LISTA 19 - PIRÂMIDE

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LISTA 19 – PIRÂMIDE 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2006) Se uma pirâmide tem 9 faces, então 
essa pirâmide é: 
 
a) eneagonal. 
b) octogonal. 
c) heptagonal. 
d) hexagonal. 
 
2. (EEAR 2015) Uma pirâmide tem base quadrada e 
suas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 10 
cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é: 
 
a) 5√3 
b) 5√2 
c) 3√3 
d) 3√2 
 
3. (EEAR 2013) Seja uma pirâmide quadrangular regular 
com todas as arestas medindo 2 cm. A altura dessa 
pirâmide, em cm, é 
 
 
 
a) 2√3 
b) 3√2 
c) √3 
d) √2 
 
4. (EEAR 2010) Uma pirâmide quadrangular regular 
tem 6 cm de altura e base de 8 cm de perímetro. O 
volume dessa pirâmide, em cm³, é: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (EEAR 2013) A figura mostra duas pirâmides 
regulares iguais, unidas pela base ABCD, formando um 
octaedro. Se ABCD tem 4 cm de lado e EF = 6 cm, o 
volume do sólido da figura, em cm3, é: 
 
 
 
a) 26 
b) 28 
c) 32 
d) 34 
 
6. (ESA 2015) Em uma pirâmide reta de base quadrada, 
de 4 m de altura, uma aresta da base mede 6 m. A área 
total dessa pirâmide, em m², é 
 
a) 144 
b) 84 
c) 48 
d) 72 
e) 96 
 
7. (ESA 2008) A pirâmide de Quéops, em Gizé, no Egito, 
tem aproximadamente 90√2 metros de altura, possui 
uma base quadrada e suas faces laterais são triângulos 
equiláteros. Nessas condições, pode-se afirmar que, em 
metros, cada uma de suas arestas mede: 
 
a) 90 
b) 120 
c) 160 
d) 180 
e) 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (EEAR 2010) A aresta lateral de uma pirâmide 
triangular regular mede 5 m, e a aresta da base, 6 m. A 
área lateral dessa pirâmide, em m², é: 
 
 
 
a) 30 
b) 32 
c) 34 
d) 36 
 
9. (EEAR 2011) Uma pirâmide triangular regular tem 2
√3 cm de aresta da base e 3√3 cm de apótema. A área 
lateral dessa pirâmide, em cm², é: 
 
a) 18 
b) 21 
c) 24 
d) 27 
 
10. (EEAR 2006) Se a aresta da base de um tetraedro 
regular mede 3 cm, então sua altura, em cm, é: 
 
a) √3 
b) 2√3 
c) 2√6 
d) √6 
 
11. (EEAR 2007) O perímetro da base de um tetraedro 
regular é 9 m. A medida da altura desse tetraedro, em 
m, é: 
 
6
)
2
3 6
)
2
)3 6
) 6
a
b
c
d
 
 
 
12. (EEAR 2019) A embalagem de um determinado 
produto é em forma de uma pirâmide hexagonal regular, 
cujas medidas internas são 13 cm de altura e 24 cm de 
perímetro da base. Assim, o volume interno dessa 
embalagem é ___ √3 cm³. 
 
a) 104 
b) 98 
c) 86 
d) 72 
 
13. (EEAR 2018) Uma pirâmide hexagonal regular 
possui todas as arestas iguais a 𝑥. Assim, a área lateral 
dessa pirâmide é igual a: 
 
2
) 2
)0,5 3
)2 ³ 3
)1,5 3
a x
b x
c x
d x
 
 
14. (EEAR 2007) Uma pirâmide regular de base 
hexagonal tem 20 cm de altura e 10 cm de aresta da 
base. O apótema dessa pirâmide mede, em cm, 
 
a) 5√3 
b) 5√17 
c) 5√19 
d) 5√23 
 
15. (ESA 2013) O volume de um tronco de pirâmide de 
4 dm de altura e cujas áreas das bases são iguais a 36 
dm² e 144 dm² vale: 
 
a) 330 cm³ 
b) 720 dm³ 
c) 330 m³ 
d) 360 dm³ 
e) 336 dm³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (EsPCEx 2017) Determine o volume (em 3cm ) de 
uma pirâmide retangular de altura "a" e lados da base 
"b" e "c" (a, b e c em centímetros), sabendo que 
a b c 36+ + = e "a", "b" e "c" são, respectivamente, 
números diretamente proporcionais a 6, 4 e 2. 
 
a) 16 
b) 36 
c) 108 
d) 432 
e) 648 
 
2. (EsPCEx 2011) Na figura abaixo, está representado 
um sólido geométrico de faces, obtido a partir de um 
cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas 
desse sólido têm medida , então as medidas da altura 
(distância do ponto à face ) e da superfície 
total desse sólido são, respectivamente, 
 
 
 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
 
 
 
