Apostila-GeometriaAnaliticaAlgebraLinear-EAD(Secao3)

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APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR - EAD 
 
 
SEÇÃO 3 
 
 
 
Professor Lino Freitas 
(lino.freitas@academico.emge.edu.br) 
 
 
 
 
 
 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 2 
 
A
B
1. VETORES 
 
1.1. Definição e representação de vetores 
 
• Algumas grandezas físicas, tais como massa, temperatura ou 
trabalho, são completamente determinadas ao associar-se a elas 
um único nº real que caracteriza seu valor ou “tamanho”. Tais 
grandezas são denominadas grandezas escalares, ou 
simplesmente escalares. 
• Outras, tais como força, velocidade ou campo magnético, 
denominadas grandezas vetoriais ou apenas vetores, necessitam 
3 características para a sua determinação: 
– intensidade ou modulo: é o valor, o “tamanho” do vetor; 
– direção: o ângulo formado com uma direção estabelecida 
como padrão; 
– sentido: o lado para o qual o vetor aponta. 
• Vetores podem ser representados por um segmento de reta 
orientado - por exemplo, de cima para baixo, ou da direita para a 
esquerda - com uma origem (ponto inicial) e uma extremidade 
(ponto final) - ver abaixo. 
 
 
 
 
 
 O vetor a seguir pode ser representado por �⃗⃗� ou 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, sendo A e B suas 
extremidades. 
 
 
 
 
1.2. Vetores a partir de coordenadas no plano e no espaço 
 
 Um vetor não possui posição fixa, pode ser aplicado em qualquer ponto, 
tanto no plano, como no espaço a 3 dimensões; 
 É comum e conveniente referir-se a um vetor a partir das coordenadas 
de seus pontos extremos, seja no R2 ou no R3. Por exemplo: 
�⃗⃗� = (1,2), no plano cartesiano; 
�⃗⃗⃗� = (3,-2,4), no espaço a 3 dimensões. 
 
 
 3 
 
1.3. Soma, subtração e produto de vetor por número 
 
 A soma de 2 vetores é obtida a partir da chamada regra do 
paralelogramo, tal como ilustrado na figura a seguir, na qual o vetor �⃗⃗� 
corresponde à soma dos vetores 𝐅 e 𝐒 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por sua vez, a subtração é ilustrada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Muito embora esta representação geométrica tenha utilidade, é muito 
mais frequente e conveniente trabalhar tais operações a partir das 
coordenadas dos vetores. 
 Exemplos. Sendo �⃗⃗� (3,4,-2) e �⃗⃗� (1,1,1), tem-se: 
 soma �⃗⃗� + �⃗⃗� = (3+1,4+1,-2+1) = (4,5,-1); 
 diferença �⃗⃗� - �⃗⃗� = [1-3,1-4,1-(-2)] = (-2,-3,3). 
 O mesmo procedimento deve ser aplicado para vetores no plano 
cartesiano, tal como ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
Vx
Vy
Vx
Vy
V
X
Y
 Por sua vez, o produto de um vetor �⃗⃗� por um número  fornece como 
resultado outro vetor, cujo significado é: 
 || > 1  o módulo do vetor aumenta; 
 || < 1  o módulo do vetor diminui; 
  < 0 inverte-se o sentido do vetor. 
 Mais uma vez, esta operação é bastante simples a partir das 
coordenadas do vetor. Sendo: 
 = -3 e �⃗⃗� = (1,0,4)  �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� = [(-3)x1,(-3)x0,(-3)x4] = (-3,0,-12) 
 Na figura a seguir ilustra-se esta última operação para um valor do 
número  > 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Módulo ou norma de um vetor 
 
 O cálculo do módulo (norma) ou “tamanho” do vetor é uma 
consequência direta do teorema de Pitágoras. 
 No caso do plano cartesiano, sendo: 
 
�⃗⃗� (x1,y1)  ‖�⃗⃗� ‖ = √𝐱𝟏𝟐 + 𝐲𝟏𝟐 
 
 A representação com duas barras paralelas em ambos os lados é usada 
para diferenciar o módulo de um vetor do módulo de um número real x, 
normalmente indicado por |x|. 
 De forma similar, no espaço a 3 dimensões, sendo:, 
 
