Geometria Espacial Pirâmide

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Geometria Espacial: 
PIRÂMIDE 
Prof. Mestre Hamilton Brito 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDE 
1) DEFINIÇÃO DE PIRÂMIDE 
 
 Considerando um polígono convexo A1, A2,..., 
An em um plano α e um ponto V fora de α. Chama-se 
pirâmide de base A1, A2,..., An e vértice V o poliedro de 
n faces triangulares e uma base poligonal assim obtido. 
 Se a base for um polígono regular e seu centro 
coincide com o pé da perpendicular baixada do vértice 
ao plano da base a pirâmide é dita regular. 
 
 
Os elementos da pirâmide regular são: 
 
 
- apótema da base: m 
- apótema da pirâmide (altura da face): g 
- aresta lateral: l 
- aresta da base: a 
A relação entre esses elementos é: 
𝒈𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒉𝟐 
- Classificação: 
i) Uma pirâmide é reta quando o vértice V é equidistante 
dos vértices da base. 
ii) Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um 
polígono regular. Uma pirâmide regular possui arestas 
laterais congruentes e as faces laterais são triângulos 
isósceles. 
- Natureza da pirâmide: Uma pirâmide será triangular, 
quadrangular, hexagonal, etc., conforme sua base seja 
um triângulo, quadrilátero, hexágono, etc. 
- Área lateral da pirâmide: É a soma das áreas dos 
triângulos das faces. 
- Área total da pirâmide: É a soma da área lateral com 
a área da base. 
 Obs.: As áreas vão depender do tipo de 
pirâmide. 
- Volume da pirâmide: Consideremos inicialmente um 
prisma triangular ABCDEF. Este pode ser decomposto 
em três pirâmides triangulares: 
𝑉 =
𝐴𝑏 . 𝐻
3
 
Exercícios de Fixação 
1) Calcular a área lateral, área total e volume das 
pirâmides abaixo. 
a) 
 
b) 
 
Conhecimentos Geométricos: Geometria Espacial: 
Pirâmide 
Competência de área 2 - Utilizar o conhecimento 
geométrico para realizar a leitura e a representação 
da realidade e agir sobre ela. 
H7 - Identificar características de figuras planas ou 
espaciais. 
H8 - Resolver situação-problema que envolva 
conhecimentos geométricos de espaço e forma. 
H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e 
forma na seleção de argumentos propostos como 
solução de problemas do cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
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Solução: 
a) Trata-se de uma pirâmide de base quadrada. 
 Na lateral, temos triângulos equiláteros de lados 
L=5 cm. Como são 4 triângulos nas laterais, a área 
lateral é : 
 𝐴𝑙 = 4. 𝐴∆ = 4.
𝐿2√3
4
= 52. √3 =
25√3 𝑐𝑚2 
 Como a base é um quadrado, a área da base é: 
𝐴𝑏 = 𝐿
2 = 52 = 25 𝑐𝑚2 
 Portanto, a área total é: 
𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 = 25√3 + 25 = 25(1 + √3) 𝑐𝑚
2 
 Para determinarmos o volume, precisamos da 
altura da pirâmide. Vamos usar o teorema de Pitágoras 
no triângulo lateral para determinar o valor de g. 
 
52 = 𝑔2 + (
5
2
)
2
 
25 = 𝑔2 +
25
4
 
𝑔2 = 25 −
25
4
=
75
4
 
𝒈𝟐 =
𝟕𝟓
𝟒
 𝒄𝒎 (𝒈𝒖𝒂𝒓𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒔𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓) 
 Agora vamos usar o teorema de Pitágoras no 
triângulo de dentro para determinar a altura, lembrando 
que agora o triângulo retângulo tem catetos h, g e m=2,5 
cm (metade do lado L=5 cm). 
 
