BANCO DO BRASIL 6558345-analise-combinatoria

Prévia do material em texto

Matemática
banco do brasil
Análise combinatória
Livro Eletrônico
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
2 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
SUMÁRIO
Análise Combinatória ..................................................................................3
Apresentação do Professor ...........................................................................4
Princípios de Contagem ...............................................................................6
1. Permutações ........................................................................................22
1.1 Permutação Simples ............................................................................22
São agrupamentos com todos os n elementos distintos. .................................22
1.2 Permutação com Repetição ...................................................................28
1.3 Permutação Circular ............................................................................32
2. Arranjos ..............................................................................................34
3. Combinações........................................................................................37
Autoavaliação ..........................................................................................41
Gabarito ..................................................................................................46
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
3 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA: neste módulo, serão apresentados métodos para 
resolução de questões de concursos públicos relacionados a problemas de Análise 
Combinatória. Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criati-
vo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas, apren-
dendo a interpretar tais questões por meio da prática.
Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; 
porém, quando aumentam o número de elementos dados e o número de elementos em 
cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los, para depois realizar sua contagem, 
torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por isso, partindo do concreto, tentar-se-á 
chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos são os agrupa-
mentos que se quer realizar e quais são eles.
Frente a essa realidade nos concursos públicos e a necessidade de agilidade 
para resolver as questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise 
Combinatória, com poucos cálculos, apenas aplicando dois princípios básicos: o 
princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo.
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, 
telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, 
Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em 
concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de 
Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito 
Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras 
e palestrante.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
4 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Arranjos, Permutações ou Combinações são os três tipos principais de agrupa-
mentos, podendo ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns 
detalhes de tais agrupamentos.
Vamos comentar algumas questões de outras bancas que são similares às ques-
tões da banca CESGRANRIO.
Apresentação do Professor
Olá, aluno(a), tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com gran-
de alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo 
com você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 16 anos de 
experiência em aulas presenciais e mais de 9 anos em aulas online, possuo mais de 
três obras escritas, dentre elas podemos citar: “RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTI-
CO – Fundamentos e Métodos Práticos”, da Editora Juspodivm (2016); e, também, 
em breve o REVISAÇO com mais de 500 questões de matemática e raciocínio lógico 
comentadas e com notas exclusivas do autor.
De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca 
examinadora exige o assunto indicado nesta aula.
O conteúdo deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos mais re-
centes assuntos cobrados nas provas de concursos públicos pela banca CESGRANRIO.
Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estratégica, pois, além de 
aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo 
interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melho-
res métodos de resolução, que, no decorrer desses 17 anos como professor, me 
dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos 
diversos processos seletivos em todo o Brasil.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
5 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Ao longo do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado 
muito certo:
1. Conceitos – de forma esquematizada;
2. Métodos e dicas de resolução rápida;
3. Questões comentadas com esquemas estratégicos.
DESAFIO
Quem sabe responde!
Em um concurso de televisão, há uma caixa fechada com nove bolas, sendo três 
brancas, três azuis e três verdes. O participante responde nove perguntas do apre-
sentador e, a cada resposta correta, retira uma bola da caixa. O participante, que 
só identifica a cor da bola após retirá-la da caixa, ganha o prêmio do programa se 
conseguir retirar da caixa pelo menos uma bola de cada cor. Para que o participante 
tenha certeza de que ganhará o prêmio, independentemente de sua sorte ao retirar 
as bolas da caixa, deverá responder corretamente, no mínimo:
a) 3 perguntas.
b) 5 perguntas.
c) 6 perguntas.
d) 7 perguntas.
e) 9 perguntas.
RESPOSTA NO FINAL DO MÓDULO.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
6 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Princípios de Contagem
Os princípios de contagem, na matemática, incluem:
I – Princípio da Soma: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, 
E2, de N2 maneiras distintas,..., EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois even-
tos não podem ocorrer simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer em 
N1 + N2 +... + Nk maneiras distintas.
II – Princípio da Multiplicação: considere que E1, E2,..., Ek são eventos que 
ocorrem sucessivamente; se o evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o 
evento E2 pode ocorrer de N2 maneiras distintas,..., o evento Ek pode ocorrer de Nk 
maneiras distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, 
em N1 × N2 ×... × Nk maneiras distintas.
O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.
Princípio Multiplicativo: resolveremos algumas questões neste momento para 
que você possa entender o Princípio Multiplicativo.
Exemplo
Uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B1, B2 e B3), 2 sapatos (S1 e S2) e 
2 calças (C1 e C2). Logo ao chegar em casa, ela se pergunta: “De quantas maneiras 
distintas eu posso me arrumar com as compras realizadas?”.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
7 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
No esquema construído acima, temos 12 maneiras distintas dessa pessoase arru-
mar. O raciocínio utilizado é o seguinte: há quantas possibilidades para blusas? 
Nesta situação, temos 3. Quantas possibilidades há para sapatos? Nesta situação, 
temos 2. Quantas possibilidades há para calças? Nesta situação, temos 2. Logo, 
podemos concluir que:
Pelo Princípio Multiplicativo, temos de multiplicar as POSSIBILIDADES.
