AULA 10 - Dimensionamento Esturutal de Sapatas (Método - Bielas Tirantes)

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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: Fundações
AULA 10 – DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE 
SAPATAS (MÉTODO DAS BIELAS)
Goianésia – 2021
Prof. Me. Igor Cezar Silva Braga
Faculdade Evangélica de Goianésia
Método das Bielas
O Método das Bielas para o projeto de sapatas foi proposto por Lebelle (1936), tendo
sido elaborado com base nos resultados de uma grande quantidade de ensaios
experimentais. Aplica-se às sapatas corridas e isoladas, com o seguinte limite para a
altura útil:
𝒅 ≥
𝑨 − 𝒂𝒑
𝟒
Como a NBR 6118 classifica a sapata rígida conforme a relação h ≥ (A – ap)/3, nota-se
que o limite de Lebelle corresponde à sapata flexível para a NBR 6118, de modo que
existe uma faixa de valores para d que, se adotados, resultarão na sapata flexível
segundo a NBR 6118.
Método das Bielas
A carga é transferida do pilar para a base da sapata por meio de bielas de concreto
comprimido, que induzem tensões de tração na base da sapata, que devem ser resistidas por
armadura. Segundo Gerrin(1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão
das bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.
Método das Bielas
As forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas. 
Método das Bielas
Considerando somente a direção x, como se fosse 
uma sapata corrida, a equação da força de tração 
na base da sapata (Tx) é: 
𝑻𝒙 =
𝟏
𝟐
∙
𝒑(𝑨 − 𝒂𝒑)
𝑨 ∙ 𝒅
∙
𝑨𝟐
𝟒
− 𝒙𝟐
Para x = 0, Tx = Tmáx
𝑻𝒙 =
𝑷
𝟖
∙
(𝑨 − 𝒂𝒑)
𝒅
De forma análoga para a direção 𝑦 da 
sapata isolada: 
𝑻𝒚 =
𝑷
𝟖
∙
(𝑩 − 𝒃𝒑)
𝒅
Método das Bielas
A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações: 
𝝈𝒄 =
𝒅𝑵
𝒅𝒔
, onde 𝒅𝒔 =
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏𝜶
A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas ( = o)(α = α0) e a tensão
máxima ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:
𝝈𝒄 =
𝑷
𝒂𝒑
𝟏 +
𝑨 − 𝒂𝒑
𝟐
𝟒 − 𝒅𝟎
𝟐
𝑨𝒔𝒙 = 𝑨𝒔,𝑨 =
𝑻𝒙𝒅
𝒇𝒚𝒅
𝑨𝒔𝒚 = 𝑨𝒔,𝑩 =
𝑻𝒚𝒅
𝒇𝒚𝒅
Método das Bielas
Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é: 
𝝈𝒄,𝒎𝒂𝒙 =
𝑷
𝝀 ∙ 𝒂𝒑 ∙ 𝒃𝒑
𝟏 +
𝑨 − 𝒂𝒑
𝟐
+ 𝑩− 𝒃𝒑
𝟐
𝟒
𝟏
𝟏 − 𝝀
𝟐
𝒅𝟎
𝟐
onde 𝜆 =
𝑎𝑝
𝐴
=
𝑏𝑝
𝐵
á𝑟𝑒𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠
No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas: 
𝝈𝒄,𝒎𝒂𝒙 =
𝑷
𝝀 ∙ 𝑨 ∙ 𝒃𝒑
𝟏 +
𝟏
𝟐
𝑨− 𝒂𝒑
𝟏
𝟏 − 𝝀
∙ 𝒅𝟎
𝟐
Método das Bielas
Uma sapata foi dimensionada pelo método CEB-70 (6118/2014), com isso calcule a
armadura a flexão e compare. As dimensões estabelecidas no dimensionamento pelo
CEB-70 estão dadas abaixo:
EXERCÍCIOS 
ap = 80 cm, Nk = P = 1.250 kN, A = 265 cm,
B = 205 cm, d = 65 cm, h = 70 cm. As,A = 15,01 
cm² e As,B = 16,20 cm². 
1º Passo: determinando a altura útil: 
𝑑 ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
4
→ 𝑑 ≥
265 − 80
4
𝑑 ≥ 46,25 cm
2º Passo: Forças de tração na base da sapata: 
Como, d = 65 cm > 46,25 cm, adota-se d = 65 cm 
𝑇𝑥 =
𝑃
8
∙
𝐴 − 𝑎𝑝
𝑑
→ 𝑇𝑥 =
1250
8
∙
265 − 80
65
→ 𝑇𝑥 = 444,7 𝑘𝑁
𝑇𝑦 =
𝑃
8
∙
𝐴 − 𝑎𝑝
𝑑
→ 𝑇𝑦 =
1250
8
∙
205 − 20
65
→ 𝑇𝑦 = 444,7 𝑘𝑁
Como a sapata tem balanços iguais (cA = cB), as forças de tração resultaram iguais (Tx = Ty), de 
modo que as armaduras são também iguais nas duas direções: As,A = As,B . Com γf = 1,4, 
γs = 1,15, CA-50.
