35 Exercícios de Grandezas Proporcionais

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Matemática Básica XIII.2 1 
 
MÓDULO XIII 
 
 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
1. Razão 
 
A razão entre dois números a e b ≠ 0, nessa ordem, 
é o quociente 
b
a
. 
O número a é chamado de antecedente ou primeiro 
termo e o número b é chamado de conseqüente ou 
segundo termo. 
Exemplo: 
O número irracional π pode ser obtido através da 
razão entre a medida do comprimento de uma 
circunferência e a medida do seu diâmetro, ou seja, 
π
2r
C
 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.01) Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado 
é vendido por R$ 27,00. Determine a razão entre: 
a) o preço de venda e o preço de custo. 
b) o lucro e o preço de venda. 
 
EP.02) Em um retângulo a medida da base é 3cm maior 
que a altura. Calcule a área desse retângulo sabendo que 
a razão entre a medida da base e a medida da altura é 
3
4
. 
 
2. Proporção 
 
Os números a, b, c e d , com b ≠ 0 e d ≠ 0, formam, 
nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão 
entre a e b for igual a razão entre c e d, ou seja: 
d
c
b
a
 
e lê-se a está para b assim como c está para d. 
Os números a e d são chamados de extremos e os 
números b e c são chamados de meios. 
 
3. Propriedades das proporções 
 
Se os números a, b, c e d formam, nessa ordem, 
uma proporção, então: 
P1. 
d
c
b
a
 a.d = b.c 
“O produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios.” 
 
P2. 
d
c
b
a
 
d
dc
b
ba
 
“A soma dos dois primeiros está para o segundo, 
assim como a soma dos dois últimos está para o último.” 
 
P3. 
d
c
b
a
 
d
c
b
a
db
ca
 
“A soma dos antecedentes está para a soma dos 
conseqüentes assim como cada antecedente está para o 
correspondente conseqüente.” 
 
Exemplo: Determinando o valor de x na proporção 
2
1
x6
3x
, obtemos: 
2
1
x6
3x
  (x – 3).2 = (6 – x).1  2x – 6 = 6 – x  
 2x + x = 6 + 6  3x = 12  x = 4. 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.03) Uma miniatura de um automóvel foi construída na 
escala 1:40. As dimensões da miniatura são: comprimento 
12,5cm e largura 5cm. Quais as dimensões reais do 
automóvel em metros? 
 
 
EP.04) Determine o valor de x na proporção 3
2
5xx2
. 
 
 
EP.05) A soma das idades de Paulo e José é igual a 50 
anos. Se a idade de Paulo está para a de José assim 
como 3 está para 2, encontre a idade de cada um deles. 
 
4. Grandezas 
 
Entendemos por grandezas tudo aquilo que pode 
ser medido, contado. 
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a 
capacidade, a velocidade, o tempo, são alguns exemplos 
de grandezas. 
No nosso dia-a-dia encontramos várias situações 
em que relacionamos duas ou mais grandezas. 
Em uma corrida quanto maior for a velocidade, 
menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as 
grandezas são velocidade e tempo. 
Numa construção, quanto maior for o número de 
funcionários, menor será o tempo gasto para que esta 
fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de 
funcionários e o tempo. 
 
5. Grandezas diretamente proporcionais 
 
Duas grandezas são chamadas diretamente 
proporcionais, quando, dobrando uma delas a outra 
também dobra; triplicando uma delas a outra também 
triplica. 
Relacionamos duas grandezas diretamente 
proporcionais pela equação k
x
y
 ou y = k.x, onde k é um 
número real, chamado de constante de proporcionalidade. 
As grandezas diretamente proporcionais possuem 
uma variação linear e seu gráfico é uma reta que passa 
pela origem. 
 
Matemática Básica XIII.2 2 
Exemplo: 
Em um determinado mês do ano o litro de gasolina 
custava R$ 1,50. Tomando como base esse dado, 
podemos formar a seguinte tabela: 
Quantidade de gasolina 
(em litros) 
Valor a pagar 
(em reais) 
1 
2 
3 
1,50 
3,00 
4,50 
 
E também obtemos o seguinte gráfico: 
 
1 2 3 4 Litros
1,5
3,0
4,5
6,0
Custos (Reais)
0
 
 
Se a quantidade de gasolina dobra, o preço a ser 
pago também dobra. 
Se a quantidade de gasolina triplica, o preço a ser 
pago também triplica. 
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia 
a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas 
grandezas diretamente proporcionais. 
 
