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Apostila

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PREFÁCIO
Esta apostila foi gerada com base nas minhas notas de aula da disciplina de Estatística
Aplicada à Engenharia (68 horas-aula) lecionada para os cursos de graduação na Universidade
Federal de Lavras.
Os exemplos e exercícios foram retirados de listas disponíveis na internet bem como de li-
vros específicos sobre o tema, os quais aparecem listados nas referências ao final.
Espero que este material ajude no acompanhamento de disciplinas de estatística com carga
horária e conteúdos semelhantes. Cabe ressaltar que ele não cobre todo o conteúdo da parte
básica de estatística. A intenção é oferecer um material resumido com enfoque nas principais
técnicas estatísticas na área básica ou introdutória.
Quaisquer dúvidas e ou sugestões, por favor me escreva.
BONS ESTUDOS!!!
Prof. Tales Jesus Fernandes DES-UFLA 2
“Não conseguimos encontrar respostas para todos os nossos problemas. As que
encontramos apenas nos levam a formular novas questões. De certa maneira,
sentimo-nos tão confusos quanto antes, mas agora acreditamos que estamos
confusos em um nível mais alto e sobre coisas mais importantes.”
Aviso colocado na porta do Departamento de Matemática da Universidade de Tromso, na
Noruega.
Prof. Tales Jesus Fernandes DES-UFLA 3
SUMÁRIO
SUMÁRIO
1 Introdução 6
1.1 Definições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Estatística Descritiva 8
2.1 Técnicas de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Tipos de Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Tabela de distribuição de frequências - TDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 LISTA DE EXERCÍCIOS 1: Coleta, organização e apresentação de dados 14
2.6 Medidas de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 LISTA DE EXERCÍCIOS 2: Medidas de Posição e de Dispersão . . . . . . 25
3 Probabilidade 29
3.1 Noções de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Diagrama de Árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 LISTA DE EXERCÍCIOS 3: Noções de probabilidade . . . . . . . . . . . 36
4 Variáveis Aleatórias Discretas 40
4.1 Distribuição de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Função de Distribuição Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Relação entre as distribuições Binomial e Poisson. . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 LISTA DE EXERCÍCIOS 4: Distribuições de Probabilidade de Variáveis
Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Variáveis Aleatórias Contínuas 50
5.1 Função de Distribuição Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 A distribuição normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 A distribuição normal padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 LISTA DE EXERCÍCIOS 5: Variáveis aleatórias contínuas e a distribuição
normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Aproximação de distribuições de probabilidade discretas à normal . . . . . 61
5.5.1 Binomial→ Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.2 Poisson→ Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 A distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 A distribuição exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.8 A distribuição Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.9 LISTA DE EXERCÍCIOS 6: Distribuições de Probabilidade Contínuas:
Exponencial, Gama e Weibull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.10 Amostragem da distribuição normal: distribuições amostrais . . . . . . . . 71
5.10.1 A distribuição t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.10.2 A distribuição χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.10.3 A distribuição F de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.10.4 Distribuição amostral de X̄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Prof. Tales Jesus Fernandes DES-UFLA 4
SUMÁRIO
5.10.5 Distribuição amostral de p̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.10.6 Distribuição amostral de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.10.7 Gráficos Q-Q plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.11 LISTA DE EXERCÍCIOS 7: Distribuições amostrais e Teorema Central
do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Inferência Estatística 82
6.1 Estimação Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Estimação Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.1 IC para a média (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.2 IC para a proporção (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.3 IC para a variância (σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Margem de Erro e dimensionamento de amostras . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 LISTA DE EXERCÍCIOS 8: Intervalos de Confiança, margem de erro e
dimensionamento de amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.5 Testes de Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5.1 Teste de Hipóteses para a média com σ conhecido . . . . . . . . . . 95
6.5.2 Teste de Hipóteses para a média com σ desconhecido . . . . . . . . 95
6.5.3 Teste de Hipóteses para uma proporção, p . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5.4 Teste de Hipóteses para duas proporções, p1 e p2 . . . . . . . . . . . 97
6.5.5 Teste de Hipóteses para a variância, σ2 de uma população normal . 98
6.5.6 Teste de Hipóteses para a razão de variâncias, σ21/σ22; . . . . . . . . 99
6.5.7 Teste de Hipóteses para duas médias µ1 e µ2 . . . . . . . . . . . . . 100
6.6 Relação entre testes de hipóteses bilaterais e intervalos de confiança . . . . 104
6.7 Nível descritivo de um teste de hipóteses (p-valor) . . . . . . . . . . . . . . 106
6.8 Teste de Normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.8.1 O teste de Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.9 LISTA DE EXERCÍCIOS 9: Testes de hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Correlação e Regressão Linear Simples 115
7.1 Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2 Regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.1 Regressão Linear Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3 LISTA DE EXERCÍCIOS 10: Correlação e Regressão Linear Simples . . . 119
8 Referências Bibliográficas 121
Prof. Tales Jesus Fernandes DES-UFLA 5
1 Introdução
Em algum momento, seja qual for a área de conhecimento, o profissional vai se deparar
com situações na qual precisará tomar decisões e tirar conclusões com base nas informações
presentes em um conjunto de dados.
Estatística é a ciência que nos ajuda a extrair estas informações dos dados, consequente-
mente, todas as áreas de estudo necessitam de uma análise estatística.
1.1 Definições Iniciais
Para compreender os conceitos envolvidos na disciplina de Estatística, existem três defini-
ções que precisam estar muito claras ao estudante. São elas:
• População: é o conjunto