Unidade 4 - Máximos e Mínimos

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1 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS 
Engenharia Civil - CEATEC 
Complementos de Cálculo Diferencial e Integral C 
Prof. Miro 
valdomiro.santos@puc-campinas.edu.br 
 
Unidade 4 – Máximos e mínimos 
 
Avaliações 
T1 P1 T2 P2 P3 (Rec) 
17/03 07/04 19/05 16/06 23/06 
 
Exercícios para aula 
 
Valores extremos relativos (locais) e absolutos 
 
Ilustração - conceito 
 
 
 
Definição – máximo relativo e máximo absoluto 
 
Diz-se que uma função de duas variáveis tem um 
máximo relativo (ou local) em um ponto ( , )a b se 
para todo ponto ( , )x y próximo de ( , )a b se tem 
( , ) ( , )f x y f a b , isto é, se houver um círculo 
centrado em ( , )a b tal que ( , ) ( , )f x y f a b em 
quaisquer pontos ( , )x y do domínio de f que 
estiverem dentro do círculo. Diz-se que f tem um 
máximo absoluto em ( , )a b se ( , ) ( , )f x y f a b em 
quaisquer pontos ( , )x y do domínio de f . 
 
Definição – mínimo relativo e mínimo absoluto 
 
Diz-se que uma função de duas variáveis tem um 
mínimo relativo (ou local) em um ponto ( , )a b se 
para todo ponto ( , )x y próximo de ( , )a b se tem 
( , ) ( , )f x y f a b , isto é, se houver um círculo 
centrado em ( , )a b tal que ( , ) ( , )f x y f a b em 
quaisquer pontos ( , )x y do domínio de f que 
estiverem dentro do círculo. Diz-se que f tem um 
mínimo absoluto em ( , )a b se ( , ) ( , )f x y f a b em 
quaisquer pontos ( , )x y do domínio de f . 
 
 
 
Pontos críticos 
 
Definição 
 
Um ponto ( , )a b no domínio de uma função ( , )f x y é 
denominado ponto crítico de f se ( , ) 0xf a b = e 
( , ) 0yf a b = ou se uma ou ambas as derivadas parciais 
não existirem em ( , )a b . 
 
Teorema do ponto crítico 
 
Se ( , )f x y tem um máximo ou mínimo local no ponto 
( , )a b e as derivadas parciais de primeira ordem de f 
existem, então (a, b) 0 e (a, b) 0x yf f= = . Neste 
caso, ( , )a b é um ponto crítico de f . 
 
1) Determine os pontos críticos de ( , )f x y 
a) 
2 2( , ) 2 6 14f x y x y x y= + − − + 
b) 
3 3( , ) 3 12 20f x y x y x y= + − − + 
c) 
2 2( , ) 6 4 7f x y x y x y= − − + + + . 
d) 
2( , ) 3 2 3f x y y xy y x= + + + + . 
 
Máximos e mínimos relativos (locais) 
 relativos (locais) 
Teste do determinante da matriz hessiana 
 
Sejam ( , )a b um ponto crítico de f e 
2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ))
xx xy
xx yy xy
yx yy
a b a b
a b a b
f f
D a b f a b f a b f a b
f f
= = − 
❖ Se D > 0 e ( , ) 0x xf a b  , então ( , )f a b é um 
mínimo relativo (local). 
❖ Se D > 0 e ( , ) 0x xf a b  , então ( , )f a b é um 
máximo relativo (local). 
❖ Se D < 0, então ( , )a b é um ponto de sela de f. 
 
2) Nas funções do exercícios anterior, verifique se a 
função assume um valor máximo local, um mínimo 
local ou se o ponto crítico é apenas um ponto de 
sela. 
 
 
 
 
 
2 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
Valores máximos e mínimos absolutos 
 
Teorema do valor extremo (função de 1 variável) 
 
3) Determine o valor máximo absoluto e o valor 
mínimo absoluto que a função de uma variável
2 2 4y x x= − + + assume no intervalo 0 3x  . 
 
Teorema do valor extremo (função 2 variáveis) 
 
Se ( , )f x y é contínua em um conjunto fechado e 
limitado R no plano, então f assume um valor 
máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em R, 
sendo que estes valores extremos ocorrerão em pontos 
críticos de R ou em pontos da fronteira de R. 
 
