AULA 9 - Dimensionamento Esturutal de Sapatas (Método CEB - 70)

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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: Fundações
AULA 9 – DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE 
SAPATAS (MÉTODO CEB-70)
Goianésia – 2021
Prof. Me. Igor Cezar Silva Braga
Faculdade Evangélica de Goianésia
Detalhes Construtivos NBR 6122/2019
O método proposto pelo CEB-70
para o cálculo de sapatas e blocos
sobre estacas foi traduzido pelo
Professor Lauro Modesto dos
Santos. Para o método poder ser
aplicado, as sapatas devem
apresentar as seguintes
características geométricas.
Dimensionamento Estrutural – Método CEB-70
𝒉
𝟐
≤ 𝒄 ≤ 𝟐 ∙ 𝒉
Se c > 2h, a sapata pode ser
considerada como viga ou como
placa, e calculada de acordo com a
teoria correspondente.
Se a aba for pequena (c < h/2) em qualquer
direção, é admitido que se trata de bloco de
fundação, e o método é apresentado não é
aplicável.
Para calcular as armaduras longitudinais da sapata, define-se, em cada
direção ortogonal, uma seção de referência S1 entre as faces do pilar:
Armaduras Longitudinais (Método CEB-70)
Armaduras Longitudinais (Método CEB-70)
De posse dos momentos solicitantes, as armaduras longitudinais da
sapata podem ser calculadas utilizando-se as tabelas clássicas da
flexão simples ou ainda por expressões simplificadas, conforme a
seguir:
d é a altura útil na direção analisada. 
As barras longitudinais não devem ter diâmetros superiores
1/8 da espessura da laje (sapata). O espaçamento máximo
entre elas não deve ser superior a 20cm nem 2h,
prevalecendo o menores desses dois valores.
O dimensionamento é baseado no dimensionamento de lajes (faz-se a
analogia das sapatas com lajes)
• Verificação da ruptura por compressão diagonal
A verificação da ruptura por compressão diagonal se faz na ligação sapata-pilar, na região
correspondente ao perímetro do pilar.
Cisalhamento para sapatas rígidas(Método CEB-70)
𝝉𝑺𝒅 ≤ 𝝉𝑹𝒅𝟐
tsd é a tensão solicitante
tRd2 é a resistência à compressão diagonal da sapata
A tensão solicitante tsd é calculada por:
𝝉𝑺𝒅 =
𝑭𝑺𝒅
𝒖 ∙ 𝒅
FSd é a reação vertical de cálculo (aplicada pelo solo à sapata);
u é o perímetro, igual ao perímetro da seção do pilar;
d é a altura útil média.
A tensão resistente tRd2 é calculada por:
𝝉𝑹𝒅𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝜶𝒗 ∙ 𝒇𝒄𝒅
onde
av é um adimensional determinado por: 𝜶𝒗 = 𝟏 −
𝒇𝒄𝒌
𝟐𝟓𝟎
𝒄𝒐𝒎 𝒇𝒄𝒌 𝒆𝒎𝑴𝑷𝒂
Dispensa de armaduras para força cortante
• Armaduras transversais para resistir à força cortante raramente são
utilizadas nas sapatas, assim como no caso de lajes em geral;
• Portanto, as sapatas são dimensionadas de tal modo que os esforços
cortantes sejam resistidos apenas pelo concreto, dispensando a armadura
transversal.
d é a altura útil média da sapata (junto à face do pilar);
dS2 é a altura útil média da sapata na seção S2 na direção
analisada;
bS2 é a largura da seção S2 na direção analisada;
L2 é o vão do balanço onde atua as cargas distribuídas
associada às pressões do solo sobre a sapata.