�⃗⃗� (x1,y1,z1) ‖�⃗⃗� ‖ = √𝐱𝟏𝟐 + 𝐲𝟏𝟐 + 𝐳𝟏𝟐 
 
1.5. Coordenadas de um vetor a partir das coordenadas de 
seus pontos extremos 
 
 De posse das coordenadas de suas extremidades, as coordenadas do 
vetor resultante são SEMPRE calculadas a partir da seguinte regra 
prática: 
 5 
 
 
COORD. VETOR = COORD. PONTO FINAL - COORD. PONTO INICIAL 
 
 Exemplos: 
A (1,1,-1) e B (6,4,-2)  𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [6-1,4-1,-2-(-1)] = (5,3,-1) 
X (-2,3) e Y (0,-4)  𝐗𝐘⃗⃗⃗⃗ ⃗ = [0-(-2),-4-3] = (2,-7) 
 Para calcular o módulo de um vetor a partir das coordenadas de seus 
pontos extremos as fórmulas são análogas às do cálculo da distância 
entre dois pontos, seja no R2 ou no R3. 
 No R2, sendo B (xB,yB) e A (xA,yA)  
Exemplo: 
A (3,1) e B (0,-2)  ||𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|| = √(0 − 3)2 + (−2 − 1)2 = √9 + 9 = √18 
 No R3, sendo C (x1,y1,z1) e D (x2,y2,z2)  
 
 
Exemplo: Para M (1,1,1) e N (5,4,1)  
 
 
 
1.6. Produto escalar 
 
 Na Física, alguns fenômenos que envolvem 2 vetores, mas cujo 
resultado NÃO é uma grandeza vetorial, podem ser mensurados com 
base no chamado produto escalar. Exemplos: 
 trabalho = força x deslocamento; 
 potência = força x velocidade. 
 O produto escalar entre dois vetores, representado por um ponto, tem 
como resultado um número real, que pode ser positivo, negativo ou nulo. 
 Matematicamente, escreve-se; 
 
 = 0, se �⃗⃗� ou �⃗⃗⃗� é nulo; 
�⃗⃗� .�⃗⃗⃗� 
 = ||�⃗⃗� ||.||�⃗⃗⃗� ||.cos, sendo  o ângulo formado entre os 2 vetores. 
 
 Por meio da lei dos cossenos, demonstra-se que: 
 no plano cartesiano: 
�⃗⃗� (vx,vy) e �⃗⃗⃗� (wx,wy)  �⃗⃗� .�⃗⃗⃗� = vxwx + vywy 
 no espaço tridimensional: 
𝐒 (sx,sy,sz) e �⃗⃗� (ux,uy,uz)  𝐒 .�⃗⃗� = sxux + syuy + szuz 
 Exemplos: 
�⃗⃗� (1,-2) e �⃗⃗� (-2,-3)  �⃗⃗� .�⃗⃗� = 1(-2) + (-2)(-3) = -2 + 6 = 4 
𝐂 (2,-4,7) e �⃗⃗� (0,2,2)  𝐂 .�⃗⃗� = 2x0 + (-4)2 + 7x2 = -8 + 14 = 6 
 Usando a definição para o caso em que nenhum dos 2 vetores é nulo, 
chega-se à conveniente fórmula a seguir usada para o cálculo do ângulo 
formado entre 2 vetores: 
 
 6 
 
Z
X
Y
A
B (1,1,0) 
C
D (1,1,1) O (0,0,0) 
 
 
 
 
 
 Entretanto, como se deseja normalmente obter o menor ângulo entre os 
vetores, modifica-se a fórmula anterior, obtendo-se: 
 
 
 
 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PRODUTO ESCALAR 
 
1) Calcular o ângulo formado entre os vetores �⃗⃗� (1,1) e �⃗⃗� (4,3) 
 
Solução 
||�⃗⃗� || = √12 + 12 = √2 
||�⃗⃗� || = √42 + 32 = √25 = 5 
�⃗⃗� .�⃗⃗� = 1x4 + 1x3 = 7 
Usando a fórmula, obtém-se:   = 8,1º 
 
2) Calcular o ângulo formado entre uma diagonal de um cubo e uma das 
arestas que seja com ela concorrente. 
 
