Estatistica-Correlacao-e-Regressao-Cespe-v1

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Curso: Estatística 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
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“Aprender é a única coisa de que a mente nunca se cansa, 
nunca tem medo e nunca se arrepende.” 
Leonardo Da Vinci 
 
 
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Professores: Fábio Amorim e Renato 
Talalas 
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Assunto Página 
1. Introdução 3 
2. Correlação Linear Simples 4 
2.1 – Diagrama de Dispersão 4 
2.2 – Coeficiente de Correlação 6 
3. Regressão Linear Simples 10 
4. Questões Comentadas 15 
5. Lista de Questões 61 
6. Gabarito 77 
 
 
“Aprender é a única coisa de que a mente nunca se cansa, 
nunca tem medo e nunca se arrepende.” 
Leonardo Da Vinci 
Aula – Medidas de Dispersão 
 
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1. Introdução 
 
Com base em estudos estatísticos é possível avaliar a relação entre duas 
ou mais variáveis aleatórias. Esse tipo de avaliação é muito útil em diversas 
áreas. 
Os objetivos desses estudos podem ser resumidos em dois aspectos: (1) 
simular efeitos de variáveis independentes em uma variável Y, dependente; (2) 
realizar previsões sobre o comportamento futuro de uma variável Y, 
dependente, haja vista o histórico observado em relação a variáveis 
independentes. 
Por exemplo, quanto ao primeiro aspecto, na área comercial, é o caso dos 
estudos que simulem a relação entre o volume de vendas de um produto e as 
variáveis independentes que o influenciam, como o preço do produto, os gastos 
com propaganda, ou a época do ano, etc. 
Conhecidas essas relações, torna-se possível fazer previsões de 
faturamento, a partir dos gastos estabelecidos com propaganda, por exemplo 
(segundo aspecto). 
Essas previsões podem ser feitas, inclusive, na área de fiscalização 
tributária, a qual vocês estarão atuando daqui a algum tempo. Por exemplo, 
quando se deseja prever a arrecadação tributária em um período, para fins de 
planejamento orçamentário da unidade federativa. 
O gráfico abaixo traz outro exemplo de aplicação desses estudos, onde 
se compara o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) em relação à carga 
tributária de vários países: 
 
Fonte: Instituto Brasileiro de Planejamento Tributário (IBPT) 
 Nesse gráfico, pode-se observar uma correlação positiva entre carga 
tributária e IDH. Ou seja, quanto maior a carga tributária, maior o IDH. Isto é 
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esperado, já que melhorias em educação, saúde, segurança, etc., custam caro 
e, portanto, os impostos devem ser maiores para que o governo consiga arcar 
com melhorias. 
 Além disso, é possível analisar que o Brasil mantém uma relação entre 
impostos e IDH abaixo da média, representada pela reta. Ou seja, quando 
comparado com países com carga tributária próxima, o Brasil deveria entregar 
um melhor retorno a sua população (IDH). 
Estabelecidos esses conceitos iniciais, nesta aula, veremos um pouco 
sobre esses estudos que visam a descrever e quantificar a relação entre 
variáveis aleatórias. Iremos conhecer duas ferramentas utilizadas: a 
correlação e a regressão. Preparados? Então, vamos lá! 
 
2. Correlação Linear Simples 
O estudo das correlações tem como objetivo medir o grau de relação 
entre variáveis aleatórias quantitativas. 
Por exemplo, será que a variável aleatória “número de casas com rede 
de esgoto” e a variável aleatória “número de atendimentos no posto de saúde” 
possuem alguma relação? Como se comporta essa relação? Essa relação é forte, 
fraca ou inexistente? Essas e outras questões podem ser respondidas pelo 
estudo da correlação de variáveis. 
Normalmente, as bancas examinadoras restringem o conteúdo 
programático à correlação do tipo linear simples. Sendo assim, iremos estudar 
apenas a correlação de duas variáveis aleatórias que se comportam 
linearmente. 
No estudo das correlações lineares simples, vamos utilizar duas 
ferramentas: o diagrama de dispersão e o coeficiente de correlação. 
 