 3 × 2 × 2 = 12 (maneiras distintas) 
Possibilidades Possibilidades Possibilidades
O que devemos perceber é que temos de nos basear sempre na palavra “Possibili-
dades”, pois ela trará o raciocínio correto.
Vamos resolver algumas questões aplicando apenas o conceito do Princípio Mul-
tiplicativo, utilizando a palavra “POSSIBILIDADES”:
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
8 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Não se esqueça de pronunciar a todo instante a expressão: QUANTAS POSSIBI-
LIDADES.
1. Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade 
de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros 
lugares é igual a:
a) 24.360.
b) 25.240.
c) 24.460.
d) 4.060.
e) 4.650.
Letra a.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento. Logo, a “ordem” altera a “natureza”.
Para os três primeiros colocados, temos: 30 × 29 × 28 = 24.360 (maneiras dife-
rentes).
Possibilidades
Neste caso, as possibilidades vão diminuindo, uma vez 
que a possibilidade utilizada (dupla de tênis) não tem 
como ser utilizada novamente (ninguém pode ocupar 
duas posições simultaneamente).
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
9 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
2. Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem come-
çar por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas 
as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, 
então, o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a:
a) 504.
b) 720.
c) 684.
d) 648.
e) 842.
Letra d.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento. Logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então temos 7 posições:
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Restrições: os números não podem começar com zero e os quatro últimos alga-
rismos são iguais a zero.
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Nesta posição, o zero 
não é possibilidade.
Nestas 4 posições, somente o 
número 0 é possibilidade.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
10 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Preenchendo as posições, temos:
9 × 9 × 8 × 1 × 1 × 1 × 1 
Dessa forma, aplicando o Princípio Multiplicativo (multiplica as possibilidades), temos:
9 × 9 × 8 × 1 × 1 × 1 × 1 = 648 (números telefônicos).
3. Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuí das 
senhas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se 
obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras 
(retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos 
(escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas 
sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de al-
garismos, é igual a:
a) 26³ x 10³.
b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8.
c) 26 x 25 x 24 x 10³.
d) 26³ x 10 x 9 x 8.
Não podemos ter algarismos repetidos, logo 
a possibilidade que foi utilizada não poderá 
ser usada novamente. Com esse pensamento, 
temos para a primeira posição 9 possibilidades, 
pois o zero não pode ser utilizado; na segunda, 
temos 9 possibilidades, pois o zero neste caso 
voltou a ser possibilidade e na terceira posição, 
temos 8 possibilidades, uma vez que já foram 
usadas duas possibilidades.
Neste caso, todos os algarismos utiliza-
dos serão iguais a zero, logo percebe-
mos que não é o número zero que será 
colocado nas posições, e, sim, quantas 
possibilidades para a posição, portanto, 
temos 1 (uma) possibilidade para cada 
posição, isto é, o número zero.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
11 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Letra c.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento. Logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras (retiradas do alfabeto com 
26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos (escolhidos entre 0 e 9).
Os códigos possuem 6 posições, 3 letras (26 possibilidades) e 3 algarismos (10 
possibilidades):
____ ____ ____ e(x) ____ ____ ____
Número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a re-
petição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos.
Quanto às três primeiras posições, temos: 26 × 25 × 24.
Quanto aos três últimos algarismos, temos: 10 × 10 × 10.
Nestas 3 posições, temos: 26 possibili-
dades na primeira, 25 possibilidades na 
segunda, uma vez que uma já foi uti-
lizada, e, por último, 24 possibilidades.
Nestas 3 posições, temos: 10 possibilidades na 
primeira, 10 possibilidades na segunda e, por 
último, 10 possibilidades. O número que foi utili-
zado pode ser utilizado novamente, logo, temos 
as mesmas possibilidades para as 3 posições.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
12 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Concluindo: os códigos possuem 6 posições – 3 letras (26 possibilidades) e 3 alga-
rismos (10 possibilidades):
_26_× _25_ × __24__ e(x) _10__ × __10__× __10__ = 26×25×24×103.
4. Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco sím-
bolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos 
entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, 
julgue os itens que se seguem.
a) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior 
a 650.000.
b) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se 
letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.
c) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo 
que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é inferior a 
470.000.
a) Certa; b) Errada; c) Certa.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento; logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, as letras do código ocupam as duas primeiras posições.
a) Certa. O número de processos que podem ser codificados é dado por 5 símbo-
los, logo 5 posições:
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
13 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676.000.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 26 possibili-
dades na segunda e, por último, 10 possibilidades nas três últimas 
posições. A letra e o númeroque foram utilizados podem ser utili-
zados novamente, portanto, temos as mesmas possibilidades para 
as duas posições de letras e para as três posições de algarismos.
b) Errada.
26 × 1 × 10 × 10 × 10 = 26.000.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 1 possibilidade 
na segunda (devido as duas letras serem iguais, o que faz com que a 
segunda seja a mesma que a primeira) e nas três últimas posições, 10 
possibilidades, uma vez que a questão não exige que os códigos possuam 
algarismos distintos.
c) Certa. Esse item significa que as letras e os algarismos devem ser distintos. 