• Para dispensar a armadura transversal, a força cortante solicitante de cálculo
VSd na seção S2 não deve superar uma determinada força resistente ao
cisalhamento VRd1, conforme definido no item 19.4 da NBR 6118:2014:
Dispensa de armaduras para força cortante
𝑽𝑹𝒅𝟏 = 𝝉𝑹𝒅 ∙ 𝒌 ∙ (𝟏, 𝟐 + 𝟒𝟎 ∙ 𝝆𝟏) ∙ 𝒃𝑺𝟐 ∙ 𝒅𝑺𝟐
Onde 
𝜏𝑅𝑑 = 0,0375 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2
3 𝑒𝑚 𝑓𝑐𝑘 𝑒𝑚𝑀𝑃𝑎
𝑘 = 1,6 − 𝑑𝑆2 ≥ 1,0 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑆2 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝜌1 =
𝐴𝑠
𝑏𝑆2 ∙ 𝑑𝑆2
≤ 0,02
AS é a área de armadura longitudinal de flexão na direção analisada 
Em sapatas flexíveis, a tensão de aderência nas barras da armadura inferior
da sapata, junto à face do pilar (seção de referência S1), é determinada por:
Verificação das tensões de aderência
𝝉𝒃𝒅 =
𝑽𝑺𝒅,𝟏
𝟎, 𝟗 ∙ 𝒅 ∙ (𝒏 ∙ 𝝅𝝋)
onde
VSd,1 é a força cortante solicitante de cálculo na
seção S1;
n é o número de barras longitudinais na direção
analisada;
φ é o diâmetro da barra.
Nas sapatas rígidas, pode-se obter a tensão de aderência solicitante com base 
no método das bielas, a partir da seguinte expressão: 
𝝉𝒃𝒅 =
𝑵𝒅
𝟐 ∙ 𝒅 ∙ (𝒏 ∙ 𝝅𝝋)
∙
𝒂− 𝒂𝒑
𝒂
onde
Nd é a força normal de cálculo do pilar
Verificação das tensões de aderência
Verificação das tensões de aderência
Verificação das tensões de aderência
Verificação das tensões de aderência
Verificação das tensões de aderência
Comprimento de Ancoragem – 6118/2014
Comprimento de Ancoragem – 6118/2014
Sem gancho Com gancho
Comprimento de Ancoragem – 6118/2014
Consideração prática
Comprimento de Ancoragem – 6118/2014
Cobrimento de armadura para fundações 6118/2014
Comprimento de Ancoragem – 6118/2014
Exercício
Neste exemplo, deseja-se projetar uma sapata isolada rígida para um pilar de
seção retangular 25cm x 40cm, cujas armaduras e esforços solicitantes junto à
fundação já foram determinados previamente.
4,5 cm
1º Passo: Calcular a área da sapata:
𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 =
𝑤 ∙ 𝑃𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
→ 𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 =
𝟏, 𝟏𝟎 ∙ 920
200
→ 𝑨𝒔𝒂𝒑𝒂𝒕𝒂 = 𝟓,𝟎𝟔 𝒎²
Para sapatas rígidas é igual a 10%
2º Passo: Pré-dimensionamento da sapata:
“ Sempre que for possível, opta-se pelo
critério de dimensionamento econômico.
Para tal, considera-se balanços nas duas
direções ortogonais, propiciando áreas
de armaduras aproximadamente iguais
nessas direções.”
