Uso do Solver na resolução de problemas de Programação linear

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3.2.4. Uso do Solver na resolução de problemas de PL
O SOLVER é um aplicativo baseado na folha de cálculo do EXCEL e pode ser usado 
na resolução de problemas de optimização.
Vamos iniciar a abordagem pela forma como se pode activar o aplicativo no 
computador caso seja pela primeira vez que está sendo utilizado. Consideremos o 
caso em que temos o Microsoft Windows 2007:
• O primeiro consiste na abertura de uma folha de cálculo e depois clicar nas 
opções:
• Como resultado desta acção na tela do seu computador irá aparecer a janela 
seguinte:
Clicar aqui para 
incializar
• Na janela seguinte seleccionar a opção Add-ins, e dentro desta opção 
seleccionar o aplicativo SOLVER
•
•
Nesta janela seleccionar o Excel 
Options 
Para terminar a 
activação clicar no GO
• Depois de activação do aplicativo o computador já se encontra preparado 
para resolver problemas usando este aplicativo.
Exemplo de cálculo: Consideremos o seguinte problema de 
programação linear
Uma refinaria utiliza dois "crudes" (1 e 2) para produzir quatro produtos 
(gasolina, kerosene, fuel e resíduo). O custo das matérias primas e o preço 
de venda dos produtos estão representados no esquema.
Custos Preço de venda
 
 
A tabela seguinte mostra o rendimento esperado de cada um dos crudes 
processados em termos dos produtos pretendidos.
Produto
Rendimento em % 
de Volume
Produção máxima 
desejada bbl/dia 
Crude 1 Crude 2
Gasolina
Kerosene
Fuel oil
Resíduos
Custo 
processamento
80
5
10
5
0.50
44
10
36
10
1.0
24 000
2 000
6 000
Formulação do problema
variáveis a optimizar:
x1 - quantidade de crude 1 processado (bbl/dia)
x2 - quantidade de crude 2 processado (bbl/dia)
Função objectiva:
Maximizar o lucro (y)
Crude 1($24/bbl)
Crude 2($15/bbl)
Gasolina ($36/bbl)
Kerosene ($24/bbl)
Fuel Oil ($21/bbl)
Residuos ($10/bbl)
Caixa Negra
Lucro = receitas - custo das matérias-primas - custos de 
processamento.
Receitas:
Gasolina 36(0.80 x1 + 0.44 x2)
Kerosene 24(0.05 x1 + 0.10 x2)
Fuel 21(0.10 x1 + 0.10 x2)
Resíduo 10(0.05 x1 + 0.10 x2)
custo das matérias primas
24 x1 + 15 x2
Custo de processamento:
0.5 x1 + 1.0 x2
Lucro = 32.6 x1 + 26.8 x2 - 24.5 x1 - 16 x2
 = 8.1 x1 + 10.8 x2
Função objectiva:
y = 8.1 x1 + 10.8 x2
Restrições:
Gasolina: 0.80 x1 + 0.44 x2 ≤ 24 000 (A)
Kerosene: 0.05 x1 + 0.10 x2 ≤ 2 000 (B)
Fuel: 0.10 x1 + 0.36 x2 ≤ 6 000 (C)
Resolução usando pacote informático
a) Folha de cálculo com indicação da formulação do problema
b) Folha de cálculo depois de seleção da activação do SOLVER e seleção da 
target cell.
c) Folha de cálculo com as restrições definidas
d) Após correr o SOLVER temos a janela com as opções para o relatório do 
resultado. Podemos escolher três opções para termos o relatorio da solução 
óptima, análise de sensibilidade e do limite das restrições.
3.3. Análise da Sensibilidade
Até ao presente estágio, foram apresentados detalhes sobre Método de 
Simplex, o que já permite levar a cabo a resolução de problemas de Programação 
Linear (PL). No entanto, à medida que se vai tendo problemas de PL aplicados à 
casos reais, surge a necessidade de formular problemas, estabelecer modelos, 
recolher e seleccionar dados, preparar a informação para a entrada nos modelos e, 
finalmente, obter as soluções óptimas.
Deve-se assim, focar a maior atenção essencialmente na leitura, 
interpretação e análise do resultados obtidos através do Método de Simplex. Pois, 
caso contrário, arrisca-se a adoptar decisões erradas resultantes de uma situação 
de falta de senso.
Deste modo, não deve pensar que do quadro optimizado de Simplex tira, 
apenas, uma listagem de variáveis e dos seus valores óptimos. Dele tira-se também 
valiosa Informação para posterior análise de sensibilidade, na qual se salientam:
• A solução óptima;
• A situação dos recursos;
• O preço - sombra;
• A sensibilidade da solução às alterações na disponibilidade dos recursos e 
sua utilização;
• A sensibilidade da solução às alterações dos coeficientes da função objectiva 
(alteração do lucro).
Os três primeiros pontos retiram-se facilmente da matriz optimizada do 
Simplex. Porém, os dois últimos requerem uma série de cálculos adicionais 
baseados na informação da retirada da solução óptima.
3.3.1 Solução Óptima
Sob o ponto de vista da implementação da solução de um problema de 
Programação Linear, a classificação matemática das variáveis em básicas e não 
básicas não tem qualquer importância e, por isso, deve ser ignorada na Leitura da 
solução óptima. Isto significa que todas as varáveis que não se encontram na 
coluna básica são nulas e as restantes têm os seus valores na coluna das soluções.
3.3.2 - Situação dos Recursos
Considera-se recurso tudo aquilo que tem um limite máximo da sua 
disponibilidade, ou seja, que a restrição associada seja do tipo menor ou igual (≤) 
Assim as restrições do tipo maior ou igual (≥) ou do tipo igualdade (=), fisicamente, 
não representam uma restrição de recurso, mas que a solução deve respeitar certos 
requisitos só para satisfazer uma determinada especificação. Sendo assim:
• Um resultado positivo, de uma variável de folga, indica que o recurso não 
é totalmente utilizado e, portanto, este é abundante; e
• Se a variável de folga for nula, indica que o recurso é consumido 
totalmente pelas actividades do modelo, por isso, ele é escasso.
3.3.3.Preço - Sombra
O preço - sombra para o um certo recurso Ri designado por yi, mede o "Valor 
Marginal". desse recurso. Isto é, a taxa na qual a função objectiva pode ser 
aumentada, aumentando ligeiramente a quantidade disponível deste recurso (bi).
O método de Simplex indica o preço-sombra (yi) como o coeficiente da 
variável de folga do recurso Ri na função objectiva da tabela optimizada do Simplex.
3.3.4. Alteração da disponibilidade de recursos
Para determinara a alteração da disponibilidade de recursos utilizam-se os 
preços-sombra para se decidir quais os recursos devem ser aumentados para 
melhorar a função objectiva. Depois disso, são feitos cálculos para a determinação 
dos limites de variação dos recursos a serem aumentados.
3.3.5. Alteração do lucro
Para a determinação da alteração do lucro, é necessário estabelecer os 
intervalos de variação dos vários coeficientes da função objectiva (um de cada vez), 
nos quais o óptimo corrente não sofre grandes alterações.
3.3.6. Alteração que afectam a viabilidade da solução
Na prática, a aplicação da Programação Linear à processos técnico-
económicos reais, geralmente requer que a soluções gerada pelos modelo de 
optimização sejam dinâmicas, pois as soluções estáticas se tornam obsoletas logo 
que se mudem as condições dos respectivos modelos. Por isso, torna-se imperioso o 
estudo das possíveis alterações sobre a solução óptima admissível resultantes de 
alterações ao modelo original.
Deste modo, na vida real, após se obter a solução óptima, as pessoas que 
tomam a decisão geralmente ficam interessadas em explorar um determinado 
número de situações, que podem ser investigadas através da análise pós 
optimização, e que proporcionam resposta às seguintes questões:
• Será que o corrente óptimo pode mudar?
• E se mudar, qual será o novo óptimo?
A resposta a estas questões, permite identificar duas situações mais 
frequentes na vida real e que podem afectar a viabilidade das soluções, a saber:
• Alteração na disponibilidade de recursos (segundos membros das 
restrições do moddelo); e
• Adição de novas restrições ao modelo.
Exemplo 1. Considere o seguinte problema
Uma pequena confeitaria produz dois tipos de doces D1 e D2 que são vendidos, 
respectivamente, aos preços de 60 e 70 contos, por caixa. A produção de uma 
caixa de doces D1 requer 3 kg de matéria-prima A, 3kg de matéria-prima B e 10 
minutos de processamento. E a fabricação de uma caixa de doces D2 necessita de 
6 kg de matéria-prima A, 4 kg de matéria-prima B e 20 minutos de processamento.
A confeitaria trabalha num único turno de 8 horas durante 5 dias por semana. No 
entanto, devidos os trabalhos de conservação e os intervalos para refeições a 
confeitaria opera efectivamente em sete horas e meia por dia. E os fornecimentos 
semanais das matérias-primas A e B são limitadas em 650 e 400 kg, 
respectivamente.
Os dois tipos de doces são embalados manualmente e um operário gasta, em 
média, 35 e 40 minutos, respectivamente, para embalar uma caixa de doces D1 e 
D2. 
Sabendo que a confeitaria emprega dois operários no sector de embalagem, 
determine o óptimo plano de produção semanal.
A resolução deste problema é a seguinte:
Variáveis a optimizar
x1 – Quantidade de doces D1 (caixas)
x2 – Quantidade de doces D2 (caixas)
Restrições
 3x1 + 6x2 ≤ 650 – disponibilidade da matéria-prima A (kg)
 3x1 + 4x2 ≤ 400 – disponibilidade da matéria-prima B (kg)
10x1 + 20x2 ≤ 5 × 7,5 × 60 – disponibilidade da secção de processamento 
(minutos)
35x1 + 40x2 ≤ 5 × 7,5 × 60 × 2 – disponibilidade da secção de embalagem 
(minutos)
Função Objectiva
z = 60x1 + 70x2 – margem bruta (contos)
Modelo Matemático
0x,x
450040x35x
225020x10x
4004x3x
6506x3x:aSujeito
70x60xz:Maximizar
21
21
21
21
21
21
≥
≤+
≤+
≤+
≤+
+=
Resolução
 3x1 + 6x2 + S1 = 650
 3x1 + 4x2 + S2 = 400
10x1 + 20x2 + S3 = 2250
35x1 + 40x2 + S4 = 4500
Z – 60x1 – 70x2 = 0
D = 6 – 4 =2⇒