De maneira geral, se A = (a1 ,a2 , a3, ... ) e B = (b1, 
b2, b3, ... ) forem grandezas diretamente proporcionais, 
então: 
k...
b
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1 
onde o número k é a constante de 
proporcionalidade. 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.06) Se ( 3, x, 14,... ) e ( 6, 8, y,... ) forem grandezas 
diretamente proporcionais, então o valor de x + y vale: 
 
 
 
EP.07) Quando um automóvel é freado no momento em 
que sua velocidade é 27km/h, ele ainda percorre 9m até 
parar. Sabe-se que essa distância percorrida até parar é 
proporcional ao quadrado da velocidade do momento da 
freada. Determine a distância que o automóvel percorrerá 
até parar, se freado a 45km/h. 
 
 
 
 
 
6. Grandezas inversamente proporcionais 
 
Duas grandezas são chamadas inversamente 
proporcionais, quando, dobrando uma delas a outra se 
reduz para a metade; triplicando uma delas a outra se 
reduz para a terça parte e assim por diante. 
Relacionamos duas grandezas inversamente 
proporcionais pela equação y.x = k ou 
x
k
y onde k é um 
número real, chamado de constante de proporcionalidade. 
As grandezas inversamente proporcionais possuem 
uma variação cujo gráfico é uma hipérbole. 
 
Exemplo: 
Um professor de matemática tem 24 livros para 
distribuir igualmente entre os seus melhores alunos. Se 
ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 
livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um receberá 6 livros. 
Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. 
Observe a tabela: 
 
Números de alunos 
escolhidos 
Números de livros 
para cada aluno 
2 
4 
6 
12 
6 
4 
 
E também obtemos o seguinte gráfico: 
 
1 2 3 4 5 6
4
6
9
12
0 Alunos
Livros
 
 
Se o número de alunos dobra, a quantidade de 
livros cai pela metade. 
Se o número de alunos triplica, a quantidade de 
livros cai para a terça parte. 
Neste caso as duas grandezas envolvidas, número 
de alunos e número de livros, são chamadas grandezas 
inversamente proporcionais. 
 
De maneira geral, se A = (a1 ,a2 , a3, ... ) e B = (b1, 
b2, b3, ... ) forem grandezas inversamente proporcionais, 
então: 
k....ba.ba.ba 332211 
onde o número k é a constante de 
proporcionalidade. 
 
 
Matemática Básica XIII.2 3 
Exercícios Propostos 
 
EP.08) Determinar x e y sabendo-se que (1, 2, x, ... ) e 
(12, y, 4, ... ) são grandezas inversamente proporcionais. 
 
EP.09) Segundo a lei de Boyle-Mariotte, sabe-se que: "A 
uma temperatura constante, os volumes de uma mesma 
massa de gás estão na razão inversa das pressões que 
produzem". Se sob a pressão de 5 atmosferas, uma 
massa de gás ocupa um volume de 0,6dm
3
, a expressão 
que permite calcular a pressão P, em atmosferas, em 
função do volume V, em dm
3
, ocupado por essa massa de 
gás, é 
a) 
V
3
P 
b) 
3
V
P 
c) 
6V
5
P 
d) 
5
6V
P 
e) 
3V
25
P 
 
7. Divisão proporcional 
 
Dividir um número N em partes diretamente 
proporcionais aos números a, b, e c, significa determinar 
os números x, y, e z, de tal modo que: 
(I) as seqüências (x, y, z) e (a, b, c,) sejam diretamente 
proporcionais; 
(II) x+y+z = N 
 
No caso da divisão do número N em partes 
inversamente proporcionais, teríamos: 
(I) as seqüências (x, y, z) e (a, b, c,) sejam inversamente 
proporcionais; 
(II) x+y+z = N 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.10) Dividir o número 160 em três partes diretamente 
proporcionais aos números 2, 3 e 5. 
 
EP.11) Dividir 188 em partes inversamente proporcionais a 
3, 4 e 5. 
 
8. Regra de três simples 
 
Os problemas que envolvem grandezas diretamente 
ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos 
através de um método prático, chamado de regra de três, 
onde se calculam proporções entre as grandezas 
envolvidas. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
ER.01) Com uma área de absorção de raios solares de 
1,2m
2
, uma lancha com motor movido à energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. 
Aumentando-se essa área para 1,5m
2
, qual seráa energia 
produzida? 
Resolução: 
Montando a tabela, colocando em cada coluna as 
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as 
grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
x
400watts
Energia
1,5m
1,2m
Área
2
2
 
Observe que: aumentando o valor da área de 
absorção, deve aumentar a energia produzida. Portanto a 
relação é diretamente proporcional (nas duas grandezas 
colocamos setas no mesmo sentido). 
Então as grandezas nas seqüências (1,2, 400) e 
(1,5, x) são diretamente proporcionais logo: 
x
400
1,5
1,2
  1,2.x = (1,5).400  
 1,2.x = 600  x = 500 watts. 
Logo, a energia produzida será igual a 500 watts. 
 
