EDO de primeira ordem aula 3 de maio

Prévia do material em texto

Equações diferenciais de 1 ordem:
(1) Equações lineares
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯+ 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡) 
Onde p e g são funções dadas da variável independente t.
A equação acima pode ser resolvida pelo método de integração, se conseguirmos separar 
as variáveis, ou pelo método do fator integrante.
Método da integração
Exemplo: Resolva a equação diferencial a seguir 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯+
1
2
⎯⎯𝑦 =
3
2
⎯⎯
e determine como as soluções se comportam para grandes valores de t. Determine a 
solução cuja curva passa pelo ponto (0,2).
Solução:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯+
1
2
⎯⎯𝑦 =
3
2
⎯⎯
EDO de Primeira Ordem
 Página 1 de 10 EDO de primeira ordem 
Esboço do gráfico de soluções:
 Página 2 de 10 EDO de primeira ordem 
Exemplo: Determine a solução geral para a EDO 𝑦 = −2𝑦.
Solução:
 Página 3 de 10 EDO de primeira ordem 
Infelizmente o método direto de resolver uma ED não pode ser usado para encontrar 
solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem mais gerais. Para isso, 
usamos o método do fator integrante, que consiste em multiplicar a ED por uma certa 
função desconhecida μ(𝑡)(𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) de modo que a equação resultante é 
imediatamente integrável.
Método dos fatores integrantes
Seja a equação diferencial de primeira ordem linear:
𝑦 + 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡) (1)
Para conseguirmos separar as variáveis, vamos multiplicar a EDO linear (1) pelo fator 
integrante:
𝜇(𝑡) = 𝑒∫ ( )
 
