MAT131-Operacao Binaria - MAT 131 - 2018-II

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Relações Binárias, Aplicações e Operações
MAT 131-2018 II
Pouya Mehdipour
6 de dezembro de 2018
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 1 / 24
Referências
• ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos, Nobel,
1974.
• DOMINGUES, H.H. & IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4a Edição.
Atual Editora, 2003.
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Relações Binárias
Chama-se relação binária a qualquer conjunto de pares ordenados. Mais
explicitamente: Sejam E e F dois conjuntos não vazios. Uma relação binária R de E
em F, é qualquer subconjunto de E × F (produto cartesiano), isto é, R é um
conjunto tal que: R ⊆ (E × F ). Se R é uma relação binária, em vez de dizer que o
par (a, b) pertence a R, diz-se também que o elemento "a"está na relação R com o
elemento "b"e escreve-se, aRb. ((x, y) ∈ R⇔ xR y.)
Obs 1: Se F = E, diz-se que R é uma relação binária em F.
Obs 2: Existem relações Trinária,..,n-ária também.
Obs 3: As vezes subconjuntos R ⊆ A×B se chama de gráfo e representa por G.
Domínio/Imagem/Inversa de R:
Domínio de R: DR = {x|∃y; xR y, }
Imagem de R: IR = {y|∃x; xR y, }
Inversa ou recíproca de R: R−1 = {(y, x)|xR y; } (portanto: y R−1 x⇔ xR y).
Obs 4: Pode representar os relações pelo diagrama Carteziano, diagrama sagital ou
tabela de dupla entradas.
Exemplo 1: Determinem os pares ordenados da relação R; o conjunto domínio e o
conjunto imagem e a relação R−1 :
1- Sejam A = {−2, 1, 0, 3} , B = {2, 4, 5} e R = {(x, y) ∈ A×B|x− y < 2, }
2- Sejam R a relação de "x2 + y2 = 1"em R.
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Operaçãoes com relações
Sobre relações R e S de A em B, efetuam-se operações usuais de interseção, união,
complementação, diferença e diferença simétrica. Isto é, determinam se-:
R ∩ S, R ∪ S, CA×BR, R− S, R∆S.
Exemplo 2: sejam A = {x ∈ Z+|x é par ≤ 4}, B = {x ∈ Z+|x é impar < 6} e
relações: R = {(2, 1), (4, 3), (0, 1)} e S = {(0, 1), (4, 1), (4, 3), (2, 1)}, encontrem
R ∩ S, R ∪ S, CA×BR, CA×BS, R− S, R∆S.
Relação Identidade:
Dado um conjunto A, chama-se a relação identidade em A ou relação Idêntica em A,
IdA = {(x, x)|x ∈ A.}
Obs 5: O conjunto IdA é em fato o que se chama Diagonal de A×A.
Exercíxio 1:Encontrem domínio e imagem da Relação
R = {(x, y) ∈ R× R|4x2 + 9y2 = 36.}
Exercíxio 2: Demonstrem seguintes propriedades para uma relação R:
1- DR = IR−1 e IR = DR−1 ;
2- (R−1)−1 = R.
Exercíxio 3: Seja A = {−1, 0, 1, 2} determinem a relação IdA.
Exercíxio 4: Seja A tem n elementos,(n ∈ N), relação de identidade IdA ⊂ A×A
tem quantos elemento?
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Composição de Relações
Seja A,B,C três conjuntos não vazios, e R e S respectivamente sejam relações
definidas sobre A×B e B × C. Chama-se Relação Composta das relações R e S:
S ◦R = {(x, y) ∈ A× C|∃z ∈ B([(x, z) ∈ R] ∧ [(z, y) ∈ S])}.
Exemplo 3: sejam A = {x ∈ N|x é par ≤ 4}, B = {x ∈ N|x é impar < 6} e
C = {x ∈ Z||x| primo} e relações: R = {(2, 1), (4, 3), (0, 1), (2, 3)},
S = {(3, 3), (5, 3), (1, 5)}. Então S ◦R vai ser...
