6 faces, pelo que 
também se pode chamar de hexaedro 
(hesa significa seis em grego).Este sólido representa 
a terra, porque Platão acreditava e afirmava que os 
átomos de terra seriam cubos, os quais permitiam 
ser colocados perfeitamente lado a lado, 
conferindo-lhes solidez. 
 Os Sólidos de Platão e as relação com a natureza 
MATEMÁTICA, 2ª Série 
Poliedros: classificação e representações 
 
 
 
O dodecaedro o único poliedro regular cujas faces 
os pentágonos regulares. É formado por 12 faces, 
pentágonos regulares, e em cada vértice concorre 3 
faces. O prefixo dodeca significa doze em 
grego. Este sólido representa o universo, porque 
para Platão o cosmos seria constituído por átomos 
com a forma de dodecaedros. 
Neste poliedro os cinco os triângulos equiláteros 
que se encontram em cada vértice, perfazendo 
vinte faces. Por isso, o poliedro se chama 
icosaedro (icosa significa 20 em grego).Este sólido 
representa a água, porque Platão defendia que a 
água seria constituída por icosaedros. 
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Poliedros: classificação e representações 
 
 
 
As faces deste poliedro os também triângulos 
equiláteros, mas em cada vértice reúnem-se quatro 
triângulos. É formado por 8 faces, pelo que o 
poliedro se chama octaedro (octa significa oito em 
grego). Este sólido representa o ar, porque o modelo 
de Platão para um átomo de ar era um poliedro com 
8 faces (octaedro). 
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