𝑳𝒙 = 𝑳𝒚 = 𝒙
Balanços iguais
Proposta econômica
𝐿 − 𝐵 = 𝑙 − 𝑏
𝐿 − 𝐵 = 0,40 − 0,25
𝐿 − 𝐵 = 0,15
𝑳 = 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝑩 (𝑰)
𝐵 ∙ 𝐿 = 𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎
𝐵 ∙ (0,15 + 𝐵) = 5,06
𝑩𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟓 ∙ 𝑩 − 𝟓, 𝟎𝟔 = 𝟎 (𝑰𝑰)
𝐵 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝐵 =
−0,15 ± 0,152 − 4 ∙ 1 ∙ (−5,06)
2 ∙ 1
𝑩𝟏 = 𝟐, 𝟏𝟕𝟔 𝒎
𝑩𝟐 = −𝟐, 𝟑𝟐𝟔𝒎
𝑩 = 𝟐,𝟐𝟎 𝒎
𝑳 = 𝟐, 𝟑𝟓 𝒎
Adota-se valores múltiplos de 5 cm
Consideração do momento: 
𝜎𝑚á𝑥 =
1,10 ∙ 920
2,20 ∙ 2,35
+
74
2,08
→ 𝝈𝒎á𝒙 = 𝟐𝟑𝟏, 𝟑𝟐 𝒌𝑷𝒂 𝑊𝑦 =
2,20 ∙ 2,352
6
𝑊𝑦 = 2,08 𝑚³
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
1,10 ∙ 920
2,20 ∙ 2,35
−
74
2,08
→ 𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟔𝟎, 𝟏𝟕 𝒌𝑷𝒂
𝝈𝒎á𝒙,𝒎𝒊𝒏 =
𝑷𝒌
𝑨𝒔𝒂𝒑𝒂𝒕𝒂
±
𝑴𝒚
𝑾𝒚
𝑾𝒚 =
𝑩 ∙ 𝑳𝟐
𝟔
Como a condição σmáx ≤ σadm não foi obedecida, é preciso
determinar as novas dimensões da sapata, mantendo-se
a tensão admissível (200 kPa) e a condição econômica
(L = B + 0,15)
200 =
1,10 ∙ 920
𝐵 ∙ 𝐿
+
74
𝐵 ∙ 𝐿2
6
→ 200 =
1012
𝐵 ∙ 𝐿
+
444
𝐵 ∙ 𝐿2
→ 200 =
1012
𝐵(0,15 + 𝐵)
+
444
𝐵 0,15 + 𝐵 2
200 ∙ 𝐵3 + 60 ∙ 𝐵2 − 1007,5 ∙ 𝐵 − 595,8 = 0 Equação do 3º Grau 𝑩 = 𝟐,𝟒𝟎 𝒎
𝑳 = 𝟐, 𝟓𝟓 𝒎
𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 = 𝐵 ∙ 𝐿 → 𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 = 2,40 ∙ 2,55 → 𝑨𝒔𝒂𝒑𝒂𝒕𝒂 = 𝟔, 𝟏𝟐 𝒎²
𝑳
𝑩
≤ 𝟐, 𝟓
𝐿
𝐵
≤ 2,5 →
2,40
2,55
= 1,06 𝒐𝒌!
Recalculando a tensão máxima e mínima
𝜎𝑚á𝑥 =
1,10 ∙ 920
2,40 ∙ 2,55
+
74
2,40 ∙ 2,552
6
→ 𝝈𝒎á𝒙 = 𝟏𝟗𝟑, 𝟖 𝒌𝑷𝒂
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
1,10 ∙ 920
2,40 ∙ 2,55
−
74
2,40 ∙ 2,552
6
→ 𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟑𝟔, 𝟗𝟏 𝒌𝑷𝒂
≤ 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝑷𝒂 𝒐𝒌!
> 𝟎 𝒌𝑷𝒂 𝒐𝒌!
A excentricidade pode ser calculada como: 
𝑽𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂çã𝒐: 𝒆𝒙 ≤
𝑳
𝟔
, 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒙 =
𝑴𝒚
𝑷𝒌
𝑒𝑥 ≤
𝐵
6
→ 𝑒𝑥 ≤
2,40
6
→ 𝑒𝑥 ≤ 0,40 𝑚 𝑒𝑥 =
𝑀𝑦
𝑃𝑘
→ 𝑒𝑥 =
74
1,10 ∙ 920
→ 𝑒𝑥 = 0,073 𝑚 𝒐𝒌!
Não há tensões de tração na sapata.
Como optou por balanços sucessivos: 
𝐿 = 𝑎𝑝 + 2 ∙ 𝑥
2,55 = 0,4 + 2 ∙ 𝑥
𝑥 = 1,075 𝑚
𝐵 = 𝑏𝑝 + 2 ∙ 𝑥
2,40 = 0,25 + 2 ∙ 𝑥
𝑥 = 1,075 𝑚
Nas duas direções
Determinação da altura da sapata: 
ℎ >
𝑎 − 𝑎𝑝
3
→ ℎ >
2,55 − 0,40
3
= 𝟎, 𝟕𝟏𝟑𝒎
ℎ >
𝑏 − 𝑏𝑝
3
→ ℎ >
2,40 − 0,25
3
= 𝟎, 𝟕𝟏𝟑𝒎
“A altura da sapata deve ser suficiente para permitir a correta 
ancoragem da armadura longitudinal do pilar”
3º Passo: Comprimento de ancoragem
“Se há gancho ou não, 
depende do projetista e 
deve estar prescrito”
ℎ ≥ 55 + 4,5
Cobrimento da armadura
ℎ ≥ 59,5 𝑐𝑚
Portanto, entre 71,3 cm e 59,5 
cm, adota-se o maior e 
considerando múltiplo de 5 cm, 
para fins construtivos, 75 cm.
