GRA1767 GEOMETRIA_ DESENHO E FORMA GR1312211 - unidade 3

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GEOMETRIA: DESENHO E FORMAGEOMETRIA: DESENHO E FORMA
GEOMETRIA DESCRITIVAGEOMETRIA DESCRITIVA
Autor: Drª . Roberta Paye Bara
Revisor : Manuela Thomas
I N I C I A R
introdução
Introdução
Quando o objetivo é representar objetos no espaço utilizando as técnicas de
projeção ortogonal no diedro, rebatendo os planos e formando a épura,
ocorre que nem todos os objetos que desejamos estudar (ou criar) estarão
paralelos aos planos de projeção vertical e horizontal, o que di�culta a análise
das verdadeiras grandezas do objeto. Por isso, é importante estudar
paralelismo, perpendicularismo, interseções entre retas e planos com os
planos de projeção e mudança de planos de projeção. A mudança de plano de
projeção consiste em uma técnica na qual é possível mudar a orientação dos
planos de projeção, como se estivesse rotacionando o diedro com a �nalidade
de obter a verdadeira grandeza de elementos do objeto.
No estudo de objetos no espaço utilizando a técnica de projeção ortogonal a
um diedro, são projetados os elementos que compõem o objeto.
Consideramos dois planos de projeção: o vertical e o horizontal. É necessário
analisar as posições entre retas e planos do objeto com os planos de projeção
ortogonal, o que inclui a interseção entre retas e planos.
Posições entre Retas e Planos
Com relação à orientação de planos no espaço e suas posições em relação ao
diedro, os planos podem ser: horizontal, frontal, de per�l, de topo, vertical,
qualquer e paralelo à linha de terra. Com relação a cada tipo de plano,
teremos três tipos de reta (no plano qualquer, são quatro tipos).
Retas no Plano Horizontal
No plano horizontal, só será possível encontrar retas que sejam paralelas ao
plano horizontal como retas horizontais, de topo ou retas fronto-horizontais.
E, para retas horizontais ou retas de topo, a projeção vertical dessas retas
Interseções em GeometriaInterseções em Geometria
DescritivaDescritiva
será coincidente com a interseção entre o plano horizontal e o plano de
projeção vertical.
Retas no Plano Frontal
No plano frontal, só será possível encontrar retas que sejam paralelas ao
plano de projeção vertical, como as retas frontal, vertical e retas fronto-
horizontais. Nas retas tipo frontal ou tipo vertical, a projeção horizontal será
coincidente com a interseção do plano frontal com o plano horizontal de
projeção.
Figura 3.1 - Reta horizontal contida em um plano horizontal   
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 3.2 - Reta frontal contida em um plano frontal 
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano de Per�il
No plano de per�l, só ocorrem retas que sejam ortogonais à linha de terra
(porque o plano de per�l é perpendicular aos dois planos de projeção), como
retas de per�l, retas verticais e retas de topo. A abscissa de todos os pontos
dessas retas será a mesma abscissa do plano de per�l (pois é onde o plano de
per�l intercepta a linha de terra).
Retas no Plano de Topo
Como o plano de topo é perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo
ao plano horizontal de projeção, só será possível encontrar nesse plano retas
de topo, do tipo frontal ou qualquer. Nas retas de topo, a projeção vertical da
reta irá coincidir com a interseção do plano de topo com o plano vertical de
projeção.
Nas retas frontais, a projeção vertical irá coincidir com a interseção do plano
de topo com o plano vertical de projeção, assim como a projeção horizontal
da reta irá coincidir com a interseção do plano de topo com o plano horizontal
de projeção.
Nos casos de retas do tipo qualquer, a projeção vertical da reta irá coincidir a
interseção do plano de topo com o plano vertical de projeção.
Figura 3.3 - Reta de topo contida em um plano de per�l 
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano Vertical
No plano vertical, as retas devem ser perpendiculares ao plano horizontal de
projeção ou oblíquas ao plano vertical de projeção, por isso só é possível
encontrar retas do tipo vertical, ou horizontal ou qualquer. No caso das retas
verticais, a projeção horizontal irá coincidir com a interseção do plano vertical
com o plano horizontal de projeção. Nas retas horizontais ou do tipo
qualquer, terão sua projeção horizontal coincidindo com a interseção do
plano vertical com o plano horizontal.
