Razão e Proporção em Matemática

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Professora: Kevin Araújo
Disciplina: matemática
Aluno:
etapa módulo 2 TURNO: noite
Essa apostila é referente ao ano letivo de 2020
 
RAZÃO E PROPORÇÃO
A proporção é definida como a igualdade entre duas razões, caso essa
igualdade seja verdadeira, então dizemos que os números que foram as razões
na ordem dada são proporcionais.
O estudo das proporções é essencial para o desenvolvimento matemático, pois
elas possibilitam-nos relacionar grandezas, assim resolvendo problemas do
nosso cotidiano. São exemplos de proporções: escala de um mapa,
velocidade media de um móvel.
O que é razão e proporção?
A razão entre dois números é o quociente entre eles na ordem em que são
dados. Sejam a e b dois números racionais, em que b é diferente de 0, a razão
entre a e b é dada por:
Quando se tem duas razões e ambas estão sendo comparadas por uma
igualdade, então temos uma proporção. Caso a igualdade seja verdadeira,
então os números serão proporcionais, caso contrário, então eles não serão
proporcionais.
Os números racionais a, b, c e d são proporcionais se, e somente se, a
igualdade a seguir for verdadeira.
De maneira equivalente, podemos dizer que a igualdade será verdadeira
somente quando a multiplicação cruzada for verdadeira.
Multiplica a.d=b.d
Como calcular proporções
Para verificar ou calcular se, de fato, os números são proporcionais, basta
aplicar a primeira propriedade, caso a igualdade seja verdadeira, então os
números são proporcionais. Veja os exemplos:
Exemplo 1
Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais.
Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a
multiplicação cruzada.
Logo, as grandezas são proporcionais.
Exemplo 2
Sabe-se que os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de
x.
Por hipótese, temos que os números, na ordem que foram apresentados, são
proporcionais, logo, podemos igualar as razões entre eles e aplicar a
propriedade 1, veja:
Observe que a igualdade é verdadeira, assim os números formam, nessa
ordem, uma proporção.
Grandezas direta e inversamente proporcionais
Grandeza, em matemática, é tudo aquilo que é possível medir ou mensurar,
por exemplo, quantidade, distância, massa, volume etc. As grandezas podem
ser diretamente proporcionais (GDP) ou inversamente proporcionais (GIP),
vejamos a diferença entre elas:
Grandezas diretamente proporcionais
Dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais se a
razão dos valores da primeira grandeza é igual à dos valores da segunda
grandeza, e assim sucessivamente. Por exemplo, a grandeza massa é
proporcional ao peso de um objeto, veja na tabela:
Massa (kg) Peso (N)
30 300
60 600
80 800
Observe que a razão entre as grandezas é sempre igual:
O mesmo vai acontecer se realizarmos a razão entre os demais valores.
Outra maneira de saber se duas ou mais grandezas são diretamente
proporcionais é verificando o crescimento ou decrescimento de ambas. Por
exemplo, se uma grandeza aumenta, a outra também deverá aumentar, caso
elas sejam diretamente proporcionais. Vejamos o exemplo:
Na tabela de massa x peso, veja que quanto maior é a massa do objeto (↑),
maior será o peso dele (↑), logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
Exemplo
Os números x, t e 2 são diretamente proporcionais aos números 5, 6 e 10.
Determine os valores de x e t.
Como o exemplo afirmou-nos que os números são diretamente proporcionais,
então a razão entre eles é igual, assim:
Multiplicando cruzado cada uma das igualdades, temos:
5x = 5
x = 1
e
5t = 6
t = 6 ÷ 5
t = 1,2
Portanto, x = 1 e t = 1,2.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas ou mais grandezas serão inversamente proporcionais se a razão entre os
valores da primeira for igual ao inverso da razão dos valores da segunda.
Podemos interpretar isso de outra maneira, se uma grandeza cresce (↑) e a
outra grandeza decresce (↓), então elas são inversamente proporcionais. Veja
o exemplo:
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.
Velocidade (km/h) Tempo (horas)
50 2
100 1
150 0
Observe que quanto maior é a velocidade de determinada viagem (↑), menor
será o tempo dessa viagem (↓). Veja também que se pegarmos a razão entre
dois valores da primeira grandeza e o inverso da razão de dois valores da
segunda grandeza, a igualdade será verdadeira.
Exemplo
Divida o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6.
Como queremos dividir o número 120 em duas partes e desconhecemo-las,
vamos chamá-las de a e 120 – a. Pela definição de inversamente proporcional,
a razão entre os primeiros valores é igual ao inverso da razão dos dois últimos
valores. Assim:
Como a outra parte é 120 – a, então:
120 – a
120 – 72
48
Portanto, ao dividirmos o número 120 em partes inversamente proporcionais
aos números 4 e 6, obtemos 72 e 48
A partir das grandezas A e B temos:
Razão: ou A : B, onde b≠0
Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0
Exemplo 1
Qual a razão entre 40 e 20?
 
