APOSTILA_04

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Função Afim
Sumário
Função Afim
Objetivos ..................................................................... 03
Introdução .................................................................... 04
1. Função Afim....................................................... 05
1.1 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim ... 05
2. Crescimento e decrescimento .............................. 12
2.1 Sinal ................................................................... 14
Referências Bibliográficas .............................................. 17
 Fundamentos da Matemática | 3
Objetivos 
Ao final desta unidade, você será capaz de:
• Construir um gráfico a partir de uma função afim;
• Determinar a lei de associação a partir do gráfico de 
uma função;
• Identificar uma propriedade característica da função afim: o 
crescimento (ou decrescimento) linear;
• Analisar problemas do cotidiano e possíveis intervenções, 
com base no conhecimento sobre funções afim.
4 | Fundamentos da Matemática
Introdução
Nesta unidade, aprofundaremos nossos estudos sobre as 
funções, estudando, especificamente, as funções afins, também 
chamadas de funções polinomiais de 1º grau. Essas funções podem 
fornecer uma interessante gama de aplicações, motivando ainda mais os 
seus estudos por meio de exemplos e aplicações ao longo desta unidade 
de aprendizagem.
Você verá como um simples conceito matemático pode 
ser utilizado para resolver problemas variados do nosso dia a dia, 
constituindo modelos matemáticos para as questões referentes à 
proporcionalidade e alguns tópicos da matemática financeira, sendo, 
há séculos, um dos instrumentos matemáticos mais empregados nas 
aplicações e na teoria. 
 Fundamentos da Matemática | 5
1. Função Afim
O estudo de funções afim pode ser aplicado em diversas situações 
no dia a dia, seja para calcularmos o valor de uma corrida de táxi, ou para 
sabermos quanto pagamos pela compra de x quilos de carne etc. Antes de 
iniciarmos nossos estudos, vamos pensar a seguinte situação:
Um corretor recebe da empresa em que trabalha, 
mensalmente, um salário composto de duas partes:
• Uma parte fixa de R$880,00;
• Outra parte variável, que corresponde a um adicional de 
2% sobre o valor das vendas realizadas no mês.
Em certo mês, as vendas somaram R$300.000,00. Sendo 
assim, responda:
• Qual será o salário líquido desse corretor no mês em 
questão?
• Expresse uma fórmula matemática que forneça o salário 
deste corretor para uma venda de x reais.
Para resolvermos situações desse tipo, podemos utilizar os 
conceitos que abordaremos a seguir.
1.1 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim
Chamamos função polinomial de 1º grau, ou função afim, 
qualquer função f de em , dada por uma lei f(x)=ax +b, em que a 
e b são números reais dados e a≠0.
f(x) = ax+b ou y = ax +b
 
