Prova de Macroeconomia 1

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AVALIAÇÃO DE MACROECONOMIA 
Nome: Ronaldo Torres. 
 
A partir da restrição podemos chegar na poupança do indivíduo: 
𝑐𝑡 = 𝑦𝑡 − (
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟
− 𝑎𝑡) 
𝑐𝑡 = 𝑦𝑡 −
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟
+ 𝑎𝑡 
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟
= 𝑦𝑡 + 𝑎𝑡 − 𝑐𝑡 
𝑎𝑡+1 = (1 + 𝑟)(𝑦𝑡 + 𝑎𝑡 − 𝑐𝑡) 
Em que a variável de estado é 𝑎𝑡 e as variáveis de controle são 𝑐𝑡 𝑒 𝑎𝑡+1 
Construindo o Bellman: 
Primeiro inserimos restrição à função utilidade no problema de maximização 
𝑚𝑎𝑥
𝑎𝑡+1
𝐸0 ∑ 𝛽
𝑡 (
(𝑦𝑡 − (
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟 − 𝑎𝑡)
)
1−𝜎
1 − 𝜎
)
∞
𝑡=0
 
A equação de bellman é: 
𝑉(𝑎𝑡) = 𝑚𝑎𝑥
𝑎𝑡+1
{
(𝑦𝑡 − (
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟 − 𝑎𝑡)
)
1−𝜎
1 − 𝜎
+ 𝛽EV(at+1)} 
 
𝑉(𝑎𝑡+1) = 𝑚𝑎𝑥
𝑎𝑡+2
{
(𝑦𝑡+1 − (
𝑎𝑡+2
1 + 𝑟 − 𝑎𝑡+1)
)
1−𝜎
1 − 𝜎
+ 𝛽𝐸𝑉(𝑎𝑡+2)} 
 
b) Resolva o problema e encontre a equação de Euler correspondente 
Resolvendo as C.P.O.s 
Para 𝑉′(𝑎𝑡) 
(1 − 𝜎) (𝑦𝑡 − (
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟 − 𝑎𝑡)
)
1−𝜎−1
(−
1
1 + 𝑟)
1 − 𝜎
+ 𝛽E𝑉′(at+1) = 0 
Simplificando 
 
(𝑦𝑡 − (
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟
− 𝑎𝑡))
−𝜎
(
1
1 + 𝑟
) = 𝛽E𝑉′(at+1) 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑡 = 𝑦𝑡 − (
𝑎𝑡+1
1 + 𝑟
− 𝑎𝑡) , 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟: 
 𝑐𝑡
−𝜎 (
1
1 + 𝑟
) = 𝛽E𝑉′(at+1) (1) 
 
Agora para 𝑉′(𝑎𝑡+1) 
 
𝑉′(𝑎𝑡+1) = 
(1 − 𝜎) (𝑦𝑡+1 − (
𝑎𝑡+2
1 + 𝑟 − 𝑎𝑡+1)
)
1−𝜎−1
1 − 𝜎
 
 
𝑉′(𝑎𝑡+1) = (𝑦𝑡+1 − (
𝑎𝑡+2
1 + 𝑟
− 𝑎𝑡+1))
−𝜎
 
 
Supondo que 𝑐𝑡+1 = 𝑦𝑡+1 − (
𝑎𝑡+2
1+𝑟
− 𝑎𝑡+1) temos que: 
𝑉′(𝑎𝑡+1) = (𝑐𝑡+1)
−𝜎 (2) 
Agora substituindo a equação (2) na equação (1) 
𝑐𝑡
−𝜎 (
1
1 + 𝑟
) = 𝛽(𝑐𝑡+1)
−𝜎 
Reajustando os termos: 
𝑐𝑡
−𝜎
(𝑐𝑡+1)−𝜎
= 𝛽(1 + 𝑟) 
Tendo 𝛽 = 1/(1 + 𝛾) 
 
(
𝑐𝑡+1
𝑐𝑡
)
𝜎
=
(1 + 𝑟)
(1 + 𝛾)
 
Logo temos: 
𝑐𝑡+1
𝑐𝑡
= (
1 + 𝑟
1 + 𝛾
)
1
𝜎
 
c) De acordo com a equação de Euler encontrada, em que situações o indivíduo 
representativo aumentaria seu consumo futuro em detrimento do consumo 
presente? Discorra sobre como o governo pode alterar a troca intertemporal de 
consumo entre as pessoas com base nos seus resultados. 
Dado que: 
𝑐𝑡+1
𝑐𝑡
= (
1 + 𝑟
1 + 𝛾
)
1
𝜎
 