4º Passo: Determinação das armaduras longitudinais:
Direção x:
𝐿𝑎 = 𝐿𝑥 + 0,15 ∙ 𝑎𝑝
𝐿𝑎 =
(𝑎 − 𝑎𝑝)
2
+ 0,15 ∙ 𝑎𝑝
𝐿𝑎 =
(2,55 − 0,4)
2
+ 0,15 ∙ 0,4
𝑳𝒂 = 𝟏, 𝟏𝟑𝟓 𝒎
𝜎𝑚á𝑥 =
1,10 ∙ 1288
2,40 ∙ 2,55+
100
2,40 ∙ 2,552
6
→ 𝝈𝒎á𝒙 = 𝟐𝟕𝟎 𝒌𝑷𝒂
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
1,10 ∙ 1288
2,40 ∙ 2,55
−
100
2,40 ∙ 2,552
6
→ 𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟗𝟑, 𝟏 𝒌𝑷𝒂
𝑃𝑎,𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑏
𝑃𝑎,𝑚𝑎𝑥 = 270 ∙ 2,40
𝑷𝒂,𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟒𝟖 𝒌𝑵/𝒎
𝑃𝑎,𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑏
𝑃𝑎,𝑚𝑖𝑛 = 193,1 ∙ 2,40
𝑷𝒂,𝒎𝒊𝒏 = 𝟒𝟔𝟑, 𝟒 𝒌𝑵/𝒎
𝑃𝑎,𝑠1 =
648 + 463
2
𝑷𝒂,𝒔𝟏 = 𝟓𝟓𝟔 𝒌𝑵/𝒎
𝑀𝑠𝑑𝑎 =
556 ∙ 1,1352
2
+
648 − 556
2
∙ 1,135 ∙
2
3
∙ 1,135
𝑴𝒔𝒅𝒂 = 𝟑𝟗𝟕, 𝟔𝟑 𝒌𝑵/𝒎
631,06
1,135
92 kN/m
1,135
52.21 kN
Direção y:
𝐿𝑏 = 𝐿𝑦 + 0,15 ∙ 𝑏𝑝
𝐿𝑏 =
(𝑏 − 𝑏𝑝)
2
+ 0,15 ∙ 𝑏𝑝
𝐿𝑏 =
(2,40 − 0,25)
2
+ 0,15 ∙ 0,25
𝑳𝒃 = 𝟏, 𝟏𝟏𝟑 𝒎
𝑃𝑏,𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑎
𝑃𝑏,𝑚𝑎𝑥 = 270 ∙ 2,55
𝑷𝒃,𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟖𝟖, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎
𝑃𝑏,𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑎
𝑃𝑏,𝑚𝑖𝑛 = 193,1 ∙ 2,55
𝑷𝒃,𝒎𝒊𝒏 = 𝟒𝟗𝟐, 𝟒𝟏 𝒌𝑵/𝒎
𝑃𝑏,𝑠1 =
688,5 + 492,41
2
𝑷𝒃,𝒔𝟏 = 𝟓𝟗𝟎, 𝟒𝟔 𝒌𝑵/𝒎
𝑀𝑠𝑑𝑏 =
590,46 ∙ 1,1132
2
𝑴𝒔𝒅𝒃 = 𝟑𝟔𝟓, 𝟕𝟐 𝒌𝑵/𝒎
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝟎, 𝟖 ∙ 𝒅 ∙ 𝒇𝒚𝒅
𝑑 = ℎ − 𝑐 +
∅
2
→ 𝑑 = 75 − 4,5 +
1,25
2
→ 𝑑 = 69 𝑐𝑚
Direção x (a):
𝐴𝑠,𝑎 =
𝑀𝑑𝑎
0,8 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠,𝑎 =
397,63 ∙ 103
0,8 ∙ 0,69 ∙
500 ∙ 106
1,15
𝑨𝒔,𝒂 = 𝟏𝟔, 𝟓𝟔 𝒄𝒎²
Direção y (b):
𝐴𝑠,𝑏 =
𝑀𝑑𝑏
0,8 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠,𝑏 =
365,72 ∙ 103
0,8 ∙ 0,69 ∙
500 ∙ 106
1,15
𝑨𝒔,𝒃 = 𝟏𝟓, 𝟐𝟒 𝒄𝒎²
𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎, 𝟏𝟓% ∙ 𝒃𝒘 ∙ 𝒉
𝜌𝑚𝑖𝑛 =
0,15
100
∙ 240 ∙ 75 𝜌𝑚𝑖𝑛 =
0,15
100
∙ 255 ∙ 75
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 27 𝑐𝑚