Retas no Plano Qualquer
Figura 3.4 - Reta qualquer contida em um plano de topo 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 3.5 - Reta horizontal em um plano de vertical 
Fonte: Elaborada pela autora.
O plano qualquer é oblíquo aos planos de projeção, por isso as retas que
pertencem a esse tipo de plano são oblíquas a pelo menos um dos planos de
projeção. Dessa forma, no plano qualquer, podemos encontrar retas: de
per�l, horizontal, frontal ou qualquer.
Retas no Plano Paralelo à Linha de Terra
Um plano paralelo à linha só poderá conter retas paralelas à linha de terra ou
oblíquas aos dois planos de projeção, como retas de per�l, retas do tipo
qualquer e fronto-horizontal.
Figura 3.6 - Reta qualquer em um plano qualquer 
Fonte: Elaborada pela autora.
Interseção de uma Reta com um Plano
Quando uma reta intercepta um plano forma um ponto de interseção. Para
de�nir esse ponto de interseção, é necessário traçar um plano auxiliar que
contenha a reta, para determiná-la.
Posições entre Planos
A posição entre dois planos no espaço pode ser paralela ou secante (quando
se interceptam). E quando dois planos se interceptam, a interseção forma
uma reta no espaço.
Figura 3.7 - Reta qualquer contida em um plano paralelo à linha de terra 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 3.8 - Reta de per�l em um plano paralelo à linha de terra 
Fonte: Elaborada pela autora.
A reta da interseção dos planos pertence aos dois planos simultaneamente, e
essa estará sempre na interseção entre suas projeções com os planos de
projeção.
Problemas Planimétricos Descritivos
Os problemas planimétricos descritivos envolvem obter informações sobre
posição de retas nos planos, ou obter a interseção entre reta e plano ou a
interseção de entre planos.
Um exemplo é obter a reta que de�ne a interseção entre dois planos que não
se interceptam no 1° Diedro. Para isso, é necessário prolongar os traços dos
dois planos para obter a reta correspondente à interseção entre eles.
Figura 3.9 - Posição entre planos 
Fonte: Elaborada pela autora.
Observe que os planos se interceptam fora do primeiro diedro (do primeiro
triedro também), e é necessário representar essa interseção fora do primeiro
diedro. Isso é realizado prolongando as retas que formam as projeções dos
planos na épura e representando com tracejado a parte dessas retas que está
fora do primeiro diedro.
praticar
Vamos Praticar
As representações de planos e retas no espaço utilizando a técnica mongeana
considera as projeções ortogonais dessas retas e desses planos nos planos de
projeção vertical e horizontal. Pelas projeções, é possível analisar relações de
paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos. Assinale a alternativa que
descreve as posições que dois planos podem ser entre si.
a) Paralelas ou reversas.
b) Secantes e concorrentes.
Figura 3.10 - Obtenção da reta de interseção entre dois planos α e β que não
se interceptam no 1° Diedro 
Fonte: Elaborada pela autora.
c) Paralelas, secantes ou concorrentes.
d) Paralelos ou secantes.
e) Paralelas e concorrentes
As retas e os planos no espaço podem ser paralelos ou se interceptarem.
Quando se interceptam, é possível veri�car se existe uma condição de
perpendicularidade entre reta e plano ou entre dois planos no espaço distinto
dos planos de projeção.
Paralelismo entre Retas e Planos
Uma reta é paralela a um plano quando essa reta é paralela a uma reta
contida nesse plano. Não há regra em relação às interseções do plano com os
planos de projeção. Então, em um problema no qual temos um plano β e um
ponto A externo ao plano β, como obter uma reta paralela ao plano β
passando por A? Nesse caso, a solução é traçar uma reta no plano e depois
utilizar essa reta para desenhar uma reta com mesma direção, mas que passe
pelo ponto A.