=
=
=
=
=
==
0z
4500s
2250s
400s
650s
0xx
4
3
2
1
21
x1 x2 s1 s2 s3 s4
s1 3 6 1 0 0 0 650
s2 3 4 0 1 0 0 400
s3 10 20 0 0 1 0 2250
s4 35 40 0 0 0 1 4500
z – 60 – 70 0 0 0 0 0
x1 x2 s1 s2 s3 s4
s1
2
3− 0 1
2
3− 0 0 50
x2
4
3 1 0
4
1 0 0 100
s3 – 5 0 0 – 5 1 0 250
s4 5 0 0 – 10 0 1 500
z
2
15− 0 0
2
35 0 0 7000
x1 x2 s1 s2 s3 s4
s1 0 0 1
2
9− 0
10
3 200
x2 0 1 0
4
7 0
20
3− 25
s3 0 0 0 – 15 1 1 750
x1 1 0 0 – 2 0
5
1 100
z 0 0 0
2
5 0
2
3 7750
Fazendo a analisando de sensibilidade desta solução do problema tem-se:
1º)Solução óptima 
Variável de 
Decisão
Valor óptimo Decisão
x1
x2
100
25
Produzir 100 caixas de doces 
D1/semana
Produzir 25 caixas de doces D2/semana
z 7750 Obter a margem de 7750 
contos/semana
2º) Situação dos Recursos :
Recursos Variável de Folga Situação do Recurso
Matéria-prima A (I) s1 = 200 Abundante
Matéria-prima B (II) s2 = 0 Escasso
Secção de Processamento (III) s3 = 750 Abundante
Secção de Embalagem (IV) s4 = 0 Escasso
Deste último quadro, pode-se observar que a Matéria-prima A (recurso I) e a 
Secção de Processamento (recurso III) são recursos abundantes. Por isso, qualquer 
aumento aos seus limites máximos torna-os, simplesmente, mais abundante ainda 
sem afectar a solução óptima. 
Deste modo, os recursos que devem ser aumentados com o fim de melhorar 
a solução (aumentar a margem), são a Matéria-prima B (recurso II)e a Secção de 
embalagem (recurso IV), dado que estes são escassos.
3º) Preço - Sombra
Como se sabe, o Método de Simplex indica o preço-sombra (yi) como o 
coeficiente da variável de folga do recurso na função objectiva da tabela optimizada 
do Simplex. Assim, para este exemplo tem:
• Preço-sombra da matéria-prima A é y1=0; isto significa que o aumento da 
disponibilidade deste recurso, não contribui para o aumento da margem 
bruta total obtida;
• Preço-sombra da Matéria-prima B é y2=5/2; isto significa que verificar-se-á 
um aumento de 2,5 contos na margem bruta semanal, por cada 
quilograma adicional de Matéria-prima B;
• Preço-sombra da Secção de Processamento é y3=0; significa o aumento da 
sua disponibilidade não contribui para o aumento da margem bruta; e
• Preço-sombra da Secção de Embalagem é y4=3/2; isto significa que 
verificar-se-á um aumento de 1,5 contos na margem bruta semanal, por 
cada quilograma minuto adicional na disponibilidades da Secção de 
Embalagem.
4º)Alteração na disponibilidade de recursos 
Geralmente utilizam-se os preços-sombra para decidir quais os recursos 
devem ser aumentos. Neste exemplo, escolhe-se a Matéria-prima B, pois ela 
apresenta o maior preço-sombra e, por conseguinte, contribui mais rapidamente 
para o aumento da margem bruta.
Deste modo, supondo que houve alteração na disponibilidade da Matéria-
prima B de 400 para 400 + ∆ kg, por semana, a partir dos primeiro e últimos 
quadros de Simplex, ter-se-ia:
Elemento do 2º Membro na Iteração
Relações Partida Optimizada
(I) 650 ∆−
2
9
200
(II) ∆+400 ∆+
4
7
25
(III) 2250 ∆− 15750
(IV) 4500 ∆− 2100
z 0 ∆+
2
5
7750
Por causa o princípio de não negatividade das variáveis, tem-se as seguintes 
relações:
0
2
9
200s1 ≥∆−= (I)
0
4
7
25x2 ≥∆+= (II)
015750s3 ≥∆−= (III)
02100x1 ≥∆−= (IV)
A partir desta últimas relações pode-se determinar que para um valor 
positivo de delta ( ∆ > 0) ter-se-á:
• para a relação (I): 44,44
9
400
≈≤∆ ;
• para a relação (II): +∞≤∆ , isto é, não é limitada;
• para a relação (III): 50
15
750 =≤∆ ; e
• para a relação (IV): 50
2
100 =≤∆
Daqui, pode-se facilmente observar que as quatro relações são satisfeitas 
por: 44,4
9
400 ≈≤∆ .
Para um valor negativo de delta (∆ < 0) ter-se-á:
• para as relações (I), (III) e (IV): −∞≥∆ , isto é, não são limitadas; e
• para a relação (II): 14,3
7
100
−≈−≥∆
Donde se observa que as três relações são satisfeitas por: 
14,3
7
100
−≈−≥∆
Os dois casos ( 0>∆ e 0<∆ ) são satisfeitos combinando os seus resultados. 
Assim obtém-se o seguinte intervalo, que sempre dá uma solução admissível que, 
neste caso, é: 44,414,3 ≤∆≤− .
Como conclusão pode-se dizer que: qualquer alteração para além deste 
intervalo, ou seja, diminuir mais do que 14,3 kg ou aumentar mais do que 44,4 de 
Matéria-prima A por semana, conduz a uma impossibilidade ou a um novo conjunto 
de variáveis básicas, respectivamente.
5º)Máxima alteração no margem bruta 
Supondo que o preço da caixa de doces D1 sofre alteração, passando de 60 
para δ+60 contos, tem-se:
Z = (60+δ)x1 + 70x2
A partir do quadro optimizado de Simplex, pode-se compor as seguintes 
relações:
(I)02
2
5 ≥− δ
(II)0
5
1
2
3 ≥+ δ
Destas últimas relações, pode-se determinar que:
• da relação (I) tem-se: 
4
5≤δ ;
• da relação (II) tem-se: 
2
15−≥δ ; e
• as duas relações originam o seguinte intervalo: 
4
5
2
15 ≤≤− δ ;
E para o intervalo de variação do preço da caixa de doces D1 tem-se o 
seguinte intervalo: 
4
5
60C
2
15
60 1 +≤≤− , donde se estabelece o seguinte 
intervalo: [52,5; 61,25]. 
Este último intervalo, significa que o preço da caixa de doces D1 pode variar 
entre 52,5 e 61,25 contos, sem causar grandes alterações na solução óptima.
6º) Alteração da disponibilidade de recursos.
Supondo que no modelo da confeitaria se registou um aumento, de 20 kg por 
semana, na disponibilidade de ambas as matérias-primas (A e B). Sendo assim, os 
segundos membros das primeira e segunda restrições do modelo passariam, 
respectivamente, de 650 para 670 e de 400 para 420. E, neste caso, como é que se 
comportaria a corrente solução do modelo?
A resposta a esta última questão é dada através da determinação dos novos 
segundos membros das restrições do quadro optimizado. E esta nova solução 
óptima é dada por:












=












×


















−
−
−
−
=












60
450
60
130
4500
2250
420
670
5
1
020
11150
20
3
0
4
7
0
10
3
0
4
9
1
1
3
2
1
x
s
x
s
Uma vez que todos os novos segundos membros são não negativos, as 
variáveis básicas correntes mantém-se inalteradas, contudo, os seus novos 
valores mudam, de seguinte modo:
• dex1 = 100, para x1 = 60;
• de x2 = 25, para x2 = 60;
• de s1 = 200, para s1 = 130, e
• de s3 = 750, para s3 = 450.
E a função objectivo toma um novo valor de z = 60×60 + 70×60= 7800, em 
vez do anterior valor de 7750.
Veja-se agora um exemplo em que a solução óptima corrente se torna 
inviável.
Supondo que no modelo da confeitaria, em vez de aumento, se registou uma 
redução, de 20 kg por semana, na disponibilidade de ambas as matérias-primas (A 
e B). Neste caso, os segundos membros das primeira e segunda restrições do 
modelo passariam, respectivamente, de 650 para 630 e de 400 para 380. E, neste 
caso, a nova solução óptima é dada por:












−
=












×


















−
−
−
−
=












140
1050
10
270
4500
2250
380
630
5
1
020
11150
20
3
0
4
7
0
10
3
0
4
9
1
1
3
2
1
x
s
x
s
Como se pode observar, as últimas alterações fazem como que x2 tenha 
um valor negativo (x2 = – 10). Isto significa que a solução óptima corrente torna-
se inviável.
Referências seleccionadas
TAHA, Handy (1997). “Operations Research. An Introduction”, 6th Edition. Prentice-
Hall, Upper Saddle River.
GURREIRO, Jorge; MAGALHÃES, Alípio e RAMALHETE, Manuel (1985). “Programação 
Linear”. McGraw Hill de Portugal, Lisboa.
BRONSON, Richard (1985). “Pesquisa Operacional”. McGraw Hill do Brasil, São 
Paulo.
ANDRADE, Eduardo L. (2000). Introdução à Pesquisa Operacional”, 2ª Edição. Livro 
Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro.
Exercícios
1. Uma Fazenda, colhe cerca de 200 litros de leite, por dia, para o fabrico de dois 
tipos de queijo (Q1 e Q2). A produção de um quilo de Q1 e de Q2 requerem 8 e 7 
litros de leite, respectivamente. E o processamento de um quilo de qualquer um 
dos dois tipos de queijo requer meia hora de mão-de-obra. A fazenda emprega 2 
trabalhadores que trabalham, cada um, 7 horas por dia. Entretanto, dado que o 
processo de produção é artesanal, a fazenda não consegue produzir mais de 30 
quilos, por dia, de qualquer um dos dois tipos de queijo.
1. Sabendo que um quilo de Q1 é vendido a 100 contos e o de Q2 a 90 
contos, estabeleça o óptimo plano de produção diária para a fazenda.
2. Haverá vantagens para a fazenda se a disponibilidade diária do leite 
for aumentada? Justifique.
2. Uma fábrica de vestuário, localizada em Maputo, tem um contrato de 
fornecimento de uns certos tipos de blusas e de camisas à cadeia de lojas 
Zeinab Têxteis do Grupo MBS.
O processo de produção daquelas peças de vestuário, inclui o corte, a 
cosedura e a embalagem. A fábrica emprega 22 trabalhadores no sector de 
corte, 27 no sector de cosedura e 5 no sector de embalagem. E a fábrica 
trabalha num turno único de 8 horas, durante 5 dias por semana. E a tabela 
abaixo apresenta os tempos médios gastos por cada trabalhador na produção 
de uma peça de vestuário.
Peça de Vestuário
Tempos Médios Gastos (minutos)
Corte Cosedura Embalagem
 Blusa 60 70 15
 Camisas 50 60 10
a) Sabendo que os preços de venda de uma blusa e de uma camisa são de 
350 e de 250 contos, respectivamente, estabeleça o óptimo plano semanal 
para a fábrica.
b) Determine o intervalo de variação do preço das blusas, no qual a solução 
óptima não sofre grandes alterações.
3. A IFLOMA pretende usar de melhor modo possível os recursos de madeira da sua 
região florestal de Manica. Naquela região, a IFLOMA tem uma serralharia e uma 
fábrica de compensados. Assim, os toros abatidos podem ser convertidos em 
madeira beneficiada ou prensada.
A produção de uma mistura comercializável de 1 metro cúbico de madeira 
beneficiada requer 1 metro cúbico de chanfuta e 4 metros cúbicos de 
eucalipto. Enquanto que a produção de uma chapa de 10 metros quadrados de 
madeira prensada necessita de 2 metros cúbicos de chanfuta e 3 metros 
cúbicos de eucalipto. E sabe-se que diariamente a empresa dispõe de 32 
metros cúbicos de chanfuta e 73 metros cúbicos de eucalipto. Contudo, a 
capacidade de produção de madeira prensada na empresa é limitada em 120 
metros quadrados por dia.
Sabendo que os preços de venda de 1 metro cúbico de madeira beneficiada e 
de uma chapa de 10 metros quadrados de madeira prensada são de 45 e 60 
dólares, respectivamente, determine:
a) o óptimo plano de produção diária.
b) o intervalo de variação da disponibilidade de chanfuta.
4. Uma companhia produz com dois graus de pureza um certo solvente que é 
vendido em frascos de um galão de volume. O produto A é de maior pureza 
que o B, e os lucros da companhia são de $4 e $3 por litro de A e B, 
respectivamente. O produto A requer o dobro do tempo de processamento de B 
e se a companhia produz somente B, a produção máxima é de 1000 litros por 
dia. No entanto, as limitações do processo não permitem que a quantidade de A 
e B juntos exceda 800 litros por dia. A demanda no mercado impõe que pelo 
menos sejam produzidos 200 litros de B por dia.
Assumindo que toda a produção pode ser vendida, que volumes de A e B 
devem ser produzidos na companhia? 
5. Uma empresa produz três produtos P1, P2 e P3 que são vendidos a 10, 6 e 8 
milhões de meticais, respectivamente. Cada unidade do produto P1 necessita de 
oito homem-horas de trabalho e oito quilogramas de matéria-prima. Cada 
unidade de produto P2 necessita de cinco homem-hora de trabalho e seis 
quilogramas de matéria-prima, sendo seis homem-horas e sete quilogramas de 
matéria-prima as necessidades por unidade produzida do produto P3.
As previsões de venda são de cerca de 70 unidades para os produtos P1 e P2, 
por semana. Enquanto que, dada a elevada procura, a empresa deve produzir 
pelo menos 80 unidades do produto P2.
Sabendo que semanalmente a empresa conta com 680 homem-horas e 780 kg 
de matéria-prima, determine:
a) O óptimo plano de produção semanal.
