AD1-FAR_2021-2 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Questões da AD1 - Fundamentos de Análise Real - 2o/2021
1. [3,0pt] Mostre que, dado qualquer n ∈ N, a equação x2 = 8n− 6 não tem solução x ∈ Q.
2. [4,0pt] Use o PIM, mencionando explicitamente seus cinco passos, para mostrar que, para
todo n ∈ N, vale o seguinte:
n∑
j=1
8j + 2
(2j − 1)2j(2j + 1)(2j + 2) =
1
2 −
1
(2n + 1)(2n + 2) ·
3. [3,0pt] Considere A ⊂ R e B ⊂ R subconjuntos não vazios. Para cada item, se a resposta
for afirmativa, justifique; se sua resposta for “não”, dê um contraexemplo para justificá-la.
(a) Se A e B são finitos, podemos garantir que a união A ∪B possui ı́nfimo em R?
(b) Se A e B são finitos, podemos garantir que a interseção A ∩B possui supremo em R?
(c) Existem A e B infinitos e enumeráveis cuja união A ∪B possui supremo em R?
(d) Se A e B são infinitos e não-enumeráveis, podemos garantir que a união A ∪ B não
possui ı́nfimo em R?
1. Solução Suponha, por absurdo, que existe tal x em Q. Então existem p, q ∈ Z tais que
q 6= 0, com p e q sem divisores comuns e x = pq . Dáı, se x
2 = 8n − 6 = 2(4n − 3), então
p2 = 2(4n−3)q2. Assim, p2 é par, e portanto p é necessariamente par. Seja p = 2m, m ∈ Z.
Consequentemente, 4m2 = 2(4n − 3)q2, ou seja 2m2 = (4n − 3)q2. Como 4n − 3 é ı́mpar,
segue que q2 é par; dáı q é par. Portanto, p e q são pares o que é uma contradição com a
propriedade de não possúırem divisores comuns.
Esta contradição mostra que a suposição da existência de um x = pq satisfazendo x
2 = 8n−6
é absurda. Conclui-se que a equação x2 = 8n− 6 não possui solução x ∈ Q.
2. Solução Seja aj =
8j + 2
(2j − 1)2j(2j + 1)(2j + 2) · Propriedade P[n] :
n∑
j=1
aj =
1
2 −
1
(2n + 1)(2n + 2) ·
Validade de P [n0]: Se n0 = 1, o lado esquerdo é 8+21·2·3·4 =
10
24 e o direito
1
2−
1
12 =
12−2
24 =
10
24 .
Hipótese indutiva: fixado um k ∈ N arbitrário, vale P [k] :
k∑
j=1
aj =
1
2 −
1
(2k + 1)(2k + 2) ·
Passo indutivo: partindo da HI, com argumentação lógica e procedimentos algébricos, ob-
temos P [k + 1].
O membro direito de P [k + 1] é 12 −
1
(2k+3)(2k+4) · Somando
1
(2k+1)(2k+2) −
1
(2k+3)(2k+4) em
P [k], vem:
k∑
j=1
aj −
1
(2k + 3)(2k + 4) +
1
(2k + 1)(2k + 2) =
1
2 −
1
(2k + 3)(2k + 4) ;
k∑
j=1
aj +
(2k + 3)(2k + 4)− (2k + 1)(2k + 2)
(2k + 1)(2k + 2)(2k + 3)(2k + 4) =
1
2 −
1
(2k + 3)(2k + 4) ;
k∑
j=1
aj +
8k + 10
(2k + 1)(2k + 2)(2k + 3)(2k + 4) =
1
2 −
1
(2k + 3)(2k + 4) ·
Note que, no membro esquerdo, a fração é ak+1. Assim, a igualdade que provamos acima é
P [k + 1].
Conclusão: mostrou-se que: fixado k ∈ N arbitrário, se P [k] é verdadeira então P [k + 1]
é verdadeira. Das etapas acima acima, pode-se concluir pelo PIM que a propriedade P [n] é
válida ∀n ∈ N.
3. Solução
(a) Sim. Como A e B são finitos e não-vazios, a união A∪B ⊂ R é um conjunto finito e
não vazio. Dáı A ∪B possui um menor elemento, que é também seu ı́nfimo.
(b) Não. Pode ocorrer que A ∩ B = ∅ e o conjunto vazio não possui supremo em R.
Exemplo: A = {1, 2} e B = {3, 4}.
(c) Sim. Exemplo: A = { 1n , n ∈ N}, B = {1 −
1
n , n ∈ N} são conjuntos infinitos e
enumeráveis. Ambos são limitados por 0 e 1 e portanto o conjunto formado pela união
A ∪B também é limitado por 0 e 1. O supremo de A ∪B existe e é igual a 1.
(d) Não. Dados a < b ∈ R, um intervalo fechado [a, b] é um conjunto de números reais
que é infinito e não enumerável. Se A = [0, 1] e B = [1, 2], então A ∪ B = [0, 2] e o
ı́nfimo da união existe e é 0.