Solução 
 
Tem-se a seguinte figura geométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fixando o comprimento de cada aresta do cubo = 1 e colocando a 
origem do espaço no ponto O, tal como indicado na figura, e 
considerando a diagonal 𝐎𝐃̅̅ ̅̅ , podem-se definir os seguintes vetores: 
𝐎𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1-0,1-0,1-0) = (1,1,1)  ||𝐎𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || = √12 + 12 + 12 = √3 
𝐁𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1-1,1-1,1-0) = (0,0,1)  ||𝐁𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || = √12 = 1 
𝐎𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .𝐁𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1x0 + 1x0 + 1x1 = 1 
Logo, usando a fórmula, calcula-se: cos = 1
√3
⁄   = 54,7º 
 7 
 
 
O mesmo valor será encontrado usando outros pontos como referência. 
 
1.7. Produto vetorial 
 
 Diversos fenômenos físicos estudados em Mecânica, Eletricidade e 
Eletromagnetismo resultantes da interação entre 2 vetores podem ser 
quantificados aplicando-se o fomalismo matemático apresentado a 
seguir, denominado produto vetorial. 
 Exemplos: 
— momento de uma força em relação a um ponto = força x distância; 
— força 𝐅 exercida sobre uma partícula com carga elétrica e velocidade �⃗⃗� 
em um campo magnético de intensidade �⃗⃗� : 𝐅 = �⃗⃗� x �⃗⃗� . 
 O resultado do produto vetorial, representado por um “x”, é SEMPRE um 
3o vetor. Assim 𝐂 = �⃗⃗� x �⃗⃗� representa o produto vetorial entre �⃗⃗� e �⃗⃗� , que 
tem como resultado o vetor 𝐂 . 
 O produto vetorial possui as seguintes proprieda des: 
 o vetor resultado tem direção perpendicular ao plano definido pelos 
outros dois vetores; 
 o sentido do resultado é obtido a partir da chamada regra da mão 
direita - ver figuras a seguir, na qual a seta vermelha indica o sentido 
do vetor resultado; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
Z
X
Y
= 2 - 7 -6  (2,-7,-6)
 a fórmula que relaciona os módulos de dois vetores �⃗⃗� e �⃗⃗⃗�multiplicados 
vetorialmente entre si e o do vetor resultado, bem como o ângulo  
formado entre os dois vetores é: 
 
 
 
 
 por se tratar de uma operação cujo resultado é um vetor perpendicular 
ao plano dos outros dois, só há sentido para o produto vetorial no 
espaço a 3 dimensões; 
 Vale recordar que qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser 
visto como uma combinação dos vetores unitários (ou canônicos) - 
𝐢 (1,0,0), 𝐣 (0,1,0) e 𝐤 (0,0,1), paralelos aos eixos cartesianos - ver figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo dois vetores �⃗⃗� (vx,vy,vz) e �⃗⃗⃗� (wx,wy,wz), calcula-se o resultado do 
produto vetorial entre eles, �⃗⃗� = �⃗⃗� x �⃗⃗⃗� , por meio do seguinte 
determinante simbólico, no qual 𝐢 , 𝐣 e 𝐤 representam os vetores 
unitários: 
 
 
 
 
 Exemplo: 
sendo �⃗⃗� = 𝐢 + 2𝐣 - 2𝐤  (1,2,-2) e �⃗⃗� = 3𝐢 + 𝐤  (3,0,1), segue que, 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma consequência do produto vetorial é que o módulo do vetor 
resultado é numericamente igual à área do paralelogramo definido pelos 
dois vetores. Tal fato é ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 9 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que a área de um paralelogramo = base x altura e, em função 
da fórmula do produto vetorial, escreve-se: 
 
 
que corresponde justamente ao produto base x altura. 
 