Exercíxio 5: Seja X = {x|x ∈ [−3, 0]} e a relação
R = {(x, y) ∈ R× R|4x2 + 9y2 = 36.} e R = {(x, y) ∈ R× R|9x2 + 4y2 = 36.}
encontrem a R ◦R′.
Exercíxio 6: seja A = {1, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {3, 6, 8, 11}, e
S = {(x, z) ∈ A×B|x + z > 5}, R = {(z, y) ∈ B × C| z|y (divisor)}. Encontrem
R ◦ S.
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Propriedades de Relações Cmpostas/Numero das
Relações sobre Conjuntos
- Teorema 1: Quaisquer que sejam os relações R de A em B e S de B em C,
(S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1.
- Teorema 2: Qualquer que seja a relação R de A em B, R ◦ IdA = R, e
IdB ◦R = R.
- Teorema 3: Quaisquer que sejam os relações R de A em B e S de B em C e T de
C em D, (T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).
Número de Relações entre dois conjuntos finitos
Seja A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos. Como
produto cartesiano A×B tem mn elementos e qualquer subconjunto dele pode criar
uma relação de A em B, então existe 2mn relações distintos entre A e B. Em
particular se A = B, numero das relações possiveis em A, é 2m
2
.
Exemplo 4: Seja A = {1, 2, 5} e B = {a, c}. Então número de relações distintas entre
A e B são 2(2×3) = 64. Qual número de relações distinta em B?
Exercíxio 7: Seja A = {−1, 0, 1} e R em A:R = {(x, y) : x é divisivel por y.} qual é
número dos elementos de R? Quantas relaçõe distintas pode definir em A?
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Propriedades das Relações
Obs 6: No livro E. A. Filho uma relação R de A em B é mostrado com
R = (G,A,B), onde G ⊆ A×B se-chama um gráfo. Observem que sem perder a
generalidade podem subistituir G por R e ver como R = (R,A,B) onde pode se ler:
uma relação R de A em B.
Seja A um conjunto não vazio e R uma relação em A ou R = (R,A,A, ). Podemos
explorar as seguintes propriedade:
• Reflexividade: ∀x; (x ∈ A⇒ xRx).
• Simetria: ∀x∀y; (x, y ∈ A); (Se xR y ⇒ y Rx).
• Anti-simetria:
∀x∀y; (x, y ∈ A); (Se xR y ∧ y Rx⇒ x = y) ≡ (Se x 6= y ⇒ x 6R y ∨ y 6R x).
• Transitividade: ∀x∀y ∀z; (x, y, z ∈ A); (Se xR y ∧ y R z ⇒ xR z).
Relação de equivalência
Uma relação R em A ou R = (R,A,A) chama-se "Relação de equivalência"que é
Reflexiva, Simétrica e Transitiva.
Exemplo 5: R1 = {(l, l′)|linhas paralelos em plano}, ou R2 = {(x, y) ∈ Z2|5|x− y.}
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Relação de Equivalência
Exercício 8: Seja A o conjunto de todos triângulos no plano P . Mostrem que
relação R é uma relação de equivalência:
xR y ⇔ (triângulo x é semelhante ao triângulo y).
Exercício 9: Considerem a relação R em N× N talque
R = {[(m,n), (r, s)]|ms = nr.}
Demonstrem que relação R é uma relação de equivalência.
Exercício 10: Considerem a relação R em Z talque
xR y ⇔ (x2 + x = y2 + y).
Demonstrem que relação R é uma relação de equivalência.
Exercício 11: Seja E um conjunto não vazio P (A) seu conjunto das partes.
Mostrem que a relação
R = {(X,Y ) ∈ P (A)× P (A)| X RY ⇔ X ⊂ Y }
não é uma relação de equivalência.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 8 / 24
Classe de Equivalência/Problema aberto
Classe de Equivalência
Seja A um conjunto não vazio e R uma relação de equivalência em A. Chama-se
classe de equivalência de a ∈ A modulo R:
[a] = {x ∈ A|xRa} ou [a] = {x ∈ A|x ≡ a (mod−R).}
Obs 7: [a] ⊂ A e [a] ∈ P (A).