3º Passo: Área de aço a flexão 
𝐴𝑠,𝐴 = 𝐴𝑠,𝐵 =
𝑇𝑥𝑑
𝑓𝑦𝑑
→ 𝐴𝑠,𝐴=𝐵
1,4 ∙ 447,7
50
1,15
→ 14,32 𝑐𝑚²
Com o “Método das Bielas” a armadura de flexão resultou um pouco inferior à calculada
conforme o método do CEB-70 (As,A = 15,01 e As,B = 16,20 cm2). A NBR 6118 recomenda
verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1, feito no método do CEB-70.
Usando o método das bielas comprimidas, dimensionar uma sapata rígida para um pilar
de seção (20 x 30) cm², com carga centrada de 40 tf. Sabendo-se que a tensão admissível
do solo 30 tf/m² , o fck adotado para o concreto de 20 MPa e cobrimento de 5 cm.
EXERCÍCIOS 
Dimensionamento:
1º Passo: Calcular a área da sapata:
𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 =
𝑤 ∙ 𝑃𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
→ 𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 =
𝟏, 𝟏𝟎 ∙ 40
30
→ 𝑨𝒔𝒂𝒑𝒂𝒕𝒂 = 𝟏, 𝟒𝟕 𝒎²
2º Passo: Pré-dimensionamento da sapata:
Proposta econômica
𝐿 − 𝐵 = 𝑙 − 𝑏
𝐿 − 𝐵 = 0,30 − 0,20
𝐿 − 𝐵 = 0,10
𝑳 = 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝑩 (𝑰)
𝐵 ∙ 𝐿 = 𝐴𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎
𝐵 ∙ (0,10 + 𝐵) = 1,47
𝑩𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟎 ∙ 𝑩 − 𝟏, 𝟒𝟕 = 𝟎 (𝑰𝑰)
𝐵 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝐵 =
−0,10 ± 0,102 − 4 ∙ 1 ∙ (−1,47)
2 ∙ 1
𝑩𝟏 = 𝟏, 𝟏𝟔 𝒎
𝑩𝟐 = −𝟏, 𝟐𝟔 𝒎
𝑩 = 𝟏,𝟐𝟎 𝒎
𝑳 = 𝟏, 𝟑𝟎𝒎
Adota-se valores múltiplos de 5 cm
3º Passo: Altura útil:
ℎ >
𝑎 − 𝑎𝑝
3
→ ℎ >
1,30 − 0,30
3
→ ℎ > 0,33 𝑚
𝑑 ≥
𝑎 − 𝑎𝑝
4
→ 𝑑 ≥
1,30 − 0,30
4
→ 𝑑 ≥ 0,25 𝑚
Normativo
Método das Bielas
Normativo
4º Passo: Comprimento de ancoragem
“Se há gancho ou não, 
depende do projetista e 
deve estar prescrito”
ℎ ≥ 55 + 5
Cobrimento da armadura
ℎ ≥ 60 𝑐𝑚
Portanto, entre 33,3 cm e 60 
cm, adota-se o maior e 
considerando múltiplo de 5 cm, 
para fins construtivos, 60 cm.
5º Passo: Forças de tração na base da sapata 
𝑇𝑥 =
𝑃
8
∙
𝐴 − 𝑎𝑝
𝑑
→ 𝑇𝑥 =
40
8
∙
130 − 30
55
→ 𝑇𝑥 = 9,09 𝑡𝑓
𝑇𝑦 =
𝑃
8
∙
𝐴 − 𝑎𝑝
𝑑
→ 𝑇𝑦 =
40
8
∙
120 − 20
55
→ 𝑇𝑦 = 9,09 𝑡𝑓
6º Passo: Área de aço a flexão 
𝐴𝑠,𝐴 = 𝐴𝑠,𝐵 =
𝑇𝑥𝑑
𝑓𝑦𝑑
→ 𝐴𝑠,𝐴=𝐵
1,4 ∙ 9,09 ∙ 10
50
1,15
→ 2,93 𝑐𝑚²
As verificações referentes ao cisalhamento e espaçamentos devem ser feitos conforme 
visto na AULA 9.