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador,
o de baixo.
Exemplo 2
Qual o valor de x na proporção abaixo?
3 . 12 = x
x = 36
 
 
Exercícios- para praticar o que aprendemos.
1) A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão
entre as idades de Pedro e Josefa?
2) uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto.
Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto?
3) A razão entre o comprimento da sombra e da altura de um edifício é de .
Se o edifício tem 12 m de altura, qual o comprimento da sombra? 
4) Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia
resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?
5) A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por
mês é de . O que resta coloco em caderneta de poupança. Se neste mês
meu salário foi de R$ 840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de
poupança?
6) uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15
empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número
total de partidas disputadas?
Regra de três simples
 
A regra de três simples funciona na relação de apenas duas grandezas, que
podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Confira:
 
Exemplo
 
Para fazer um bolo de limão utiliza-se 250 ml do suco da fruta. Porém, foi feito
uma encomenda de 6 bolos. Quantos limões serão necessários?
 
Bolos Limões 
1 -------------- 250 ml
6 -------------- x
 
Reparem que as grandezas são diretamente proporcionais, já que o aumento
no pedido de bolos pede uma maior quantidade de limões. Logo, o valor
desconhecido é determinado pela multiplicação cruzada:
 
 x = 250.6
x = 1500 ml de suco 
 
Exemplo 2
 
Um carro com velocidade de 120 km/h percorre um trajeto em 1 hora. Se a
velocidade for reduzida para 70 km/h, em quanto tempo o veículo fará o
mesmo percurso?
Velocidade Tempo
 120km/h ------------ 2h
 70km/ h ----------- x
 
Observa-se que neste exemplo teremos uma regra de três simples inversa,
uma vez que ao diminuirmos a velocidade do ônibus, o tempo de deslocamento
irá aumentar. Então, pela regra, uma das razões deverá
ser invertida e transformada em direta.
 
 Velocidade Tempo
 70km/h ------------ 2h
 120km/ h ----------- x
 
70x = 120.2 
70x = 240
X= 240/70 = 3,4 h 
Exercícios
1-A chuva, quando em excesso, traz vários problemas para a população. Em
uma determinada cidade brasileira, houve a danificação da estrutura de uma
ponte. Para arrumá-la, a prefeitura constatou que seriam necessários 12
funcionários para terminar a obra em 2 meses. Sabendo que era ano político e
visando à reeleição, o prefeito decidiu que terminaria a obra em 15 dias. A
quantidade de funcionários necessários para realizar a obra nesse período é
de:
2.Uma padaria produz 100 pães a cada quatro horas. Sabendo que ela fica
aberta durante 16 horas, quantos pães ela produz durante um dia?
 
3.Uma confecção leva 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8
funcionários. Se apenas 6 funcionáriosestiverem trabalhando, quantos dias
leva para essa confecção produzir 300 peças?
4. Uma moto percorre 240 km utilizando 20 litros de gasolina. Quantos litros
ela precisa para percorrer 360 km?
5. Duas torneiras (totalmente abertas) enchem um tanque de água em 50
minutos. Se forem utilizadas 5 torneiras, quantos minutos serão
necessários para encher o mesmo tanque?
 
Parte superior do formulário
Parte inferior do formulário
Porcentagem
 
A porcentagem é uma das áreas da matemática mais conhecidas. Praticamente é
utilizada em todas as áreas, quando queremos comparar grandezas, estimar o
crescimento de algo, expressar uma quantidade de aumento ou desconto do preço de
alguma mercadoria. Vemos porcentagem a todo momento e, mesmo quando não
percebemos, estamos fazendo uso dela.
A porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100.
 