Propriedade de Relações de Equivalências
Seja A um conjunto não vazio e R uma relaçã de equivalência em A.
Lemma 1: Para a, b ∈ A temos que [a] = [b]⇔ aR b.
Lemma 2: Se [a] ∩ [b] 6= ∅, então [a] = [b].
Exemplo 6: Seja A = {0, 1, 2, 3} e considerem a relação de equivalência,
R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 0), (3, 1)}, então veremos as classes de
equivalências [0], [1].
Exemplo 7: Considerem a relação de equivalência de = em Q+ e definam as classes
de equivalências.
Problema:(em aberto) Construa uma Relação de equivalcia em P (conjunto dos
números primos)!
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Classe de Equivalência/Conjunto Quociente
Conjunto Quociente
Chama-se Conjunto Quociente de A pela relação de equivalência R:
(
A
∼ =)
A
R
= {[a]|a ∈ A}.
Obs 8: A
R
⊂ P (A) e A
R
∈ P (P (A)).
Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Uma
partição de A é:
• Xi, Xj(i 6= j) ∈ P (A), talque
Xi ∩Xj = ∅,
• ⋃
Xi∈P (A) Xi = A.
Exemplo 8: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, o P = {{1, 3}, {2, 5}, {4}} é uma partição de A.
Teorema 4: Dado A, um conjunto não vazio e ∼ uma relação de equivalência em
A, o conjunt quociente A∼ é uma partição de A.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 10 / 24
Relação de Ordem Parcial
Relação de Ordem
Uma relação R em A ou R = (R,A,A) chama-se "Relação de Ordem
(parcial)"que é Reflexiva, Anti-Simétrica e Transitiva.
Obs 9: Todo conjunto munido com um ordem R é chamado Conjunto Ordenado
pelo R.
Exemplo 9: A relação de ≤ no conjunto dos numeros reais, é uma relação de ordem
mas a relação de < não é.
Elementos Comparaveis pela ordem R
Seja A um conjunto não vazio e ∼ uma relação de ordem. Dois elementos x, y ∈ A
chama-se comparaveis pela ordem ∼ se uma das sentenças x ∼ y ou y ∼ x for
verdadeira.
Exemplo 10: Oselementos 3, 5 em N, estão comparaveis pela ordem ≤ mas não são
comparaveis pela ordem | em N.
Obs 8: Considerem conjuntto ordenado A com relação de ordem "≤."O elemento
a ∈ A chama-se "Min A", se ∀x(x ∈ A⇒ a ≤ x) e o elemento b ∈ A, chama-se
"Max A", se ∀x(x ∈ A⇒ x ≤ b).
Ordem Total: ∀x∀y; (x, y ∈ A;x ∼ y ∨ y ∼ x). Todo conjunto munido com uma
ordem Total ∼ é chamado Conjunto Totalmente Ordenado pelo ∼.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 11 / 24
Exercícios de Partições/Relação de Ordem
Exercício 12: Mostrem que a relação x|y é uma relação de ordem em Z+ mas não
é uma relação de ordem em Z.
Exercício 13: Seja A = {a, b, c, d, e, f, g}. verifiquem se seguintes conjuntos de
partes são uma partição de A:
1)P1 = {{a, c, e}, {b}, {d, g}, }
2)P1 = {{a, g, e}, {c, d}, {b, e, f}},
3)P1 = {{a, g}, {c, e, f, d}, {b, e, f}}.
Exercício 14: Seja P1, P2 duas partições finitas de um conjunto finito A.
demonstrem que a Pc = {Xi ∩Xj 6= ∅|Xi ∈ P1, Xj ∈ P2}, também é uma partição
de A.
Exercício 15: Seja A um conjunto qualquer. Mostrem que a relação R definido
sobre P (A), conjunto das partes de A, talque
R = {(X,Y )|X,Y ∈ P (A), X RY ⇔ X ⊂ Y }, é uma relação de ordem.
Exercício 16: Mostrem que a relação de Exemplo 9 é um ordem Total em R.
Exercício 17: Se a, b ∈ Z defina a relação aR b⇔ (b− a) ∈ Z+. Mostrem que a
relação R é uma relação de ordem sobre Z.