Desta maneira se 
↓ r ⟹ (
𝑐𝑡+1
𝑐𝑡
) ↓ 
Se a taxa de juros 𝑟 reduzir, isso fara com que o consumo presente aumente em detrimento do 
consumo futuro, dessa forma o governo pode assumir papel importante na economia para suavizar 
as flutuações do consumo na economia em relação ao comportamento de 𝛾. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Quais são as diferenças fundamentais entre o modelo de solow, o modelo básico 
de crescimento de poupança endógena, e o modelo de básico de ciclo reais de 
negócios 
O modelo de solow: é dividido entre o comportamento das famílias e das firmas, 
em que o comportamento das famílias pode ser caracterizado a partir de regras de decisão 
ad hoc (poupança exógena) e uma restrição orçamentária “ de certa forma as famílias não 
tomam decisões ótimas, considerando que não há um problema de maximização da 
utilidade”, considerando que a renda da família será igual a soma da renda do trabalho e 
da renda do capital com a restrição rtkt + wtht = ct + st, em que 𝑟𝑡 é a remuneração do 
capital; 𝑘𝑡 representa o total de capital que uma família possui; 𝑤𝑡 é o salário real; ℎ𝑡 
horas trabalhadas pela família; 𝑐𝑡 o consumo da família e 𝑠𝑡 a poupança. 
 Já as firmas apresentam rendimentos decrescentes de escala e retornos constantes. 
Com os únicos fatores de produção existentes são capital 𝐾𝑡 e trabalho 𝐿𝑡 sendo ela 𝑄𝑡 =
𝐹(𝐾𝑡, 𝐿𝑡) em que 𝑄𝑡 representa a função produção agregada e F é uma função continua e 
diferenciável duas vezes com a derivada parcial de F em relação a K maior do que zero e 
derivada parcial de F em relação a L maior do que zero, enquanto as suas respetivas 
derivadas segundas ambas são menores do que zero. e crescente e estritamente concava. 
Além disso F é homogênea de grau um 𝐹(𝜆𝐾, 𝜆𝐿) = 𝜆𝐹(𝐾, 𝐿). 
No Modelo de Solow, ao longo da trajetória de crescimento equilibrado, o produto 
por trabalhador e o capital por trabalhador, crescem ambos à taxa do progresso 
tecnológico exógeno. O modelo com tecnologia revela que o progresso tecnológico é a 
fonte do crescimento per capita sustentado. O modelo de solow recorre a diferenças nas 
taxas de investimento, nas taxas de crescimento populacional e nas diferenças exógenas 
na tecnologia para explicar diferenças na renda per capita. 
O modelo básico de crescimento de poupança endógena: é uma extensão do 
modelo de solow, porem rejeita a suposição básica de que o progresso tecnológico é 
exógeno. Começa com uma função de produção simples: Y = AK, onde Y é a saída, K é 
o estoque de capital, e A é uma constante medindo a quantidade de produção produzida 
para cada unidade de capital (notando que esta função produção não tem retornos 
decrescentes para o capital). Uma unidade extra de capital produz unidades extras de 
produção, independentemente de quanto capital existe. Essa ausência de rendimentos 
decrescentes para o capital é a diferença chave entre este modelo de crescimento 
endógeno e o Solow modelo. No modelo de Solow, a poupança leva ao crescimento 
temporariamente, mas retornos decrescentes para o capital eventualmente forçam a 
economia a aproximar-se de um estado estacionário em que o crescimento depende 
apenas do exógeno progresso tecnológico. Em contraste, neste modelo de crescimento 
endógeno, poupança e investimento pode levar a um crescimento persistente. 
Já o modelo de básico de ciclo reais de negócios (RBC) se diferencia dos demais 
por explicar os ciclos econômicos a partir de um modelo microfundamentado, nos 
modelos anteriores se supunha que a oferta de trabalho era inelástica e que todo trabalho 
ofertado e todo trabalho ofertado era contratado “cada pessoa trabalhava uma quantidade 
fixa de horas a cada período”, dessa forma como era levado em consideração o mercado 
de trabalho não seria adequado para um modelo que pretende descrever um ciclo 
econômico. No modelo RBC os indivíduos tem a possibilidade de escolher como dividir 
o tempo entre trabalho e lazer, e o salário e as horas trabalhadas são definidas pelo 
mercado de trabalho, a estrutura do modelo tem uma função utilidade como argumento o 
tempo de lazer e a quantidade consumida a cada período, e a produção passa a estar sujeita 
a choques estocásticos. 
4) Quais são as principais diferenças entre o modelo de precificação de ativos como 
um de passeio aleatório e o modelo da arvore de Lucas? Como suas equações de 
equilíbrio se diferem e qual a explicação fundamental por trás do resultado de 
Lucas? 
 Tendo como ponto inicial o modelo com horizonte finito de programação para 
determinar os preços dos ativos financeiros em vez de ser considerado a taxa de juros. 
Para isso assumisse que tenha apenas um ativo financeiro que custa 𝑝𝑡 e que os dividendos 
não negativos no valor 𝑑𝑡 ambos para unidade do bem no período 𝑡. Supõem-se que o 
dividendo seja definido por um processo Markoviano com uma função distribuição que 
não varia no tempo. Levando em consideração que 𝑠𝑡 é o conjunto total de ações da 
empresa que está em posse do agente no período 𝑡, temo que o valor dos ativos do 
indivíduo no período 𝑡 é 𝑝𝑡 + 𝑑𝑡 sendo definida a restrição orçamentaria como: 
(𝑞𝑡+1 + 𝑑𝑡+1)𝑠𝑡+1 = 
𝑞𝑡+1 + 𝑑𝑡+1
𝑞𝑡
[(𝑞𝑡 + 𝑑𝑡)𝑠𝑡 + 𝑦𝑡 − 𝑐𝑡] 
O rendimento que a ação bruta que a ação terá é igual ao seu retorno em 𝑡 + 1 dividido 
pelo seu preço 𝑅𝑡 = (𝑝𝑡+1 + 𝑑𝑡+1)/𝑝𝑡. Aplicando a equação de Euler temos 
𝛽𝐸𝑡 ( 
𝑞𝑡+1 + 𝑑𝑡+1
𝑞𝑡
)
𝑢′(𝑐𝑡+1)
𝑢′(𝑐𝑡)
= 1 
Levando em consideração que X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer então 
𝐸𝑡(𝑋𝑌)= 𝐸𝑡(𝑋)𝐸𝑡(𝑌) + 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑋𝑡, 𝑌𝑡) expressa nos termos da equação anterior 
 