Porcentagens são chamadas, também de razão centesimal ou de percentual.
As porcentagens costumam ser indicadas pelo símbolo “%”, lê-se “por cento”.
Podemos representar uma fração na forma fracionária, decimal, ou acompanhada do
símbolo %. Veja:
 
As porcentagens podem ser utilizadas quando queremos expressar que uma quantidade
é uma parte de outra, por exemplo, imagine que um produto que custava R$ 80,00 foi
vendido a vista, com 5% de desconto. Esse desconto de 5% de R$ 80,00 significa 5
partes das 100 em que 80 foi dividido, ou seja, R$ 80,00 será dividido em 100 partes, e
o desconto será igual a 5 partes dessa divisão. Assim,
5% de R$ 80,00 = 
Portanto, 5% de R$ 80,00 será R$ 4,00. E esse será o valor a ser descontado.
Poderíamos, também, calcular de outra forma:
5% de R$ 80,00 = 
Daí, concluímos que calcular a% de x, corresponde a fazer:
 
Podemos usar, também, a seguinte proporção:
 
 
 
 
 
 
Exercícios
Questão 1
25 representa quantos por cento de 200?
a) 12,5%
b) 15,5%
c) 16%
d) 20%
2.Em uma sala de aula há 30 alunos, dos quais 40% são meninas. Quantas
meninas têm na sala?
a) 10 meninas
b) 12 meninas
c) 15 meninas
d) 18 meninas
Questão 3
Convertendo a fração 
 em uma fração centesimal, qual o resultado em porcentagem?
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
4. Júlia acertou 75% das questões de Matemática do teste e Mariana acertou
4/5. Quem acertou mais questões?
a) Júlia
b) Mariana
c) As duas acertaram o mesmo número de questões.
5. Na promoção de uma loja de eletrodomésticos, um aparelho de som que
custava R$ 400,00 teve um desconto de 12%. Quanto o cliente que decidir
comprar o equipamento pagará?
a) R$ 372,00
b) R$ 342,00
c) R$ 362,00
d) R$ 352,00
Juros simples
Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de um aplicação
financeira ou de uma compra feita a crédito, por exemplo.
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de
capital. A esse valor é aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é
expressa em porcentagem.
Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital
ficou aplicado ou emprestado.
Exemplo
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais
à vista, em 5 parcelas iguais. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de
6% ao mês nas compras a prazo, qual o valor de cada parcela e o valor total
que o cliente irá pagar?
Quando compramos algo parcelado, os juros determinam o valor final que
iremos pagar. Assim, se compramos uma televisão a prazo iremos pagar um
valor corrigido pela taxa cobrada.
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos
200 reais por mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6 % a esse valor,
então temos:
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 ao mês, ou seja, cada prestação
será de R$ 212. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60 a mais do valor
inicial.
Logo, o valor total da televisão a prazo é de R$1060.
Fórmula: Como Calcular o Juros Simples?
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por:
J = C . i . t
Onde,
J: juros
C: capital
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma
de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100.
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de
tempo.
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao
final do período de tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial
(capital).
Sua fórmula será:
M = C + J → M = C + C . i . t
Da equação acima, temos, portanto, a expressão:
M = C . (1 + i . t)
Exemplos
1) Quanto rendeu a quantia de R$ 1200, aplicado a juros simples, com a taxa
de 2% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?
Sendo:
C = 1200
i = 2% ao mês = 0,02
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformar em meses para ficar na
mesma unidade de tempo da taxa de juros.
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360
Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360.
2) Um capital de R$ 400, aplicado a juros simples com uma taxa de 4% ao
mês, resultou no montante de R$ 480 após um certo tempo. Qual foi o tempo
da aplicação?
Considerando,
C = 400
i = 4% ao mês = 0,04
M = 480
temos:
 