 
3. (AFA 2012) Um sólido maciço foi obtido quando a 
base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 
6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base 
retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices 
da base da primeira coincidam com os vértices da base 
da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume 
da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal 
mede 5 cm, então, o volume do sólido obtido, em 
3cm , é igual a 
 
 
 
a) 15 3 
b) 20 3 
c) 25 3 
d) 30 3 
 
 
 
 
 
 
 
9
V ABCD
 +
  
 
2 2
2
+2( 3 4)
 +
  
 
2 2
2
+2( 3 5)
 +
  
 
3 2
2
 
+  
 
2 3 5
4
 
  
 
2
2
+2( 3 5)
 
  
 
3
2
 
+  
 
2 3 4
4
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4. (AFA 2019) Um objeto de decoração foi elaborado a 
partir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um 
estudante de matemática. 
 
Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume 
igual a 319.683 cm . 
 
Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de 
material, um sólido formado por dois troncos de 
pirâmide idênticos e um prisma reto, como mostra o 
esquema da figura a seguir. 
 
 
 
Sabe-se que: 
- as bases maiores dos troncos estão contidas em faces 
opostas do cubo; 
- as bases dos troncos são quadradas; 
- a diagonal da base maior de cada tronco está contida 
na diagonal da face do cubo que a contém e mede a 
sua terça parte; 
- a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça 
parte da diagonal da base maior do tronco; e 
- os troncos e o prisma têm alturas iguais. 
 
Assim, o volume do objeto de decoração obtido da 
diferença entre o volume do cubo e o volume do sólido 
esquematizado na figura acima, em 
3cm , é um número 
do intervalo 
a) [17.200,17.800] 
b) ]17.800,18.400] 
c) ]18.400,19.000] 
d) ]19.000,19.600] 
 
 
5. (Esc. Naval 2017) Uma pirâmide triangular tem como 
base um triângulo de lados 13 cm,14 cm e 15 cm; as 
outras arestas medem . Sabendo que o volume da 
pirâmide é de 3105 22 cm , o valor de , em cm, é 
igual a: 
 
a) 
155
8
 
b) 
335
11
 
c) 
275
9
 
d) 
205
8
 
e) 
95
8
 
 
6. (AFA 2017) Se uma pirâmide hexagonal regular está 
inscrita num cone equilátero cujo volume é igual a 
310 3 cm ,
7
π então o volume dessa pirâmide, em 3cm , 
é igual a 
 
a) 
45
7
 
b) 
15 3
7
 
c) 
30 3
7
 
d) 
135
7
 
 
7. (Esc. Naval 2015) Em um polígono regular, cujos 
vértices A,B e C são consecutivos, a diagonal AC 
forma com o lado BC um ângulo de 30 . Se o lado do 
polígono mede unidades de comprimento, o volume 
da pirâmide, cuja base é esse polígono e cuja altura vale 
o triplo da medida do lado, é igual a 
 
a) 
33 3
2
 
b) 
23 3
2
 
c) 
3 3
2
 
d) 
3 3
4
 
e) 
33 3
3
 
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8. (AFA 2014) Considere uma pirâmide regular 
ABCDV de base ABCD. Sendo 2 2 cm a medida da 
aresta da base e 2 3 cm a medida da altura dessa 
pirâmide, a distância, em cm, de A à aresta lateral 
VC é 
 
a) 2 2 
b) 2 3 
c) 4 
d) 3 
 
9. (AFA 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de base 
triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede 
3 cm. 
Sendo 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em 
cm, de A à face BCV é igual a 
 
a) 
30
2
 
b) 7 
c) 
26
2
 
d) 2 2 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. B 
2. B 
3. D 
4. C 
5. C 
6. E 
7. D 
8. D 
9. D 
10. D 
11. D 
12. A 
13. D 
14. C 
15. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
 
 
a 6k
a b c
k b 4k
6 4 2
c 2k
=
= = =  =
=
 
 
Portanto, 
6k 4k 2k 36 k 3.+ + =  = 
 
O volume da pirâmide será dada por: 
b c a 12 6 18
V 432
3 3
   
= = = 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Considere a figura abaixo, em que é o centroda 
base da pirâmide. 
 
 
 
Como segue que 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
obtemos 
 
 
 
O
= =VE EF , =
2
OE .
2
VOE,
= −  = − =
2
2 2 2 2 2VO VE OE VO .
2 2
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Desse modo, a distância do ponto à face é 
 
 
 
A superfície total do sólido é dada por 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Volume da pirâmide hexagonal: 
2
1 6 5 3 3V 6 15 3 cmH 3 4

=   = 
Lados da base da pirâmide retangular: 
x
3 22sen60 x 15
25 2 5
 =  =  = 
 
 
 
Volume da pirâmide retangular: 
1
V 5 15 3 5 3R 3
=    = 
 
Portanto o volume do sólido todo será 
3V 15 3 5 3 20 3 cm= + = 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Sendo x, em cm, a medida da aresta do cubo cujo 
volume é igual a 319.683 cm , tem-se que: 
3
3 3
x 19683
x 27
x 27 cm
=
=
=
 
 
Daí, o cubo que gerou o objeto de decoração, é o cubo 
abaixo: 
 
 
 
No triângulo ABC, 
2 2 2(AC) 27 27
AC 27 2 cm
= +
=
 
 
Vamos analisar o tronco e o paralelepípedo reto-
retângulo abaixo. 
 