b) Se haverá vantagens para a empresa se a disponibilidade da matéria-prima 
for aumentadas. Se sim, em que medida?
6. Uma empresa usa um certo tipo de matéria-prima para a fabricação de dois 
produtos, A e B, em duas operações fundamentais: o torneamento e a fresagem. 
As capacidades de operação dos tornos e das fresadoras são, respectivamente, 
limitadas em 36 e 20 horas, por semana. E semanalmente a empresa pode 
receber, dos seus fornecedores, no máximo, 150 kg de matéria-prima.
Para a fabricação de uma unidade do produto A, a empresa necessita de 10 kg 
de matéria-prima, 3 horas para o torneamento e 2 horas para a fresagem. 
Enquanto que para a produção de uma unidade do produto B, a empresa usa 
15 kg de matéria-prima e necessita de 4 e 2 horas, respectivamente, para os 
trabalhos de torneamento e de fresagem.
Sabe-se que não há dificuldade quanto a colocação do produto B no mercado, 
enquanto que, dada a baixa procura, a empresa não pode produzir mais de 7 
unidades do produto A, por semana.
Assumindo que as margens brutas, por unidade produzida, dos produtos A e B, 
são, respectivamente, de 4 e 5 milhões de meticais, estabeleça: 
a) O óptimo plano semanal de produção para a empresa.
b) Haverá vantagens para a empresa se os seus fornecedores aumentarem a 
quota semanal de fornecimento da matéria-prima?
7. Uma companhia que fabrica três produtos (A, B e C) usando três máquinas (M1, 
M2 e M3) pretende determinar o plano óptimo de produção. A produção de A 
envolve um processamento de 1hora em M1, 3 horas em M2 e 1 hora em M3; a 
produção de B envolve 2 horas em M1 e 4 horas em M3 , enquanto que C é 
produzido por processamentos de 1 e 2 horas em M1 e M2, respectivamente.
As máquinas M1, M2 e M3 têm capacidades de processamento limitadas em 
430, 460 e 450 horas por mês, respectivamente.
Sabendo que os lucros líquidos são de quatro, dois e cinco milhões de meticais 
por unidade de A, B e C, respectivamente, estabeleça um óptimo programa 
mensal de produção.
8. Uma instituiçãode apoio humanitário pretende efectuar o transporte de 
produtos alimentares para um novo centro de deslocados. Na empresa regista-
se uma relativa escassez de meios humanos e materiais, havendo necessidade 
de utilizar racionalmente os recursos disponíveis.
No momento existem na empresa 1200 litros disponíveis e 9 condutores 
disponíveis. E os dados de planeamento sobre as viaturas existentes são as 
seguintes:
Tipo de 
Viaturas
Consumo 
(por100 km)
Viaturas 
Disponíveis
Capacidade de 
Carga
A 40 litro 3 4 toneladas
B 60 litros 6 5 toneladas
Sabendo que a operação de transporte terá um percurso total de 500 
quilómetros:
a) estabeleça o plano de utilização dos meios disponíveis para uma viagem.
b) Determine o tipo e a quantidade de viaturas que sobram e diga, 
justificando, se podem ser aproveitados para outras missões.
9. Uma empresa de fundição extrai chumbo e zinco a partir de dois tipos de sucata. 
O tipo A custa 6 contos/toneladas e em média permite a extracção de 100 kg de 
chumbo e 100 kg de zinco por tonelada; enquanto que a sucata tipo B custa 10 
contos/tonelada e em média permite a extracção de 100 kg de chumbo e 300 kg 
de zinco. Por tonelada. Supondo que as vendas diárias são de pelo menos 3 
toneladas de chumbo e 4 toneladas de zinco, qual o esquema de 
aprovisionamento a adoptar? Suponha agora que por aperfeiçoamento do 
processo de extracção é possível extrair o dobro da quantidade de chumbo de 
cada tipo de sucata. Haverá vantagem em alterar o esquema de 
aprovisionamento?
10.Um transportador da Cidade da Matola possui um camião com capacidade de 
carga de 4,5 toneladas. Ao transportador foi proposto um trabalho de transporte 
de carga constituída por três tipos de produtos A, B e C, para a Cidade da 
Maxixe. O transportador pode aceitar o trabalho de transporte da carga total, ou 
parcialmente, e os dados relativos à carga são os seguintes:
Produtos Quantidades por Transportar Peso / caixa
A 480 caixas 4,0 kg
B 500 caixas 3,0 kg
C 600 caixas 3,0 kg
Com base nas características dos produtos, o transportador estima os custos 
de transporte em 10, 7 e 7 contos, por caixa dos produtos A, B e C, 
respectivamente. E o proponente oferece 17, 13 e 15 contos, respectivamente, 
por caixa transportada dos produtos A, B e C.
Sabendo que o transportador, só pode realizar o trabalho numa única viagem, 
determine:
a) Aproposta de contrato de trabalho que o transportador deve submeter ao 
proponente do trabalho.
b) Se o transportador pode aceitar, ou não, a oferta de 15 contos por caixa 
transportada do produto A.
11.Uma pequena empresa produz dois tipos de carteiras, A e B, cujos preços de 
venda são de 160 e 70 contos, respectivamente. Cada carteira do tipo A exige o 
dobro do tempo necessário para a fabricação de uma carteira do tipo B. A 
empresa pode fabricar mensalmente 1000 carteiras do tipo B. A quantidade de 
cabedal fornecido à empresa é apenas suficiente para fabricar mensalmente 
8000 carteiras. O cinto de tipo A necessita de uma fivela de luxo e só se dispõe 
mensalmente de 400 destas fivelas. Para o cinto de tipo B pode-se dispor 
mensalmente de 700 fivelas.
a) Determine a melhor mistura da produção mensal da empresa;
b) Verifique se haverá alteração da solução óptima o preço unitário das 
carteiras de tipo A ser de 200 contos?
12.Uma fábrica de mobiliário de escritório tem vindo a produzir um determinado 
tipo de estante para computador. Entretanto, uma prospecção do mercado 
efectuada pelos serviços comerciais da fábrica, permitiu apurar que, se as 
estantes actualmente produzidas fossem de um novo modelo tecnicamente mais 
evoluído, seria possível vende-las a um preço 15% superior aos 200 dólares 
actualmente praticados.
Consultado o sector de produção, este afirmou-se capaz de produzir o novo 
modelo de estantes informando, no entanto, que:
• o tempo para a estampagem de uma unidade do novo modelo de 
estantes seria 20% maior que os 30 minutos necessários para uma 
unidade do modelo actualmente produzido;