Exercício 18: Seja A = {1, 2, 3, 4}. Construa uma relação talque é uma relação de
equivalência e uma relação de ordem ambas no mesmo tempo.
Exercício 19: Resolva lista de relação de ordem e equivalência na
Intermat/listas.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 12 / 24
Funções e Aplicações
Função ou Aplicação
Chama-se a relação f de A em B, onde A,B são conjuntos quaisquer, uma função
ou aplicação de A em B, se:
1) A = Df (para todo x ∈ A,∃y ∈ B; (x, y) ∈ f);
2) se (x, y) ∈ f e (x, z) ∈ f, então y = z. (∃!y ou f é um grafo funcional.) (Obs 10:
No livro E.A. Filho usa notação f = (F,A,B) onde F ⊆ A×B é um grafo
funcional.)
Notação: Usualmente usamos a notação f : A→ B para expressar que a relação f
é de A em B e o único imagem de x pelo f representamos por y = f(x). Então,
f = {(x, f(x)) ∈ A×B|x ∈ A.}
Exemplo 11: Seja A = Z, B = Q e considere a seguinte relação:
f = {(x, y) ∈ A×B|y = 2x−1
3
}.
Exemplo 12: Seja A = Z, B = Z+ e considere a seguinte relação:
f = {(x, y) ∈ A×B|x2 + y2 = 25}.
Obs 11: A Imagem de f vai ser If = {y = f(x)|x ∈ A}. Observe que na definição
de uma função, não pedi para B = If , então basta If ⊆ B e no caso o conjunto B se
chama contradomínio. (função real de variavel real)
Teorema 5: As funções f : A→ B e g : A→ B são iguais se e somente se,
f(x) = g(x) para todo x ∈ A.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 13 / 24
Funções Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Dado uma relação f ⊂ A×B de A em B, onde A,B são conjuntos quaisquer,
1) chama-se uma função f : A→ B, função Injetora, se para x1, x2 ∈ A;x1 6=
x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)⇔ ∀x1∀x2(x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2).
2) chama-se uma função f : A→ B, função Sobrejetora, se
∀y ∈ B,∃x ∈ A; y = f(x)⇔ If = B.
3) chama-se uma função f : A→ B, função Bijetora, se é injetora e sobrejetora.
(Função Bijetora tem inversa f−1 tal que IdA = f−1 ◦ f, f ◦ f−1 = IdB)
Obs 12: Exite teste das retas horizontais para se determinar quando uma função é
injetora, sobrejetora ou bijetora.(considere a reta horizontal y = y0.)
Exemplo 13: Seja f : R− {2} → R dada por f(x) = 5x−3
x−2 .
Exemplo 14: Seja f : R→ R dada por f(x) = |x|.
Exemplo 15: Seja f : R→ R dada por f(x) = ax + b, a 6= 0.
Exemplo 16: Sejam f(x) = lnx, f(x) = sin(x), f(x) = 2x, f(x) = |x− 4|, | 3
√
x|
usando teste das retas determinem se estão função bijetoras.
Exercício 20: Mostre que a função f : R− {b} → R− {a} dada por f(x) = ax+c
x−b
com a, b, c ∈ R é bijetora.
Exercício 21: Mostre que a função f : R− {−5} → R− {4} dada por f(x) = 4x−8
x+5
é bijetora.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 14 / 24
Composição e Inversa de funções /Função Idêntica
Funções Composta
A função composta de g : B → C e f : A→ B, é uma função h : A→ c, definido por
h(x) = f ◦ g(x) = f(g(x)), para todo x ∈ A.
Exemplo 17: Sejam A = B = C = R e f : R→ R dada por f(x) = |x− 4| e
g : R→ R dada por g(x) =
√
x3 + 4.
Teorema 5
Seja A,B,C,D conjuntos.
1) se f : A→ B e g : B → C são funções injetoras, então g ◦ f : A→ C é uma
função injetora.
2) se f : A→ B e g : B → C são funções sobrejetoras, então g ◦ f : A→ C é uma
função sobrejetora.