Como determinar os valores extremos de f 
 
I. Determine os valores de f nos pontos críticos que 
pertencem à região fechada e limitada R. 
II. Determine os valores extremos de f nas fronteiras 
da região R. 
III. O maior dos valores dos itens I e II é o valor 
máximo absoluto de f em R e o menor é o valor 
mínimo absoluto de f em R. 
 
Valores extremos de f em uma região retangular 
 
4) Problema introdutório: Considere a função
2
2( , ) 4 2 2
2
x
f x y y x y= − − + + e a região 
fechada dada pelo retângulo [0,4] [0,3]R =  , isto 
é, {( , ) | 0 4, 0 3}R x y x y=     . Calcule o 
valor máximo e o valor mínimo absolutos que a 
função assume nesta região. Verifique os 
resultados no gráfico ilustrativo abaixo. 
 
 
 
5) Determine os valores máximo e mínimo absoluto 
da função
2( , ) 2 2f x y x xy y= − + no retângulo 
{( , ) | 0 3, 0 2}R x y x y=     . 
 
 
 
 
 
Valores extremos de f em uma região triangular 
 
6) Determine os valores máximo e mínimo absoluto 
da função ( , )f x y x y xy= + − na região R, sendo 
R o triângulo fechado de vértices (0,0), (0, 4) e 
(2,0). 
 
7) Determine os valores máximo e mínimo absolutos 
que a função ( , ) 10 10 5f x y x y xy= + − assume 
na região D, sendo D o trapézio fechado de 
vértices (0,0), (0, 3), (3,3) e (6,0). 
 
Aplicações 
 
8) A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma 
placa de metal no plano xy foi modelada pela 
função 
2 2
T( , ) 6 4 177x y x y x y= − − + ++ , onde 
T(x, y) é a temperatura em graus. Suponha que 
as coordenadas são dadas em metros e que a 
placa retangular tenha vértices nos pontos (0,0), 
(4,0), (4,3) e (0,3). 
a) Em que ponto sobre a placa a temperatura é 
máxima? 
b) Qual é a temperatura máxima sobre a placa? 
c) Em que ponto sobre a placa a temperatura é 
mínima? 
d) Qual é a temperatura mínima sobre a placa? 
 
9) Um teste com determinado concreto revelou que 
sua resistência à compressão está atrelada à 
presença de dois produtos A e B em sua 
composição. Um engenheiro modelou a resistência 
desse concreto pela função de duas variáveis 
2 2
( , ) 200 16 12z R x y x y x y= = − − + + 
Onde z é a resistência do concreto, em MPa, 
enquanto x e y são as quantidades, em gramas, 
dos produtos A e B, respectivamente, em 1kg do 
concreto. Por razões técnicas, sabe-se que a 
quantidade x do produto A não pode ultrapassar 
20 gramas, enquanto a quantidade y do produto 
B não pode ultrapassar 10 gramas. 
a) Quais são as quantidades x e y que devem 
ser usadas na composição para que a 
resistência desse concreto seja máxima? 
b) Qual é a resistência máxima possível para 
esse concreto? 
 
10) Um engenheiro é responsável pela instalação de 
centenas de cisternas em certa região. Estes 
reservatórios devem ter a forma de uma caixa 
retangular sem tampa com capacidade de 4 m3. O 
engenheiro quer construir a cisterna utilizando a 
menor quantidade possível de material. 
Considerando a largura como x e o comprimento 
como y metros, faça o que se pede. 
a) Escreva a área total da cisterna em função 
apenas de x e y. 
b) Quais devem ser as dimensões da cisterna 
para que a quantidade de material necessária 
para a construção seja mínima? Justifique 
c) Qual é a quantidade mínima de material que 
pode ser utilizada? 
 
 
 
3 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
Introdução aos multiplicadores de Lagrange 
 
Extremo restrito para 2 variáveis e uma restrição 
 
11) Em que ponto ou pontos do círculo 
2 2 8x y+ = a 
função ( , )f x y xy= tem um máximo absoluto e 
qual é esse máximo? 
 
Extremo restrito para 3 variáveis e uma restrição 
 
12) Determine as dimensões de uma caixa retangular 
aberta no topo, com volume de 32 m3 e cuja 
construção requeira uma quantidade mínima de 
material. 
 