• os tempos necessários para fazer os acabamentos e a embalagem são de 
35 minutos para o modelo actual e de 40 minutos para o novo modelo;
• as disponibilidades semanais dos sectores de estampagem e de 
Acabamentos e Embalagem são de 40 máquina-horas e 45 homem-horas, 
respectivamente.
Sabendo que o Sector Comercial não vê dificuldades quanto a colocação no 
mercado para o novo modelo, enquanto que para o modelo actualmente 
produzido não aconselha que se ultrapasse 25 unidades por semana, 
determine:
a) a óptima mistura da produção semanal para a fábrica.
b) Caso o Sector Comercial tivesse apurado que as estantes do novo modelo 
poderiam ser vendidas a um preço apenas 12,5% superior ao do modelo 
actualmente produzido, verifique se a fábrica devia aceitar a produção do 
novo modelo de estantes? 
13.Os gestores da Companhia de Culturas de Angoche (CCA) estimam que a 
introdução das culturas de amendoim e de milho, na sua região agrícola de 
Natir, pode dar lucros de cerca de 6 e 4 mil contos, por hectare, 
respectivamente. Assim, entre várias actividades, eles devem tomar decisões 
sobre a alocação de recursos humanos e maquinaria (tractores e alfaias 
agrícolas) para os trabalhos de preparação de terras para aquelas culturas, para 
a próxima época de sementeira.
A preparação de um hectare de terra para o cultivo de amendoim requer cerca 
de 250 homem-dias de trabalho e 640 máquina-horas. Enquanto que a 
preparação de um hectare de milho necessita de 500 homem-dias de trabalho 
e 320 máquina-horas. E a CCA possui 50 homens como mão de obra e 10 
combinações de maquinaria.
Em Natir, a CCA planeia utilizar a maior parte das suas terras para a sua 
tradicional cultura de sisal. Por isso, para a próxima época, reservou apenas 8 
hectares para as culturas de amendoim e de milho e pretende prepara-la em 
40 dias efectivos de trabalho de 8 horas, por dia.
a) Como é que os gestores da CCA devem alocar as terras para o cultivo de 
amendoim e de milho?
b) Qual é o intervalo de variação do lucro, por hectare de terra, da cultura de 
amendoim no qual o óptimo não sofre grandes alterações?
14.Uma pequena fábrica de tintas produz dois tipos de tintas a o uso doméstico, 
designadamente, tintas para interiores e tintas para exteriores.
Para o fabrico das tintas, a fábrica usa dois tipos de matérias-primas A e B, 
sendo os fornecimentos máximos das matérias-primas de 9 e 8 toneladas, por 
mês, respectivamente para A e B. E a tabela abaixo expõe os requisitos de 
fabricação de uma tonelada de cada um dos dois tipos de tinta.
Tonelada de matéria-prima / tonelada de 
tinta
Tinta para exteriores Tinta para interiores
Matéria-prima A 1 2
Matéria-prima B 2 1
Um estudo do mercado, revelou que a procura mensal de tinta para interiores 
não excede à de tinta para exteriores em mais de uma tonelada. O mesmo 
estudo revelou também que a máxima procura de tinta para interiores era 
limitada a 2 toneladas, por mês.
Sabendo que o preço ao retalhista, por tonelada de tinta é de 30 milhões de 
meticais, para tinta de exteriores, e de 20 milhões, para a tinta de interiores, 
determine:
a) A óptima mistura de produção mensal das tintas de interiores e de 
exteriores.
b) Qual será o ganho adicional da fábrica se a disponibilidade da matéria-
prima A passar de 9 para 10 toneladas, por mês.
15.Uma fábrica produz três produtos P1, P2, e P3 que são vendidos aos preços de 
42, 60 e 40 contos, respectivamente. A produção de uma unidade do produto P1 
requer 3 kg de matéria-prima A, 6 kg de matéria-prima B e 28 minutos de 
processamento. A fabricação de uma unidade do produto P2 necessita de 6 kg 
de matéria-prima A, 8 kg de matéria-prima B e 35 minutos de processamento. E 
a produção de uma unidadedo produto P3 requer 2 kg de matéria-prima A, 6 kg 
de matéria-prima B e 10 minutos de processamento.
A fábrica trabalha num único turno de 8 horas durante 5 dias por semana. E os 
fornecimentos semanais das matérias-primas A e B são limitadas em 360 e 
640 kg, respectivamente.
Os três produtos são embalados manualmente e um operário gasta, em média, 
35, 40 e 20 minutos, respectivamente, para embalar os produtos P1, P2 e P3. E 
a fábrica emprega 2 operários no sector de embalagem. Sabendo que devidos 
os trabalhos de conservação e os intervalos para refeições a fábrica opera 
efectivamente em sete horas e meia por dia, determine:
a) O óptimo plano de produção semanal.
b) O intervalo de variação do preço do produto P2, no qual o óptimo não sofre 
alterações.
16.Uma empresa do Ramo Alimentar possui uma linha de fabrico constituída por 
três secções (S1, S2 e S3) e pode produzir três produtos A, B e C, cujas margens 
brutas, por unidade produzida, são, respectivamente, de três, dois e quatro 
milhões de meticais. O produto A é processado pelas três secções da empresa e 
necessita de 4horas de trabalho em cada uma delas. O produto B é processado 
apenas pelas secções S2 e S3 e necessita de 4 e 8 horas de trabalho, 
respectivamente. O produto C é também processado pelas três secções, 
necessitando de 8, 4 e 4 horas de trabalho nas secções S1, S2 e S3, 
respectivamente. E as capacidades de processamento de S1, S2 e S3 são 
limitadas, respectivamente, em 960, 1600 e 1440 horas, por mês.
Sabendo que não há dificuldade quanto a colocação no mercado dos produtos 
B e C, enquanto que para o produto A não se pode ultrapassar a quota do 
mercado fixada em 120 unidades por mês estabeleça:
a) Um óptimo plano mensal de produção para a empresa.
b) Haverá vantagens para a empresa se a capacidade de processamento da 
Secção S3 for aumentada? Justifique.
17.Uma firma três tipos de artigos artesanais que podem ser fabricados por dois 
trabalhadores. E o quadro abaixo indica o tempo, em horas, que cada 
trabalhador necessita para a produção de uma unidade de cada um dos artigos.
Artigos Trabalhadores
João Paulo
A 1,5 1,5
B 2 3
C 0,5 0,5
Semanalmente a firma planeia fabricar pelo menos 15 unidades do artigo A, 
exactamente 20 unidades do artigo B e não mais de 25 unidades do artigo C. 
