Analise de sensibilidade

Prévia do material em texto

1 
 
UEM – Nota de Docente de IO sobre aula 9 - VTM 
UEM - NOTA DE DOCENTE SOBRE AULA 9 DE IO SOBRE ANÁLISE DE 
OUTPUT E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
 
1- BREVE INTRODUÇÃO 
A análise de soluções de problemas de PL é cada vez mais realizada com base em programas 
informáticos, pois na vida profissional e mais especificamente nas empresas, a informática torna-
se um indispensável auxiliar de apoio à tomada de decisão. Com efeito, deixou de fazer sentido 
resolver problemas sem apoio informático, uma vez que tudo se torna mais rápido, mais eficiente 
e mais eficaz. 
Para a referida análise “pós-optimal”, utilizaremos o programa informático “LINGO”. 
 
2- EXEMPLO NÚMERICO 
2.1-Formulação de PPL de Produção 
A Kuhanha, SA é uma grande empresa, produtora e comerciante de produtos do ramo de 
brinquedos para adolescentes, que pretende determinar o plano óptimo de produção que a 
permita maximizar o seu lucro. 
A empresa produz quatro tipos de brinquedos de madeira (um puzzle, um copo, um cubo mágico 
e uma bola) em duas secções principais. Na primeira secção procede-se ao corte e polimento em 
máquinas que, por serem polifacetadas realizam cada uma delas, as duas operações de forma 
sequencial. Na segunda, procede-se aos acabamentos, que se resumem a pinturas manuais. Estas 
secções, apresentam uma capacidade de 100 horas-maquinas e 150 horas-homem, 
respectivamente. As matérias-primas não constituem limitação relevante para o processo 
produtivo pois existe uma grande oferta no mercado, quer no que diz respeito à madeira, quer a 
tintas e colas (os três materiais utilizados). O cubo mágico vem já em condições de ser apenas 
pintado, necessitando de 24 minutos de trabalho de acabamento, em média. Quanto aos outros 
três, o puzzle necessita de 12 minutos na máquina de corte e polimento e de uma média de 18 
minutos de trabalho manual de pintura. Quer o copo, quer a bola apenas necessitam de trabalho 
2 
 
UEM – Nota de Docente de IO sobre aula 9 - VTM 
de corte e polimento, nomeadamente 6 e 18 minutos respectivamente. A venda destes produtos, 
origina margens de contribuição de 40, 30, 100 e 50 unidades monetárias em termos unitários. A 
Kuhanha é obrigada a produzir pelo mentos 200 puzzles e 100 cubos mágicos, pois tem um 
contrato de fornecimento permanente com uma cadeia de lojas de brinquedos. 
2.2- OutPut de PL 
O Output foi obtido usando-se o pacote informático especializado (CMMS – Computer Models 
for Management Sciense). No nosso caso, iremos usar o LINGO que teremos o mesmo tipo de 
solução: 
MAX LUCRO=40X1+30X2+100X3+50X4 
SUBJECT TO: 
0,2X1+0,1X2+0X3+0,3X4<=100 
0,3X1+0X2+0,4X3+0X4<=150 
1X1+0X2+0X3+0X4>=200 
0X1+0X2+1X3+0X4>=100 
RESULTS: 
 
OBJECTIVE FUNCTION VALUE: 48500 
VARIABLE VARIABLE VALUE ORIGINAL COEFICIENT COEFICIENT SENSITIVE
X1 200 40 0
X2 600 30 0
X3 225 100 0
X4 0 50 40
CONSTRAINT ORIGINAL SLACK
NUMBER RIGHT HAND VALUE OR SURPLUS
1 100 0 300
2 150 0 250
3 200 0 95
4 100 125 0
SHADOW PRICE
3 
 
UEM – Nota de Docente de IO sobre aula 9 - VTM 
SENSITIVE ANALYSIS 
 
 
Note que o modelo de PL apresentado pelo Output é exactamente igual à aquele que 
construiriamos de raiz na formulação de PPL de produção: 
Passo 1: variaáveis de decisão: 
X1 – nº de puzzles produzidos 
X2 – nº de copos produzidos 
X3 – nº de cubos mágicos produzidos 
X4 – nº de bolas produzidas 
 
Passo 2: Função objectivo e restrições (modelo completo) 
Max Lucro L=40x1+30x2+100x3+50x4 (unidades monetárias) 
S.a 0,2x1+0,1x2+0,3x4<=100 (horas-máquinas) 
 0,3x1+0,4x3<=150 (horas-homem) 
 X1>=200 (unidades) 
OBJECTIVE FUNCTION COEFICIENT
VARIABLE LOWER LIMIT ORIGINAL COEFICIENT UPPER LIMIT
X1 NO LIMIT 40 135
X2 16.667 30 NO LIMIT
X3 0 100 NO LIMIT
X4 NO LIMIT 50 90
RIGHT-HAND-SIDE VALUES
CONSTRAINT
NUMBER
1 40 100 NO LIMIT
2 100 150 NO LIMIT
3 0 200 366,667
4 NO LIMIT 100 225
END OF ANALYSIS
LOWER LIMIT ORIGINAL VALUE UPPER LIMIT
4 
 
UEM – Nota de Docente de IO sobre aula 9 - VTM 
X3>=100 (unidades) 
X1, x2,x3x4>=0 
 