1.8. Produto misto 
 
 Define-se produto misto entre 3 vetores como o produto escalar de um 
deles pelo produto vetorial dos outros dois. 
 Por se tratar do resultado de um produto ESCALAR entre 2 vetores, o 
resultado do produto misto é SEMPRE um número real. 
Matematicamente, para o caso dos vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� e 𝐂 , escreve-se: 
 
 n = �⃗⃗� . (�⃗⃗� x 𝐂 ), sendo n um no real 
 
 Embora esta operação possa ser realizada em etapas, calculando-se 
primeiramente o produto vetorial, seguido do produto escalar, o 
resultado do produto misto pode ser imediatamente obtido por meio de 
um determinante. Sendo: 
�⃗⃗� (ax,ay,az); 
�⃗⃗� (bx,by,bz); 
𝐂 (cx,cy,cz); 
o resultado do produto misto �⃗⃗� .(�⃗⃗� x 𝐂 ) é obtido pelo determinante a 
seguir: 
 
 
 
 
 Exemplo. Considerando: 
�⃗⃗� = 2i - j + 3k⃗  (2,-1,3) 
�⃗⃗� = -i + 4j + k⃗  (-1,4,1) 
W⃗⃗⃗ = 5i + j - 2k⃗  (5,1,-2) 
o produto misto �⃗⃗� .(�⃗⃗� x �⃗⃗⃗� ) é calculado por: 
 
 
 
 
 10 
 
 Demonstra-se que o módulo do resultado do produto misto corresponde 
ao volume do paralelepípedo formado entre os 3 vetores, o que é 
ilustrado na figura a seguir. 
 Decorre também do produto misto o fato que, se o resultado desta 
operação é nulo, os 3 vetores são coplanares. Ou seja, se: 
�⃗⃗� . (�⃗⃗� x 𝐂⃗⃗⃗ ) = 0  �⃗⃗� , �⃗⃗� e 𝐂 pertencem a um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9. Problemas 
 
1) Calcular os ângulos internos do triângulo cujos lados são A (1,2), B (-1,-1) e 
C (2,-2). 
 
Solução 
 
A partir das coordenadas dos pontos, calculam-se as coordenadas dos 3 
vetores cujas extremidades correspondem a tais pontos. 
𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1-1, -1-2) = (-2,-3) ‖𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = √22 + 32 = √13; 
𝐀𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2-1,-2-2) = (1,-4) ‖𝐀𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √12 + 42 = √17; 
𝐁𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = [2-(-1),-2-(-1)] = (3,-1) ‖𝐁𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √32 + 12 = √10. 
 
Calculam-se os 3 produtos escalares: 
𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.𝐀𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-2,-3).(1,-4) = -2 + 12 = 10 
𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.𝐁𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-2,-3).(3,-1) = -6 + 3 = -3 
𝐀𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗.𝐁𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗= (1,-4).(3,-1) = 3 + 4 = 7 
 
Usando a fórmula do produto escalar, tem-se: 
 
  1 = 47,73º 
 
 
  2 = 74,74º 
 11 
 
 
 
  3 = 57,53º 
 
Observa-se, como esperado, que a soma dos 3 ângulos é igual a 180º. 
 
2) Determine os valores de x e y de tal modo que o vetor �⃗⃗� (x,y,1) tenha 
módulo igual a √3 e seja perpendicular ao vetor �⃗⃗� (1,3,4). 
 
Solução 
 
Se �⃗⃗�  �⃗⃗� , então o produto escalar entre eles é nulo. Assim, escreve-se: 
 
(x,y,1).(1,3,4) = 0  x + 3y + 4 = 0  x = -4 - 3y (1) 
 
Em relação ao módulo do vetor, tem-se: 
 
√𝑥2 + 𝑦2 + 12 = √3  elevando ao quadrado os dois lados dessa igualdade: 
 
x2 + y2 + 1 = 3  x2 + y2 - 2 = 0 (2) 
 
Combinando as relações (1) e (2), obtém-se: 
 
(-4 - 3y)2 + y2 - 2 = 0  10y2 + 24y + 14 = 0 
 
Esta equação do 2o grau possui 2 raízes: 
y1 = -7/5 
y2 = -1 
 
Usando, então, a relação (1), obtém-se: 
x1 = -4 - 3(-7/5)  x1 = 1/5 
x2 = -4 + 3 = -1 
 
Ou seja, o problema possui 2 soluções: 
𝐔𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1/5,-7/5,1) 
𝐔𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-1,-1,1) 
 
3) Seja �⃗⃗� um vetor no espaço tridimensional. Considerando que é válido o 
sistema de equações indicado a seguir, calcule as coordenadas de �⃗⃗� . 
 