Exercícios
1. ) Lúcia emprestou 500 reais para sua amiga Márcia mediante uma
taxa de 4% ao mês, que por sua vez, se comprometeu em pagar a
dívida num período de 3 meses. Calcule o valor que Márcia no final
pagará para a Lúcia.
2. Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior
retorno financeiro em um aplicação de R$ 500,00. Para isso,
pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois
investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário).
As informações obtidas estão resumidas no quadro:
 Rendimento Mensal (%) IR (imposto de renda)
Poupança 0,560 isento
CDB 0,876 4% (sobre o ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais
vantajosa é:
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87
As unidades de medida são representações das grandezas físicas utilizadas em
diversas áreas do conhecimento com o intuito de quantificar uma matéria, uma
sensação, o tempo ou o tamanho de algo, por exemplo.
Em todo o mundo as unidades de medida seguem um padrão determinado
pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). A partir da unidade-padrão
estabelecida pelo Sistema Internacional, podemos ainda utilizar outras unidades
derivadas dela, o que permite compararmos e ampliarmos a noção quantitativa da
grandeza.
O Sistema Internacional adota a unidade kelvin, por exemplo, como padrão para
a grandeza temperatura. Essa unidade é muito utilizada em experimentos
laboratoriais, mas, no dia a dia, a maioria dos países utiliza a unidade graus
Celsius, que é derivada da unidade kelvin. 
Leia também: Grandezas vetoriais e escalares
Unidades de massa
As unidades mais utilizadas para o trabalho com a massa de uma matéria são:
• Tonelada (t);
• Quilograma (kg) [unidade-padrão de massa segundo o SI];
• Grama (g);
• Miligrama (mg).
Para converter uma unidade em outra, basta seguir estas relações:
• 1 t = 1000 Kg
• 1 kg = 1000 g
• 1 g = 1000 mg
Relação entre as unidades de massa
Como podemos observar, uma unidade de massa é sempre 1000 vezes maior que
a outra. Veja alguns exemplos:
→ Conversão de unidades de massa
Exemplo 1: vamos transformar 2,5 kg em gramas.
Como 1 kg equivale a 1000 gramas, podemos montar a seguinte regra de três:
1 kg --------- 1000 g
2,5 Kg---------- x 
x . 1 = 2,5.1000
x = 2500 g
Exemplo 2: vamos transformar 4 mg em kg.
Como 1 kg equivale a 1000000 de mg (resultado da multiplicação 1000 x1000 da
diferença entre a unidade kg e a mg), podemos montar a seguinte regra de três:
1 kg --------- 1000000 mg
x---------- 4 mg 
1000000.x = 4.1
x = 4 
 10000000
x = 0,000004 Kg
Unidades de volume
• Metro cúbico (m3) [unidade-padrão de volume segundo o SI];
• Litro (L) ou decímetro cúbico (dm3);
• Mililitro(mL) ou centímetro cúbico (cm3).
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações:
• 1 m3 = 1000 L
• 1L = 1 dm3
• 1L = 1000 mL
• 1dm3 = 1000 cm3
• 1cm3 = 1mL
Relação entre as unidades de volume
Como podemos acompanhar no esquema acima, uma unidade de volume é
sempre 1000 vezes maior que a outra. Quando comparamos a unidade maior (m3)
com a unidade menor (mL ou cm3), a diferença é de 1000000 de vezes.
→ Conversão de unidades de volume
Exemplo 1: vamos transformar 4,5 m3 em dm3.
Como 1 m3 equivale a 1000 dm3, podemos montar a seguinte regra de três:
1m3 --------- 1000 dm3
4,5 m3---------- x 
x.1 = 4,5.1000
x = 4500 dm3
Exemplo 2: vamos transformar 300 cm3 em L.
Como 1 L equivale a 1000 de cm3, podemos montar a seguinte regra de três:
1L --------- 1000 cm3
 x---------- 300 cm3
1000.x = 300.1
x = 300
 1000
x = 0,3 dm3
Unidades de pressão
As unidades mais utilizadas para o trabalho com a pressão são:
• Atmosfera (atm);
• Milímetro de mercúrio (mmHg);
• Centímetro de mercúrio (cmHg);
• Pascal (Pa) ou quilopascal (KPa = 1000 Pa) [unidade-padrão de pressão
segundo o SI].
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações:
• 1 atm = 101,325 kPa
• 1 atm = 101325 Pa
• 1 atm = 760 mmHg
• 1 atm = 76 cmHg
OBS.: Foram utilizadas relações partindo do atm porque os valores utilizados são
numericamente mais simples de trabalhar e/ou memorizar (caso necessário).
→ Conversão de unidades de pressão
Exemplo 1: vamos transformar 2 atm em KPa.
Como 1 atm equivale a 101,325 KPa, basta montar a seguinte regra de três:
1atm --------- 101,325 KPa
2 atm ---------- x 
x.1 = 2.101,325
x = 202, 650 KPa
Exemplo 2: vamos transformar 200 mmHg em cmHg.
Utilizando as relações fornecidas acima, inicialmente devemos converter 200
mmHg para atm por meio da seguinte regra de três:
1 atm --------- 760 mmHg
 x ---------- 200 mmHg
x.760 = 200.1
x = 200
 760
x = 0,26 atm
Em seguida, transformamos o resultado em atm para cmHg na regra de três a
seguir:
1 atm --------- 76 cmHg
0,26 atm ----------y 
y.1 = 0,26.76
y = 19,76 cmHg
Exemplo 3: vamos transformar 500 cmHg em KPa.
Utilizando as relações fornecidas acima, inicialmente devemos converter 500
cmHg para atm por meio da seguinte regra de três:
1 atm --------- 76 cmHg
 x ---------- 500 cmHg
x.76 = 500.1
x = 500
 76
x = 6,57 atm
Em seguida, transformamos o resultado em atm para cmHg na regra de três a
seguir:
1 atm --------- 101,325 KPa
6,57 atm ----------y 
y.1 = 6,57.101,325
y = 665,70 KPa
Exercícios
1. Ao estudar a planta de uma construção, um engenheiro deparou-se
com unidades de área dadas em cm². Certo cômodo dessa
construção apresentava área de 120 000 cm². Essa área, expressa
em m², equivale a
2. O comprimento de 100 dam pode ser escrito em centímetros como:
a) 105 cm
b) 10-5 cm
c) 104 cm
d) 103 cm
e) 10-4 cm
3. Um veículo desloca-se com velocidade de 216 km/h. Sua velocidade,
em metros por segundo, é expressa por:
a) 45 m/s
b) 777,6 m/s
c) 60 m/s
d) 180 m/s
e) 36 m/s
4. Em um teste de aptidão em um concurso da Polícia Militar de um determinado
estado, o candidato deve percorrer uma distância de 2400 metros em um tempo
de 12 minutos. Qual alternativa indica os valores de distância e tempo em km e
hora, respectivamente?
a) 2,4 km e 2 h
b) 4,2 km e 0,2 h
c) 0,24 km e 0,2 h
d) 4,2 km e 2 h
e) 2,4 km e 0,2 h
A escala cartográfica é um importante elemento presente nos mapas, sendo
utilizada para representar a relação de proporção entre a área real e a sua
representação. É a escala que indica o quanto um determinado espaço geográfico
foi reduzido para “caber” no local em que ele foi confeccionado em forma de
material gráfico.
Sabemos que os mapas são reproduções reduzidas de uma determinada área. Mas
essa redução não ocorre de forma aleatória, e sim de maneira proporcional, ou
seja, resguardando uma relação entre as medidas originais e suas representações.
A expressão numérica dessa proporção é a escala
determinado mapa é 1:500, significa que cada centímetro do mapa representa 500
centímetros do espaço real. Consequentemente, essa proporção é de 1 por 500.
Existem, dessa forma, dois tipos de escala, isto é, duas formas diferentes de
representá-la: a escala numérica e a escala gráfica. A numérica, como o próprio
nome sugere, é utilizada basicamente por números; já a gráfica utiliza-se de uma
esquematização.
A escala numérica representa em forma de fração a proporção da escala,
havendo, dessa maneira, o seu numerador e o seu denominador. Confira:
Exemplo de escala numérica e os seus termos
No esquema acima, podemos notar que o numerador representa a área do mapa e
o denominador a área real. Convém, geralmente, deixar o numerador sempre
como 1, para assim sabermos quanto cada unidade do mapa equivale. Quando ela
não possui a medida indicada (cm, m, km) em sua notação, significa, por
convenção, que ela está em centímetros. Caso contrário, essa unidade de medida
precisa ser apontada.
Já a escala gráfica representa diretamente o espaço relacional e suas medidas.
 