6 | Fundamentos da Matemática
Na lei f(x) = ax +b, dizemos que os números a e b são os 
coeficientes da função.
Exemplos: 
1. f (x) = 2x + 3, onde a = 2 e b = 3; 
2. f (x) = -x - 7, onde a = -1 e b = -7; 
3. f (x) = 3x, onde a = 3 e b = 0; 
4. f (x) = x, onde a = 1 e b = 0.
Vamos ver algumas aplicações de funções afim?
O preço P a pagar por uma corrida de táxi é obtido por 
uma função afim P = ax + b, na qual x é a distância percorrida em 
quilômetros; o valor inicial b é chamado de bandeirada e o coeficiente a 
é o preço por cada quilômetro rodado. 
Um táxi de luxo, em certa cidade, cobra R$5,40 de bandeirada 
e R$1,10 por quilômetro rodado. Sendo assim:
a) Qual é o valor P que será cobrado em uma corrida de x 
quilômetros? 
Vamos analisar a situação:
Pelo enunciado, sabemos que o valor fixo ou bandeirada é de 
R$5,40, e o valor variável cobrado por km rodado é R$1,10.
Analogamente, podemos fazer a seguinte tabela:
Km rodados Valor a ser pago (R$)
0 P= 5,40
1 P= 5,40 + 1. 1,10= 5,40+ 1,10 = 6,50
2 P= 5,40 + 2. 1,10= 5,40+ 2,20 = 7,60
3 P= 5,40 + 3. 1,10= 5,40+ 3,30 = 8,70
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4 P= 5,40 + 4. 1,10= 5,40+ 4,40 = 9,80
x P= 5,40 + 1,10.x
b) Se uma pessoa rodar por 100 km, quanto pagará por 
essa corrida?
Solução:
Na questão anterior, vimos que o valor P a ser pago por uma 
corrida é calculado pela lei:
P= 5,40 + 1,10x
Nesta situação, x=100km, então, para encontrarmos o valor de 
P, basta substituir “x” por 100, ficando assim:
P= 5,40 + 1,1.x
P= 5,40 + 1,1.100
P= 5,40+ 110
P= 115,40
Logo, o valor a ser pago por uma corrida de 100km será R$115,40.
No exemplo escrevemos a função afim P = ax + b, mas é claro 
que o valor da corrida é em função da distância percorrida, isto é, P = P(x).
• Esse número a da função afim f é chamado de coeficiente 
angular ou taxa de variação da função f; 
• O coeficiente b determina onde a função irá interceptar o 
eixo das ordenadas (y).
Vamos ver algumas aplicações de funções afim?
Características de uma função polinomial do 1º grau
• A função de 1º grau é uma função bijetora, ou seja, é 
injetora e sobrejetora ao mesmo tempo;
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• O domínio e a imagem são o conjunto dos números reais (IR);
• O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta;
• A função admite inversa.
Gráfico de uma função Polinomial do 1º grau
O gráfico de uma função afim f (x) = ax + b é uma reta. Para 
verificar esta afirmação, basta mostrar que três pontos quaisquer desse 
gráfico são colineares.
Para construirmos o gráfico de uma função do 1º grau, 
basta sabermos os dois pontos (pares ordenados) que fazem parte da 
função. Para isso, atribuímos valores aleatórios a x e encontramos o 
valor de y associado.
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
a) Para x = 0, temos y=3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
b) Para y = 0, temos 0=3x-1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e 
ligamos os dois com uma reta:
x y
0 -1
1/3 0
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = - 3x - 1; portanto, outro ponto é (1/3,0).
1
3
x =
1 ,0
3
 
 
 
1 ,0
3
 
 
 
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x y
0 -1
-1/3 0
 
Observe que a função f(x)=ax+b é crescente 
quando a>0, e decrescente quando a<0.
Note que o ponto em que a reta toca o eixo y 
corresponde às coordenadas (0;b).
Taxa de variação da função afim
Dados x, x + h R, com h = 0, a taxa de variação de uma 
função f no intervalo [x, x + h] é o número:
Essa igualdade mostra que a função afim tem a mesma 
variação em todo seu domínio. Então, conhecendo essa variação, 
podemos classificar a função afim em:
Crescente – quando sua taxa de variação é positiva (a > 0);
Decrescente – quando sua taxa de variação é negativa (a < 0);
Constante – quando sua taxa de variação é nula (a = 0).
Como a taxa de variação é única em cada função f, logo o 
coeficiente a pode ser obtido quando são conhecidos dois pontos 
Importante
∈
( ) ( ) f x h f xa
h
+ −
=
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f(x1) e f (x2) quaisquer desta função, isto é, f (x1) = ax1+b e f (x2)=ax2 +b; 
subtraindo as igualdades membro a membro, temos:
f (x2) - f (x1) = ax2 + b - ax1 - b
Anulando os coeficientes b, teremos:
f (x2) - f (x1) = ax2 - ax1 
Colocando coeficiente a em evidência:
f (x1) - f (x2) = a(x1 -ax2)
Logo,
Veja alguns exemplos: 
1. Obtenha a taxa de variação da função afim cujo gráfico passa 
pelos pontos (3, 12) e (1, 2).
2. Suponha que um ônibus, partindo do repouso, percorra 
uma distância de 300 metros em 30 segundos. Qual será a taxa de 
variação média desse ônibus, durante os 30 segundos?
Solução:
Observe que o ônibus parte do repouso, então, sua distância 
inicial é 0 e o tempo também é zero. Perceba que há uma relação tempo 
x distância percorrida (t,d). Teremos, então, os pontos (0,0) e (30,300).
( ) ( )
 1
2 1 
2
 f x f x
a
x x
−
−
=
12 2 10 5
3 1 2
a −= = =
−
300 030 0
a −=
−
300 
30 
a =
10 /a m s=
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Podemos concluir, então, que a taxa de variação média da 
distância do ônibus em relação ao tempo, no período considerado, é 
dada por 300 m/ 30 s, isto é, 10 m/s. Neste exemplo particular, esta 
taxa de variação é definida como a velocidade média do ônibus, no 
mesmo período.
Zero de Função Afim
Chama-se zero ou raiz da função afim f, com o coeficiente 
diferente de zero, o número real x, tal que, f(x)= 0. 
Note que, quando colocamos e calculamos o valor de que 
satisfaça a igualdade, estamos resolvendo uma equação do primeiro grau.
Exemplo: 
Construir o gráfico da função f (x) = 2x - 6, utilizando sua raiz 
e seu coeficiente b. Raiz da equação:
Valor inicial:
Observe que os pontos encontrados são as interseções com os 
eixos (raiz da equação) e (coeficiente b).
 