3) se f : A→ B e g : B → C são funções bijetoras, então g ◦ f : A→ C é uma
função bijetora.
4) A composição de funções satisfáz a propriedade associativa.
5) Existem IdA : A→ A (IdA(x) = x) e IdB : B → B (IdB(y) = y), funções
idênticas para f : A→ B, tal que IdB ◦ f = f e f ◦ IdB = f.
Exercício 22: Mostre, se função f : A→ B é bijetora, existe uma função bijetora
g : B → A, talque g ◦ f = IdA e f ◦ g = IdB .(função g = f−1 é inversa da f .)
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 15 / 24
Imagem Direta de um Conjunto por f
Imagem direta
Seja f uma função de A em B. A imagem direta de X ⊂ A pelo f que representa-se
por f(X), é : {f(x)|x ∈ X.} (Obs: f(X) ⊆ If e f(∅) = ∅.)
Teorema 6
Seja f = (f,A,B) uma função de A em B onde A e B são conjuntos não vazios.
1) Se X,Y ⊆ A e X ⊂ Y , então f(X) ⊂ f(Y ).
2) Para X,Y ⊆ A, então f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).
3) Para X,Y ⊆ A, então f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ).
4) Para X,Y ⊆ A, então f(X)− f(Y ) ⊂ f(X − Y ).
Exemplo 17: Seja f : Z→ Z, e A = {0, 1, 2}, B = {4, 5} onde f(x) = c.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 16 / 24
Imagem Inversa de um Conjunto por f
Imagem Inversa
Seja f uma função de A em B. A imagem inversa de Y ⊂ B pelo f que representa-se
por f−1(Y ), é : {x ∈ A|f(x) ∈ Y.}
(Obs: f(x) = y ⇔ x ∈ f−1(y) e f−1(B) = f−1(If ) = A.)
Teorema 7
Seja f = (f,A,B) uma função de A em B onde A e B são conjuntos não vazios.
1) Para X,Y ⊆ B e X ⊂ Y , então f−1(X) ⊂ f−1(Y ).
2) Para X,Y ⊆ B, então f−1(X ∪ Y ) = f−1(X) ∪ f−1(Y ).
3) Para X,Y ⊆ B, então f−1(X ∩ Y ) = f−1(X) ∩ f−1(Y ).
4) Para X,Y ⊆ B, então f−1(X)− f−1(Y ) = f−1(X − Y ).
Exemplo 18: Seja f : Z→ Z, e A = {0, 1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} onde f(x) = c.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 17 / 24
Diferentes Tipos de Funções/ Operação Interna
Seja A,B dois conjuntos e b ∈ B, X ⊂ A.
1) Função Constante, f(x) = b.
2) Função Idêntica, f(x) = x, ou IdA(x) = x.
3) Função de Inclusão, iX : X → A onde iX(x) = x.
4) Função Característica, CX : A→ {0, 1} onde CX(x) = 1 se x ∈ X e CX(x) = 0,
se x /∈ X.
Exercício 23: Resolva lista de funções no Intermat/listas.
Operação Interna
Uma função ou aplicação f : A×A→ A é dita operação, ou, lei composição interna,
sobre A (ou em A), se: ∀x, y ∈ A, x ∗ y ∈ A., (Então f(x, y) = x ∗ y ∀(x, y) ∈ A×A.)
Exemplo 19, 20: A relações f : N× N→ N, onde f(x, y) = x + y e f : Z× Z→ Z,
onde f(x, y) = x
y
.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 18 / 24
Operação Interna Sobre um conjunto
Propriedades de uma Operação
Seja A um conjunto e f : A×A→ A talque f(x, y) = x ∗ y, é uma operação,
1) Operação ∗ é Associativa: ∀x, y, z ∈ A; (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
2) Operação ∗ é Comutativa: ∀x, y ∈ A;x ∗ y = y ∗ x.
3) Operação ∗ admite Elemento neutro denotado por "e":∀x ∈ A;x∗ e = x = e∗x.
4) Um elemento x ∈ A é Simetrizável, em relação a
∗:∀x ∈ A;∃x′ ∈ A : x ∗ x′ = e = x′ ∗ x.