ER.02) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média 
de 400km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em 
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade 
utilizada fosse de 480km/h? 
Resolução: 
Montando a tabela, colocando em cada coluna as 
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as 
grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
x
horas 3
Tempo
h
km480
h
km400
Velocidade
 
Observe que: aumentando a velocidade do trem, 
deve diminuir o tempo do percurso. Portanto a relação é 
inversamente proporcional (nas duas grandezas 
colocamos seta com sentidos contrários). 
Então as grandezas nas seqüências (400, 3) e 
(480, x) são inversamente proporcionais logo: 
 
480.x = 3.400  
 
 480.x = 1200  x = 2,5 horas ou x = 2h 30min. 
Logo, o tempo necessário no percurso na segunda 
situação é igual a 2 horas e 30 minutos. 
 
9. Várias grandezas proporcionais. Regra de três 
composta 
 
Se uma grandeza X é diretamente proporcional às 
grandezas d1, d2, ... dn e inversamente proporcional às 
grandezas i1, i2, ... im, então estas grandezas juntas 
satisfazem uma relação da forma 
1 2 3 n
1 2 m
d .d .d ... d
X k.
i .i ... i
 
Onde k é um valor constante chamado de 
proporcionalidade 
Chamaremos a expressão acima de Função de 
Proporcionalidade. 
A função de proporcionalidade é útil, especialmente, 
na Física e na Química quando queremos descrever 
matematicamente a relação entre várias grandezas 
proporcionais. 
Matemática Básica XIII.2 4 
Exercício Resolvido 
ER.03) Em uma gás a pressão é diretamente proporcional 
à temperatura e inversamente proporcional ao volume. 
Sabendo isso 
 
a) Escreva a relação que expressa este fato 
b) Ache o valor da constante de proporcionalidade 
sabendo que à temperatura de 20 o volume é 60 e a 
pressão é 5 
c)Com o valor da constante obtido em (b) calcule o volume 
se a temperatura for 14 e a pressão for 35 
 
Resolução: 
 
a) 
T
P k.
V
 
b) com os dados do problema temos: 
 
20
5 k. k 15
60
 
c) agora sabemos a função de proporcionalidade que é: 
T
P 15.
V
 
Substituindo os valores de P e T dados: 
 
14
35 15. V 9
V
 
 
Exercícios Proposto 
 
EP.12) Verificou-se, experimentalmente que a resistência 
elétrica R de um fio condutor homogêneo e de seção 
transversal constante é diretamente proporcional ao seu 
comprimento L e inversamente proporcional à área S de 
sua seção transversal. 
 
a) escreva a relação que expressa este fato 
b) se para um fio de comprimento e seção transversal 5 a 
resistência é 1, qual o comprimento de um fio do mesmo 
material que representa seção 3 e resistência 4? 
 
A função de proporcionalidade é o método mais 
eficiente para resolver problemas de Regra de Três 
Composta como mostra o seguinte 
 
Exercício Resolvido 
ER.04) Cinco homens (H) trabalhando 8 horas (h) por dia 
levam 30 dias (d) para cavar uma vala de 10m de 
comprimento (c) 3m de largura(l) 4 4m de profundidade 
(d). 
Quantos homens serão necessários para cavar, em 10 
dias de 6h de trabalho, uma vala com 12m de 
comprimento 5 /m de largura e 3m de profundidade? 
 
Resolução: 
 
A função de proporcionalidade é 
 
c.l.p
H k.
d.h
 
 
 
 
Achando K com os dados iniciais do problema: 
10.3.4
H k. k 10
30.8
 
Então a versão definitiva da função é 
c.l.p
H 10.
d.h
 
Para resolver o problema basta substituir od valores finais 
dados: 
12.5.3
H 10. H = 30
10.6
 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.13) Na bula de um determinado remédio pediátrico 
recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg 
do “peso” da criança. Se uma criança tem 12kg, qual será 
a dosagem correta? 
 
EP.14) Um carro à velocidade de 100km/h, faz certo 
percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 
80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? 
 