 �⃗⃗� .(2𝐢 + 3𝐣 + 4𝐤 ) = 9 
 �⃗⃗� x (-𝐢 + 𝐣 - 𝐤 ) = -2𝐢 + 2𝐤 
 
Solução 
 
Sejam x, y e z as coordenadas do vetor �⃗⃗� . Levando em conta a 1a equação e, 
por meio da regra do produto escalar, escreve-se: 
 12 
 
(x,y,z).(2i + 3j + 4k⃗ ) = 9  (x,y,z).(2,3,4) = 9. Desenvolvendo, obtém-se: 
2x + 3y + 4z = 9 (1) 
 
Por sua vez, o produto vetorial indicado na 2a equação equivale a: 
(x,y,z) x (-1,1,-1) = (-2,0,2). Introduzindo tais valores no determinante simbólico 
inerente ao produto vetorial, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o determinante simbólico e igualando-se os 2 resultados, chega-se 
à seguinte equação vetorial: 
 
-(y + z)𝐢 + (x - z)𝐣 + (x + y)𝐤 = -2𝐢 + 2𝐤 
 
Para que 2 vetores sejam iguais, suas coordenadas também devem se 
igualar. Portanto, escreve-se: 
 
y + z = 2 
x - z = 0  x = z 
x + y = 2 
 
Combinando-se essas 3 equações, obtém-se: 
x + y = 2 
 
Por sua vez, utilizando a relação (1) proveniente da equação relativa ao 
produto escalar, chega-se ao seguinte sistema de 2 equações a 2 
incógnitas (considerando que x = z): 
 
 x + y = 2 x + y = 2 
 6x + 3y = 9 2x + y = 3 
 
cuja resolução fornece como resultado x = 1 e y = 1 
 
Portanto, a resposta do problema é: 𝐀 ⃗⃗ ⃗(1,1,1). 
 
 
4) Sejam os pontos A, B, D e E mostrados na figura abaixo, cujas coordenadas 
são: 
A = (0,0,0), B = (-1,-1,0), D = (0,3,0) e E = (2,2,1). 
Tais pontos formam um tetraedro. Sabendo que o volume de um tetraedro 
é igual a 1/6 do volume do paralelepípedo também indicado na figura, 
calcule o volume do tetraedro ABDE. 
 
 
 
 

 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
Calculam-se as coordenadas dos vetores indicados na figura: 
 
𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1-0,-1-0,0-0) = (-1,-1,0) 
𝐀𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0-0,3-0,0-0) = (0,3,0) 
𝐀𝐄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2-0,2-0,1-0) = (2,2,1) 
 
Calcula-se o produto misto 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.(𝐀𝐃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ x 𝐀𝐄⃗⃗⃗⃗ ⃗), cujo resultado obtém-se por 
meio do seguinte determinante: 
 
 
 
 
 
Como informado no enunciado, conclui-se que o volume do tetraedro 
ABDE é igual a |-3| / 6 = 1/2 ou 0,5. 
 
5) Calcular os ângulos que o vetor �⃗⃗� (3,4,12) forma com os eixos 
cartesianos X, Y e Z. 
 
Solução 
 
Os ângulos de qualquer vetor com os eixos cartesianos são obtidos por 
meio dos seguintes produtos escalares: 
 com o eixo X: �⃗⃗� . 𝐢 ; 
 com o eixo Y: �⃗⃗� . 𝐣 ; 
 com o eixo Z: �⃗⃗� . 𝐤 ; 
 
O módulo do vetor V⃗⃗ é igual a √32 + 42 + 122 = √169 = 13 
Por sua vez, os módulos dos vetores 𝐢 , 𝐣 e 𝐤 são todos iguais a 1. 
 
Chamando de ,  e  os ângulos com os eixos X, Y e Z, 
respectivamente, calculam-se: 
 
 
 
 
E, analogamente, 
 
 14 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: demonstra-se que, para qualquer vetor no espaço a 3 
dimensões, a seguinte relação é obedecida: 
 
cos2 + cos2 + cos2 = 1 
 
 sendo ,  e  os ângulos formados com os eixos cartesianos X, Y e Z. 
Os alunos devem fazer esta demonstração.