Considerando que Et[u’(𝑐𝑡+1)/u’(𝑐𝑡)] seja igual a 1, a equação de Euler após a 
substituição das propriedades estatística apresentada, conseguimos chegar no seguinte 
resultado: 
𝐸𝑡(𝑞𝑡+1 + 𝑑𝑡+1) = 𝛽
−1𝑑𝑡 
 
Portanto, o resultado expressa que, considerando o ajustamento pelos dividendos e 
descontado, o preço da ação tem um processo markoviano de primeira ordem e que 
nenhuma outra variável explica o preço de uma ação. Assim, o preço é descrito por um 
passeio aleatório. 
 O processo de passeio aleatório não se dá por um processo com estrutura de 
equilíbrio geral, fazendo com que Lucas reformule esse modelo passado a dar ênfase a 
esse ponto, chamando de arvore de decisão, o modelo propõe que os agentes resolvem o 
problema da escola ótima de consumo similarmente ao apresentado inicialmente, porém 
com 𝑦𝑡=0 para todo t. Nessa economia, as árvores são os únicos bens duráveis, ou seja, 
economia de um único ativo. Assim tem-se que, existe um conjunto de árvores que cada 
período produzem uma determinada quantidade de frutos (dividendos), pagos por esses 
ativos, e consistem no único bem de consumo. 
 Dessa forma o modelo formula que os agentes começam a viver no período zero 
e possuem uma arvore e seu fruto. Temos que 𝑝𝑡 é o preço de cada arvore e os dividendos 
são iguais a bens de consumo 𝑑𝑡 = 𝑐𝑡 podendo ser expressa a equação de Euler 
𝑞𝑡 = 𝐸𝑡𝛽 
𝑢′(𝑑𝑡+1)
𝑢′(𝑑𝑡)
(𝑞𝑡+1 + 𝑑𝑡+1) 
Aplicando a Lei das Expectativas Iteradas encontra-se 
 
𝑞𝑡 = 𝐸𝑡 ∑ 𝛽
𝑗 
∞
𝑗=1
 {∏
𝑢′(𝑑𝑡+𝑠+1)
𝑢′(𝑑𝑡)
𝑗−1
𝑠=0
}(𝑑𝑡+𝑗) 
Simplificando 
𝑞𝑡 = 𝐸𝑡 ∑ 𝛽
𝑗 
∞
𝑗=1
 
𝑢′(𝑑𝑡+𝑗)
𝑢′(𝑑𝑡)
𝑑𝑡+𝑗 
Então que os preços dos ativos são determinados a partir dos dividendos pagos por esses 
ativos. Deste modo, o modelo de Lucas amplia a discussão dos preços dos ativos 
incluindo o dividendo como um determinante para os preços dos ativos, diferentemente 
do modelo de passeio aleatório. 
 