Sabendo que cada trabalhador não deve trabalhar mais que 35 horas, por 
semana, determine como se deve repartir o trabalho entre os dois 
trabalhadores?
18.A Direcção de Marketing de uma fábrica de mobiliário metálico de escritório 
sugere o lançamento de um novo modelo de secretárias e estantes em 
substituição dos modelos actualmente feitos naquela empresa. Aquela Direcção 
não vê dificuldades de colocação no mercado para as estantes, enquanto que 
aconselha que a produção mensal de secretárias não ultrapasse as 200 
unidades. E apôs estudos levados a cabo pela Direcção de Produção, conclui-se 
que:
• a disponibilidade mensal do Sector de Estampagem é de 700 máquina-
horas;
• a disponibilidade mensal do Sector de Montagem e Acabamentos é de 900 
homem-horas;
• cada secretária necessita de 4 máquina-horas de estampagem e 4 
homem-horas de montagem e acabamentos; e
• cada estante necessita de 2 máquina-horas de estampagem e 3 homem-
horas de montagem e acabamentos.
Sabendo que as peças de mobiliário são vendidas a seis milhões para as 
secretárias e a quatro milhões para as estantes, determine:
a) O plano de produção mensal para os novos modelos.
b) O intervalo de variação do preço das estantes.
19.Uma fábrica do Ramo Químico pode usar apenas um dos seus dois processos de 
fabricação e nunca ambos simultaneamente, por dia. O Processo I usa 2 
toneladas de matéria-prima A e 7 toneladas de matéria-prima B, por dia. Este 
processo, produz 3 toneladas do produto P1 e 6 toneladas dum subproduto P2, 
por dia. Por sua vez, o Processo II usa 5 toneladas de A e 2 toneladas de B, para 
produzir 2 toneladas de P1 e 5 toneladas de P2, por dia.
Mensalmente, os fornecedores da empresa podem assegurar os fornecimentos 
máximos de 110 toneladas da matéria-prima A e 140 toneladas da matéria-
prima B, aos preços de 5 e 7 mil contos, por tonelada, respectivamente. E os 
produtos P1 e P2 são vendidos à 18 e 3 mil contos, por tonelada, 
respectivamente. Considere 30 dias, por mês, e determine:
a) Durante quantos dias a empresa pode usar cada um dos dois processos.
b) Se a empresa teria vantagens caso a disponibilidade das matérias-
primas fosse aumentadas;
20.Uma mercenaria localizada no Bairro de Kongolote deseja estabelecer um 
programa diário de produção. Actualmente a ofina fabrica apenas dois produtos: 
armários e mesas, ambos de um só modelo.
Para a operação diária, a mercenaria só tem limitação em dois recursos: a 
madeira e a mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na 
tabela abaixo.
Recursos Disponibilidades
Madeira 12 m2
Mão-de-obra 8 homen-horas
O processo de produção é tal que, para fazer um armário a mercenaria 
necessita de 2 metros quadrados de madeira e 2 homem-horas de mão-de-
obra. E para fazer uma mesa a mercenaria gasta 3 metros quadrados de 
madeira e 1 homem hora de mão-de-obra.
Além disso, o fabricante sabe que cada armário dá uma margem de 
contribuição para o lucro de 40 u. m. e cada mesa dá apenas 1 u. m..
a) Determine a mistura óptima de produção diária da mercenaria.
b) Determine o intervalo de variação da margem de lucro para os armários 
no qual o óptimo não sofre grandes alterações.
c) Qual seria a óptima mistura de produção diária caso a disponibilidades de 
madeira aumentasse para 16 m2?
3.4. Princípios de Dualidade em Programação Linear
O problema dual é um problema auxiliar de Programação Linear (PL), definido 
directa e sistematicamente a partir do modelo original (problema primal).
Na maioria dos casos o problema dual é definido para diversas formas do 
problema primal, dependendo dos tipos das restrições, dos sinais das variáveis e do 
sentido da optimização.
3.4.1. Relações entre os problemas primal e dual
As relações existentes entre os problemas primal e dual são as seguintes:
• Os coeficientes da função objectiva do problema primal são os segundos 
membros (termos independentes) das restrições do problema dual; 
analogamente os termos independentes das restrições do problema primal 
são os coeficientes da função objectiva do problema dual;
• As desigualdades das restrições do problema primal transforma-se em 
restrições com o sentido contrário nas restrições do problema dual;
• O objectivo da optimização muda de maximizar (no problema primal) para 
minimizar (no problema dual) e vice-versa;
• Cada coluna do problema primal corresponde a uma restrição (linha do 
problema dual);
• Cada restrição (linha do problema primal) corresponde a uma coluna do 
problema dual.
Mais detalhes sobre as relações entre o problema primal e problema dual 
podem ser apresentadas com ajuda do quadro abaixo.
Quadro 1 – Relações entre os problemas primal e dual
PRIMAL
Variáveis x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 … xn ≥ 0 Relações Constantes
D
U
A
L
Y1 ≥ 0 a11 a12 … a1n ≤ b1
Y2 ≥ 0 a21 a22 … a2n ≤ b2
… … … … … … …
ym ≥ 0 am1 am2 … amn ≤ bm
Relações ≥ ≥ … ≥ Maximizar z
Constantes c1 c2 … cn Minimizar w
3.4.2. Transformação do problema primal em dual
Para transformar o problema primal em problema dual, com base nas 
relações entre ambos, é necessário:
• Determinar uma variável dual não negativa para cada restrição do problema 
primal;
• Compor o vector dos termos independentes do problema primal para o vector 
dos coeficientes da função objectiva do problema dual;
• Compor o vector dos coeficientes da função objectiva do problema primal 
para obter os termos independentes do problema dual;
• Transpor a matriz de coeficientes do problema primal para obtera matriz das 
restrições do problema dual;
• Mudar o sentido das desigualdades das restrições do problema primal na 
forma contrária para o dual; e
• Mudar o sentido de optimização do problema primal na forma contrária em 
relação ao primal.
O problema dual obtido em resultado das transformações é também um 
problema de Programação Linear que se designa por Problema Dual na forma 
simétrica. E as composições gerais dos problemas Primal e Dual são representado 
das seguintes formas:
• para o Problema Primal: 