Sejam 
x = comprimento da caixa (em m) 
y = largura da caixa (em m) 
z = altura da caixa (em m) 
S = área da superfície da caixa (em m2) 
 
Verifique que resolver esse problema consiste em 
minimizar a função 
 
2 2S xy xz yz= + + 
 
Com a restrição 
 
32xyz =Método dos multiplicadores de Lagrange 
 
Extremo restrito para 2 variáveis e uma restrição 
 
Sejam ( , )f x y e ( , )g x y funções de duas variáveis 
com derivadas parciais de primeira ordem contínuas 
em algum conjunto aberto contendo a curva de 
restrição ( , ) 0g x y = e suponha que 0g  em 
qualquer ponto da curva. Se ( , )f x y tiver um 
extremo relativo restrito, então esse extremo ocorrerá 
em um ponto 0 0( , )x y da curva de restrição no qual 
os vetores gradientes 0 0( , )f x y e 0 0( , )g x y 
forem paralelos (múltiplos); isto é, existirá algum 
número real  tal que 
 
0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x y =  
em que  é denominado multiplicador de Lagrange. 
 
13) Use multiplicadores de Lagrange para determinar 
o ponto ou os pontos do círculo 
2 2 8x y+ = em 
que a função ( , )f x y xy= tem um máximo 
absoluto e determine qual é esse máximo. 
 
Observação: como o círculo é uma região 
fechada, o máximo relativo será um máximo 
absoluto (idem para o mínimo). 
 
Extremo restrito para 3 variáveis e uma restrição 
 
Sejam ( , , )f x y z e ( , , )g x y z funções de três variáveis 
com derivadas parciais de primeira ordem contínuas 
em algum conjunto aberto contendo a superfície de 
restrição ( , , ) 0g x y z = e suponha que 0g  em 
qualquer ponto dessa superfície. Se ( , , )f x y z tiver 
um extremo relativo restrito, então esse extremo 
ocorrerá em um ponto 0 0 0( , , )x y z da superfície de 
restrição no qual os vetores gradientes 
0 0 0
( , , )f x y z 
e 
0 0 0
( , , )g x y z forem paralelos (múltiplos); isto é, 
existirá algum número real  tal que 
0 0 0 0 0 0
( , , ) ( , , )f x y z g x y z =  
 
14) Use multiplicadores de Lagrange para determinar 
as dimensões de uma caixa retangular aberta no 
topo, com volume de 32 m3 e cuja construção 
requeira uma quantidade mínima de material. 
 
Exercícios propostos e aplicações 
 
1) Localize todos os extremos relativos e pontos de 
sela de
2 2
( , ) 3 2 8f x y x xy y y= − + − . Qual é o 
valor da função nestes pontos? 
 
2) Localize todos os extremos relativos e pontos de 
sela de
2 2
( , ) 3f x y x y y xx= + −+ . Qual é o valor 
da função nestes pontos? 
 
 
3) Encontre os valores máximos e mínimos 
absolutos de 
2 2
( , ) 6 4 18f x y x y x y= + − − + , na 
região retangular fechada 
{( , ) | 0 4, 0 5}R x y x y=     . 
 
4) Encontre os valores máximos e mínimos absolutos 
de ( , ) 3 6 3 7f x y xy x y= − − + , na região 
retangular {( , ) | 0 3, 0 5}R x y x y=     . 
 
4 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
5) Um engenheiro modelou a superfície da cobertura 
de uma tenda pela função 
2 21 1,6 1,2 0,2 0,2z x y x y= + + − − , onde z é a 
altura da tenda, em metros, sobre um ponto 
( , )x y qualquer da sua base. Sabe-se que esta 
tenda está sobre o plano xy e sua base é o 
retângulo [0,8] [0,6]R =  . 
a) Qual é a altura máxima dessa tenda? 
b) Em que pontos da base essa altura máxima 
ocorre? 
c) Qual é a altura mínima dessa tenda? 
d) Em que pontos da base essa altura mínima 
ocorre? 
 
6) Encontre os valores máximos e mínimos absolutos 
de ( , ) 3 6 3 7f x y xy x y= − − + , na região triangular 
fechada de vértices (0,0), (3,0) e (0,5). 
 
7) Determine os valores máximo e mínimo absoluto 
da função
2 2( , ) 2f x y x y x= + − , sendo D a 
região triangular fechada de vértices (2,0), (0, 2) 
e (0,-2). 
 
8) Determine os valores máximo e mínimo absoluto 
da função
2 2 2( , ) 4f x y x y x y= + + + no 
retângulo {( , ) | 1 1, 1 y 1}D x y x= −   −   . 
 