2 > 𝐴𝑠,𝑎 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 28,69 𝑐𝑚² > 𝐴𝑠,𝑏
Adotar as respectivas áreas mínimas!!
Direção x:
5º Passo: Espaçamento das armaduras longitudinais: 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠1
𝑛 =
27
𝜋 ∙ 1,252
4
→ 𝑛 = 22 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑠 =
240 − 6 − 6
22 − 1
→ 𝑠 = 10,86 𝑐𝑚
𝒔𝒎á𝒙 ≤ ቊ
𝒔 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎
𝒔 = 𝟐𝒉
Direção y:
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠1
𝑛 =
28,69
𝜋 ∙ 1,252
4
→ 𝑛 = 23,37 ≈ 24 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑠 =
255 − 6 − 6
24 − 1
→ 𝑠 = 10,57 𝑐𝑚
𝑨𝒔 = 𝟐𝟗, 𝟒𝟓 𝒄𝒎²
Os espaçamentos são menores que o espaçamento máximo!
6º Passo: Dimensionamento ao cisalhamento 
𝝉𝒔𝒅 ≤ 𝝉𝑹𝒅𝟐
A tensão resistente é calculada por: 
𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣 ∙ 𝑓𝑐𝑑
𝛼𝑣 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎
𝛼𝑣 = 1 −
20
250
→ 𝛼𝑣 = 0,92
𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 0,92 ∙
20
1,4
𝝉𝑹𝒅𝟐 = 𝟑, 𝟓𝟓 𝑴𝑷𝒂
A tensão solicitante é obtida por: 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢 ∙ 𝑑
𝐹𝑠𝑑 = 1,10 ∙ 1288 = 1417 𝑘𝑁
𝑢 = 2 ∙ 25 + 40 = 130 𝑐𝑚
𝜏𝑠𝑑 =
1417
1,30 ∙ 0,69
𝜏𝑠𝑑 = 1,58 𝑀𝑃𝑎
𝝉𝒔𝒅 ≤ 𝝉𝑹𝒅𝟐 → 𝑶𝒌
7º Passo: Armadura transversal 
A verificação do esforço cortante é feita numa seção de referência S2, distante do pilar d/2 
da face do pilar 
Por semelhança de triângulos, calcula-se a altura útil média na seção: 
𝑑
2
→
69
2
→ 34,5 𝑐𝑚
69 − 19
107,5
=
𝑑𝑆2 − 19
107,5 − 34,5
→ 𝒅𝑺𝟐 = 𝟓𝟐, 𝟗𝟓 𝒄𝒎
Direção x:
𝐿2 =
𝑎 − 𝑎𝑝
2
−
𝑑
2
𝐿2 =
2,55 − 0,4
2
−
0,69
2
𝐿2 = 0,73 𝑚 𝑏𝑆2 = 2,40 𝑚
648 − 463
255
=
648 − 𝑥
73
𝒙 = 𝟓𝟗𝟓 𝒌𝑵/𝒎
𝑉𝑠𝑑 =
595 + 648
2
∙ 0,73
𝑽𝒔𝒅 = 𝟒𝟓𝟑, 𝟕𝟎 𝒌𝑵
Verificar a dispensa de armadura transversal: 
𝑽𝒔𝒅 ≤ 𝑽𝑹𝒅𝟏
𝜏𝑅𝑑 = 0,0375 ∙ 𝑓𝑐𝑘
ൗ2 3
𝜏𝑅𝑑 = 0,0375 ∙ 20
ൗ2 3
𝜏𝑅𝑑 = 0,276 𝑀𝑃𝑎
𝑘 = 1,6 − 𝑑𝑆2 ≥ 1,0
𝑘 = 1,6 − 0,5295 ≥ 1,0
𝑘 = 1,0705 𝑚
𝜌1 =
𝐴𝑠
𝑏𝑆2 ∙ 𝑑𝑆2
≤ 0,02
𝜌1 =
27
240 ∙ 52,95
≤ 0,02
𝜌1 = 0,002 ≤ 0,02 𝑂𝑘!
𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ 1,2 + 40 ∙ 𝜌1 ∙ 𝑏𝑆2 ∙ 𝑑𝑆2
𝑉𝑅𝑑1 = 0,276 ∙ 10
6 ∙ 1,0705 ∙ 1,2 + 40 ∙ 0,002 ∙ 2,40 ∙ 0,5295
𝑉𝑅𝑑1 = 480,60 𝑘𝑁 > 𝑉𝑠𝑑 = 453,70 𝑘𝑁
Direção y (menor dimensão):
𝑷𝒃,𝒔𝟏 = 𝟓𝟗𝟎, 𝟒𝟔 𝒌𝑵/𝒎
𝑏𝑆2 = 2,55 𝑚
𝑑𝑆2 = 0,5295 𝑚
𝜌1 =
𝐴𝑠
𝑏𝑆2 ∙ 𝑑𝑆2
≤ 0,02
𝜌1 =
29,45
255 ∙ 52,95
≤ 0,02
𝜌1 = 0,0022 ≤ 0,02 𝑂𝑘!
𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ 1,2 + 40 ∙ 𝜌1 ∙ 𝑏𝑆2 ∙ 𝑑𝑆2
𝑉𝑅𝑑1 = 0,276 ∙ 10
6 ∙ 1,0705 ∙ 1,2 + 40 ∙ 0,0022 ∙ 2,55 ∙ 0,5295
𝑉𝑅𝑑1 = 513,83 𝑘𝑁 > 𝑉𝑠𝑑 = 453,70 𝑘𝑁
Não há necessidade de armadura transversal para a força cortante!
8º Passo: Verificação das tensões de aderência
Direção x, seção S1:
𝑉𝑠𝑑,1 =
648 + 556
2
∙ 1,135
𝑉𝑠𝑑,1 = 684 𝑘𝑁
𝜏𝑠𝑑 =
𝑉𝑠𝑑,1
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 ∙ 𝜋𝜙
𝜏𝑠𝑑 =
684 ∙ 103
0,9 ∙ 69 ∙ 22 ∙ 𝜋 ∙ 1,25
→ 𝝉𝒔𝒅 = 𝟏, 𝟐𝟕 𝐌𝐏𝐚
𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1 ∙ 𝜂2 ∙ 𝜂3 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘
𝛾𝑐
→ 𝑓𝑐𝑡𝑑 =
1,55
1,4
→ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 1,105 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7 ∙ 0,3𝑓𝑐𝑘
ൗ2 3
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7 ∙ 0,3 ∙ 20
ൗ2 3
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 1,55 𝑀𝑃𝑎
𝜂1 → 2,25 barras nervuradas
𝜂2 → 1,0 situação de boa aderência
𝜂3 → 1,0 (ϕ < 32 𝑚𝑚)
𝑓𝑏𝑑 = 2,25 ∙ 1,0 ∙ 1,0 ∙ 1,105
𝑓𝑏𝑑 = 2,49 𝑀𝑃𝑎 > 1,28 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑘
Verificação Satisfeita!!!!