Exemplos de escala gráfica
Nos esquemas acima, podemos perceber que cada intervalo entre um número e
outro representa uma distância específica, que é devidamente apontada pela
escala. Esse tipo de escala possui o mérito de aumentar e reduzir juntamente ao
mapa. Assim, se eu transferir um mapa que estava em um papel menor para um
pôster grande, a escala continuará correta, o que não aconteceria com a escala
numérica, que, nesse caso, teria de ser recalculada.
Escala grande, escala pequena... Qual é a diferença?
Imagine que todo mapa é uma visão aérea sobre o determinado espaço. Dessa
forma, para saber se uma escala é grande ou pequena, ou se ela é maior do que
outra, basta entender que a escala nada mais é do que o nível de aproximação da
visão aérea do mapa. Outra forma é observar a escala numérica, lembrando que
ela se trata de uma divisão. Assim, quanto menor for esse denominador, maior
será a escala.
Exemplo. Considere essas duas escalas: a) 1:5000; b) 1:10000. A primeira escala
é uma divisão de 1 para cinco mil que, quando calculada, com certeza dará um
número maior que uma divisão de 1 para dez mil. Portanto, a primeira escala é
maior do que a segunda.
Assim, é possível perceber que, quanto maior for a escala, menor será a área
representada no mapa e vice-versa, pois, quanto maior a escala, maior é a
aproximação da visão aérea do local representado. Isso nos permite, por sua vez,
um maior nível de detalhamento das informações, pois quanto mais próximos
estamos de um local, mais detalhes conseguimos visualizar.
Em resumo, a sentença é:
Quanto maior a escala, menor a área representada e maior é o nível de
detalhamento.
Um mapa-múndi possui uma escala muito pequena, com uma área grande
representada e, com certeza, apresentará menos detalhes do que, por exemplo,
um mapa do estado da Bahia, que teria, nesse caso, uma escala grande.
Cálculo da escala
Para calcular a escala, basta lembrar o seu conceito: Escala (E) é a relação
(divisão) entre a área do mapa (d) pela área real (D). Assim:
E = d
 D
Assim, para calcular uma escala de um mapa em que dois pontos estão a 5 cm de
distância um do outro, sendo que, no mundo real, eles estão separados por 1000
cm, basta aplicar a fórmula:
E = 5/1000 → E = 1/200
A escala, nesse caso, é de 1:200 ou um para duzentos.
Exercícios
1. Considerando que a distância real entre Yokohama e Fukushima,
duas importantes localidades, onde serão realizadas competições
dos Jogos Olímpicos de Verão 2020 é de 270 quilômetros, em um
mapa, na escala de 1:1.500.000, essa distância seria de
a) 1,8 cm
b) 40,5 cm
c) 1,8 m
d) 18 cm
e) 4,05 m
2. Escala gráfica, segundo Vesentini e Vlach (1996, p. 50), "é aquela que
expressa diretamente os valores da realidade mapeada num gráfico
situado na parte inferior de um mapa". Nesse sentido, considerando que
a escala de um mapa está representadacomo 1:25000 e que duas
cidades, A e B, nesse mapa, estão distantes, entre si, 5 cm, a distância
real entre essas cidades é de:
a) 25.000 m
b) 1 .250 m
c) 12.500 m
d) 500 m
e) 250 m
3. Aescala cartográfica define a proporcionalidade entre a superfície do terreno
e sua representação no mapa, podendo ser apresentada de modo gráfico ou
numérico.
 
