AP2-EAR-2019-2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Elementos de Análise Real – 2/2019
Código da disciplina EAD01067
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
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• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
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mento que sirva para cálculo como também qualquer
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Questão 1 [2,0 pontos]:
Escreva matematicamente a definição do limite de uma função g : X → R num ponto de acu-
mulação x0 do seu doḿınio X ser igual a L ∈ R. Em seguida use essa definição para mostrar que
lim
x→1
(−3x+ 5) = 2.
Solução
∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que se x ∈ X e 0 < |x− x0| < δ então |g(x)− L| < ε.
Seja ε > 0. Seja δ = ε3 . Se x ∈ X e 0 < |x − 1| < δ então |x − 1| <
ε
3 . Multiplicando por 3 e
por propriedade do valor absoluto (módulo) teremos o seguinte: |3x − 3| < ε, que é equivalente a
| − 3x+ 3| = | − 3x+ 5− 2| < ε.
Assim para f(x) = −3x + 5 e L = 2 ficou provado o seguinte: se x ∈ X e 0 < |x − 1| < δ = ε3
então |f(x)− L| < ε.
Questão 2 [3,0 pontos]: Considere as funções sen(x), sen( 1
x
), e xsen( 1
x
) definidas no conjunto
dos reais positivos R∗+ .
(a) [1,0 pts] Use o critério sequencial para mostrar que não existe o limite lim
x→∞
sen(x).
(b) [1,0 pts] Use o critério sequencial para mostrar que não existe o limite lim
x→0+
sen
( 1
x
)
.
Elementos de Análise Real AP2 2/2019
(c) [1,0 pts] É correto dizer que existe o limite lim
x→0+
x sen
( 1
x
)
? Justifique.
Solução
(a) Considere as duas sequências dadas pelos termos gerais xn = 2nπ e yn = 2nπ + π2 .
Como o limite a ser discutido é no infinito, observamos que lim
n→∞
xn =∞ e também lim
n→∞
yn =∞.
Temos que sen(xn) = sen(2nπ) = sen(0) = 0 para todo n. Como essa sequência de imagens é
constante, igual a 0, seu limite é 0.
Temos que sen(yn) = sen(2nπ + π2 ) = sen(
π
2 ) = 1 para todo n. Como essa sequência de imagens é
constante, igual a 1, seu limite é 1.
Logo temos duas sequências com limite infinito tais que as sequências das suas imagens pela função
seno têm limites diferentes. Pelo critério sequencial isto implica que não existe o limite no infinito
para a função seno.
(b) Considere as duas sequências dadas pelos termos gerais an = 1xn =
1
2nπ e bn =
1
yn
= 12nπ+π2 .
Sabemos que lim
n→∞
xn =∞ e também lim
n→∞
yn =∞. Por resultado anterior de sequências, vale que
lim
n→∞
an = 0 e também lim
n→∞
bn = 0.
Temos que sen( 1
an
) = sen(2nπ) = 0 e que sen( 1
bn
) = sen(2nπ + π2 ) = 1 para todo n.
Logo temos duas sequências com limite zero tais que as sequências das suas imagens pela função
sen( 1
x
) têm limites diferentes. Pelo critério sequencial isto implica que não existe o limite lim
x→0+
sen
( 1
x
)
.
(c) Sabemos que lim
x→0+
x = 0. Sabemos também que −1 ≤ sen
(
1
x
)
≤ 1, ou seja sen
(
1
x
)
é uma
função limitada. Pelo teorema do confronto vale que lim
x→0+
xsen
( 1
x
)
= 0
Questão 3 [3,0 pontos]: Considere a função h(x) = x1 + x definida em R
∗
+ .
(a) [0,5 pt] Mostre que dados quaisquer x e x0 positivos vale que 0 <
1
(1 + x)(1 + x0)
< 1.
(b) [1,0 pt] Mostre que dados quaisquer x e x0 positivos vale que |h(x)− h(x0)| < |x− x0|
(c) [0,5 pt] Mostre que h é função Lipschitz em R∗+ com constante C = 1.
(d) [1,0 pt] É correto afirmar que a função h é uniformemente cont́ınua em R∗+? Justifique.
Solução
(a) Temos que 0 < 1 < (1 +x)(1 +x0). Dividindo por (1 +x)(1 +x0) teremos 0 < 1(1+x)(1+x0) < 1.
(b) Teremos que
|h(x)− h(x0)| =
∣∣∣∣ x1 + x − x01 + x0
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣x+ xx0 − x0 − x0x(1 + x)(1 + x0)
∣∣∣∣∣ = |x− x0|
∣∣∣∣∣ 1(1 + x)(1 + x0)
∣∣∣∣∣
Pelo item anterior temos que 0 < 1(1 + x)(1 + x0)
< 1. Logo, |h(x)− h(x0)| < |x− x0|
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Elementos de Análise Real AP2 2/2019
(c) Pelo item anterior, |h(x)− h(y)| < 1 · |x− y|, para quaisquer x e y ∈ R∗+. Isso implica que h é
função Lipschitz em R∗+ com constante C = 1.
(d) Correto. Por resultado anterior, sabemos que toda função Lipschitz é uniformemente cont́ınua.
Questão 4 [2,0 pontos]:
Considere uma função g : R→ R decrescente, ou seja, se x2 > x1 então g(x2) < g(x1).
(a) [1,0 pt] Considere x 6= x0. Mostre que x− x0 tem o sinal oposto ao de g(x)− g(x0). Conclua
dáı que
g(x)− g(x0)
x− x0
é sempre negativo.
(b) [0,5 pts] Suponha agora que g é derivável em todo R. Escreva a definição de derivada de g num
ponto x0 ∈ R, usando um limite.
(c) [0,5 pts] Dê exemplo de uma função decrescente num intervalo, cuja derivada é zero em algum
ponto.
Solução
a) Se x− x0 > 0 então x > x0 o que implica g(x) < g(x0) e dáı g(x)− g(x0) < 0.
Se x − x0 < 0 então x0 > x o que implica g(x0) < g(x) e dáı 0 < g(x) − g(x0). Nos dois casos
os sinais de x− x0 e g(x)− g(x0) são opostos. Como x 6= x0, segue que o quociente
g(x)− g(x0)
x− x0
existe e é sempre negativo.
b) g′(x0) = lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
.
c) Considere a função decrescente f(x) = −x3. Temos que f ′(x) = −3x2 e f ′(0) = 0.
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