Notação: U∗A = {x ∈ A|∃x′ ∈ A;x ∗ x′ = e = x′ ∗ x.}
5) Um elemento s ∈ A é dito Elemento Regular, em respeito a operação ∗, se,
∀x, y ∈ A : x ∗ s = y ∗ s⇒ x = y (regular a direta) e s ∗ x = s ∗ y ⇒ x = y (regular a
esquerda).Notação: (R∗A = {x ∈ A|x é regular}).
Proposição 1: Se a operação ∗ sobre E tem elemento neutor, então é único.
Proposição 2: Seja ∗ uma operação sobre o conjunto E, que é associativa e tem
elemento neutro e, então:
1) se x ∈ E é simetrizável, então o seu simétrico é único.
2) se x ∈ E é simetrizável, então o seu simétrico x′ também é: (x′)′ = x,
3) se x, y ∈ E são simetrizáveis, então x ∗ y também é: (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′.
Proposição 3: Se ∗ é uma operação sobre o conjuntoE, que é associativa e tem
elemento neutro e, e x ∈ E é simetrizável, então x é regular.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 19 / 24
Propriedades das Operações
Distributividade entre duas operações
Dado conjunto A e as operações ∗ e � no A, é dito que a operação ∗ é distributiva
esquerda sobre �: ∀x, y, z ∈ A : x ∗ (y � z) = (x ∗ y) � (x ∗ y) e � é distributiva direita
sobre ∗:∀x, y, z ∈ A : (y � z) ∗ x = (y ∗ x) � (z � x).
Considere R com operações "+"e ".":
A "."é distributiva em respeito a "+":
1) dist esquerda:∀x, y, z ∈ R : x.(y + z) = x.y + x.z
2) dist direita:∀x, y, z ∈ R : (x + y).z = x.z + y.z.
Parte Fechada para uma Operação
Dado conjunto A e B ⊂ A, o conjunto B e fechado pela operação do conjunto A, se:
∀x, y ∈ B;x ∗ y ∈ B.
Exemplo 21: O conjunto N é fechado para aadição em Z, mas não é fechado para
subtração em Z.
Exemplo 22: Sejam x ∗ y = x + xy e x� y = xy + 1 operações sobre Z. Verifique se
� é distributiva em relação a operação ∗.
Exercício 24: Verifique, em Z× Z, se a operação dada por
(a, b) • (c, d) = (ac, ad + bc) é distributiva em relação a operação
(a, b)⊕ (c, d) = (a + c, b + d).
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 20 / 24
Tábua de uma Operação
Tábua/Comutatividade,Elementos neutro, simetrizável e regular
Exercício 25: Construa a tábua da operação de multiplicação e adição em Z3.
Exercício 26: Construa a tábua de uma operação ∗ sobre o conjunto
B = {a, b, c, d} de modo que seja comutativa, o elemento "b"seja o neutro,
U∗(B) = R∗(B) = B e a ∗ c = b.
Exercício 27: Verifique se o conjunto A = {0, 2, 4} é fechado mediante a adição em
Z5.
Exercício 28: Construa a tábua da sendo, comutativa, todo elemento de A regular,
o elemento neutro é "e", os elementos "a"e "f"são simétricos, "b"e "d"também são
simétricos, a ∗ d = b ∗ c = f , a ∗ c = b ∗ b = d, c ∗ d = a.
Exercícios: Resolva lista de Operações no Intermat/listas.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 21 / 24
Estruturas Álgebricas Definidas por Uma Operação
Grupos e Subgrupos
Um sistema constituído de um conjunto não vazio G e uma operação ∗ juntamente
com seguintes axiomas:
Axioma 1) (G, ∗) é Associativa;
Axioma 2) (G, ∗) tem elemento neutro e;
Axioma 3) U∗(G) = G (∀x ∈ G, x simetrizavel)
é chamado de um Grupo!
Obs: Se além disso o (G, ∗) é comutativo, se chama de Grupo Comutativo.