9) Certo concreto tem sua resistência à compressão 
dependente da presença de dois produtos A e B 
em sua composição. Um engenheiro modelou a 
resistência desse concreto pela função de duas 
variáveis 
2 2
( , ) 359 10 8z R x y x y x y= = − − + + 
Onde z é a resistência do concreto, em MPa, 
enquanto x e y são as porcentagens dos 
produtos A e B, respectivamente, na massa total 
do concreto. Por razões técnicas, sabe-se que o 
percentual x do produto A não pode ultrapassar 
15% da massa da concreto, enquanto o percentual 
y do produto B não pode ultrapassar 10% . 
a) Quais são os percentuais x e y que devem 
ser usados na composição para que a 
resistência desse concreto seja máxima? 
b) Qual é a resistência máxima possível para 
esse concreto? 
 
10) Um engenheiro está projetando uma embalagem 
que deve ter capacidade de 500 ml, ou seja, 500 
cm3. Por questões técnicas, optou-se pelo formato 
retangular (paralelepípedo reto retângulo). Estas 
caixas não têm tampa e o engenheiro quer 
construí-las utilizando a menor quantidade 
possível de material. Considerando a largura como 
x, o comprimento como y e a altura como z 
centímetros, faça o que se pede. 
a) Escreva a área total da caixa, em cm2, em 
função apenas de x e y. 
b) Quais devem ser as dimensões da caixa para 
que a quantidade de material necessária para 
a construção seja mínima? Justifique. 
c) Qual é a quantidade mínima de material que 
pode ser utilizada? 
11) Use multiplicadores de Lagrange para determinar 
o ponto ou os pontos do círculo 
2 2 2x y+ = em 
que a função ( , )f x y xy= tem um máximo 
absoluto e determine qual é esse máximo. 
 
12) Use multiplicadores de Lagrange para determinar 
os valores extremos absolutos da função 
2 2( , ) 2f x y x y= + no círculo 2 2 1x y+ = . 
 
13) Use multiplicadores de Lagrange para determinar 
os pontos da esfera 
2 2 2 36x y z+ + = que estão 
o mais próximo e o mais afastado do ponto 
(1, 2, 2)P = . 
 
Dica: para evitar trabalhar com radicais, 
determine os pontos da esfera que maximizam e 
minimizam o quadrado da distância. 
 
14) Um engenheiro está projetando um reservatório 
que terá a forma de uma caixa retangular sem 
tampa. A capacidade desse reservatório deve ser 
de 500 m3. Utilizando o método dos 
multiplicadores de Lagrange, determine quais 
devem ser as medidas das três dimensões x 
(largura), y (comprimento) e z (altura) para que 
a quantidade de material usada seja mínima e 
calcule a área mínima da superfície do 
reservatório. 
 
15) [Questão Enade Engenharias 2017] 
A importância da otimização no processo 
produtivo é inegável. Do ponto de vista 
matemático, para otimizar determinada grandeza, 
é necessário modelá-la de acordo com uma função 
e, a partir daí, conforme a situação, procurar um 
máximo ou um mínimo. Uma das formas usadas 
para minimizar funções é o método dos 
multiplicadores de Lagrange. 
Um fabricante de latinhas de refrigerante deve 
propor uma lata cilíndrica de volume 
0
V . Essa lata 
será fabricada usando-se duas ligas metálicas 
distintas, sendo uma para a parte lateral e outra 
para a base e a tampa. Ele deseja calcular o raio 
( r ) e a altura ( h ) da lata para que o custo de sua 
produção seja o menor possível. Sabe-se que a 
área total da lata é dada por ( , )A r h e que o custo 
total de produção da lata, que depende apenas do 
material utilizado em sua produção, é ( , )C r h . 
Para a solução desse problema, será utilizado o 
método dos multiplicadores de Lagrange. Com 
base nessa situação, avalie as afirmações a seguir, 
acerca da solução desse problema. 
I. O custo de produção da lata pode ser 
expresso por 
2
1 2( , ) 2 ( )C r h k rh k r= + , em 
que 1k e 2k são constantes que dependem 
do custo de cada uma das ligas metálicas por 
unidade de área. 
II. A função a ser minimizada da área total da 
lata é 
2( , ) 2 2A r h rh r = + . 
 
5 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
III. O vínculo de minimização, relacionado ao 
volume da lata, é dado por 
0
2
( , ) Vg r h r h= − 
IV. O sistema de equações a ser montado é 
( , ) ( , )C r h g r h =  , no qual é 
denominado multiplicador de Lagrange. 
É correto apenas o que se afirma em 
a) I e II. 
b) I e IV. 
c) II e III. 
d) I, III e IV. 
e) II, III e IV. 
 