≥
≥
=
0
:
:
X
BAXaSujeito
CXzMaximizar
; e
• para o Problema Dual: 





≥
≤
=
0
:
:
Y
CYAaSujeito
BYwMinimizar
T
Onde: A é matriz de dimensão (m×n);
AT é ma triz transposta;
B é vector coluna dos termos independentes das restrições do Primal;
C é o vector linha dos coeficientes da função objectiva do Primal;
X é vector coluna das variáveis do Primal,
Y é vector linha das variáveis do Dual.
m é o número de restrições do Primal, e
n é o número de variáveis do Primal.
Exemplo 1: Para exemplificar a transformação do problema primal em problema 
dual considera-se o seguinte problema:
0,,
232
102
523:
243:
321
321
321
321
321
≥
≥−+−
≥++
≥+−
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizar
A transformação deste problema, de acordo com as regras, resulta o 
seguinte problema dual:
0,,
22
432
323:
2105:
321
321
321
321
321
≥
≤−+
≤++−
≤−+
++=
yyy
yyy
yyy
yyyaSujeito
yyywMaximizar
Exemplo 2: Considere o sewguinte Problema Primal:
0,,
523
432:
63:
321
321
321
321
≥
≤−+−
≤++−
++=
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMaximizar
O respectivo probplema Problema Dual.
0,
63
322
13:
54:
21
21
21
21
21
≥
≥−
≥+
≥−−
+=
yy
yy
yy
yyaSujeito
yywMinimizar
Entretanto, muitas vezes o problema primal apresenta tipos diferenciados das 
restrições. Nestes casos o problema dual é obtido simetricamente, a partir do primal, 
de acordo com as seguintes regras:
a) Existe uma variável dual por cada restrição do primal;
b) Existe uma restrição dual por cada variável do primal;
c) O objectivo de optimização muda de maximizar para minimizar e vice-versa;
d) Os termos Independente das restrições do Primal passam para coeficientes 
da função objectiva do Dual,
e) Os coeficientes da Função objectiva do Primal passam para termos 
Independentes das restrições do Dual;
f) A matriz dos coeficientes das restrições do Primal (A), passa para Matriz 
transporta dos Coeficientes das restrições do Dual (AT);
g) A restrições primal i é é do tipo igualdade (=), a variável dual yi não é 
restrita;
h) A restrição primal i é do tipo menor ou igual (≤), a variável dual yi é maior ou 
igual a zero (≥ 0);
i) A restrição primal i é do tipo maior ou igual (≥), a variável dual yi é menor ou 
igual a zero (≤ 0)
j) A variável primal xj não é restrita, a restrição dual j é do tipo igualdade (=);
k) A variável primal xj é maior ou igual a zero (xi ≥ 0), a restrição dual j é do tipo 
maior ou igual a zero (≥); e
l) Variável primal xj é menor ou igual a zero (xi ≤ 0), a restrição dual j é do tipo 
menor ou igual a zero (≤).
Estas regras podem ser sintetizadas através do quadro abaixo apresentado.
Quadro 2 – Relações Primal / Dual
PRIMAL DUAL
Coeficientes da Função Objectivo Termos independentes
Termos independentes Coeficientes da Função Objectivo
≤ ≥ 0
j-ésima restrição do tipo ≥ i-ésima variável ≤ 0
= livre
≥ 0 ≥
i-ésima variável ≤ 0 j-ésima restrição do tipo ≤
livre =
Matriz de coeficientes A Matriz Transposta AT
Exemplo 3: Seja dado o seguinte Problema Primal:
livrexxx
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMaximizar
321
321
321
321
321
321
;0,
13
3263
87
42:
23:
≥
−≥−+
≤+−
=−+
≤+−−
−−=
O respectivo problema dual será:
livreyyyy
yyyy
yyyy
yyyyaSujeito
yyyywMinimizar
2431
4321
4321
4321
4321
;0;0,
12
23672
33:
384:
≤≥
−=−+−
−≥+−+−
≥++−−
−++=
Exemplo 4: Seja dado o seguinte Problema Primal:
livrexxxxx
xxx
xxxx
xxxxxaSujeito
xxxxxzMinimizar
35421
431
5321
54321
54321
;0;0,,
102
85
2052945:
576:
≤≥
≤+−
≥++−
−=−+−+−
++−+=
O respctivo Problema Dual será:
0;0;
55
12
759
64
125:
10820:
321
21
31
321
21
321
321
≤≥
≥+−
≤+
−=−+−
≤−
≤++−
++−=
yylivrey
yy
yy
yyy
yy
yyyaSujeito
yyywMaximizar
3.4.3. Resolução do Problema Dual
Na prática, é usual se obter a solução do problema Primal através da 
resolução do problema Dual. O exemplo a seguir dá detalhes deste processo.
Exemplo 1: Para exemplificar a obtenção da solução do problema primal através 
da resolução do problema dual retome-se o exemplo 1:
0,,
232
102
523:
233:
321
321
321
321
321
≥
≥−+−
≥++
≥+−
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizar
A transformação deste problema, de acordo com as regras, resulta o seguinte 
problema dual:
0,,
22
332
323:
2105:
321
321
321
321
321
≥
≤−+
≤++−
≤−+
++=
yyy
yyy
yyy
yyyaSujeito
yyywMaximizar
Resolvendo este problema tem-se:
22
332
323
3321
2321
1321
=+−+
=+++−
=+−+
syyy
syyy
syyy








=
=
=
=
===
⇒=−=
0
3
3
3
0
336
3
2
1
321
w
s
s
s
yyy
D
02105 321 =−−− yyyw
y1 y2 y3 s1 s2 s3
s1 3 1 –2 1 0 0 3
s2 –2 1 3 0 1 0 3
s3 1 2 1 0 0 1 2
w –5 –10 –2 0 0 0 0
y1 y2 y3 s1 s2 s3
2
5 0
2
3− 1 0 0 2
2
5− 0
2
7 0 1 0 2
2
1 1
2
1− 0 0 1 1
0 0 –7 0 0 0 10
y1 y2 y3 s1 s2 s3
s1
7
10 0 0 1
7
3
7
5−
7
20
y3
7
5− 0 1 0
7
2
7
1−
7
4
y2
7
1 1 0 0
7
1
7
3
7
9
w –5 0 0 0 2 4 14
y1 y2 y3 s1 s2 s3
y1 1 0 0
10
7
10
3
2
1− 2
y3 0 0 1
2
1
2
1
2
1− 2
y2 0 1 0
10
1−
10
1
2
1 1
w 0 0 0
2
7
2
7
2
3 24
Esta última tabela fornece a solução óptima do problema Dual que é a 
seguinte:







=
=
=
=
24
2
1
2
*
*
3
*
2
*
1
w
y
y
y
Entretanto, ao se resolver o problema Dual tinha-se em vista a determinação 
da solução do problema Primal. Esta última, é obtida a partir da tabela optimizada 
do Dual, onde os valores óptimos das variáveis do problema Primal são iguais os 
coeficientes das variáveis de folga, na função objectivo, das restrições associadas 
às variáveis do Primal.
Deste modo, a viável primal x1 deu origem a primeira restrição dual que, por 
sua vez, está associada a variável de folga s1 cujo coeficiente na função objectivo é 
igual a sete meios ( 2
7 ). Isto indica que o valor óptimo da variável primal x1 é igual a 
sete meios 2
7 . Por sua vez, a viável primal x2 deu origem a segunda restrição dual 
que, está associada a variável de folga s2 cujo coeficiente na função objectivo é, 
também, igual a sete meios ( 2
7 ). Similarmente ao primeiro caso, isto indica que o 
valor óptimo da variável primal x2 é igual a sete meios 2
7 . E, de modo análogo, 
pode-se determinar que o valor da variável primal x3 é igual a três meios ( 2
3 ).
Entretanto, o valor da função objectivo é o mesmo para os dois casos. Assim 
a solução óptima do problema Primal será a seguinte:









=
=
=
=
24
2
3
2
7
2
7
*
*
3
*
2
*
1
z
x
x
x
Exemplo 2: Considere o seguinte problema primal, Componha o dual e obtenha a 
solução do primal:
0,,
332
8785
5232:
94:
321
321
321
321
321
≥
−≥++−
−≥−−
≥−−
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMaximizar
A transformação deste problema, de acordo com as regras, resulta o seguinte 
problema dual:
0,,
9372
4283
152:
385:
321
321
321
321
321
≥
≤+−−
≤+−−
≤−+
−−=
yyy
yyy
yyy
yyyaSujeito
yyywMinimizar
Resolvendo este problema tem-se:
9372
4283
152
3321
2321
1321
=++−−
=++−−
=+−+
syyy
syyy
syyy








=
=
=
=
===
⇒=−=
0
9
4
1
0
336
3
2
1
321
w
s
s
s
yyy
D
0385 321 =++− yyyw
y1 y2 y3 s1 s2 s3
s1 2 5 –1 1 0 0 1
s2 –3 –8 2 0 1 0 4
s3 –2 –7 3 0 0 1 9
w –5 8 3 0 0 0 0
y1 y2 y3 s1 s2 s3
s1
5
2 1
5
1−
5
1 0 0
5
1
s2
5
1 0
5
2
5
8 1 0
5
28
y2
5
4 0
5
8
5
7 0 1
5
52
w
5
41− 0
5
23
5
8− 0 0
5
8−
y1 y2 y3 s1 s2 s3
s1
2
11 0
8
3 0
8
1
2
3
y3 0 0 0
4
5 1
4
1
− 3
y2
2
1 0 1
8
7 0
8
5
2
13
w
2
21
− 0 0
8
45
− 0
8
23
−
2
63
−
Esta última tabela fornece a solução óptima do Dual que é a seguinte:









−=
=
=
=
2
63
2
13
2
3
0
*
*
3
*
2
*
1
w
y
y
y
A solução óptima do problema Primal é obtida de modo análogo ao caso 
anterior. Porém, por força das regras do Método de Simplex, os coeficientes das 
variáveis de folga na função objectivo são negativos. E dada a não negatividade 
das variáveis do problema Primal, deve-se considerar os seus valores absolutos.
Deste modo, como a viável primal x1 deu origem a primeira restrição dual 
que, por sua vez, está associada a variável de folga é s1cujo coeficiente na 
função objectivo é igual a menos quarenta e cinco oitavos ( 8
45− ), então o valor 
óptimo da variável primal x1 é 8
45 . E de modo análogo pode-se determinar que o 
valor da variável primal x2 é zero (0) e o valor da variável primal x3 é igaul a três 
meios 8
23 . E o valor da função objectiva sessenta e três meios ( 2
63 ),. Assim a 
solução óptima do problema Primal será a seguinte:









=
=
=
=
2
63
8
23
0
8
45
*
*
3
*
2
*
1
z
x
x
x
Referências seleccionadas
Hartley, R. (1985), “Linear and Non-linear Programming”. An Introduction to Linear 
Methods in Mathematical Programming. Ellis Horwood Limited, West Sussex.
Taha, H. (1997), “Operations Reseach”. An Introduction. 6th Edition. Prentice-Hall, 
Inc. Upper Saddle River.
Andrade, Eduardo L. (2000). Introdução à Pesquisa Operacional”, 2ª Edição. Livro 
Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro.
Exercícios
1. Considere os seguintes problemas de Programação Linear, e componha os 
respectivos problemas duais e resolva-os e dé soluções dos problemas primais.
0,
2103030
1501050
2005020:
510:)
21
21
21
21
21
≥
≥+
≥+
≥+
+=
xx
xx
xx
xxaSujeito
xxzMinimizara
0,,
222
333
123:
2105:)
321
32
321
321
321
≥
≥−
≥++−
≥−+
++=
xxx
xx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizarb
0,,
232
102
523:
243:)
321
321
321
321
321
≥
≥−+−
≥++
≥+−
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizarc
0,,
32
2
232:
527:)
321
321
321
321
321
≥
≥++
−≥+−
≥−+
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizard
0,,
232
102
923:
43:)
321
321
321
321
321
≥
≥−+−
≥++
≥+−
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizare
0,,
4763
248
6627:
353025:)
321
321
321
321
321
≥
≥++
≥++
≥++
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizarf
0,,,
424
232
4265
322:
3792:)
4321
321
421
431
4321
4321
≥
≥+−−
−≥++
≥−+−
−≥+−+
+++=
xxxx
xxx
xxx
xxx
xxxxaSujeito
xxxxzMinimizarg
2. Considere os seguintes problemas de Programação Linear, e componha os 
respectivos problemas duais e resolva-os e dé soluções dos problemas primais.
0,
2953
2325
4046:
726:)
21
21
21
21
21
≥
≥+
≥+
≥+
+=
xx
xx
xx
xxaSujeito
xxzMinimizara
0,
2133
155
2052:
510:)
21
21
21
21
21
≥
≥+
≥+
≥+
+=
xx
xx
xx
xxaSujeito
xxzMinimizarb
0,
44
623:
32:)
21
21
21
21
≥
≥+
≥+
+=
xx
xx
xxaSujeito
xxzMinimizarc
0,,
5334
10453:
62012:)
321
321
321
321
≥
≥−+
≥++
++=
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizard
0,,
4222
333:
36:)
321
321
321
321
≥
−≥+−−
≥−+
++=
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizare
0,,
132
1:
342:)
321
321
321
321
≥
≥−+
−≥++−
++=
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMaximizarf
0,,
122
1
15:
4:)
321
321
321
321
321
≥
≥+−
≥++−
≥++
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizarg
0,,
333
523
222:
52:)
321
321
321
321
321
≥
−≥−+−
−≥−−
≥+−−
++=
xxx
xxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMaximizarh
0,,
12
1
2:
23:)
321
321
32
321
321
≥
≥+−
−≥+
−≥++
++=
xxx
xxx
xx
xxxaSujeito
xxxzMaximizari
3. Considere os seguintes problemas de Programação Linear, e componha os 
respectivos problemas duais e resolva-os e dé soluções dos problemas primais.
livrexxx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizara
321
321
321
321
,0,0
332
123:
2107:)
≤≥
≤++−
≤−+
++=
0,0,
324
132:
15233:)
321
321
321
321
≥≤
≤++−
−≤++
++=
xxlivrex
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizarb
livrexxx
xx
xxx
xxxaSujeito
xxxzMinimizarc
321
21
321
321
321
,0,0
434
422
246:
1078:)
≤≥
−≤+
−≤++
=++−
++=
livrexxx
xxx
xxx
xxaSujeito
xxxzMaximizard
321
321
321
21
321
,0,0
122
3245
13:
2513:)
≥≤
≤++−
−≤−−
≤+
++=
0,0,0
14
15:
450:)
321
321
21
321
≥≤≥
≤++
≤+
++=
xxx
xxx
xxaSujeito
xxxzMinimizare
	3.3. Análise da Sensibilidade
	3.3.1 Solução Óptima
	3.3.2 - Situação dos Recursos
	3.3.3.Preço - Sombra
	3.3.4. Alteração da disponibilidade de recursos
	3.3.5. Alteração do lucro
	3.3.6. Alteração que afectam a viabilidade da solução
	3.4. Princípios de Dualidade em Programação Linear
	3.4.1. Relações entre os problemas primal e dual
	3.4.2. Transformação do problema primal em dual
	3.4.3. Resolução do Problema Dual