Logo, temos:
26 × 25 × 10 × 9 × 8 = 468.000.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 25 possi-
bilidades na segunda (devido as duas letras não serem iguais, o 
que faz com que a possibilidade da segunda seja menor que a 
primeira, pois uma possibilidade já foi utilizada) e, nas três últi-
mas posições, 10 possibilidades na primeira, 9 na segunda e 8 na 
terceira, uma vez que a questão traz a ideia de que os códigos 
possuam algarismos distintos.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
14 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
5. Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi 
digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a 
compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha algarismos repetidos, 
era um número par e o algarismo inicial era 8.
Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou?
a) 224.
b) 210.
c) 168.
d) 144.
e) 96.
Letra a.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento; logo, a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
A senha a ser digitada possui 4 algarismos; logo, teremos 4 posições:
_____× _____× _____× _____=
Nessas 4 posições, temos: algarismos distintos; 
o número formado é par (a restrição é na última 
posição, pois um número par é aquele que ter-
mina em {0, 2, 4, 6, 8}) e a senha começa com o 
número 8, ou seja, uma possibilidade.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
15 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
1 × 8 × 7 × 4 = 224.
Nessa posição, 
temos apenas 1 
(uma) possibilidade 
que é o número 8.
Após preenchemos as posições que 
se tratam das restrições, vamos 
colocar as possibilidades sabendo 
que os algarismos não se repetem.
Nessa posição, temos 4 pos-
sibilidades, uma vez que o 
número 8 já foi utilizado na 
primeira posição.
De acordo com o jornal espanhol El País, em 2009 o contrabando de armas dispa-
rou nos países da América Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. O cri-
me é apontado como o principal problema desses países, provocando uma grande 
quantidade de mortes. O índice de homicídios por 100.000 habitantes na América 
Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na 
Colômbia, 50 na Guatemala.
(Internet: www.noticias.uol.com.br)
Tendo como referência as informações apresentadas no texto acima, julgue o item 
que se segue.
6. (POLÍCIA FEDERAL) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades 
citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a 
entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 manei-
ras diferentes de fazer essa escolha.
Errado.
No item acima, temos que uma organização criminosa escolhe seis das dezessete 
cidades, ou seja, temos onze possibilidades para agrupar as seis cidades.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
16 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Pelo princípio multiplicativo: 
11
6 x 
10
5 x 
9
4 x 
8
3 x 
7
2 x 
6
1 = 462.
Trata-se de uma questão de combinação; logo, podemos utilizar a fórmula:
Cn,p = 
n!
(n-p)!p! 
C11,6 = 
11!
(11-6)!6!
É comum não utilizar todos os elementos para a construção de novos grupos, uma 
vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um grupo.
É importante guardarmos o seguinte: “A ordem dos elementos não altera a 
natureza”.
Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divi-
didas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, 
julgue o item que se seguem.
7. (POLÍCIA FEDERAL) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 
equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.
Errado.
Formamos agrupamentos com p elementos (p<m), de forma que os p elementos 
sejam distintos entre si apenas pela espécie.
Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo 
de p elementos.
Cm,p = 
m!
(m-p)!p!
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
17 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comis-
sões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos 
nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos 
um novo agrupamento. É comum não utilizar todos os elementos para construção 
de novos grupos, uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um 
grupo (“A Ordem dos Elementos não Altera a Natureza”).
Respondendo pela fórmula, temos:
C11,5 = 
11!
(11-5)!5!
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o 
trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes 
imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassa-
gens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial 
ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informa-
ções, julgue o item.
8. (CESPE/PRF/AGENTE) Existem 12! / (3!)4 maneiras de se montar quatro equi-
pes, cada uma delas com 3 agentes.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
18 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Certo.
Esta questão trata da seguinte combinação 12.11.10
(3.2.1)
 9.8.7
(3.2.1)
 3.2.1
(3.2.1)
 , isto 
é, quatro equipes com 3 agentes, em que teremos, pelo Princípio Multiplicativo, as 
possibilidades multiplicadas no numerador e, como se trata de uma combinação, 
dividimos por fatorial 3 no denominador para retirar as equipes repetidas.
Pela fórmula, podemos ter:
C12,3. C9,3. C6,3 C3,3.
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o 
trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes 
imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassa-
gens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial 
ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informa-
ções, julgue o item.
9. (CESPE/PRF/AGENTE) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então, a partir 
dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se formar es-
sas equipes será superior a 200.
Certo.
A questão trata de uma combinação em que teremos 12.11.10
(3.2.1)
 = 220, isto é, uma 
equipe com 3 agentes em que há, pelo Princípio Multiplicativo, as possibilidades 
multiplicadas no numerador e, como se trata de combinação, dividimos por fatorial 
3 no denominador para retirar as equipes repetidas.
Pela fórmula, podemos ter: C12,3
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
19 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agen-
tes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas 
localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas 
equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por 
um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
10. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilita-
dos a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se 
organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais 
quatro passageiros – será superior a 100.
