probabilidade e estatistica

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Kyria Alexianna de A. Cardoso
Distribuição Gaussiana
A distribuição normal é um modelo bastante útil na estatística, e não seria uma surpresa pois a soma de efeitos independentes (ou efeitos não muito correlacionados) deveriam, se houvesse muitos desses, se distribuir normalmente (sempre sujeito a certos pressupostos).
Nos séculos dezoito e dezenove, alguns matemáticos e físicos desenvolveram uma função densidade de probabilidade que descrevia os erros experimentais obtidos em medidas físicas Caire, 2012. De certa forma todo e qualquer processo de mensuração está sujeito a um erro de medida. Esse erro pode ter diferentes fontes, desde a variação de temperatura, tempo, entre inúmeras outras características não identificáveis.
Na época (século dezoito) a sua aplicação inicial era apenas como uma conveniente aproximação da distribuição binomial, mais tarde no século XIX a distribuição normal ganhou importância com os trabalhos de Abraham de Moivre, Pierre Simon Laplace e Carl Friedrich Gauss.
A grande utilidade dessa distribuição (função densidade de probabilidade) está associada ao fato de que aproxima de forma bastante satisfatória as curvas de frequências de medidas físicas, essa curva é conhecida como distribuição normal ou gaussina.
A distribuição normal possui dois parâmetros, a média (μ)(μ), ou seja onde está centralizada e a variância (σ2>0)(σ2>0) que descreve o seu grau de dispersão. Ainda, é comum se referir a dispersão em termos de unidades padrão, ou seja desvio padrão (σ)(σ). Cabe salientar que como qualquer outro modelo, dependendo dos parâmetros, teremos diferentes distribuições normais.
É importante lembrar que a variável XX se distribui de forma contínua (variável contínua) de −∞<x<+∞−∞<x<+∞ e a área total sob a curva do modelo é unitária (ou seja 1).
Observe na figura abaixo uma distribuição normal com parâmetros μ=20,σ2=4μ=20,σ2=4 ou (σ=2)(σ=2).
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Exemplo de uma normal com parâmetros μ=−15,σ2=6μ=−15,σ2=6 ou (σ=2.44949)(σ=2.44949).
Cabe notar que a integral da função densidade de probabilidade normal não possui solução analítica, sendo neste caso o seu cálculo deve ser realizado por uma aproximação, método numérico.
Por exemplo, pode-se utilizar o método numérico (regra de Newton-cotes, ponto-médio, trapezoidal, Simpson, etc..) ou outros métodos de aproximação.
Seja a área sob a curva no intervalo [a,b][a,b] a probabilidade de algo ocorrer entre os valores de aa até bb. É importante salientar que o valor da densidade, ou seja os valores de fX(x)fX(x) representa as densidades, enquanto que a área sob essas densidades é a probabilidade.
Exemplo, para uma normal, X∼N(μ=10,σ2=4)X∼N(μ=10,σ2=4) ou (σ=2)(σ=2), temos as seguintes probabilidades, ou áreas sob a curva da normal.
A probabilidade entre [8,12][8,12]
A probabilidade entre [6,14][6,14]
A probabilidade entre [4,16][4,16]
Resumindo, na distribuição normal acima onde X∼N(μ=10,σ2=4)X∼N(μ=10,σ2=4) ou (σ=2)(σ=2), as probabilidades obtidas (numéricamente) foram:
P(8<X<12)≈0.68P(8<X<12)≈0.68
P(6<X<14)≈0.95P(6<X<14)≈0.95
P(4<X<16)≈0.99P(4<X<16)≈0.99
Ou seja,
P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.68P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.68
P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.95P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.95
P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.99P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.99
Note que para uma distribuição normal isso é válido, sejam quais forem os parâmetros (μ,σ2)(μ,σ2). Observe na figura abaixo a mesma situação com diferentes distribuições normais.
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