EP.15) A ração para 12 animais, durante 8 dias custa R$ 
24.000,00. O custo da ração para 18 animais, durante 6 
dias, é de: 
 
EP.16) Uma indústria metalúrgica produziu 40.000 peças 
em 20 dias, com 12 máquinas operando 10 horas por dia. 
Quantos dias serão necessários para produzir 60.000 
peças com 18 dessas máquinas trabalhando 8 horas por 
dia? 
 
Exercícios Complementares 
 
EC.01) Determine o valor de x nas proporções abaixo: 
a) 
3
4
2
5x
 
b) 7
4
23x
 
c) 
5
30
1004x 
 
EC.02) Dividindo o número de 420 em partes 
proporcionais a 2, 7 e 5, quais números obteremos? 
 
EC.03) Os números 35, 14 e x são proporcionais aos 
números y, 16 e 24, nessa ordem. Determine x e y. 
 
EC.04) Uma pessoa aplicou R$ 840,00 em uma caderneta 
de poupança e R$ 560,00 em outra, ambas durante o 
mesmo período, no mesmo banco. Se no final desse 
período as duas juntas renderam R$ 490,00, qual foi o 
rendimento de cada uma? 
 
EC.05) Reparta a quantia de R$ 945,00 em partes 
inversamente proporcionais aos números 6 e 8. 
 
EC.06) Dois sócios, Paulo e Rafael, repartiram o lucro final 
de um negócio, que foi de R$ 4.900,00, de forma 
proporcional à quantia que cada um investiu. Sabe-se que 
Rafael investiu R$ 2.000,00 a mais que Paulo e seu lucro 
foi de R$ 700,00 a mais que o de Paulo. Qual foi o 
investimento de cada um nesse negócio? 
Matemática Básica XIII.2 5 
EC.07) Um determinado medicamento deve ser 
administrado a um doente três vezes ao dia, em doses de 
5ml cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém 
100cm
3
 do medicamento, qual o número de frascos 
necessários? (lembre-se: 1ml = 1cm
3
). 
 
EC.08) Uma pessoa comprou 10m de corda por R$ 5,00. 
Quanto outra pessoa pagará por 16m da mesma corda? 
 
EC.09) Com 10 pedreiros podemos construir um muro em 
2 dias. Quantos dias levarão 5 pedreiros para fazer o 
mesmo trabalho? 
 
EC.10) Uma torneira foi aberta para encher uma caixa 
com água amarela. A cada 15 minutos é medida a altura 
do nível de água e os dados so registrados na tabela 
abaixo: 
Tempo (minutos) Altura (centímetros) 
15 50 
30 100 
45 150 
Num determinado momento ao fazer a mediço, a altura 
do nível da água era de 4,5 metros. Quanto tempo havia 
decorrido desde que a torneira foi aberta? 
 
EC.11) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura 
mede 60cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra 
projetada de um poste mede 2,00m. Qual a altura do poste 
em metros. 
 
EC.12) As rodas dianteiras de um trator têm um perímetro 
de 1,80m e as traseiras têm 3m de perímetro. Enquanto a 
roda menor dá 90 voltas, quantas voltas dará a roda 
maior? 
 
EC.13) A figura a seguir mostra (esquematicamente e fora 
de escala) a Terra, cujo centro é o ponto T, a Lua L e um 
satélite de comunicações S. A Lua e o satélite (que 
pesados como pontos) descrevem órbitas circulares que 
estão no plano da figura e têm centros no ponto T. O raio 
de órbita da Lua é 378.000km e o período dessa órbita 
(tempo que a Lua gasta para percorrê-la de uma vez) será 
tomado igual a 27 dias. Já o satélite S tem órbita geo-
estacionária, isto é, o satélite acompanha o movimento de 
rotação da Terra de forma tal que o período de sua órbita 
é (um) dia. A terceira Lei de Kepler diz que, para corpos 
que descrevem órbitas circulares ao redor da Terra, o 
quadrado do período de uma órbita é proporcional ao cubo 
do raio da mesma. 
Calcule o raio da órbita do satélite. 
 
 
EC.14) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a 
Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge 
velocidade máxima e mínimanos pontos de menor e 
maior distância da Terra respectivamente, quando então 
essas velocidades são inversamente proporcionais às 
distâncias do satélite à Terra (com mesma constante de 
proporcionalidade). Calcule a excentricidade da órbita do 
satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o 
dobro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se 
sabe, é o quociente da distância entre os focos pelo 
comprimento do eixo maior). 
 