 
𝑔2 = ℎ2 + (
5
2
)
2
 
75
4
= ℎ2 +
25
4
 
ℎ2 =
75 − 25
4
 
ℎ2 =
50
4
 
ℎ = √
50
4
= √
25.2
4
=
5√2
2
𝑐𝑚 
 Agora sim podemos determinar o volume. 
𝑽 =
𝐴𝑏 . 𝐻
3
=
25.
5√2
2
3
=
𝟏𝟐𝟓√𝟐
𝟔
𝒄𝒎𝟑 
 
 
b) Trata-se de uma pirâmide de base hexagonal. 
 Devemos proceder igual na questão 
anterior. No entanto, temos uma pirâmide 
hexagonal e a área de um hexágono é 6 vezes 
a área de um triângulo equilátero, ou seja, 
𝐴ℎ𝑒𝑥 = 6.
𝐿2√3
4
=
3𝐿2√3
2
. Assim sendo, a área 
da base é: 
𝐴𝑏 =
3𝐿2√3
2
=
3.42√3
2
= 24√3 𝑐𝑚2 
 Os triângulos da lateral não são equiláteros. 
Deveremos determinar o valor de g que é a altura dos 
triângulos da lateral. 
 
102 = 𝑔2 + 22 
100 = 𝑔2 + 4 
𝒈𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟒 = 𝟗𝟔 (𝒈𝒖𝒂𝒓𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒔𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓) 
𝒈 = √𝟗𝟔 = 𝟒√𝟔 𝒄𝒎 
 
 Temos 6 triângulos nas laterais. A área lateral 
é: 
 
 
 
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𝐴𝑙 = 6.
𝑏. ℎ
2
= 6.
4. 𝑔
2
= 12.4√6 = 48√6 𝑐𝑚2 
 A área total é: 
𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 = 48√6 + 24√3
= 24√3(2√2 + 1) 𝑐𝑚2 
 Vamos usar o triângulo interno para 
determinarmos a altura e depois o volume. Como a base 
é um hexágono, então o segmento AO é igual ao lado 
L=4 cm. Então é só aplicar o teorema de Pitágoras em 
∆𝐺𝑂𝐴. 
 
102 = ℎ2 + 42 
100 = ℎ2 + 16 
ℎ2 = 100 − 16 = 84 
ℎ = √84 = 2√21 𝑐𝑚 
 Dessa forma, o volume é: 
𝑽 =
𝑨𝒃. 𝑯
𝟑
=
24√3. 2√21
3
= 𝟏𝟔√𝟔𝟑 = 𝟏𝟔√𝟗. 𝟕
= 𝟏𝟔. 𝟑√𝟕 = 𝟒𝟖√𝟕𝒄𝒎𝟑 
 
 
 
 
1) (ENEM 2016) A figura mostra a pirâmide de Quéops, 
também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o 
monumento mais pesado que já foi construído pelo 
homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 
milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 
2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja 
regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 
214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles 
congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m. 
 
O valor mais aproximado para a altura da 
pirâmide de Quéops, em metro, é: 
a) 97,0 b) 136,8 c) 173,7 
d)189,3 e) 240,0 
Solução: Vamos usar as mesmas técnicas das 
questões anteriores para determinarmos h. 
 
 
 
Podemos ver no desenho que temos dois 
triângulos retângulos: um na lateral EMB e outro interno 
MOE. A altura da pirâmide está neste triângulo interno. 
Para aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo 
interno, precisamos primeiro determinar o valor de d. 
 
 
 
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𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
𝟐𝟎𝟒𝟐 = 𝒅𝟐 + 𝟏𝟎𝟕𝟐 
𝟒𝟏𝟔𝟏𝟔 = 𝒅𝟐 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟗 
𝒅𝟐 = 𝟒𝟏𝟔𝟏𝟔 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟗 
𝒅𝟐 = 𝟑𝟎𝟏𝟔𝟕 → 𝑮𝒖𝒂𝒓𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐. 
 Vamos agora aplicar o teorema de Pitágoras no 
triângulo interno. Agora o d que era cateto virou 
hipotenusa. 
 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
𝒅𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝟏𝟎𝟕𝟐 
𝟑𝟎𝟏𝟔𝟕 = 𝒉𝟐 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟗 
𝒉𝟐 = 𝟑𝟎𝟏𝟔𝟕 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟗 
𝒉 = √𝟏𝟖𝟕𝟏𝟖 
𝒉 ≈ 𝟏𝟑𝟔, 𝟖 𝒎 
 O problema é determinar sem calculadora a raiz 
quadrada de 18718. 
Resp.: B 
 
2) (ENEM 2016) Um lapidador recebeu de um joalheiro 
a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa 
cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a 
Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de 
formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados 
correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q 
e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na 
Figura 2. 
 