Passo 3: Análise do quadro dos resultados 
Temos dois quadros de resultados. 
a) Primeiro Quadro de Resultados 
- A coluna das variable indica-nos as variáveis de decisão. E variable value são os valores das 
varáveis de decisão; 
- Original coeficient são os coeficientes originais das variáveis de decisão na linha da função 
objectivo. 
- Coeficient sensitivy são os coeficientes de sensibilidades uma vez que nos dão informações 
necessárias para se proceder a análise de sensibilidade em termos da sua variação marginal 
relativamente ao valor óptimo das variáveis de decisão. Designa-se também por custos 
reduzidos. 
 
b) Segundo Quadro de Resultados 
- Constraint number da-nos informação relativa as restrições. 
- Original right-hand value, da-nos o valor inicial dos recursos ou termos independentes. 
- Slack or Surplus da-nos o valor das variáveis de folga ou dos excessos de cada restrição. 
- Shadow price da-nos o valor dos preços de sombra ou variáveis duais de cada restrição. 
- Objective function value , da-nos o valor da função objectivo no óptimo. 
 
Passo 4: Interpretação da solução óptima (Análise óptima) 
Para interpretar adequadamente a solução óptima podemos apresentar os resultados do output na 
tabela final do simplex: 
5 
 
UEM – Nota de Docente de IO sobre aula 9 - VTM 
 
- As quantidades a produzir de acordo com o plano de produção óptimo são: 200, 600 e 225 
unidades dos produtos X1, X2 e X3 (puzzle, copo e cubo mágico) respectivamente, não se 
produzindo nenhuma bola (X4). 
- Existe excesso na restrição 4 de 125 cubos mágicos, relativamente à produção miníma exigida 
de 100 unidades. Esta situação conduz a um lucro de 48.500 unidades monetárias. 
- Ambas secções I e II estão a trabalhar à sua capacidade máxima, não existindo portanto 
qualquer folga quer de horas-maquinas de corte e polimento, quer de horas-homem de 
acabamentos. A produção de 200 puzzles, servirá para satisfazer uma encomenda que faz parte 
de um acordo de fornecimento nessa mesma quantidade. 
- A encomenda de cubos será também satisfeita, mas como já foi referida será produzida 125 que 
é superior as 100 necessárias. 
 
Passo 5: Análise pós-optimal 
A análise de sensibilidade “sensitivity analysis” apresentada no output inclui duas secções 
diferentes: a) análise para coeficiente da linha da função objectivo; e b) análise para os termos 
independentes. 
Assim se fizermos manualmente o cálculo dos intervalos de sensibilidade, obteremos o limite 
inferior “lower limit” e o limite superior “upper limit” quer para cada coeficiente das variáveis 
de decisão “objective function coefficients”, quer para os termos independentes das restrições 
“right-hand values”. 
As colunas de valores entre os dois limites, corresponde aos valores iniciais dos respectivos 
parâmetros “original coefficient e original value” 
 
Olhando o output apresentado podemos retirar o seguinte: 
a) Intervalos de sensibilidade para os coeficientes das variáveis de decisão: (c1<=135; 
16,6<=c2; 0<=c3; c4<=90) 
Base X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 S4 Bi
X1 1 0 0 * * * * 0 200
X2 0 1 0 * * * * 0 600
X3 0 0 1 * * * * 0 225
S4 0 0 0 * * * * 1 125
Z 0 0 0 40 300 250 95 0 48500
6 
 
UEM – Nota de Docente de IO sobre aula 9 - VTM 
b) Intervalos de sensibilidade para os lados direitos das restrições: (40<=b1; 100<=b2; 
0<=b3<=366,6; b4<=225). 
 
INTERPRETAÇÃO: 
- Cada puzzle vendido confere a empresa um benefício de 40 unidades monetárias. Note que, a 
empresa se pretender manter o mesmo nível de produção não poderá exceder o lucro unitário de 
135 unidades monetárias para este produto. 
- O lucro unitário dos produtos 2 e 3 são de 30 e 100 unidades monetárias respectivamente. O 
nível de produção destes produtos pode-se manter desde que esses valores não desçam para 
níveis abaixo de 16,6 e 0. 
- O produto 4 não esta a ser produzido na solução óptima, pois a sua contribuição unitária para olucro da empresa não é compensadora. A partir da análise dos intervalos de sensibilidade, pode-
se verificar que a partir de um lucro unitário de produto 4 igual a 90, se tornará vantajoso 
produzir o mesmo, e consequentemente haverá uma mudança da base óptima em que X4 passará 
a fazer parte dessa base. 
- Y1 é o preço de sombra do recurso 1 (horas-máquinas), ou seja o preço de referência das horas-
maquinas da secção 1. O seu valor é de 300 unidades monetárias. Diz-nos que se a empresa 
dispussesse de uma hora adicional para utilizar no processo produtivo, o lucro viria aumentar em 
300 unidades monetárias, desde que o seu custo fosse exactamente o que se pagou até aí por essa 
hora de trabalho da máquina de corte e polimento. Consequentemente, este será o valor marginal 
atribuido a este recurso, dada a solução óptima actual. O mesmo racciocioneo aplica-se para os 
outros preços de sombra. 
- O valor de 40 unidades monetárias é o lucro por unidade que se perde por não estar a ser 
produzido o produto 4 (ver custos reduzidos). 
 
Bons estudos! 
 
Grupo da disciplina: 
- Mestre Valter Manjate 
- Dr. Titos Siueia