Tambémpode ocorrer o contrário: o problema dar uma reta e solicitar que
encontre um plano paralelo à reta dada. Nesse caso, o processo é
Paralelismo e PerpendicularismoParalelismo e Perpendicularismo
em Geometria Descritivaem Geometria Descritiva
semelhante, pois a reta dada será utilizada para dar a direção de uma nova
reta na qual será construído o plano. 
Perpendicularismo entre Retas e Planos
Para veri�car se um plano α é perpendicular a uma reta s, é necessário que
essa reta seja perpendicular a duas retas concorrentes contidas no plano α.
Na épura, a reta perpendicular a um plano terá suas projeções
perpendiculares às interseções dos planos com os planos de projeção. No
GeoGebra, de�na os pontos onde as projeções da reta s irão passar e use a
função de desenhar uma reta perpendicular. 
Essa regra só não vale para os planos que passam pela linha de terra ou são
paralelos à linha de terra. Nesses casos, primeiro se precisa veri�car se a reta
é de per�l, porque só uma reta de per�l poderá ser perpendicular a esses
dois tipos de plano. Em seguida, traçar um plano auxiliar e rebater para ver se
forma o ângulo de 90°. 
Plano Paralelo a outro Plano
Para veri�car se um plano α é paralelo a outro plano β, é necessário provar
que, se no plano α tiver pelo menos duas retas concorrentes, essas serão
Figura 3.11 - Reta sperpendicular ao plano α 
Fonte: Elaborada pela autora.
paralelas ao plano β. Isso serve para quase todos os tipos de planos, menos
os paralelos à linha de terra que sempre possuem interseções com os planos
de projeção que formam retas paralelas às linhas de terra.
Imagine o seguinte problema planimétrico descritivo: trace um plano paralelo
ao plano α que passe pelo ponto A dado.
Para resolver esse problema, vamos usar a função do GeoGebra de traçar
uma reta paralela à outra reta que passe por um ponto dado.
Primeiro, usa-se a função de reta paralela que passa por um ponto para
de�nir a projeção horizontal de s (várias possibilidades). Agora, basta traçar
uma paralela a απ' que passe pelo ponto L. Assim, vai de�nir onde o plano β
intercepta a linha de terra. Agora, para de�nir o resto do plano β(na cor
bordô), trace uma paralela a απ'' que passe pelo ponto N.
Figura 3.12 - Função no GeoGebra que traça uma reta paralela a outra reta
que passe por ponto
Fonte: Elaborada pela autora.
Plano Perpendicular a outro Plano
Para veri�car se dois planos são perpendiculares entre si, é necessário que
um dos planos contenha uma reta que seja perpendicular ao outro plano (o
que recai no problema de reta perpendicular a um plano).
Como desenhar um plano perpendicular a um plano dado? Na épura, é
necessário traçar uma reta perpendicular ao plano dado e depois traçar um
plano que contenha a reta.
Figura 3.13 - Solução: traçar uma reta paralela a outra reta que passe por
ponto 
Fonte: Elaborada pela autora.
praticar
Vamos Praticar
No estudo de retas e planos no espaço, é necessário conhecer algumas de�nições
para resolver problemas planimétricos descritivos. Como para de�nir uma reta
basta ter dois pontos e para de�nir um plano basta ter três pontos não colineares,
quais são as posições possíveis entre retas e planos não coplanares?
a) Paralelos ou concorrentes.
b) Paralelas, ortogonais e reversas.
c) Reversas e ortogonais.
reflitaRe�ita
Vimos a representação de retas e planos no diedro, mas como encontrar a verdadeira
grandeza de objetos cujos detalhes estão em planos que não estão paralelos a nenhum
plano de projeção? Imagine você elaborando o projeto de uma peça que deverá ser
encaixada em um motor de carro com design já de�nido, onde o espaço é restrito
semelhante a um diedro interceptado por um plano qualquer. Como planejar a peça
para se encaixar nesse espaço? E como representar os detalhes da peça para ser
construída, considerando que um erro de projeto pode custar caro, pelo
desenvolvimento do molde, custo de material, pessoal e logística (isso quando o erro é
percebido antes da entrega do produto �nal, caso contrário teria custos com recall)?