  
Vejamos no exemplo a seguir como o fator integrante nos ajuda na resolução.
Exemplo: Determine a solução do PVI:
(𝑎)
𝑦 −
𝑦
2
⎯⎯= 𝑒
𝑦(0) = −1
Solução:
 Página 4 de 10 EDO de primeira ordem 
 Página 5 de 10 EDO de primeira ordem 
lim
→
−
2
3
⎯⎯𝑒 −
1
3
⎯⎯𝑒⎯⎯=
(𝑏)
𝑡𝑦 + 2𝑦 = 4𝑡
𝑦(1) = 2
Solução: Primeiro devemos deixar essa EDO linear de primeira ordem na forma padrão, 
que é deixar y' sozinho:
𝑦 + ⎯𝑦 = 4𝑡, 𝑡 ≠ 0 para existir solução.
 Página 6 de 10 EDO de primeira ordem 
Exemplo: Determine a solução geral da ED dada:
(𝑎)𝑦 + 3𝑦 = 𝑡 + 𝑒
𝑦 = − + 𝑒 + 𝑐𝑒
 Página 7 de 10 EDO de primeira ordem 
Resposta: 𝑦 = ⎯ − ⎯ + 𝑒 + 𝑐𝑒
Gráfico das soluções
lim
→
𝑡
3
⎯⎯−
1
9
⎯⎯+ 𝑒 + 𝑐𝑒 é assintótico a 
t
3
⎯⎯−
1
9
⎯⎯ que é a reta no gráfico abaixo:
 Página 8 de 10 EDO de primeira ordem 
(𝑏)𝑦 − 2𝑦 = 𝑡 𝑒
Resposta: 𝑦 = ⎯⎯⎯⎯+ 𝑐𝑒
Gráfico das soluções
 Página 9 de 10 EDO de primeira ordem 
lim
→
𝑡 𝑒
3
⎯⎯⎯⎯⎯+ 𝑐𝑒 = ∞
(2) Equações separáveis
Considere a EDO de primeira ordem:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯= 𝑓(𝑥, 𝑦) (1)
Se a equação (1) não for linear, não existe um método universal para resolvê-la. Vamos 
considerar primeiramente as equações que podem ser resolvidas por um processo de 
integração direta.
Podemos escrever a equação (1) na forma:
𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯= 0 (2)
Onde 𝑀(𝑥, 𝑦) = −𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 1
Se M depende apenas de x e N depende apenas de y, a equação (2) fica:
𝑀(𝑥) + 𝑁(𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯= 0 (3)
Essa equação (3) é dita separável, pois, se for escrita na forma:
𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0
Então, suas parcelas envolvendo cada variável podem ser separadas pelo sinal de "=".
Uma equação separável pode ser resolvida integrando as funções M e N.
Exemplo: Mostre que a equação ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯é separável. Em seguida, encontre uma 
equação para as suas curvas integrais.
Solução: 
 Página 10 de 10 EDO de primeira ordem 
Solução: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
𝑥
1 − 𝑦
⎯⎯⎯⎯⎯⎯− 𝐸𝐷𝑂 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟
Exemplo: Resolva o problema de valor inicial (PVI):
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥 + 4𝑥 + 2
2(𝑦 − 1)
 Página 11 de 10 EDO de primeira ordem 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
3𝑥 + 4𝑥 + 2
2(𝑦 − 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑦(0) = −1
E determine o intervalo no qual a solução é válida.
Solução: 
Gráfico da solução:
 Página 12 de 10 EDO de primeira ordem 
(3) Equações homogêneas
Uma função 𝑓 é homogênea se:
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑓 é uma função homogênea de grau 𝑛.
Exemplo: 
(𝑎)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦
Temos que 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥) −3𝑡𝑥𝑡𝑦 + 5(𝑡𝑦) = 𝑡 𝑥 − 3𝑡 𝑥𝑦 + 5𝑡 𝑦 =
𝑡 (𝑥 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦 ) = 𝑡 𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑓 é uma função homogênea de grau 2.
(𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
2𝑦
⎯⎯⎯+ 4
Temos que 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = ⎯⎯⎯+ 4 = ⎯⎯+ 4 ⇒ 𝑓 é uma função homogênea de grau zero.
(𝑐)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 1
Temos que 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥) +(𝑡𝑦) + 1 = 𝑡 𝑥 + 𝑡 𝑦 + 1 = 𝑡 (𝑥 + 𝑦 ) + 1 ⇒ 𝑓
não é uma função homogênea.
Uma EDO homogênea é não linear e é da forma:
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, em que M e N são funções homogêneas de mesmo grau.
Como se resolve uma EDO homogênea?
Com substituição algébrica:
𝑦 = 𝑢𝑥 
𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
Ou
𝑥 = 𝑣𝑦 
 Página 13 de 10 EDO de primeira ordem 
𝑥 = 𝑣𝑦 
𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣
Exemplo: Calcule as EDOs a seguir
(𝑎)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
3𝑦 − 𝑥
2𝑥𝑦
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(𝑏)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
𝑥 + 𝑦
𝑥𝑦
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(4) Equações Exatas e fatores integrantes
Considere a EDO:
𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯= 0 (∗)
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0é exata se:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
⎯⎯⎯
Existe uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) tal que:
(1) 𝑀(𝑥, 𝑦) = ⎯⎯e (2) 𝑁(𝑥, 𝑦) = ⎯⎯
Encontrar essa solução é encontrar essa função f(x,y).
A EDO dada em (*) fica da seguinte forma:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
⎯⎯⎯+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
⎯⎯⎯.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯= 0 (𝑖)
Pela regra da cadeia, temos que:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓 𝑥, 𝑦 𝑥 (𝑖𝑖)
 Página 14 de 10 EDO de primeira ordem 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
⎯⎯⎯+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
⎯⎯⎯.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
𝑑
𝑑𝑥
⎯⎯⎯(𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥) (𝑖𝑖)
Ou seja, de (i) e (ii):
⎯⎯(𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥) = 0 (integrando em relação a x essa igualdade temos:
𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥) = 𝑐 (∗∗)
Como determinar a função 𝑓(𝑥, 𝑦)?
Integra (1) em relação a x:
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
+ ℎ(𝑦) (3), ℎ(𝑦) é uma constante que depende de y
Derivando a equação acima em relação a y:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
⎯⎯⎯=
𝜕
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
+
𝑑ℎ
𝑑𝑦
⎯⎯⎯
N(x, y) =
𝜕
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
+
𝑑ℎ
𝑑𝑦
⎯⎯⎯
⎯⎯ = 𝑁(𝑥, 𝑦) − ⎯⎯ ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
(integrando em y)
ℎ(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑦
Nossa equação (3) fica:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −
 
 
𝜕
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑦
A solução geral em (**) fica:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −
 
 
𝜕
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑦
Como 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐,
𝑐 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 −
 
𝜕
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
   
𝑑𝑦
 Página 15 de 10 EDO de primeira ordem 
𝑐 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −
 