Certo.
São cinco posições pelo Princípio Multiplicativo. Dessa forma, temos:
______ x _______x _______x_______x______.
Para cada posição acima, temos o seguinte:
__5__ x __4___x __3___x__2___x__1___. = 120 Possibilidades
Podemos também concluir que se trata de uma permutação de 5 pessoas, isto é, 
P5= 5!
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
20 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
11. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as 
referidas equipes.
Errado.
Se as equipes devem ser formadas por um delegado, um perito, um escrivão e 
agentes, temos de realizar uma combinação:
C2,1. C2,1. C2,1. C4,2 = 48
Vimos que o princípio multiplicativo se torna fundamental e prático para a resolu-
ção das questões.
Dica do Padilha!
Nas questões que envolvem a formação de senhas, códigos, números, protocolos 
etc., temos uma observação importante referente à interpretação correta de uma 
questão. Por exemplo:
1. com os números (algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7}, quantos códigos (senhas) distin-
tos de 3 dígitos podem ser formados?
2. com os números (algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7}, quantos códigos (senhas) de 3 
dígitos distintos podem ser formados?
Qual a diferença entre os dois exemplos?
À primeira vista, parecem equivalentes, ainda mais durante a realização de uma 
prova, em que o candidato, às vezes, fica imperceptível a tais detalhes. Vamos in-
terpretar tais situações.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
21 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
1. Quando a questão solicita que as senhas sejam distintas, precisamos in-
terpretar senhas distintas e não dígitos distintos, uma vez que mesmo repetindo 
dígitos, os códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex.: os códigos 224 e 222 
repetem dígitos entre si, porém permanecem códigos (senhas) distintos. Assim, a 
resolução da questão será:
5 × 5 × 5 = 125 (códigos distintos de 3 dígitos).
Mesmo com a repetição de algarismos, os códigos permanecem distintos.
2. Quando a questão solicita que as senhas sejam formadas com dígitos distin-
tos, devemos interpretar que, além de senhas distintas, teremos dígitos distintos, 
uma vez que os códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex.: os códigos 243 e 
257 não repetem dígitos entre si, além de possuírem códigos (senhas) distintos. 
Assim, a resolução da questão será:
5 × 4 × 3 = 60 (códigos distintos de 3 dígitos).
Não há a repetição de algarismos e os códigos são também distintos.
12. (CESPE) Considere que se deseja produzir códigos de 7 caracteres, em que os 
3 primeiros caracteres sejam letras escolhidas entre as 26 do alfabeto e os 4 últi-
mos sejam algarismos, de 0 a 9. Com relação a essa construção de códigos, julgue 
os itens subsequentes1.
1 Gabarito: E; E.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
22 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
a) A quantidade de códigos que começam com a letra Z, terminam com o algaris-
mo 0 e têm todos os caracteres distintos é inferior a 300.000.
b) A quantidade de códigos distintos que começam com AMX é inferior a 104.
Neste instante, iremos estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Análise 
Combinatória.
1. Permutações
Ocorrem quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n 
elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, 
com repetição ou circulares.
1.1 Permutação Simples
São agrupamentos com todos os n elementos distintos.
Fórmula: P(n) = n!. Em que: n = número de elementos a serem permutados.
Cálculo para exemplo: P(5) = 5!= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Exemplo: seja C = {A, B, C} e n = 3. As permutações simples desses 3 elemen-
tos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em 
cada grupo, mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão 
no conjunto:
P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
23 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Treinando
Anagramas: é a formação de novas palavras com ou sem significado.
Responda com relação à palavra LÓGICA.
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam por G?
c) Quantos anagramas possuem as vogais juntas?
d) Quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética?
e) Quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética?
Gabarito
a) 720 b) 120 c) 144 d) 24 e) 120
Vimos que, na permutação, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS) do 
grupo, realizando uma permutação (troca) dos elementos, em que a ordem irá 
influenciar.
“A ORDEM ALTERA A NATUREZA”
13. (CESPE) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, 
matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, 
que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas 
como “Os doze trabalhos de Hércules”. Entre esses trabalhos, encontram-se: ma-
tar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. 
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
24 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em 
ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja 
totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja execu-
tado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia 
preparar, julgue os itens subsequentes.
a) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior 
a 12 × 10!
b) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Ne-
meia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.
c) O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Ceri-
neia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é 
inferior a 72 × 42 × 20 × 6.
d) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça 
de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qual-
quer ordem, é inferior a 6! x 8!.
a) C; b) C; c) E; d) C.
a) Certa.
“O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 
12 x 10!”
Pn = n! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12! (Número má-
ximo de diferentes listas).
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 > 12 x 10!
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/209540290743069125 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Simplificando dos dois lados da igualdade:
12 × 11 > 12
b) Certa.
“O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho ‘matar o leão de Ne-
meia’ na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.”
A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 1 (uma) possibilidade.
Capturar a corça
de Cerineia
Capturar o Javali
de Erimanto
1 × 10 × 1 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 > 72 x 42 x 20 x 6
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
1 × 4 × 3 × 2 × 1 < 240 
24 < 240
c) Errada.