EC.15) A soma dos tempos (em horas) gastos por três 
carros para percorrerem determinada distância foi igual a 
7,4 horas. Determine: 
a) Quanto tempo levou cada carro, sabendo-se que suas 
velocidades médias foram, respectivamente, 40km/h, 
50km/h e 60km/h? 
 
b) Qual a distância percorrida? 
 
Na questão abaixo analise apenas a alternativa 04 
 
Exercícios Adicionais 
 
EA.01) Sobre a relação entre a abertura dos poros 
estomáticos e a concentração de um íon específico nas 
células-guarda, mostrada no gráfico a seguir, assinale o 
que for correto. 
 
 
01) O potássio é o íon que está associado com o 
mecanismo de abertura dos estômatos. 
02) A maior concentração de potássio está associada com 
maior taxa de transpiração dos vegetais. 
04) O aumento na abertura dos estômatos é diretamente 
proporcional à absorção de potássio. 
08) A função que caracteriza o aumento na abertura dos 
estômatos em relação à absorção de potássio é linear. 
16) A função que caracteriza o aumento na abertura dos 
estômatos em relação à absorção de potássio é crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Básica XIII.2 6 
Na questão abaixo escreva a expressão que relaciona as 
grandezas mencionadas. (Não é preciso calcular o valor 
da constante de proporcionalidade pois o problema não 
fornece os dados para isto) 
 
EA02)A lei de Fourier para condução térmica afirma que, 
“Em um regime estacionário, o fluxo de calor por condução 
( ) numa camada de material homogêneo é diretamente 
proporcional à área da seção transversal atravessada e à 
diferença de temperatura entre os extremos e 
inversamente proporcional à espessura da camada 
considerada (e)”. Fixando uma área de seção com uma 
diferença de temperatura entre os extremos constante, 
assinale qual das figuras a seguir pode representar o 
gráfico do fluxo de calor por condução em função da 
espessura da camada considerada. 
 
 
 
Na questão abaixo lembre que a força (F) é diretamente 
proporcional ao alongamento (x) 
 
EA3) A figura a seguir apresenta gráficos da relação entre 
a força F aplicada a uma mola e o alongamento x dessa 
mola para cinco tipos diferentes de molas (I, II, III, IV, V). 
 
A mola que apresenta maior constante elástica é 
 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
Na questão abaixo analise apenas a alternativa (d). 
 
EA.04) Analise o gráfico abaixo, que mostra o efeito de 
diferentes níveis de irradiância no acúmulo de biomassa 
em plantas de carqueja, e assinale a alternativa correta. 
 
a) O gráfico indica que o acúmulo de biomassa é 
inversamente proporcional ao aumento no nível de 
irradiância. 
b) O gráfico demonstra a influência da luz na síntese de 
compostos orgânicos no processo de respiração. 
c) O gráfico demonstra o efeito do nível de irradiância no 
processo de fotossíntese. 
d) O gráfico indica que o acúmulo de biomassa é 
diretamente proporcional ao aumento no nível de 
irradiância. 
e) O gráfico indica o aumento na quantidade de clorofila 
decorrente do aumento do nível de irradiância. 
 
 
GABARITO 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.01) a) 
2
3
 b) 
3
1
 
EP.02) 108cm
2
 
EP.03) 5m e 2m 
EP.04) x = – 6 ou x = 1 
EP.05) Paulo: 30 anos e José: 20 anos 
EP.06) x + y = 32 
EP.07) 25m 
EP.08) x = 3 e y = 6 
EP.09) A 
EP.10) 32, 48 e 80 
EP.11) 80, 60 e 48 
EP.12) b) 08 
EP.13) 30 gotas 
EP.14) 5h 
EP.15) R$ 27.000,00 
EP.16) 25 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Matemática Básica XIII.2 7 
Exercícios Complementares 
 
EC.01) a) 
3
7
 b) 10 c) 26,5 
EC.02) 60, 210 e 150 
EC.03) x = 21 e y = 40 
EC.04) R$ 294,00 e R$ 196,00 
EC.05) R$ 540,00 e R$ 405,00 
EC.06) R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00 
EC.07) 1,5 frasco 
EC.08) R$ 8,00 
EC.09) 4 dias 
EC.10) 135min ou 2h 15min 
EC.11) 6m 
EC.12) 54 voltas 
EC.13) 42.000km 
EC.14) 
3
1
 
EC.15) a) 3h, 2,4h e 2h b) 120km 
 
 
Exercícios Adicionais 
 
EA.01) Falsa 
EA.02) 
a.d
k.
e
 
EA.03) E 
EA.04) Falsa