A escala numérica correspondente à escala gráfica apresentada é:
a) 1:184 500 000.
b) 1:615 000.
c) 1:1 845 000.
d) 1:123 000 000.
e) 1:61 500 000.
A PLANTA é um caso PARTICULAR da carta. É uma representação em escala
grande de uma área muito limitada, portanto, com maior quantidade de detalhes.
Portanto, definimos a PLANTA como:
“Planta é a representação em escala grande de áreas suficientemente pequenas
que podem ser tomadas por planas (a curvatura da Terra pode ser
desconsiderada), sem erro sensível.”
Um exemplo é a planta de situação, utilizada em obras de engenharia e
atualização cadastral. Podemos observar que a quantidade de detalhes
apresentados na planta pelas feições é maior do que comparada com as cartas e
mapas, devido a escala deste produto ser grande e representar uma região menor.
Exercícios
linguagem cartográfica é essencial à Geografia. Nesse âmbito, considere as
afirmações a seguir.
I. O mapa é uma reprodução idêntica da realidade.
II. São elementos que compõem os mapas: escala, projeção cartográfica, símbolo
ou convenção e título.
III. A escala é a relação entre a distância ou comprimento no mapa e a distância
real correspondente à área mapeada.
Considerando as três assertivas, PODE-SE AFIRMAR CORRETAMENTE que:
a) apenas I é verdadeira.
b) apenas II é verdadeira.
c) apenas III é verdadeira.
d) apenas I e III são verdadeiras.
e) apenas II e III são verdadeiras
2. Relacione os elementos do mapa às suas respectivas definições:
(1) Título
(2) Escala
(3) Legenda
(4) Orientação
( ) Relação matemática entre o espaço real e a representação do espaço no mapa.
( ) Indica a direção e a localização por meio da rosa dos ventos ou de um
elemento que indica o norte.
( ) Indica o tema que será retratado no mapa.
( ) Representa o significado dos símbolos que aparecem no mapa.
Assinale a alternativa que apresenta a ordem correta:
a) 2,1,4,3
b) 2,4,1,3
c) 4,2,1,3
d) 2,3,4,1
Superfície e contorno de uma figura plana
 