 
5) Qual é a ideia básica por trás do modelo de trabalho indivisível proposto por 
Hansen (1985)? Em que termos práticos, qual a principal alteração que este modelo 
propõe em relação ao modelo básico de RBC? 
 O modelo RBC é considerado um modelo capaz de reproduzir aspectos 
importantes da economia norte americana, como à correlação entre investimento e 
produto e consumo e o produto, porem são falhos em relação ao mercado de trabalho. As 
teorias de ciclos de negócios propostas por exemplo Kylland e Prescott(1982) e 
Lucas(1977), de certa forma foram criticadas por não levarem em consideração alguns 
fenômenos relacionados a mercado de trabalho, como por exemplo parte dos modelos não 
levavam em consideração a possibilidade de existir trabalhadores desempregados. 
 Desse modo o modelo desenvolvido por Hansen é fundamentado por um modelo 
simples de crescimento estocástico de um setor com choques tecnológicos é construído 
sobre a ideia de que existe uma alta variabilidade no número de empregados e no total de 
horas trabalhada. O modelo se difere dos demais por introduzir uma não convexidade 
(trabalho indivisível) é introduzida. A indivisibilidade do trabalho se refere ao fato de que 
os trabalhadores podem determinar quantas horas trabalhar, são capazes de trabalhar um 
número intermediário de horas. As flutuações nas horas agregadas são reflexos da entrada 
e saída de empregos por parte dos indivíduos, dessa forma poderia ter escolha na 
quantidade de horas trabalhadas. 
 Dessa forma Hansen apresenta sofisticação do modelo RBC com a introdução de 
indivisibilidade do trabalho, a alteração se dá na função utilidade que toma a forma 
𝑈(𝑐𝑡, 𝑙𝑡) = 𝑢(𝑐𝑡) + 𝑔(𝑙𝑡) em que o 𝑙𝑡 só pode assumir dois valores 1 − ℎ0 ou 1, a ideia 
básica é modificar o modelo básico de forma que as flutuações decorram de mudanças no 
nível de emprego. No desenvolvimento desse modelo do RBC ele introduz uma não-
convexidade no conjunto de possibilidades de produção dos agentes, de forma que eles 
passam a trabalharem de forma integral ou de ficarem desempregados, para contornar o 
fato de o conjunto de possibilidades de o consumo não ser convexo, o autor introduz a 
hipótese de que os agentes do modelo devem escolher loterias, com esses indivíduos se 
depararem com uma probabilidade de estarem empregados a cada período. A principal 
contribuição teórica obtida desse modelo se trata a respeito ao fato de ser possível obter 
uma elasticidade de substituição entre lazer e consumo ao longo de diferentes períodos 
que é infinita no caso do agente representativo da economia, embora os agentes 
individuais ainda exibam um valor relativamente baixo para essa elasticidade. 
 
6) No artigo Time to buid and aggregate flutuations Kydland e Prescott (1982) 
propõem uma alteração no modelo básico de RBC. Qual foi essa alteração? Qual a 
intuição por trás da ideia deles? 
A grande contribuição proposta por Kyndland e Prescott (1982) se encontra na 
utilização de uma função de utilidade não separável no tempo, tornando o modelo 
computacionalmente mais prático. Com isso, o modelo aborda a função utilidade como 
classes de função de utilidade, permitindo a substituição intertemporal de lazer. 
Adicionalmente, também foi incorporada observação dos períodos para a conclusão da 
produção dos bens de capital e demonstram a correlação serial de séries temporais de 
produção. 
 Eles partem de uma versão modificada do modelo neoclássico de crescimento, 
partindo com choques de produtividade incidentes sobre uma economia sem imperfeições 
e com um agente representativo com expectativas racionais, levando em conta que eles 
partem de duas hipóteses básicas relacionadas aos mecanismos de propagação de choques 
pela economia, sendo o primeiro que os projetos de investimento em capital tornam-se 
plenamente produtivos apenas após um determinado período “time-to-build”. Já a 
segunda hipótese básica é que o lazer do agente na função utilidade é representado a partir 
de uma combinação dos períodos atuais e passados (essa última hipótese faz com que o 
fator trabalho sofra uma espécie de “efeito-fadiga”: quanto mais alguém trabalhou no 
passado, mais valoriza o tempo dedicado ao lazer atualmente. Esta hipótese acaba 
aumentando o grau de substituição intertemporal de lazer do agente no modelo) 
 Ao apresentarem esses aspectos Kydland e Prescott (1982) eles apresentaram um 
modelo de equilíbrio geral com choques de produtividade para tentar reproduzir as 
flutuações da economia deu início a literatura de RBC, servindo posteriormente de base 
para os modelos DSGE, contribuindo para avaliação de políticas macroeconômicas.