“O número de possíveis listas contendo os trabalhos ‘capturar a corça de Cerineia’ 
na primeira posição e ‘capturar o javali de Erimanto’ na terceira posição é inferior 
a 72 × 42 × 20 × 6.”
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
1 × 10 × 1 × 1 < 1
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
26 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
d) Certa.
“O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos ‘capturar a corça de 
Cerineia’ e ‘capturar o javali de Erimanto’ nas últimas duas posições, em qualquer 
ordem, é inferior a 6! x 8!”
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 x 2 x 1 < 6! x 8!
Nas duas últimas posições, em qualquer ordem (a corça e o javali)
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
10 × 9 × 2 × 1 < 6!
10 × 9 × 2 × 1 < 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
180 < 720
14. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles, Caio e 
Beto – e seis meninas – entre elas, Ana e Beatriz – compram ingressos para nove 
lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz pre-
cisam sentar-se juntas, porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. 
Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos, porque querem compartilhar 
do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se 
juntas e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o nú-
mero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:
a) 1.920.
b) 1.152.
c) 960.
d) 540.
e) 860.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
27 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Letra a.
De acordo com a questão, sabemos que todos os meninos devem sentar-se juntos, 
como as meninas também, logo, façamos a seguinte ilustração:
H H H M M M M M M
Considerando que sejam 
Caio e Beto
Considerando que sejam
Ana e Beatriz
Sendo que Caio e Beto, assim como Ana e Beatriz, devam ficar sempre juntos, 
então consideraremos como se cada um dos dois sejam apenas um, ou seja, uma 
possibilidade.
Temos então:
H H M M M M M
2 × (2 × 1) × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × 2 = 960
Considerando que sejam Caio 
e Beto em qualquer ordem
Considerando que sejam Caio 
e Beto em qualquer ordem
Devemos ainda perceber que o resultado 960 deverá ser multiplicado por dois, 
devido à possibilidade de termos os homens e as mulheres juntos em qualquer 
ordem:
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
28 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
H M = 960
M H = 960
TOTAL = 1920
1.2 Permutação com Repetição
Dentre os m elementos do conjunto C = {x1, x2, x3,..., xn}, faremos a suposição 
que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3,... mn iguais a xn, de modo 
que m1+m2+m3+...+mn= m.
Fórmula
Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3)... C(mn,mn)
Anagrama
É a palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de 
posição.
Cálculo para exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4). 
C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARA-
RAT? A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. 
As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A, R, T} em 
agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos, que contêm a repetição de todos os 
elementos de C, aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos 
estão no conjunto:
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
29 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Pr={AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA, 
AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA, 
ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR}
Treinando
Com relação às palavras abaixo, calcule a quantidade de anagramas.
a) Quantos anagramas possui a palavra ANA?
b) Quantos anagramas possui a palavra ARARA?
c) Quantos anagramas possui a palavra CASA?
d) Quantos anagramas possui a palavra BANANA?
e) Uma prova de português é constituída de 10 questões em que 3 são verdadeiras 
e 7 são falsas. De quantas maneiras distintas esta prova pode ser respondida?
f) Para ter acesso a uma seção de uma repartição, os funcionários precisam digitar 
uma senha na portaria que é constituída por 5 dígitos, em que 3 são iguais a 1(um) 
e 2 são iguais a 0(zero). Quantas senhas distintas podem ser formadas seguindo tais 
exigências?
g) Considerando todas as possíveis permutações das letras da palavra “PROVAVEL-
MENTE”, quantas vezes esta palavra aparece?
Resposta: 3, 10, 12, 60, 120, 10, 12.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
30 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Vimos que, na permutação com repetição, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS 
E NÃO DISTINTOS) do grupo, realizando uma permutação (troca) dos elementos, em que a 
ordem irá influenciar parcialmente (algumas vezes, isto é, quando não for os elementos repe-
tidos). Agora, é importante ressaltar que alguns elementos são idênticos, o que não trará um 
novo agrupamento. Logo, devemos perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos 
retirar aqueles que se repetem.
“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS
NÃO ALTERA A NATUREZA”
15. (CESPE/ADAPTADA) A respeito de contagem, que constitui um dos principais 
fundamentos da matemática, julgue o item a seguir.
( ) O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas ape-
nas com as letras da palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a 108.
Errado.
A palavra PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, que, se forem permutadas, não 
formarão um novo anagrama. Logo, trata-se de permutação com letras repetidas.
Calculando, temos: 14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
3x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1
 
Haverá uma divisão para que possamos retirar as palavras que se repetem, e, de acordo com 
a quantidade de letras repetidas, iremos calcular o fatorial, por exemplo: (letra P: 3×2×1); 
(letra O: 2×1); (letra A: 2×1); (letra I: 2×1); (letra S: 2×1)
14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
3x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1 = 10
8
14×13×11×10×9×7×6×5×4×3×2×1< 108
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
31 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
16. (CESPE/ADAPTADA) Julgue o item que se segue quanto a diferentes formas de 
contagem.
Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, 
pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. 
Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e 
indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 
140 formas diferentes com essas faixas.Certo.
Na questão, temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas 
decorações, mas temos faixas de mesma cor, em que a troca de posição não pro-
duzirá decorações novas. Logo, é interessante fazermos uma analogia como uma 
palavra com letras repetidas, da seguinte maneira:
V – V V A A A B
Temos 7 letras (faixas) sendo permutadas: P7 = 7! = 7×6×5×4×3×2×1
Sabendo que algumas decorações são as mesmas (devido a algumas faixas serem 
iguais), temos de retirar essas decorações que se repetem. Assim, se o princípio 
utilizado é a multiplicação que gera os novos agrupamentos, logo temos de dividir 
para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira:
Número de decorações = 
7x6x5x4x3x2x1
3x2x1x3x2x1 , sendo que no denominador temos
(3x2x1(3!) que se refere às cores verdes que se repetem e logo após 3x2x1 (3!), 
que se referem às cores amarelas que se repetem.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
32 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Usaremos a seguinte estratégia: dividir pelo fatorial da quantidade de letras que 
se repetem. Isto é, temos nesta questão três letras “V” e três letras “A” repetidas.
Calculando, temos: 
7x6x5x4x3x2x1
3x2x1x3x2x1 = 140 formas diferentes de decorações.
1.3 Permutação Circular
A situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos forman-
do uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(n)=(n-1)!. Em que: (n-1) = número total de elementos a serem 
permutados.
Cálculo para exemplo: P(5)= 4!= 24
Exemplo: em um conjunto com 4 pessoas K={A, B, C, D}, de quantos modos 
distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser re-
tangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pes-
soas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, 
BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, 
CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA}
Acontece que junto a uma mesa “circular” temos que:
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
33 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
ABCD = BCDA = CDAB = DABC
ABDC = BDCA = DCAB = CABD
ACBD = CBDA = BDAC = DACB
ACDB = CDBA = DBAC = BACD
ADBC = DBCA = BCAD = CADB
ADCB = DCBA = CBAD = BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}
Vimos que, na permutação circular, a troca de alguns elementos não cria um novo agrupa-
mento. Então, deveremos retirar aqueles que se repetem.
“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS
NÃO ALTERA A NATUREZA”
17. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 
participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para 
se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.
Certo.
Nesta questão, temos uma permutação circular:
P6 = (6–1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
34 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
2. Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos (p < n) de forma que os p ele-
mentos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser 
simples ou com repetições.
Arranjo simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo 
de p elementos.
Fórmula: A(n,p) = n!(n-p)!
 , n = número total de elementos/
p = número de elementos a serem arranjados.
Cálculo para exemplo: A4,2 
4!
2! = 12 
Exemplo: seja Z = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 
elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer 
elemento, mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos 
estão no conjunto:
As = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}
Nesta aula, vimos algumas questões comentadas utilizando o princípio multiplicativo, em 
que os agrupamentos são realizados com elementos do conjunto, por meio da troca dos 
elementos. No caso do arranjo, para formar os agrupamentos, não serão utilizados todos os 
elementos do conjunto e é importante ressaltar que a cada nova ordem dos elementos do 
agrupamento, será formado um novo grupo (arranjo). Sendo assim, a ordem é importante.
“A ORDEM DOS ELEMENTOS
ALTERA A NATUREZA”
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
35 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
18. (CESPE/ADAPTADA) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para 
serem protocolados. Um assistente da promotoria deve formar os códigos dos pro-
cessos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3 primeiros caracteres 
são letras do conjunto {d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são números 
inteiros de 1024 a 1674.
Com base nessa situação, julgue o item subsequente.
( ) É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do 
código referente às 3 letras iniciais, sem que haja repetição de letra.
Errado.
Referente às três letras iniciais, temos o seguinte:
1º) Pela fórmula
Temos: n = 8, {d, f, h, j, l, m, o, q} e p = 3, {primeira parte do código}.
n!
(n-p)! = 
8x7x6x5!
(8-3)! = 
8x7x6x5!
5! = 8x7x6 = 336 
2º) Pelo princípio multiplicativo
8 × 7 × 6 = 336
Temos 8 possibilidades para a primeira posi-
ção, 7 possibilidades para a segunda e 6 
possibilidades para a terceira posição, uma 
vez que não há repetição de caracteres.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
36 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
19. (CESPE/BB/ADAPTADA) O número de países representados nos Jogos Pan-A-
mericanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 
3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas 
informações, julgue o item que se segue.
( ) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 
1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então 
o número de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi 
igual a 6.
Certo.
Referente às três primeiras posições:
1º) Pela fórmula
Temos: p = 3, {países da América do Norte} e n = 3, {três primeiras classificações}
n!
(n-p)! = 
3x2x1
(3-3)! = 
3x2x1
0 = 6, sabendo que 0! = 1
2º) Pelo princípio multiplicativo
3 × 2 × 1 = 6
Temos 3 possibilidades para a primeira posição, 2 
possibilidades para a segunda e 1 possibilidade para 
a terceira posição, uma vez que as possibilidades vão 
diminuindo, pois não há como um atleta ocupar duas 
posições simultaneamente.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
37 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
3. Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos (p < m), de forma que os p 
elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.
Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada 
grupo de p elementos.
Fórmula: Cm,p = 
m!
(m-p)!p! em que m = número total de elementos/
p = número de elementos a serem combinados 
Cálculo para exemplo: C4,2 = 
4!
(4-2)!2! 
Exemplo: seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 
4 elementos, tomados 2 a 2, são 6 grupos que não podem ter a repetição de qual-
quer elemento nem podem aparecer na ordemtrocada. Todos os agrupamentos 
estão no conjunto:
Cs= {AB, AC, AD, BC, BD, CD}
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comissões, turmas 
etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos nos quais a ordem não 
importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos um novo agrupamento.
É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez que, 
se forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo.
“A ORDEM DOS ELEMENTOS
NÃO ALTERA A NATUREZA”
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
38 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
20. Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez. Dessa 
forma, são possíveis quantos apertos de mão?
190.
Nessa questão, a ordem não altera a natureza, uma vez que, se a pessoa “A” cum-
primentar a pessoa “B”, não torna necessário a pessoa “B” cumprimentar a pessoa 
“A”. Para que haja um aperto de mão, são necessárias duas pessoas (p = 2).
Sendo assim, trata-se de combinação e podemos resolver de duas maneiras:
1ª) Pela fórmula
Cm,p = 
m!
(m-p)!p! = C20,2 = 
20!
(20-2)!2! = 
20x19x18!
18!2! = 
20x19
2x1 = 190 apertos 
de mão.
2ª) Sem fórmula
Para obter um aperto de mão, é necessária a presença de duas pessoas. Logo, ire-
mos utilizar dois espaços: “_____X_____”; e, para que possamos retirar os agru-
pamentos que se repetem, iremos dividir pelo fatorial da quantidade de espaços 
utilizados.
20x19
2x1 = 190, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, 
e 19 para a segunda pessoa. No denominador, temos 2 × 1, uma vez que repre-
senta o fatorial de 2 = 2!. O denominador tem a função de retirar os agrupamentos 
repetidos.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
39 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
21. Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os ou-
tros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia na reunião, 
se foram trocados 55 apertos de mão?
11 pessoas.
Esta questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de 
pessoas presentes na reunião.
Cx,2 = 55 Cx,2 = 
x!
(x-2)!2! = 
x.(x-1).(x-2)!
(x-2)!2! = 
x.(x-1)
2.1 = 55
x2 – x = 110 → equação do 2º grau. x2 – x – 110 = 0, resolvendo a equação teremos:
S {–10, 11}, logo, iremos considerar a solução positiva.
22. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas de um conjunto de 60 pos-
síveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02,..., 60). Uma aposta simples (ou aposta 
mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as 6 
dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as 
seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples 
para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza ma-
temática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8.
b) 28.
c) 40.
d) 60.
e) 84.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
40 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Letra b.
Esta questão trata-se de uma combinação, uma vez que a ordem dos números 
não altera a aposta. Pedro sonhou com 8 números, sendo que 6 fazem parte de 
uma aposta simples. Logo, podemos ter:
Cn,p = 
n!
(n-p)!p! = 
8!
(8-6)!6! = 
8!
2!6! = 
8x7x6!
2!x6! = 
8x7
2x1 = 28 apostas simples 
diferentes
(quantidade total)
23. (CESPE/ADAPTADA) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética 
seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens.
( ) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões com-
postas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situ-
ação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é 
superior a 12.
Errado.
A questão indica a formação de comissões, na qual a ordem dos integrantes não 
altera a natureza da comissão. Sendo assim, trata-se de combinação.
Cn,p = 
n!
(n-p)!p! = 
5!
(5-3)!3! = 
5!
2!3! = 
5x4x3!
2!x3! = 
5x4
2x1 = 10 Comissões distintas
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
41 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
AUTOAVALIAÇÃO
1. (CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador pre-
cisa digitar uma sequência de cinco símbolos distintos, formada de duas letras e 
três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da sequência em que apa-
recem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para 
acessar o arquivo é:
a) 240.
b) 216.
c) 120.
d) 360.
e) 200.
2. (CESGRANRIO) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 
supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 
supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes diferentes podem ser escaladas?
a) 15.120.
b) 3.780.
c) 840.
d) 630.
e) 510.
3. (CESGRANRIO) Em certa universidade, o número de matrícula dos estudantes 
é formado por 7 dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o pri-
meiro dígito não pode ser zero, o antepenúltimo indica em que semestre (primeiro 
ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da matrícula. Por exemplo, 
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
42 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
“4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu 
curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes matriculados num mesmo 
ano devem ter, obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o núme-
ro máximo de estudantes que podem ser matriculados em 2008?
a) 6.046.
b) 9.000.
c) 10.080.
d) 18.000.
e) 20.000.