Vejamos algumas aplicações:
1) As funções consumo e poupança de um operário de renda 
variável x são, respectivamente,
Consumo: C = 100 + 0,6x e
Poupança: S = 0,4x – 100
( ) 0 0 bf x ax b x
a
= => + = => =−
6(0) 2 6 0 3 (3,0)
2
f x x= − = => = = =>
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a. Qual o seu consumo e sua poupança, se ele ganhar R$ 480,00?
Solução: 
Consumo:
C = 100 + 0,6x 
C= 100 + 0,6.480 
C = 100 +288
C = 388
Poupança:
S = 0,4x – 100 
S = 0,4.480 – 100
S = 192 – 100
b. Qual o seu consumo, se sua renda for nula?
Solução: 
C = 100 + 0,6x 
C= 100 + 0,6.0 
C = 100 +0 
C = 100
c. Qual a sua poupança, se sua renda for nula? 
 
S = 0,4x – 100 
S = 0,4.0 – 100
S = 0 – 100
S = – 100 
2. Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir 
valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
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 x aumenta
 
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
 y aumenta
 
Observamos novamente seu gráfico: 
Regra geral:
A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o 
coeficiente de x é positivo (a > 0);
A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o 
coeficiente de x é negativo (a < 0).
Justificativa:
• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. 
Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2); 
• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. 
Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
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2.1 Sinal
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x), é determinar 
os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y 
é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b, vamos 
estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz .
Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0⇒ ax+b > 0      x>   
y < 0  ax+b < 0   x>   
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y 
é negativo para valores de x menores que a raiz.
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0  ax+b > 0   
y > 0      ax+b < 0 
bx
a
−
=
⇒ b
a
−
⇒ ⇒ b
a
−
⇒ ⇒ bx a<−
⇒ ⇒ bx a>−
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Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y 
é negativo para valores de x maiores que a raiz.
Algumas funções especiais
Função linear: trata-se de um caso particular de função afim, 
em que b=0. Nesse caso, temos uma função afim f de em dada pela 
lei f(x) = ax com a real e a≠0, que recebe a denominação especial de 
função linear.
Exemplos:
a) f(x) = x (a= 1 e b= 0)
 
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b) f(x) = -2x (a= -2 e b= 0)
Função constante: vimos que uma função afim f é uma função 
de em dada pela lei y = ax+b, com a ≠ 0. Quando em y = ax +b, 
temos a = 0, essa lei não define uma função afim, mas, sim, outro tipo 
de função, denominada função constante. 
Portanto, chama-se função constante uma função f:R R 
dada pela lei y=0x+b, ou seja y = b para todo x.
Função identidade: uma função f de em recebe o nome 
de função identidade, quando associa, a cada elemento x o, próprio x, 
isto é f(x) = x.
 
 
∈
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Referências Bibliográficas
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São 
Paulo: Scipione, 2004.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática 
comercial e financeira. 3 ed. Curitiba: IBPEX, 2010.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: 
funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática aplicada: economia, 
administração e contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de 
matemática elementar. Volume 1. Editora Atual, 1993.
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Volume 1. 
Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática, temas e metas. 
Volume 1 – Conjuntos Numéricos e Funções. Editora Atual, 1988.