Fonte: Elaborado pela autora.
d) Paralelos ou perpendiculares somente.
e) Concorrentes e perpendiculares somente.
Quando um objeto no espaço possui detalhes que estão em um plano que
não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, é possível realizar uma
técnica na qual é alterada a orientação de um dos planos de projeção com a
�nalidade de mostrar os detalhes do objeto. Dessa forma, é obtida uma nova
orientação e uma nova linha de terra. Todas essas informações são
importantes para leitura e interpretação de projetos.
Mudança de Plano
A técnica de mudança de plano é para mudar de plano de orientação, a �m de
obter um novo plano de projeção vertical ou um novo plano de projeção
horizontal. Isso geralmente ocorre pela necessidade em obter a verdadeira
grandeza de algum elemento, seja um segmento de reta, seja uma face de um
objeto. Para isso, é necessário construir um plano auxiliar que seja paralelo
ao objeto que se deseja obter a verdadeira grandeza. É um método no qual o
objeto �ca parado no espaço enquanto é alterada a orientação do (s) plano (s)
de projeção. 
Métodos Descritivos: Mudança deMétodos Descritivos: Mudança de
PlanoPlano
Verdadeira Grandeza de Retas Oblíquas
Para obter a verdadeira grandeza de retas ou segmentos de retas oblíquas
aos planos de projeção, é necessário alterar um dos planos de projeção para
que �que paralelo à reta ou ao segmento de reta. Dessa forma, a verdadeira
grandeza estará projetada nesse novo plano de orientação.
Problemas Descritivos Planimétricos
Figura 3.14 - Mudança de plano: exemplo de mudança de plano vertical 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 3.15 - Construindo um plano auxiliar de orientação paralelo a uma
reta oblíqua aos planos de projeção 
Fonte: Elaborada pela autora.
Um exemplo de problema descritivo planimétrico envolvendo obter a
verdadeira grandeza de um segmento oblíquo é: como obter a verdadeira
grandeza de um segmento de reta que é oblíquo aos planos de projeção?
Para obter a VG (verdadeira grandeza) dessa reta, é necessário construir uma
nova linha de terra paralela à projeção horizontal (A'B'). A partir da nova LT
(linha de terra), trace linhas de chamada perpendiculares à nova linha de terra
e que passem pelos pontos A' e B'. Em seguida, transporte as cotas de A e B
para as linhas de chamada desse novo plano vertical de projeção ( ).
Figura 3.16 - Segmento de reta oblíquo aos planos de projeção 
Fonte: Elaborada pela autora.
π′′1
Figura 3.17 - Obtendo a verdadeira grandeza de uma reta oblíqua 
Fonte: Elaborada pela autora.
Lembre-se de que, para usar a função compasso no GeoGebra, é necessário
que os pontos de centro e raio já estejam desenhados. Então, antes de usar a
função compasso, marque dois pontos com a distância que deseja
transportar. Pode marcar no eixo cartesiano de orientação.
praticar
Vamos Praticar
A técnica de mudança de plano é para mudar de plano de orientação, a �m de obter
um novo plano de projeção vertical ou um novo plano de projeção horizontal, com
uma nova linha de terra. É como se o objeto que está sendo projetado �casse
imóvel no espaço enquanto a orientação dos planos de projeção é alterada. Qual é
o principal objetivo para aplicar a técnica de mudança de plano?
a) Para obter o verdadeiro plano que irá sustentar o objeto.
b) Para obter o verdadeiro plano de projeção.
c) Para obter uma nova posição do objeto no espaço.
d) Para obter a verdadeira linha de terra.
e) Para obter a verdadeira grandeza.
A mudança de plano de orientação, além de ser útil para obter a verdadeira
grandeza de retas ou segmentos de retas, também pode ser aplicada para
obter a verdadeira grandeza de faces. Na verdade, isso é muito utilizado em
projetos de peças, pois, além das vistas convencionais, é adicionada a imagem
de uma vista auxiliar paralela à face que se deseja destacar os detalhes.