Área e perímetro são cálculos direcionados para as medidas de uma figura geométrica. A área
equivale ao tamanho da superfície, e o perímetro o resultado da soma dos seus lados.
Em geral, para encontrar a área multiplica-se a base das figuras pela altura (h). Já no perímetro
soma-se os segmentos de reta que compõem o contorno (lados).
Vale destacar que as unidades de medida aplicadas nas operações de área e perímetro são
distintas. A área sempre será dada em centímetros quadrados (cm²), metros quadrados (m²) ou
quilômetros quadrados (Km²), pois é resultado de multiplicação. Como é uma soma, o valor do
perímetro é em centímetros (cm), metros (m) ou quilômetros (Km).
Em áreas as unidades são elevadas ao quadrado (potência nível 2) porque a extensão
calculada é separada por m², sendo que cada metro quadrado corresponde a uma unidade de
área.
 
Área e Perímetro de figuras Planas
 
Os cálculos de área e perímetro aplicam-se, especificamente, em figuras da Geometria Plana.
As da Geometria Espacial (objetos tridimensionais), por exemplo, também possuem área
(base, lateral e total), mas no lugar do perímetro entra os conceitos de volume. 
Sendo assim, confira as operações de área e perímetro das figuras planas abaixo:
 
Triângulo
 
Triângulo é um polígono (forma fechada) composto por três lados, no qual a soma dos ângulos
internos é igual a 180°. Eles são identificados de acordo com a quantidade de lados ou pelos
ângulos.
 Representação do triângulo. (Foto: Educa Mais Brasil)
Para encontrar a área de um triângulo retângulo basta dividir por dois o resultado da
multiplicação da base (b) pela altura (h). Já com o triângulo equilátero – figura com todos os
ângulos iguais a 60° – a fórmula é:
Área do triângulo equilátero.
 
 Os que possuem ângulos menores que 90° são aplicados os cálculos de seno e cosseno. O perímetro é
comum a todos os tipos de triângulo:
 
P = a+b+c
 
Retângulo
 
Figura de quatro lados iguais e todos os ângulos de referências iguais a 90° (reto). Os lados
opostos (vertical e horizontal) são paralelos e de mesmo tamanho. 
 área é o resultado da multiplicação da base pela altura, isto é, A = b. h. Como os dois lados
opostos são iguais, o perímetro é dado da seguinte forma:
 
P = 2b + 2h ou 2 (b+h)
 
Quadrado
 
Polígono de quatro lados iguais e quatro ângulos de mesmo tamanho, 90°. As operações para
determinar a área e perímetro são simples. No primeiro, basta descobrir a medida de um dos
lados e elevá-lo ao quadrado: A = L²
Representação do quadrado. (Foto: Educa Mais Brasil)
 
Já com o perímetro, realizar a soma dos quatro lados ou a multiplicação de um deles por
quatro. 
 