 
 
No triângulo KLM, segue que: 
2 2 2
2
(3 2) a a
2a 18
a 3 cm
= +
=
=
 
 
Assim, o volume do paralelepípedo é: 
2 3
paralelepípedoV 3 9 81cm=  = 
 
No triângulo OPQ, segue que: 
2 2 2
2
(9 2) b b
81 2 2b
b 9 cm
= +
 =
=
 
 
O tronco foi gerado pela seguinte pirâmide: 
 
V ABCD
 +
+ =  
 
2 2 2
.
2 2
 +  =  + 
= +
2
2
2
3
4 (VEF) 5 (ABCD) 4 5
4
( 3 5).
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Os triângulos SKM e SOQ são semelhantes, logo, 
x 3 2
x 9 9 2
x 1
x 9 3
3x x 9
9
x
2
=
+
=
+
= +
=
 
 
Então, o volume do tronco é dado por: 
2 2
tronco
tronco
3
tronco
1 9 1 9
V 9 9 3
3 2 3 2
729 27
V
2 2
V 351cm
 
=   + −   
 
= −
=
 
 
 
Portanto, o volume do sólido retirado é: 
sólido retirado tronco paralelepípedo
sólido retirado
3
sólido retirado
V 2 V V
V 2 351 81
V 783 cm
=  +
=  +
=
 
 
Finalmente, o volume do objeto de decoração é dado 
por V, onde V é igual a: 
 
3
V 19683 783
V 18900 cm
18900 18.400,19.000
= −
=

 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
 
 
No triângulo ABC, 
( ) ( ) ( )ABC
ABC
2
ABC
2p 13 14 15
2p 42
p 21
S 21 21 13 21 14 21 15
S 21 8 7 6
S 84 cm
= + +
=
=
=  −  −  −
=   
=
 
 
Por outro lado, 
ABC
13 14 15
S ,
4r
 
= logo, 
13 14 15
84
4r
13 14 15
4r
84
13 1 15
4r
6
13 5
4r
2
65
r
8
 
=
 
=
 
=

=
=
 
 
Como o volume da pirâmide é 3105 22 cm , 
1
105 22 84 h
3
105 22 28h
105 22
h
28
15 22
h
4
=  
=
=
=
 
 
No triângulo VOC,
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( )
2 2 2
22
2
22
2
22 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
r h
65 15 22
8 4
5 13 5 3 22
4 2 4
5 13 5 3 22
4 2 4
5 13 2 5 3 22
4 2
5 13 2 3 22
4 2
5 961
4 2
5 31
4 2
= +
  
= +        
   
= +        
  
= +

 +   
=

 +  
=


=


=

 
 
Como 0, 
2 2
2 2
5 31
4 2
5 31
4 2
155
cm
8

=


=

=
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Calculando: 
3 3 3
2
10 3 1 10 1 30
Cone R 3 R R
7 3 7 3 7
R (hexágono regular)
Pirâmide h R 3 (cone equilátero)
1
V B h
3
1 1 R 3 18 30 3 30 90 45
V B h 6 R 3 V
3 3 4 12 7 2 7 14 7
π
π→ =   → =  → =

=

→ =

 =  

=   =   =  =  = → =
 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Desde que BCA 30=  e AB BC,= temos CAB 30 .=  
Em consequência, vem ABC 120=  e, portanto, a 
base da pirâmide é um hexágono regular de lado . 
Desse modo, sendo h 3= a altura da pirâmide, seu 
volume é igual a 
 
2 31 3 3 3 3
3 .
3 2 2
  = 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Com os dados do enunciado, pode-se desenhar: 
 
 
 
Analisando o triângulo VOC, pode-se escrever: 
( )
( )
2
22 2 2 2
VC 2 3 12 4 VC 4
2
 
 = + = +  =
 
 
 
 
Como o segmento AC também é igual a 4, conclui-se 
que o triângulo ACV é equilátero. Assim, a distância 
do ponto A à aresta lateral VC é igual a altura h de 
um triângulo equilátero de lado 4 (segmento azul da 
figura). 
 
Logo, 
4 3
h 2 3
2
=  
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
 
 
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No triângulo VOM: 
22 2R 5 3 R 4 R 2+ =  =  = e a 
= 1 
 
No triângulo VOM: 
22 2m 5 1 m 6= +  = 
 
 
 
O triângulo AMV é isósceles de base VM (AM = AV = 
3) 
Logo, 
2
2 26 6 30d 3 d 9 d
2 4 2
 
+ =  = −  =  
 