Mudança de Planos para Planos
É possível realizar uma mudança de plano horizontal de orientação (obtendo 
), ou realizar uma mudança de plano verticalde projeção (obtendo
), ou ainda realizar as duas, uma seguida da outra.
Na mudança de plano horizontal, a projeção vertical continua no novo
sistema de orientação. O afastamento também é mantido. A nova projeção
vertical forma com a projeção horizontal uma reta perpendicular a nova linha
de terra (pois corresponde à nova linha de chamada).
Mudança de Plano: PlanosMudança de Plano: Planos
\pi ''_{1}^{{}}
\pi ''_{1}^{{}}
Na mudança de plano vertical, a projeção horizontal continua inalterada; a
cota é mantida no novo sistema. Além disso, a projeção horizontal forma com
a nova projeção vertical um segmento de reta perpendicular com a nova linha
de terra.
Figura 3.18 - Mudança de plano horizontal de projeção 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 3.19 - Mudança de plano vertical de projeção 
Fonte: Elaborada pela autora.
Verdadeira Grandeza de Planos
Para obter a verdadeira grandeza de uma face que é oblíqua aos planos de
projeção, é necessário construir um plano auxiliar que seja paralelo ao plano
da face do objeto. Nesse ponto, deparamo-nos com o problema de construir
um plano paralelo a outro plano que consiste em usar pontos da face do
objeto do qual se pretende construir um plano paralelo. A partir desses
pontos, construa duas retas concorrentes. Em seguida, construa um plano
paralelo a essas duas retas.
saiba mais
Saiba mais
A técnica de mudança de plano para planos no espaço é semelhante à mudança
de plano para retas. Contudo, possui mais passos do que na mudança de plano
para retas (que corresponde à mudança dos planos de projeção de retas no
espaço). É fundamental compreender como ocorre a mudança de plano para
planos no espaço, pois é o que mais ocorre na vida pro�ssional para obter a
verdadeira grandeza de faces de objetos. Para visualizar o passo a passo de
mudança de plano, consulte o vídeo abaixo:
Fonte: Elaborado pela autora.
ASS I ST IR
Problemas Descritivos Planimétricos
Os problemas descritivos planimétricos que abordam mudança de plano para
faces de objetos geralmente consistem em obter a verdadeira grandeza de
objetos que estão apoiados em planos que não são paralelos aos planos de
projeção. Por exemplo: como representar a verdadeira grandeza de um
cilindro cuja base está sobre um plano paralelo à linha de terra?
saiba mais
Saiba mais
No artigo “HyperCAL3D, uma ferramenta computacional para o apoio do processo
de ensino-aprendizagem de geometria descritiva”, os autores Sérgio Leandro do
Santos e Fábio Teixeira Gonçalves avaliam o uso do aplicativo no processo de
aprendizagem de Geometria descritiva. O artigo está disponível em:
Fonte: Elaborado pela autora.
ACESSAR
Figura 3.20 - Mudança de plano da base do cilindro 
Fonte: Elaborada pela autora.
https://www.ufrgs.br/det/index.php/det/article/view/139
Para resolver esse problema, foram realizadas duas mudanças de plano,
primeiro obtendo um novo com uma mudança de plano vertical e
depois obtendo com uma mudança de plano horizontal.
Há diversas aplicações da geometria descritiva no cotidiano pro�ssional de
arquitetos, designers e engenheiros das mais diversas especializações.
Principalmente quando se trata da aplicação de mudança de plano para a
solução de problemas.
praticar
Vamos Praticar
A mudança de plano é um procedimento normalmente aplicado para obter a
verdadeira grandeza de segmentos de reta ou faces de objetos, que não estão
\pi '_{1}^{{}}
\pi '_{1}^{{}}
saiba mais
Saiba mais
Exemplos de problemas práticos envolvendo mudança de plano podem ser vistos
no artigo “Geometria descritiva aplicada à solução de problemas de arquitetura e
engenharia”, publicado na revista Educação Grá�ca. O artigo está disponível:
Fonte: Elaborado pela autora.