4. (CESGRANRIO) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar telefones 
de 8 dígitos, que comecem por 9 e tenham como segundo dígito um algarismo 
menor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima de números telefônicos que essa 
operadora pode habilitar em uma mesma cidade?
a) 3 × 106.
b) 4 ×106.
c) 5 × 106.
d) 4 ×C9,6.
e) 5 × C9,6.
5. (CESGRANRIO) Certo campeonato estadual de futebol será realizado com 14 
clubes divididos em dois grupos iguais. Dentro de cada grupo todos os times se 
enfrentarão uma única vez. Em seguida, serão realizadas as partidas semifinais, 
quando o primeiro colocado de cada grupo enfrentará o segundo colocado do outro 
grupo. A final será realizada com os vencedores desses dois jogos. No total, quan-
tos jogos serão realizados nesse campeonato?
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
43 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
a) 87.
b) 84.
c) 65.
d) 45.
e) 42.
6. (2015/CESGRANRIO/PETROBRAS) Durante o intervalo, alguns alunos jogam um 
torneio de pingue-pongue no qual quem perde uma partida é eliminado. Cada 
partida é disputada por dois alunos e há somente uma mesa de pingue-pongue 
na escola. Para que esse torneio termine exatamente na hora em que o intervalo 
termina, cada partida deve ter, exatamente, 3 minutos. Além disso, as regras do 
torneio são estabelecidas de modo a não ocorrer empate nas partidas.
Se o intervalo dura 30 minutos, quantos alunos disputam o torneio?
a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
e) 6
7. (2013/CESGRANRIO/BNDES) Compareceram a uma festa exatamente 20 ho-
mens com suas respectivas esposas.
Quantospares (A, B) podem ser formados, de maneira que A é um homem, B é 
uma mulher e A não é casado com B?
a) 20
b) 40
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
44 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
c) 210
d) 380
e) 400
8. (2013/CESGRANRIO/BNDES) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas 
delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas.
De quantas formas diferentes essas pessoas podem-se enfileirar?
a) 48
b) 50
c) 52
d) 54
e) 56
9. (2011/CESGRANRIO/TRANSPETRO) Deseja-se identificar cinco vagas de um es-
tacionamento para uso da diretoria de uma empresa, cada uma com uma cor. En-
tretanto, há restrições: as vagas estão dispostas linearmente e são adjacentes, só 
há três cores diferentes no almoxarifado e duas vagas consecutivas não podem ter 
a mesma cor.
De quantas maneiras essa identificação é possível?
a) 15
b) 32
c) 48
d) 125
e) 243
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
45 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
10. (2011/CESGRANRIO/PETROBRAS) O gerente de um projeto quer dividir sua 
equipe, que é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro pessoas cada um. 
Entretanto, duas dessas pessoas, João e Maria, por questões de perfil profissional, 
serão colocadas em grupos diferentes. O número de maneiras distintas que esse 
gerente tem para dividir sua equipe segundo a forma descrita é
a) 930
b) 3.720
c) 4.200
d) 8.640
e) 12.661
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
46 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
GABARITO
1. c
2. d
3. d
4. c
5. d
6. a
7. d
8. a
9. c
10. c
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
47 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
DESAFIO – COMENTÁRIO
Temos que, na questão, há uma caixa fechada com nove bolas, sendo três brancas, 
três azuis e três verdes. O participante responde nove perguntas do apresentador 
e, a cada resposta correta, retira uma bola da caixa. O participante, que só identifi-
ca a cor da bola após retirá-la da caixa, ganha o prêmio do programa se conseguir 
retirar da caixa pelo menos uma bola de cada cor. Para que o participante tenha 
certeza de que ganhará o prêmio, independentemente de sua sorte ao retirar as 
bolas da caixa, deverá responder corretamente, no mínimo:
a) 3 perguntas.
b) 5 perguntas.
c) 6 perguntas.
d) 7 perguntas.
e) 9 perguntas.
Vamos observar que não se pede uma chance, ou seja, probabilidade, e sim uma 
certeza; logo, temos uma questão com aplicação do Princípio da Casa dos Pombos, 
ou, como eu costumo dizer, método da pior hipótese.
Segundo o método, temos de retirar bolas de mesma cor, pois se deseja uma de 
cada cor, isto é, cores diferentes.
Desta forma, a pior hipótese seria 3 bolas de uma das cores, depois 3 de uma outra 
cor e precisamos de somente mais uma para que tenhamos uma bola de cada cor.
Solução: 3 + 3 + 1 = 7 bolas.
Resposta: letra “d”.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
48 de 48
MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Prof. Josimar Padilha
https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
Mostre que você aprendeu com esse desafio e faça uma questão da CES-
GRANRIO.
1. (2013/CESGRANRIO/BR DISTRIBUIDORA) Dentro de um saco há 24 balas, to-
das indistinguíveis, a não ser por seus sabores: 6 são de morango, 8 de caramelo 
e 10 de hortelã. Uma pessoa coloca a mão dentro do saco e pega n balas.
Para que essa pessoa tenha certeza de que pegou pelo menos duas balas de hor-
telã, o menor valor de n deverá ser2
a) 4
b) 10
c) 16
d) 18
e) 20
2 Gabarito: c.
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
http://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691