Sistemas de numeração

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Sistemas de numeração 
 
Os sistemas de numeração são usados para representar a 
quantidade de determinados elementos. O sistema mais usado pelas 
pessoas é o decimal. Esse sistema é formado por 10 algarismos. 
Para a eletrônica digital e sistemas de computação os sistemas 
binário, hexadecimal e octal são muito utilizados. 
Entender as diferentes formas de representação numérica é muito 
importante para se trabalhar com eletrônica e programação. A seguir 
apresentaremos os detalhes de cada um desses sistemas de 
numeração mencionados. 
Sistema de numeração decimal 
O sistema de numeração decimal utiliza 10 algarismos para sua 
representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Para formar um número, associa-se um ou mais algarismos, e a 
posição de cada algarismo terá um peso de uma potência de 10. 
Dessa forma temos as unidades, dezenas, centenas e milhares. 
Cada posição terá um peso na representação: 
 
Como exibido na figura acima, o sistema decimal é representado na 
base 10 e cada posição é múltiplo de uma potência de 10. A seguir 
são apresentados alguns exemplos: 
 
 
 
 
Número 523: 
5 2 3 
Centena dezena unidade 
5 x 102 2 x 101 3 x 100 
500 20 3 
500+20+3 = 523 
 
 
Número 8079: 
8 0 7 9 
milhar Centena dezena unidade 
8 x 103 0 x 102 7 x 101 9 x 100 
8000 0 70 9 
8000+0+70+9 = 8079 
 
 
Sistema de numeração Hexadecimal 
O sistema de numeração hexadecimal utiliza 16 algarismos para sua 
representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Assim 
como no sistema decimal, a associação dos algarismos representa 
diferentes números e a posição do algarismos será um múltiplo de 
potência de 16. Assim, o sistema hexadecimal é um sistema de base 
16. Podemos fazer uma relação entre o sistema hexadecimal e o 
sistema decimal, como exibido na tabela abaixo: 
Decimal Hexadecimal 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
7 7 
8 8 
9 9 
10 A 
11 B 
12 C 
13 D 
14 E 
15 F 
 
A seguir é exibida a representação de um número hexadecimal: 
 
Como exibido figura acima, o sistema hexadecimal é representado 
na base 16 e cada posição é múltiplo de uma potência de 16. A 
seguir são apresentados alguns exemplos: 
Número 1FH: 
1 F 
1 X 161 15 X 160 
16 15 
16 + 15 = 31 decimal 
 
Número ABCH: 
A B C 
10 x 162 11 X 161 12 X 160 
2560 176 12 
2560 + 176 + 12 = 2748 decimal 
 
Sistema de numeração Octal 
O sistema de numeração octal utiliza 8 algarismos para sua 
representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Assim, o sistema octal possui 
base 8. A seguir é apresentada a representação de um número octal: 
 
Como exibida figura acima, o sistema octal é representado na base 
8 e cada posição é múltiplo de uma potência de 8. A seguir são 
apresentados alguns exemplos: 
 
Número 1238: 
1 2 3 
1 x 82 2 X 81 3 X 80 
64 16 3 
64 + 16 + 3 = 83 decimal 
 
 
Número 108: 
1 0 
1 X 81 0 X 80 
8 0 
8 + 0 = 8 decimal 
 
Sistema de numeração binário 
O sistema de numeração binário utiliza apenas dois algarismos para 
sua representação: 0 e 1. Assim é um sistema de base 2. Ele é muito 
usado para representação de valores em sistemas digitais. O seu 
conhecimento é muito importante para a área de eletrônica. A seguir 
é apresentada sua representação: 
 
Como exibido figura acima, o sistema binário é representado na base 
2 e cada posição é múltiplo de uma potência de 2. A seguir são 
apresentados alguns exemplos: 
Número 102: 
1 0 
1 X 21 0 X 20 
2 0 
2 + 0 = 2 decimal 
 
 
Número 10102: 
1 0 1 0 
1 X 23 0 X 22 1 X 21 0 X 20 
8 0 2 0 
8+0+2 + 0 = 10 decimal 
 
Número 111111112: 
1 1 1 1 1 1 1 1 
1 X 27 1 X 
26 
1 X 
25 
1 X 
24 
1 X 
23 
1 X 
22 
1 X 
21 
1 X 
20 
128 64 32 16 8 4 2 1 
128+64+32+16+8+4+2+1 = 255 
decimal 
 
 
Resumo das equivalências entre os sistemas de numeração 
decimal, hexadecimal, octal e binário 
Decimal Hexadecimal Octal Binário 
0 0 0 0000 
1 1 1 0001 
2 2 2 0010 
3 3 3 0011 
4 4 4 0100 
5 5 5 0101 
6 6 6 0110 
7 7 7 0111 
8 8 10 1000 
9 9 11 1001 
10 A 12 1010 
11 B 13 1011 
12 C 14 1100 
13 D 15 1101 
14 E 16 1110 
15 F 17 1111 
 