 
𝜕
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑦
Exemplo: Calcule a EDO a seguir:
(𝑎) 
2𝑦(1 + 𝑥 )
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑦 −
2𝑥𝑦
(1 + 2𝑥 )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1
Solução:
Temos que:
𝑀(𝑥, 𝑦) = −
2𝑥𝑦
(1 + 2𝑥 )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 1 =
−2𝑥𝑦 − (1 + 2𝑥 )
(1 + 2𝑥 )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑁(𝑥, 𝑦) =
2𝑦(1 + 𝑥 )
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
2𝑦 + 2𝑥 𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(𝑏) (𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥𝑦 )𝑑𝑥 + 𝑦(1 − 𝑥 )𝑑𝑦 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑦(0) = 2
Solução:
Temos que:
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑦(1 − 𝑥 ) = 𝑦 − 𝑥 𝑦
 Página 16 de 10 EDO de primeira ordem 
Fatores Integrantes
A equação 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (1)pode não ser exata, então vamos multiplicar ela por um 
fator integrante chamado 𝜇(𝑡):
𝜇(𝑡)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝜇(𝑡)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Para simplificar escreveremos:
𝜇𝑀dx + μNdy = 0 é exata se, e somente se
(𝜇𝑀) = (𝜇𝑁) ⟺ 𝜇 𝑀 + 𝜇𝑀 = 𝜇 𝑁 + 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑀 + 𝜇𝑀 − 𝜇 𝑁 − 𝜇𝑁 = 0
⟺ 𝜇 𝑀 − 𝜇 𝑁 + 𝜇 𝑀 − 𝑁 = 0 (2)
Se 𝜇 satisfazer a equação (2), então a EDO (1) será exata.
Se 𝝁 depender apenas de x temos:
(𝜇𝑀) = (𝜇𝑁) ⟺ 𝜇𝑀 = 𝜇 𝑁 + 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑁 = 𝜇𝑀 − 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑁 = 𝜇(𝑀 −𝑁 )
⟺ 𝜇 =
𝜇(𝑀 −𝑁 )
𝑁
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺
𝑑𝜇
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
𝜇(𝑀 −𝑁 )
𝑁
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺
𝑑𝜇
𝜇
⎯⎯⎯=
(𝑀 −𝑁 )𝑑𝑥
𝑁
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⟺
𝑑𝜇
𝜇
⎯⎯⎯
 
 
=
(𝑀 −𝑁 )
𝑁
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑑𝑥 ⟺ 𝑙𝑛 
 
 
𝜇 =
(𝑀 −𝑁 )
𝑁
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑑𝑥 ⟺ 
 
 
𝝁 = 𝒆∫
(𝑴𝒚 𝑵𝒙)
𝑵⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝒅𝒙 
 
 
(𝑀 −𝑁 ) ≠ 0 pois a EDO não é exata.
Se 𝝁 depender apenas de y temos:
(𝜇𝑀) = (𝜇𝑁) ⟺ 𝜇 𝑀 + 𝜇𝑀 = 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑀 = 𝜇𝑁 − 𝜇𝑀 ⟺ 𝜇 𝑀 = 𝜇(𝑁 − 𝑀 )
⟺ 𝜇 =
𝜇(𝑁 −𝑀 )
𝑀
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺
𝑑𝜇
𝑑𝑦
⎯⎯⎯=
𝜇(𝑁 −𝑀 )
𝑀
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺
𝑑𝜇
𝜇
⎯⎯⎯=
(𝑁 −𝑀 )𝑑𝑦
𝑀
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
⟺
𝑑𝜇
𝜇
⎯⎯⎯
 
 
=
(𝑁 −𝑀 )
𝑀
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑦 ⟺ 𝑙𝑛 
 
 
𝜇 =
(𝑁 −𝑀 )
𝑀
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑦 ⟺ 
 
 
𝝁 = 𝒆∫
(𝑵𝒙 𝑴𝒚)
𝑴⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝒅𝒚 
 
 
(𝑁 − 𝑀 ) ≠ 0 pois a EDO não é exata.
Exemplo: Calcule a EDO a seguir
4𝑥 + 3 cos 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑦 = 0
 Página 17 de 10 EDO de primeira ordem 
(4𝑥 + 3 cos(𝑦))𝑑𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑦) = 0
Exercício: Calcule a EDO a seguir
2𝑦(1 + 𝑥 )𝑦 −
2𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= 1 + 2𝑥
Observe que temos:
2𝑦(1 + 𝑥 )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯= 1 + 2𝑥 +
2𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2𝑦(1 + 𝑥 )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
(1 + 2𝑥 ) + 2𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2𝑦(1 + 𝑥 )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎯⎯⎯=
1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(2𝑦 + 2𝑥 𝑦)𝑑𝑦 =
1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑥
(2𝑦 + 2𝑥 𝑦)𝑑𝑦 −
1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑥 = 0
𝑀 = −
1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑁 = 2𝑦 + 2𝑥 𝑦
e
𝜕𝑀
𝜕𝑦
⎯⎯⎯ = −
4𝑥𝑦(1 + 2𝑥 )
(1 + 2𝑥 )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= −
4𝑥𝑦
1 + 2𝑥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 4𝑥𝑦
 Página 18 de 10 EDO de primeira ordem 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
⎯⎯⎯= 4𝑥𝑦
Como ⎯⎯⎯≠ ⎯⎯ temos uma EDO de primeira ordem não linear e não exata. Mas podemos 
transformá-la em exata.
 Página 19 de 10 EDO de primeira ordem