Exemplo 23:
(G = {1,−1}, .), (Z,+), (Q,+), (R,+), (Zm,+), (Mm×n(R),+), (Q∗, .), (R∗, .),
(Todos são comutativos).
O Grupo (Mn×n(R), .) é um exemplo de um grupo não comutativo.
Obs: Seja (G, ∗) um grupo e H ⊂ G. O (H, ∗) é chamado de um Subgrupo de G, se
1) H é fechado por ∗ e 2) (H, ∗) é um grupo.
Exemplo 24: (Z,+) 6 (R,+) ou (Q∗, .) 6 (R∗, .).
Homomorfísmos e Isomorfísmos de Grupos
Um Homomorfísmo de um grupo (G, ∗) num grupo (J, .) é uma aplicação
f : (G, ∗)→ (J, .) t.q f(x ∗ y) = f(x).f(y). Se um homomorfismo de grupos for
bijetora, então se chama um Isomorfísmo.(Ex: O (G = {1,−1}, .) e (S2, ◦)).
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 22 / 24
Estruturas Álgebricas Definidas por Duas Operações
Aneis e Corpos
Um sistema constituído de um conjunto não vazio G e um par de operação +, .
juntamente com seguintes axiomas:
Axioma 1) (G,+) é um grupo Abeliano (Comutativo);
Axioma 2) (G, .) é associativo;
Axioma 3) a multiplicação é distributiva em relação a adição:
∀x, y, z ∈ G;x.(y + z) = (x.y) + (x.z) e (y + z).x = (y.x) + (z.x).
é chamado de um Anel!
Exemplos 25: (Z,+, .), (Q,+, .), (R,+, .), (Zm,+, .), (Mm×n(R),+, .).
Obs: Um anel onde Axiamo 2) é :(G∗, .) é um grupo Abeliano , se chama de um
Corpo.
Exemplos 26: (Q,+, .), (R,+, .).
Homomorfísmos e Isomorfísmos de Aneís
Um Homomorfísmo de um anel (G,+, .) num outro anel (J,+, .) é uma aplicação
f : G→ J t.q 1) f(x + y) = f(x) + f(y) e 2) f(x.y) = f(x).f(y).
Se um homomorfismo de aneis for bijetora, então se chama um Isomorfísmo.
Exemplo 27: Qualquer que sejam (A,+, .) e (B,+, .) a aplicação f : A→ B com
f(x) = 0B é um homomorfísmo de aneis.
Exemplo: Qualquer que seja o Anel (A,+, .) a aplicação idêntica é um isomorfísmo.
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 23 / 24
Projeto Zm:A beleza e a dificuldade de ser um Deus (em Math..)!
Considere a relação ∼⊆ Z× Z, t.q: a ∼ b⇔ a− b é multiplo de m : ( ou a ≡
m
b).
Segue as seguintes instrumentos:
1) Escolha o m > 1 seu número primo favorito. Fixando o m, mostre que a relação
de ∼ é uma relação de equivalência.
2) Construa as clases de equiv, 0 = [0] = {x ∈ Z|x− 0é multiplo de m}, 1 = [1] =
{x|x− 1é multiplo de m}, · · ·m− 1 = [m− 1] = {x|x− (m− 1)é multiplo de m},
3) Construe o conjunto quociente Z∼ = {m|m ∈ Z} e se chame Zm.
4) Defina a operação + : Zm × Zm → Zm tal que (x, y)→ x + y = x + y, e mostre
que é associativo, comutativo e tem elemento neutro,
5) Encontre os conjuntos U+(Zm) e R+(Zm) (conjunto de elementos simetrizáveis e
elementos regulares),
6) Afirme que o par (Zm,+) é um grupo Abeliano (comutativo),
7) Defina a operação . : Zm × Zm → Zm tal que (x, y)→ x.y = x.y, e mostre que
(Z∗m, .) é um grupo Abeliano.
8) Mostre que a multiplicação "."é distribuitiva sobre a adição "+",
9) Afirme que (Zm,+, .) é um anel,
10) Afirme que (Zm,+, .) é um Corpo.
Parabéns por ter conseguido construir o corpo do seu n◦ primo favorito!
Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 24 / 24