Conversão de binário para decimal 
Como já vimos no artigo anterior, o sistema binário só possui 2 
algarismos. Cada posição tem um peso de uma potência de 2 (base 
do sistema binário). Sendo assim, para se converter um número de 
binário para decimal, deve-se multiplicar cada bit pela potência de 
sua posição e somar os resultados. 
Por exemplo, a conversão do número 10112 para decimal é feita da 
seguinte forma: 
Binário 1 0 1 1 
Valor da posição 1 X 23 0 X 22 1 X 21 1 X 20 
8 0 2 1 
Resultado 8+0+2 + 1 = 11 decimal 
 
Conversão de decimal para binário 
Para realizar a conversão de decimal para binário, realiza-se a 
divisão sucessiva por 2 (base do sistema binário). O resultado da 
conversão será dado pelo último quociente (MSB) e o agrupamento 
dos restos de divisão será o número binário. 
Por exemplo, vamos converter o número 45 em binário: 
 
A leitura do resultado é feita do último quociente para o primeiro 
resto. Sendo assim, o resultado da conversão do número 45 para 
binário é: 1011012. 
Conversão de hexadecimal para decimal 
A conversão de hexadecimal para decimal segue o mesmo princípio 
apresentado para o sistema binário. Multiplica-se cada dígito pela 
potência de 16 relativa à posição e somam-se os resultados: 
Por exemplo, a conversão do número 12C16 para decimal: 
Hexadecimal 1 2 C 
Valor da posição 1 x 162 2 X 161 12 X 160 
256 32 12 
Resultado 256 + 32 + 12 =300 decimal 
 
 
Conversão de decimal para hexadecimal 
Para converter um número decimal em hexadecimal realiza-se a 
divisão sucessiva por 16 (base do sistema hexadecimal), 
semelhante à conversão de decimal para binário. 
Por exemplo, vamos converter o número 438 em hexadecimal: 
 
O resultado é lido da direita para a esquerda a partir do último 
quociente. Assim. 438 é igual a 1B616. 
Note que o resto da segunda divisão foi o número 11, que 
corresponde ao número B em Hexadecimal. 
Conversão de octal para decimal 
A conversão de octal para decimal segue o mesmo princípio 
apresentado para o sistema hexadecimal e binário. Nesse caso, 
multiplica-se cada dígito pela potência de 8 relativa à posição e 
somam-se os resultados: 
Por exemplo, a conversão do número 1238 para decimal: 
Hexadecimal 1 2 3 
Valor da posição 1 x 82 2 X 81 3 X 80 
64 16 3 
Resultado 64 + 16 + 3 = 83 decimal 
 
Conversão de decimal para octal 
Para converter um número decimal em octal realiza-se a divisão 
sucessiva por 8 (base do sistema octal), semelhante às conversões 
apresentadas para os sistemas binário e hexadecimal. 
 
Por exemplo, vamos converter o número 246 para octal: 
 
O resultado é lido da direita para a esquerda a partir do último 
quociente. Assim, 246 é igual a 3668. 
 
Conversão de octal em binário e de binário para octal 
A conversão de octal para binário é feita convertendo dígito a dígito 
de octal em binário, da direita para a esquerda. Cada digito é 
convertido para um grupo de 3 bits, conforme tabela a seguir: 
Octal Binário 
0 000 
1 001 
2 010 
3 011 
4 100 
5 101 
6 110 
7 111 
 
Para entender esse processo, vamos converter o número 17548 
para binário: 
1 7 5 4 
001 111 101 100 
17548 = 0011111011002 
 
 
Para conversão de binário em octal, faz-se o processo inverso, ou 
seja, separa-se o número em grupo de 3 bits (a partir da direita) e 
converte cada grupo no octal correspondente. 
 
Vamos converter o número 110010002 em octal: 
011 001 000 
3 1 0 
110010002 = 3108 
 
Conversão de hexadecimal para binário e de binário para 
hexadecimal 
A conversão de hexadecimal para binário também segue o princípio 
de conversão digito a digito. Separa-se cada dígito hexadecimal e o 
converte para binário, conforme a tabela a seguir: 
Hexadecimal Binário 
0 0000 
1 0001 
2 0010 
3 0011 
40100 
5 0101 
6 0110 
7 0111 
8 1000 
9 1001 
A 1010 
B 1011 
C 1100 
D 1101 
E 1110 
F 1111 
 
Cada dígito hexadecimal é convertido para um número em binário 
composto por 4 bits. Para exemplificar esse processo, vamos 
converter o número AD4516: 
Hexadecimal A D 4 5 
Conversão 1010 1101 0100 0101 
Resultado AD4516 = 10101101010001012 
O processo de conversão de binário para hexadecimal é feito de 
forma inversa. Separa-se o número em grupos de 4 bits (a partir da 
direita) e converte para o número hexadecimal correspondente, 
conforme a tabela. Assim, vamos converter o número 
1110010011112 para hexadecimal: 
Binários 1110 0100 1111 
Conversão E 4 F 
Resultado 1110010011112= E4F16 
 
 
Os procedimentos apresentados acima auxiliam no processo de 
conversão entre sistemas de numeração. É interessante entender 
os procedimentos apresentados e aplicá-los. Hoje é fácil usar 
calculadoras e programas para conversão, porém é importante 
entender e saber realizar tais conversões sem o uso de 
ferramentas. Com o uso esse processo de conversão entre 
sistemas de numeração torna-se natural.