9º Passo: Detalhamento 
Dada a sapata corrida submetida a ação uniformemente distribuída de acordo
com a figura, calcular e detalhar as armaduras de acordo com os dados
abaixo. Adote f = 8 mm.
Exercício
“ Como a sapata é corrida, adota-se uma faixa de 1,0 m para efetuar o dimensionamento,
extrapolando-se os resultados para o comprimento total. Para levar em conta do peso próprio de
sapata, majora-se a ação atuante em 5%. Portanto, o carregamento total nominal é:
“Como a tensão é menor que 150 kPa, é aconselhável adotar a sapata flexível”
𝑔 + 𝑞 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1,05 ∙ 100 → 𝑔 + 𝑞 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 105 𝑘𝑁/𝑚
1º Passo: Calcular a área da sapata:
𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 =
𝑤 ∙ 𝑃𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
→ 𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 =
𝟏, 𝟎𝟓 ∙ 100
100
→ 𝑨𝒔𝒂𝒑𝒂𝒕𝒂 = 𝟏,𝟎𝟓 𝒎²
𝐴 = 𝑎 ∙ 1 → 𝒂 = 𝟏, 𝟎𝟓 𝒎
Sabendo que é flexível: 
ℎ ≤
𝑎 − 𝑎𝑝
3
→ ℎ ≤
1,05 − 0,25
3
→ ℎ ≤ 0,267 𝑚
“ Sabendo que altura h = 26,7 cm para ser flexível, porém h0 na extremidade não pode ser menor
que 15 cm. Como a diferença entre h e h0 não é grande, adota-se um tamanho intermediário:”
𝒉 = 𝒉𝟎 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎
𝑑 = 25 − 4,0 +
0,8
2
→ 𝑑 = 20,6 𝑐𝑚
2º Passo: Determinação das armaduras longitudinais:
i) Determinação dos momentos fletores nas seções de referência S1.
𝐿𝑎 =
𝑎 − 𝑎𝑝
2
+ 0,15 ∙ 𝑎𝑝
𝐿𝑎 =
1,05 − 0,25
2
∓ 0,15 ∙ 0,25
𝐿𝑎 = 0,438 𝑚
𝑞𝑎 = 𝜎𝑎𝑑𝑚 ∙ 𝑏 → 𝑞𝑎 = 100 ∙ 1 → 𝑞𝑎 = 100 𝑘𝑁/𝑚
𝑀𝑘𝑎 =
𝑞𝑎 ∙ 𝐿𝑎
2
2
→ 𝑀𝑘𝑎 =
100 ∙ 0,4382
2
→ 𝑀𝑘𝑎 = 9,59 𝑘𝑁/𝑚
𝐴𝑠,𝑎 =
𝑀𝑑
0,8 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
→ 𝐴𝑠,𝑎 =
1,4 ∙ 9,59 ∙ 103
0,8 ∙ 0,2 ∙
500 ∙ 106
1,15
→ 𝐴𝑠,𝑎 = 1,93 𝑐𝑚
2/𝑚
𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎, 𝟏𝟓% ∙ 𝒃𝒘 ∙ 𝒉
𝜌𝑚𝑖𝑛 =
0,15
100
∙ 100 ∙ 25
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 3,75 𝑐𝑚
2/𝑚 > 𝐴𝑠,𝑎
Adotar a área mínima!!