P = L+L+L+L ou 4.L
 
Círculo
 
O círculo é a única figura formada por todos os pontos de um plano. O raio (r) – tamanho da
distância entre o centro até o contorno – e centro são seus elementos. 
Figura geométrica do círculo. (Foto: Educa Mais Brasil)
A multiplicação do raio com o quadrado do número Pi (aproximadamente 3,14) que define a
sua área. O perímetro é a multiplicação do tamanho da reta que corta o centro e toca os dos
lados da borda (diâmetro) com o raio. 
 
Trapézio
 
Figura plana nomeada de quadrilátero notável, pois a soma dos ângulos internos é igual a
360°. Apresenta dois lados opostos e bases paralelas de tamanhos distintos. 
Figura do trapézio. (Foto: Educa Mais Brasil)
 
Desta forma, para encontrar a área, cabe multiplicar a altura (h) pelo produto da soma da base
maior (B) com a base menor (b) e depois dividir por dois. O perímetro é a soma dessas bases e
as laterais: P= B +b + L+ L
Área do trapézio. (Foto: Educa Mais Brasil)
Losango 
 
Figura plana classificada de quadrilátero (quatro lados iguais), possui duas diagonais de
tamanhos diferentes e perpendiculares quando se cruzem, formando um ângulo reto.
 
Representação do losango. (Foto: Educa Mais Brasil)
 
O losango é formado por dois triângulos iguais e de bases com tamanhos diferentes: diagonal
maior e diagonal menor. Por isso, o cálculo da sua área baseia-se na multiplicação das
diagonais e divisão do resultado por dois: 
 
Área do losango. (Foto: Educa Mais Brasil)
Logo, o perímetro é dado pela soma de:
 
P = L1 + L2 + L3 + L4 ou P = 4.L
 
No momento das operações lembre-se que:
• Todos os losangos têm círculos inscritos;
• As diagonais do losango são bissetrizes (reta que divide ao meio o ângulo); 
• Os ângulos opostos do losango são iguais;
• Todos os quadrados são losangos, mas nem todos os losangos são quadrados.
Exercícios
1) Calcule a área de uma quadra de basquete com 40 m
de largura e 70 m de comprimento.
2) Se o perímetro de um campo de futebol é 250 m e
este campo possui comprimento de 100 m, qual a
largura deste campo?
3) Uma piscina de raio igual a 3 m, possui área igual a:
4) Um triângulo isósceles possui dois lados com
medidas iguais a 10 cm, e a base com medida igual
6 cm. Qual a área e o perímetro deste triângulo?
5) Juliana possui dois tapetes de mesma área. O tapete
quadrado possui lado de 4 m e o tapete retangular tem
altura de 2 m e base de 8 m. Qual tapete apresenta o
maior perímetro?
a) O tapete quadrado
b) O tapete retangular
c) Os perímetros são iguais
 
Função do 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são
números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o
número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax+ b, com a 0, é uma
reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Por exemplo, vamos construir o gráfico da
função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o
auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois
com uma reta.
x y
0 -1
0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como
veremos adiante, está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,
temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em
que a reta corta o eixo Oy.
Zero ou raiz da função do 1º grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o
número real x tal que f(x) = 0. Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0 
Vejamos alguns exemplos:
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0 
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
 
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo
das abscissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5
Exercícios
1. Uma função f estabelece uma relação entre dois conjuntos X e Y, por
exemplo, de maneira que a função f de X em Y que relaciona cada
elemento x em X a um único elemento y = f (x) em Y. Essa afirmação é
verdadeira ou falsa?
2. Dada a função de primeiro grau f(x) = 2x + 3, qual é o valor de f(10)?
3. Complete: Uma função liga um ___ (conjunto de valores de entrada) a
um conjunto chamado ____ (conjunto de valores de saída) de tal forma
que a cada elemento do ___ está associado exatamente um elemento
do ___. Além disso, o ___ é um subconjunto do ___.
4. Analisando o coeficiente angular da função afim f(x) = -5x + 10,
podemos dizer que ela é:
a) Crescente b) decrescente
5. Qual é a raiz da função do 1º grau f(x) = 5x + 15?
6. Na função f(x) = -3x + 18, qual é o valor de f(x) quando x = 6?