Resumão Cálculo II

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Cálculo II
Integrais Indefinidas
F(x) é uma função
primitiva de f(x) num
intervalo I quando x pertence
ao mesmo intervalo, nem sempre
será mencionado mas sempre
será definida num intervalo.
Em integrais definidas
quando resolvidas adicionamos
uma constante c.
Duas funções primitivas
iguais só se diferem na
constante, logo se conhecemos
uma primitiva conhecemos
todas.
*reta tangente=derivada
Integral por Substituição
Neste método introduzimos
uma nova variável para
substituir uma parte da
integração, lembrando que esse
método só é válido quando o
que resta na integral possa
ser substituído pela derivada
da nova variável.
Integrais Definidas
Se uma função for
definida em um intervalo
fechado [a,b] e a função≥0,
então a área abaixo dessa
função é conhecida como
Integral de Riemann. Sendo
assim, toda função contínua
definida num intervalo é
integrável.
OBS\ Mas isso não significa
que se ela não for contínua
ela não será derivável.
Teorema do Valor Médio
para Integrais
Existe um número c tal
que o retângulo com base [a,b]
e altura f(c) tem a mesma área
que a região sob o gráfico de
f desde a até b.
f(c) é valor médio de f
em [a,b] para achar c basta
substituir na função.
Teorema Fundamental do
Cálculo
Se f é contínua em [a,b]
e F é uma primitiva de f,
então:
Integral por Partes
Se origina da derivada do
produto.
Usamos uma estratégia
para facilitar qual função a
ser substituída.
Substituir por u: (←)
Logarítmicas Inversões
Trigonométricas
Substituir por dv:(→)
Trigonométricas Exponencial
Áreas de Figuras Planas
Caso I: área limitada
pelo gráfico de f e pelas
retas x=a e x=b e o eixo -x,
onde f é contínua >0∀x∈[a,b]
Caso II: igual ao caso I,
porém abaixo do eixo -x então
acrescentando o módulo pois
não existe área negativa.
Caso III: figura limitada
por duas funções f e g, pelas
retas
x=a,x=b,f(x)≥g(x)∀x∊[a,b]
i)f(x)≥0 e g(x)≥0
ii)f(x)≥0 e g(x)≤0
iii)f(x)≤0 e g(x)≤0
se f(x)≥g(x) para todo x ∊
[a,b] então se resume a uma
única fórmula
Comprimento do Arco
Medir o comprimento seja
reta ou curva. Demonstração
por distância entre dois
pontos.
Funções Trigonométricas
Integrais Impróprias
É uma integral que tem um
ou os dois dos seus intervalos
tendendo a ±∞, e para
resolvê-la utilizamos o limite
de uma incógnita tendendo ao
infinito.
1.[a,+∞)
2.(-∞,b]
3.f é integrável
(-∞,+∞)
OBS: no caso onde o
limite existir dizemos que a
integral imprópria converge, e
o limite é definido como sendo
o valor da integral. Caso o
limite não exista, dizemos que
a integral imprópria diverge.
Não é o limite da função
e sim o limite do resultado da
integral que precisa
convergir.
Integração por Frações
Parciais
O método se resume a
reescrever a fração numa soma
de outras funções mais
simples.
*Quando o numerador for
maior que o denominador basta
dividir normalmente as
frações(método Briot-Ruffini)
1: Quando o polinômio Q
pode ser fatorado como um
produto de fatores lineares
(ax+b).
Agora basta fazer o MMC
entre as frações e igualar os
coeficientes com o outro lado
da equação.
2: A cada fator linear
(ax+b) que aparece r vezes no
denominador de uma fração
corresponde a soma de n
frações parciais da forma:
3: A cada fator do 2ºgrau
irredutível (Δ<0) da forma
(ax²+bx+c) que aparece no
denominador de uma fração
própria corresponde a uma
fração parcial da forma:
4: Para cada fator da
forma(ax²+bx+c)r a decomposição
em frações parciais contém a
seguinte soma:
Sólidos de Revolução
É um sólido gerado pela
rotação de região plana em
torno de uma reta que está no
mesmo plano da região.
Como a figura não é
maciça então precisamos tirar
a parte de dentro, então será
o (raio maior)² menos o (raio
menor)²
Volume por Camadas
Cilíndricas
Quando é inviável
escrever x em função de y e
quando pede para girar o
sólido no eixo y, iddo .
Para achar os raios externos e
internos da arruela precisamos
resolver a equação y=2x²-x³, o
que não é fácil. Então
utilizamos o método das
camadas cilíndricas
Área da Superfície do
Sólido de Revolução
É formada quando uma
curva é girada em torno de uma
reta. Essa superfície é a
fronteira lateral de um
sólido. Superfície= área
plana.
*Não esquecer as
restrições dada no enunciado.
Sequências
É uma função cujo domínio
é o conjunto de todos os
números inteiros positivos
{1,2,3,4,...n}. Os números da
imagem da sequência são
chamados de elementos de
sequência.
Se o limite
existir, dizemos que a
sequência converge. Caso
contrário, diverge.
*A maioria dos limites se
resolve pelo grau maior do
numerador e o maior grau do
denominador ou por L'hôpital
Toda série monótona
limitada é convergente.
Séries
Geométrica: achar a razão
(sucessor፥antecessor)
Se r=0, indeterminação
Se r=1, diverge
Se r≠1, soma de um P.G.
de n termos.
Se -1<r<1, a série é
convergente quando |r|<1 (soma
de uma P.G. infinita). Caso
contrário |r|>1, a série é
divergente.
Telescópica: eliminação,
primeiro verificamos se pode
ser geométrica e então
concluímos que é telescópica.
Utiliza o método de
decomposição de frações
parciais