Adotando 8 mm de diâmetro
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠1
𝑛 =
3,75
𝜋 ∙ 0,82
4
→ 𝑛 = 7,46 ≈ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑠 =
105 − 4,8 − 4,8
8 − 1
→ 𝑠 = 13,62 𝑐𝑚
𝑨𝒔 = 𝟒, 𝟎𝟐 𝒄𝒎²
𝑠 = 13 𝑐𝑚
3º Passo: Armadura transversal:
𝐿2 =
𝑎 − 𝑎𝑝
2
−
𝑑
2
𝐿2 =
105 − 25
2
−
20
2
𝐿2 = 30 𝑐𝑚
𝑏𝑆2 = 100 𝑐𝑚
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 ∙ 𝜎𝑎𝑑𝑚 ∙ 𝑏𝑆2 ∙ 𝐿2
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 ∙ 100 ∙ 1,0 ∙ 0,30
𝑉𝑠𝑑 = 42 𝑘𝑁
4º Passo: Verificar a dispensa de armadura transversal:
𝝉𝒔𝒅 ≤ 𝝉𝑹𝒅𝟏
𝜏𝑠𝑑 =
𝑉𝑠𝑑
𝑏𝑆2 ∙ 𝑑𝑆2
𝜏𝑠𝑑 =
42 ∙ 103
1,0 ∙ 0,2
𝜏𝑠𝑑 = 0,21 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝑅𝑑 = 0,0375 ∙ 𝑓𝑐𝑘
ൗ2 3
𝜏𝑅𝑑 = 0,0375 ∙ 20
ൗ2 3
𝜏𝑅𝑑 = 0,276 𝑀𝑃𝑎
𝑘 = 1,6 − 𝑑𝑆2 ≥ 1,0
𝑘 = 1,6 − 0,20 ≥ 1,0
𝑘 = 1,4 ≥ 1,0 → 𝑜𝑘!
𝜌1 =
𝐴𝑠
𝑏𝑆2 ∙ 𝑑𝑆2
≤ 0,02
𝜌1 =
4,02
100 ∙ 20
≤ 0,02
𝜌1 = 0,002 ≤ 0,02 𝑂𝑘!
𝜏𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ 1,2 + 40 ∙ 𝜌1
𝜏𝑅𝑑1 = 0,276 ∙ 10
6 ∙ 1,4 ∙ 1,2 + 40 ∙ 0,002
𝜏𝑅𝑑1 = 0,494 𝑀𝑃𝑎 > 𝜏𝑠𝑑 = 0,21 𝑀𝑃𝑎 → 𝑂𝑘!
Não há necessidade de armadura transversal para a força cortante!
5º Passo: Armadura de distribuição secundária
“ Similar às lajes armadas em uma direção, deve-se
dispor de uma armadura de distribuição secundária na
direção de maior dimensão. A área dessa armadura
deve ser tomada com o maior dos seguintes valores:
0,2 ∙
𝐴𝑠
𝐴
→ 0,2 ∙ 4,02 → 0,804 𝑐𝑚2/𝑚
0,5 ∙
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛
𝑠
→ 0,5 ∙ 3,75 → 1,88 𝑐𝑚2/𝑚
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠1
𝑛 =
1,88
𝜋 ∙ 0,632
4
→ 𝑛 = 6,03 ≈ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑠 =
105 − 4,5 − 4,5
7 − 1
→ 𝑠 = 16 𝑐𝑚
𝑨𝒔 = 𝟐, 𝟏𝟖𝒄𝒎²
6º Passo: Verificação das tensões de aderência
𝜏𝑏𝑑 =
𝑉𝑠𝑑,1
0,9 ∙ 𝑑 ∙ (𝑛 ∙ 𝜋𝜙)
𝜏𝑏𝑑 =
1,4 ∙ 100 ∙ 0,438
0,9 ∙ 20 ∙ (7 ∙ 𝜋 ∙ 0,8)
𝜏𝑏𝑑 = 0,19 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝝉𝒃𝒅 = 𝟏, 𝟗 𝑴𝑷𝒂
𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1 ∙ 𝜂2 ∙ 𝜂3 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘
𝛾𝑐
→ 𝑓𝑐𝑡𝑑=
1,55
1,4
→ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 1,105 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7 ∙ 0,3𝑓𝑐𝑘
ൗ2 3
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7 ∙ 0,3 ∙ 20
ൗ2 3
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 1,55 𝑀𝑃𝑎
𝜂1 → 2,25 barras nervuradas
𝜂2 → 1,0 situação de boa aderência
𝜂3 → 1,0 (ϕ < 32 𝑚𝑚)
𝑓𝑏𝑑 = 2,25 ∙ 1,0 ∙ 1,0 ∙ 1,105
𝑓𝑏𝑑 = 2,49 𝑀𝑃𝑎 > 1,90 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑘
Verificação Satisfeita!!!!
7º Passo: Verificação das tensões de aderência