Depois de efetuados os cortes, o lapidador 
obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos 
números de faces, arestas e vértices são, 
respectivamente, iguais a: 
a) 9,20 e 13 
b) 3, 24 e 13 
c) 7, 15 e 12 
d) 10, 16 e 5 
e) 11, 16 e 5 
 
Solução: Na pedra maior da figura 2, temos 9 faces, 20 
arestas e 13 vértices. 
Resp.: A 
 
3) (DESTAQUE 2021) O Museu do Louvre é o 
maior museu de arte do mundo e um monumento 
histórico em Paris, França, tendo sido inaugurado em 10 
de agosto de 1793. Em uma reforma na década de 1980, 
foi proposta a construção de quatro pirâmides na 
entrada principal, sendo a maior delas tendo 20,6 m de 
altura disposta numa base quadrada de 35 m. 
 
 Com base nestas informações, o volume da 
pirâmide maior é: 
A) 25235 m3 
B) 8411,6 m3 
C) 12617,5 m3 
 
 
 
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D) 14852,6 m3 
E) 8586,6 m3 
 
Solução: Pelo comando, temos h=20,6 m e aresta da 
base quadrada L=35 m. Portanto: 
𝐴𝑏 = 35
2 = 1225 𝑚2 
𝑉 =
𝐴𝑏 . ℎ
3
=
1225.20,6
3
= 8411,6 𝑚2 
Resp.: B 
 
4) (ENEM 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas 
simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 
1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas 
cabanas está representada na Figura 2. A ideia é 
permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas 
conectada com a natureza. 
 
 A forma geométrica da superfície cujas arestas 
estão representadasna Figura 2 é: 
A) Tetraedro. 
B) Pirâmide retangular. 
C) Tronco de pirâmide retangular. 
D) Prisma quadrangular reto. 
E) Prisma triangular reto. 
 
Solução: Questão bem fácil. Fica evidente que o 
poliedro é um prisma triangular reto. 
Resp.: E 
 
2) TETRAEDRO 
 É uma pirâmide triangular com as 6 arestas 
congruentes entre si, isto é, cada aresta mede um valor 
a. 
 
Vamos determinar a área lateral, área da base, 
área total e volume de um tetraedro de aresta a. Já 
sabemos que todas as faces são triângulo equilátero 
cuja área é 𝐴 =
𝐿2√3
4
. Portanto: 
𝑨𝒃 =
𝐿2√3
4
=
𝒂𝟐√𝟑
𝟒
 
 𝑨𝒍 = 3.
𝐿2√3
4
=
𝟑𝒂𝟐√𝟑
𝟒
 
𝑨𝒕 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 =
3𝑎2√3
4
+
𝑎2√3
4
= 𝒂𝟐√𝟑 
Vamos proceder da mesma forma como nos 
exemplos anteriores e usar o triângulo BOP para 
determinarmos g e depois o triângulo de dentro em 
verde para determinarmos h. 
 
No triângulo BOP, é fácil ver que g é altura do 
triângulo equilátero da lateral. Logo: 
𝑔 =
𝑎√3
2
 
Para determinarmos h, vamos precisar do valor 
de m. 
 
 
 
 
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Fica fácil ver que m pode ser calculado 
facilmente através da tan(30º). Então: 
tan(30°) =
𝑚
𝑎
2
 
𝑚 =
𝑎
2
. tan(30°) =
𝑎
2
.
√3
3
=
𝑎√3
6
 
 
Podemos usar o teorema de Pitágoras no 
triângulo em verde para determinarmos h. 
𝑔2 = ℎ2 + 𝑚2 
(
𝑎√3
2
)
2
= ℎ2 + (
𝑎√3
6
)
2
 
3𝑎2
4
= ℎ2 +
3𝑎2
36
 
ℎ2 =
3𝑎2
4
−
3𝑎2
36
=
24𝑎2
36
=
6𝑎2
9
 
𝒉 = √
6𝑎2
9
=
𝒂√𝟔
𝟑
 
Finalmente, podemos determinar o volume do 
tetraedro. 
𝑽 =
𝑨𝒃. 𝑯
𝟑
=
𝑎2√3
4 .
𝑎√6
3
3
=
𝑎3√18
36
=
𝒂𝟑√𝟐
𝟏𝟐
 