Gabarito dos exercícios propostos 
 
1) O único ponto crítico é (2, 6), que é um ponto de mínimo 
relativo. O valor da função é f(2,6) = -24. Ou seja, valor 
mínimo relativo de f em (2, 6) é -24. 
 
2) Mínimo relativo em (2, -1). O valor mínimo relativo da 
função neste ponto é f(2,-1) = -3. 
 
3) Máximo: (0,5) 23f = ; mínimo: (3, 2) 5f = . 
 
4) Máximo: (3,5) 19f = ; mínimo: (3, 0) 11f = − . 
 
5) Respostas 
a) 6 m 
b) No ponto (4,3). 
c) 1 m 
d) Nos pontos (0,0) , (0, 6), (8,6) e (8, 0). 
 
6) Máximo: (0, 0) 7f = ; mínimo: (3, 0) 11f = − . 
 
7) Máximo: (0, 2) 4f  = ; mínimo: (1, 0) 1f = − . 
 
8) Os pontos críticos de f são (0,0) , ( )2, 1− e 
( )2, 1− − , mas destes, apenas (0,0) está na região 
R. Analisando os valores nas fronteiras de R, tem-se: 
Máximo: ( 1, 0) 7f  = ; mínimo: (0, 0) 4f = . 
 
9) Respostas 
a) 5%x = e 4%y = 
b) 400 
máx
R MPa= 
Nota: lembre-se de fazer o teste também na fronteira 
da região [0,15] [0,10]R =  . Não faça apenas no 
ponto crítico. 
 
10) Respostas: 
a) 
1000 1000
( , ) xy
x y
A x y + += 
b) x = 10 cm, y = 10 cm e z = 5 cm. 
c) 300 cm2. 
 
11) Os pontos críticos da função são (1,1), (1,-1), (-1, 1) e 
(-1,-1). O valor máximo absoluto da função é 1 e ocorre 
nos pontos (1,1) e (-1,-1). 
 
12) O valor máximo absoluto da função é 2 e ocorre nos 
pontos (0,1) e (0,-1). O valor mínimo absoluto da função 
é 1 e ocorre nos pontos (1,0) e (-1,0). 
 
13) Note que a distância de um ponto ( , , )x y z da esfera ao 
ponto (1, 2, 2)P é dada por 
2 2 2( 1) ( 2) ( 2)d x y z= − + − + −
 
Então, o quadrado da distância é a função 
2 2 2( , , ) ( 1) ( 2) ( 2)f x y z x y z= − + − + −
 
Com a restrição 
2 2 2
36x y z+ + = . 
 
 
Aplicando Lagrange, tem-se os pontos críticos 
(2,4,4) e (-2,-4,-4). 
Como (2, 4, 4) 9f = e ( 2, 4, 4) 81f − − − = segue 
que 
❖ (2,4,4) é o ponto da esfera mais próximo de 
P(1,2,2). 
❖ (-2,-4,-4) é o ponto da esfera mais afastado de 
P(1,2,2). 
 
14) Note que precisamos minimizar a função área da 
superfície da caixa dada por 
( , , ) 2 2S f x y z xy xz yz= = + +
 
Com a restrição 500xyz = , ou seja, a função g é 
( , , ) 500g x y z xyz= −
 
Aplicando Lagrange, tem-se 
2 , 2 ,2 2 , ,y z x z x y yz xz xy + + +  =   
Que gera as equações 
(I)2 yz y z = + 
 (II)2 xz x z = + 
 (III)2 2 xy x y = + 
Isolando  e igualando as equações I e II, e II e III, 
tem-se 
2 2 1 2 1 2
(IV) 
y z x z
yz xz z y z x
y x
+ +
=  + = +  = 
2 2 2 1 2 2 2
(V)
2
 
x z x y
xz xy z x y x
y
z
+ +
=  + = +  = 
Como 2z y= (V), mas y x= (IV), então / 2z x= 
Substituindo (IV) e (V) na restrição, tem-se 
3500 . . 500 100 10
2
x
xyz x x x x=  =  =  =
 
Logo, as dimensões ótimas são: 
10x = m, 10y = m e 5z = m. 
A área mínima da superfície é de 300 m2. 
 
15) D 
 
Leituras sugeridas e referências bibliográficas 
 
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo – v. 2. 10. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2014. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002. V. II