[Cálculo Numérico] Resolução de Sistemas Lineares - Métodos Diretos (Resumo)

Prévia do material em texto

A menos por erros de arredondamento 
(truncamento), fornecem a solução exata do 
sistema linear, caso exista. 
i. Multiplicadores do processo 
de eliminação de Gauss. 
ii. Matriz do final da fase de 
eliminação de Gauss. 
 
Fatores: 
i. 𝑔11 = √𝑎11 
ii. 𝑔𝑖1 =
𝑎𝑖1
𝑔11
 
iii. 𝑔𝑖𝑖 = √𝑎𝑖𝑖 − ∑ (𝑔𝑖𝑘)
2𝑖−1
𝑘=1 
iv. 𝑔𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑗−∑ 𝑔𝑖𝑘∙𝑔𝑗𝑘
𝑗−1
𝑘=1
𝑔𝑗𝑗
 
 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
 
Métodos diretos 
 
 Eliminação de Gauss
{
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
 𝑎22𝑥2 + …+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 
 ⋱ ⋮ ⋮
 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
 
Atualização da linha: 
 𝐿𝑖 = 𝐿𝑖 −𝑚𝑖𝑘 ∙ 𝐿𝑝𝑖𝑣ô 
 
Escolha do pivô: 
 
i. Pivoteamento parcial: escolhe para pivô, o elemento de maior módulo entre os elementos da 
coluna a ser aplicada a eliminação. 
ii. Pivoteamento completo: escolhe para pivô, o elemento de maior módulo entre todos os elementos 
que ainda atuam no processo de eliminação. 
 
 Fatoração LU
Quando for possível realizar a fatoração 𝐴 = 𝐿𝑈, o sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏 pode ser resolvido fazendo-
se, 𝐶𝑦 = 𝑏 e, em seguida, 𝑈𝑥 = 𝑦. Obs.: Fatora apenas a matriz dos coeficientes pela eliminação de Gauss. 
 
Ex.:
𝐴 = (
1 0 0
𝑚21 1 0
𝑚31 𝑚32 1
)
⏟ 
𝑖
∙ (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22 𝑎23
0 0 𝑎33
)
⏟ 
𝑖𝑖
= 𝐿𝑈 
 
Teorema: 𝐴 = 𝐿𝑈 é única caso o determinante de todos os menores principais de 𝐴 forem não nulos. 
 
 Fatoração de Cholesky 
 
Teorema: Se 𝐴𝑛𝑋𝑛 for simétrica (𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖), em relação a diagonal principal, e definida positiva 
(menores principais positivos), então existe uma única matriz triangular inferior 𝐺𝑛𝑋𝑛 com elementos 
diagonais positivos, tal que, 𝐴 = 𝐺 ∙ 𝐺𝑡. 
Obs.: 𝐺𝑦 = 𝑏 ⇒ 𝐺𝑡𝑥 = 𝑦. 
 
Ex.:
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) = (
𝑔11 0 0
𝑔21 𝑔22 0
𝑔31 𝑔32 𝑔21
) ∙ (
𝑔11 𝑔21 𝑔31
0 𝑔22 𝑔32
0 0 𝑔33
)