 
3) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) (ENEM 2010) Devido aos fortes ventos, uma empresa 
exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança 
de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço 
para melhor afixar a torre central. 
Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados 
e terão uma extremidade no ponto médio das arestas 
laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) 
e a outra no vértice da base da plataforma (que é um 
quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre 
central e centro coincidente com o centro da base da 
pirâmide), como sugere a ilustração. 
 
 Se a altura e a aresta da base da torre central 
medem, respectivamente, 24 m e 6√2 m e o lado da 
base da plataforma mede 19√2 m, então a medida, em 
metros, de cada cabo será igual a: 
a) √288 
b) √313 
c) √328 
d) √400 
e) √505 
 
2) (ENEM 2016 – PPL) A cobertura de uma tenda de 
lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e 
é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. 
A sustentação da cobertura é feita por uma haste de 
medida x. Para saber quanto de lona deve ser 
comprado, deve-se calcular a área da superfície da 
cobertura da tenda. 
 
A área da superfície da cobertura da tenda, em 
função de y e x,é dada pela expressão: 
a) 2𝑦√𝑥2 +
𝑦2
4
 
b) 2𝑦√𝑥2 +
𝑦2
2
 
c) 4𝑦√𝑥2 + 𝑦2 
d) 4√𝑥2 +
𝑦2
4
 
e) 4√𝑥2 +
𝑦2
2
 
3) (ENEM 2011) A figura seguinte mostra um modelo 
de sombrinha muito usado em países orientais. 
 
Esta figura é uma representação de uma 
superfície de revolução chamada de: 
a) pirâmide. 
b) semiesfera. 
c) cilindro. 
d) tronco de cone. 
e) cone. 
 
4) (ENCCEJA 2019) Uma chapelaria criou um novo 
modelo de chapéu para o figurino de uma escola de 
 
 
 
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samba. Para a entrega dos chapéus, foram utilizadas 
embalagens especiais com tampas, como apresenta a 
figura. 
 
A base de cada uma dessas embalagens tem 
a forma de: 
a) paralelepípedo. 
b) pentágono. 
c) pirâmide. 
d) triângulo. 
 
5) (ENCCEJA 2018) Durante uma apresentação de 
circo, um equilibrista caminha sobre as hastes de um 
andaime que tem a parte superior em forma de pirâmide 
reta, de base retangular, como mostra a figura. O artista 
percorre ordenadamente o trajeto indicado pela 
sequência de letras A, B, C, D, E e A. 
 
A vista superior da trajetória descrita por esse 
equilibrista é dada por: 
 
 
 
6) (DESTAQUE 2021) O Obelisco de Buenos Aires é 
um monumento histórico da cidade de Buenos 
Aires, Argentina tendo sido erguido na Praça da 
República em comemoração ao quarto centenário da 
fundação da cidade (1996). 
 
 
 A ponta do Obelisco está ilustrada na imagem 
abaixo e é se caracteriza pelo seu formado de pirâmide 
de base quadrada de aresta 3,5 m e altura 3,5 m. 
 
 
 
 Com base nestas informações, pode-se afirmar 
que a área lateral da ponta do Obelisco é: 
a) 𝐴𝑙 =
7√5
4
 m2 
b) 𝐴𝑙 =
28√5
5
 m2 
c) 𝐴𝑙 =
15√5
4
 m2 
 
 
 
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d) 𝐴𝑙 =
49√5
4
 m2 
e) 𝐴𝑙 =
79√5
4
 m2 
 
7) (ENEM 2012) Maria quer inovar em sua loja de 
embalagens e decidiu vender caixas com diferentes 
formatos. Nas imagens apresentadas estão as 
planificações dessas caixas. 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria 
obterá a partir dessas planificações? 
A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. 
D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
E) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
8) (ENEM 2011) Uma indústria fabrica brindes 
promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida 
a partir de quatro cortes em um sólido que tem forma de 
um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original 
e a pirâmide obtida a partir dele. 
 
 Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os 
mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. 
Os quatro cortes saem de O em direção às 
arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, 
são descartados quatro sólidos. 
Os formatos dos sólidos descartados são 
a) todos iguais. 
b) todos diferentes. 
c) três iguais e um diferente. 
d) apenas dois iguais. 
e) iguais dois a dois. 
 
9) (UPENET/IAUPE ) Uma caixa-d´água de uma grande 
indústria tem o formato da figura abaixo – pirâmide 
quadrangular regular "invertida" – com aresta da base e 
altura medindo, respectivamente, 6 m e 9 m. 
 
 
Se ela está completamente vazia, quanto tempo 
levará uma torneira, com vazão de 90 litros/minuto, para 
enchê-la totalmente? 
a) 10 horas 
b) 10 horas e 30 minutos 
c) 15 horas 
d) 20 horas 
e) 20 horas e 50 min 
 
10) (UFRGS 2019) Considere o paralelepípedo de 
vértices A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices 
B, F, G, H, inscrita no paralelepípedo, representados na 
figura a seguir. 
 
A razão entre o volume da pirâmide e o volume 
do paralelepípedo é: 
a) 1/6 
b) 1/5 
c) ¼ 
d) 1/3 
e) ½ 
 
11) (UFPR 2015) Temos, ao lado, a planificação de uma 
pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são 
triângulos equiláteros. 
 
 
 
 
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 Qual é o volume dessa pirâmide? 
 
𝑎)
16
3
√3 𝑐𝑚3 
𝑏)16√3 𝑐𝑚3 
𝑐) 32 𝑐𝑚3 
𝑑)
32
3
√2 𝑐𝑚3 
𝑒)
64
3
𝑐𝑚3 
 
12) (DESTAQUE 2021) O American Music Awards 
(AMAs) é um show anual de premiação da música 
estadunidense, geralmente realizado no outono, criado 
por Dick Clark em 1973 para a ABC, quando o contrato 
da rede para transmitir o Grammy Awards expirou. O 
troféu dado aos vencedores do AMA é uma pirâmide de 
cristal puro de 27 cm de altura e uma base quadrada de 
8,5 cm de aresta que está assentada sobre uma base 
em forma de paralelepípedo. 
 
 
 Com base nas informações, pode-se concluir que a 
quantidade de cristal puro necessário para produzir o 
troféu é: 
a) 1950,75 cm3 
b) 975,375cm3 
c) 650,25 cm3 
d) 975,25 cm3 
e) 700,25 cm3 
 
13) (DESTAQUE 2021) Um recipiente fechado em forma 
de pirâmide quadrada de aresta da base igual a 4 cm 
contém um líquido até uma altura h=6 cm formando uma 
secção transversal quadrada de área 8 cm2 conforme 
figura 1. 
 
 Uma pessoa virou esse recipiente de forma que o 
líquido passasse a ocupar o formato de um tronco de 
cone dealtura 3 cm e base menor com área b conforme 
figura 2. 
 
 Pode-se concluir que o valor da área da base 
menor b é: 
a) 2√2 𝑐𝑚2 
b) 2√6 𝑐𝑚2 
c)2√3
3
𝑐𝑚2 
d) 2√2
3
 𝑐𝑚2 
e) 2√4
3
 𝑐𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14) (DESTAQUE 2021) Um recipiente em forma de 
pirâmide invertida quadrada de base maior 4 cm e altura 
H é abastecido por uma torneira de vazão constante. À 
medida que o tempo passa, o líquido atinge uma 
determinada altura h. 
 
 Qual dos seguintes gráficos expressa 
corretamente a altura h em função do tempo t? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
15) (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação 
de uma pirâmide de base quadrada com AB = 6 cm, 
sendo ADV triângulo equilátero. 
 
 O volume da pirâmide é: 
a) 12√3 
b) 27 √3. 
c) 36 √3. 
d) 72 √3. 
e) 108 √3. 
 
 
Gabarito dos Exercícios Propostos 
1 – D 2 – A 3 – E 4 – B 5 – B 
6 – D 7 – A 8 – E 9 – D 10 – A 
11 – D 12 – C 13 – D 14 – A 15 – C