ACESSAR
https://www.researchgate.net/profile/Jose_Aymone2/publication/262559842_GEOMETRIA_DESCRITIVA_APLICADA_A_SOLUCAO_DE_PROBLEMAS_DE_ARQUITETURA_E_ENGENHARIA/links/5513ff650cf2eda0df30395f/GEOMETRIA-DESCRITIVA-APLICADA-A-SOLUCAO-DE-PROBLEMAS-DE-ARQUITETURA-E-ENGENHARIA.pdf
paralelos aos planos de projeção (e por isso suas projeções não apresentam
verdadeira grandeza). Assinale a alternativa que indica qual plano pode ser alterado
na técnica mudança de plano.
a) O plano vertical de projeção somente.
b) O plano horizontal de projeção somente.
c) O plano vertical de projeção, ou o plano horizontal de projeção, ou ainda os dois.
d) O plano da face lateral do objeto de estudo.
e) O plano da base do objeto de estudo.
indicações
Material Complementar
LIVRO
Geometria descritiva
Gildo A. Montenegro
Editora: Edgard Blücher
ISBN: 978-85-212-0982-9 (e-book)
Comentário: A primeira edição dessa obra foi impressa
em 1991, mas as edições mais recentes possuem
informações atualizadas considerando os recursos
digitais. O que mais se destaca nesse livro é o discurso
acessível, em alguns momentos bem-humorado e
sempre buscando estimular a criatividade do leitor.
Com vários detalhes históricos e descrições com rigor
matemático, é uma leitura agradável, acessível e
divertida, comparada com outras obras do mesmo
gênero.
FILME
Oscar Niemeyer – A vida é um sopro
Ano: 2007
Comentário: Oscar Niemeyer é o arquiteto brasileiro
mais conhecido mundialmente. Além de um dom para
unir o uso de projetos estruturais não usuais com uma
beleza artística, ainda apresenta projetos que
aproveitam as condições regionais (como luminosidade
e circulação de ar). Nesse �lme, há relatos do próprio, o
que fornece uma melhor percepção da realidade.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer
disponível em:
T R A I L E R
conclusão
Conclusão
A compreensão das relações de perpendicularidade e paralelismo entre retas
e planos é a base para aplicar os conceitos de mudança de plano. A técnica de
mudança de plano permite obter as verdadeiras grandezas de detalhes de
objetos no espaço que tenham componentes não paralelos aos planos de
projeção, sendo um processo no qual se obtêm novos planos de projeção
para o objeto de estudo, como se rotacionasse o plano de projeção (ou os
dois, um logo após o outro) enquanto o objeto permanece parado no espaço.
Esse é um artifício muito utilizado na elaboração de projetos para a confecção
de moldes para peças metálicas, plásticas e até para peças obtidas por
processo de usinagem.
referências
Referências Bibliográ�cas
BARISON, M. B. Geometria descritiva: mudança de plano. Universidade
Estadual de Londrina. Disponível em:
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_9t.php. Acesso em: 20
dez. 2019.
CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H. Apostila de geometria descritiva. Instituto de
Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável, Universidade Federal da
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_9t.php
Bahia. Barreiras, 2002. Disponível em: https://bit.ly/3bl90tn. Acesso em: 20
dez. 2019.
MONTENEGRO, G. A. Geometria descritiva. São Paulo: Edgard Blücher, 2015.
TRAILER DE OSCAR NIEMEYER – A vida é um sopro. 2007 (2 min.). Disponível
em: https://www.youtube.com/watch?v=AYRNEzQBdlM. Acesso em: 22 jan.
2020.
https://www.academia.edu/22315992/UNIVERSIDADE_FEDERAL_DA_BAHIA_INSTITUTO_DE_CI%C3%8ANCIAS_AMBIENTAIS_E_DESENVOLVIMENTO_SUSTENT%C3%81VEL_APOSTILA_DE_GEOMETRIA_DESCRITIVA
https://www.youtube.com/watch?v=AYRNEzQBdlM