2.1 – Diagrama de Dispersão 
O diagrama de dispersão é um tipo de gráfico no plano cartesiano, onde 
são os dados de duas variáveis X e Y podem ser dispostos por meio de pontos. 
Assim, dadas duas variáveis X e Y, compostas, respectivamente, pelos 
elementos {x1, x2, x3,..., xn} e {y1, y2, y3,..., yn}, podemos representar 
graficamente cada ponto (xi, yi) no diagrama de dispersão: 
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Portanto, os pontos do diagrama são representados pelos pares (x1, y1), 
(x2, y2), até (xn, yn). 
Visualizando o diagrama acima, é possível constatarmos um crescimento 
da variável Y à medida que a variável X cresce. Por isso, dizemos que há uma 
correlação positiva entre essas duas variáveis aleatórias. O mesmo não se pode 
dizer do diagrama abaixo, por exemplo: 
 
Visualizando esse diagrama, não é possível identificarmos qualquer 
comportamento da variável Y em função do crescimento da variável X. Nesse 
caso, dizemos que não existe correlação entre essas variáveis. 
Sendo assim, a partir do diagrama de dispersão, três constatações podem 
ser feitas: 
✓ Quando os valores da variável Y aumentam à medida que os valores de X 
também aumentam, dizemos que existe uma correlação positiva entre 
essas variáveis; 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
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✓ Quando os valores da variável Y diminuem à medida que os valores de X 
aumentam, dizemos que existe uma correlação negativa entre essas 
variáveis; 
✓ Quando o diagrama não demonstra uma relação entre os valores da variável 
Y a partir do aumento dos valores de X, dizemos não existe correlação 
entre elas, ou seja, as variáveis são independentes entre si. 
 
2.2 – Coeficiente de Correlação 
Apesar de útil, a análise do diagrama de dispersão não é precisa, e exige 
a formulação de uma medida que represente a correlação entre duas 
variáveis X e Y. 
Essa medida objetiva é denominada de coeficientes de correlação. 
Nas correlações lineares simples, essa medida é denominada de 
coeficiente de correlação de Pearson (𝑟𝑥𝑦), definida a partir de parâmetros 
amostrais de X e Y. Matematicamente é calculada da seguinte maneira: 
 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
 
⇒ 𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
√𝑆²(𝑋) × 𝑆²(𝑌)
 
Onde: 
− 𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌) =
1
𝑛 − 1
∑(𝑌𝑖 − �̅�)(𝑋𝑖 − �̅�)
𝑛
𝑖=1
 
− 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) =
1
𝑛 − 1
∑(𝑋𝑖 − �̅�)²
𝑛
𝑖=1
 
− 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑌) =
1
𝑛 − 1
∑(𝑌𝑖 − �̅�)²
𝑛
𝑖=1
 
Desenvolvendo matematicamente essas expressões, temos que: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
√𝑆²(𝑋) × 𝑆²(𝑌)
=
1
𝑛 − 1 𝑆𝑋𝑌
√ 1
𝑛 − 1𝑆𝑋𝑋 ×
1
𝑛 − 1𝑆𝑌𝑌
 
𝑟𝑥𝑦 =
 𝑆𝑋𝑌
√𝑆𝑋𝑋 × 𝑆𝑌𝑌
 
Onde: 
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𝑆𝑋𝑌 =∑𝑋𝑖𝑌𝑖 −
(∑𝑋𝑖)(∑𝑌𝑖)
𝑛
 
𝑆𝑋𝑋 =∑𝑋𝑖² −
(∑𝑋𝑖)
2
𝑛
 
𝑆𝑌𝑌 =∑𝑌𝑖² − (∑𝑌𝑖) ²/𝑛 
 
À primeira vista essas fórmulas podem parecer complicadas, mas com a 
práticanós iremos ver que não. Independentemente disso, precisamos decorá-
la para a prova! 
Vale lembrar vocês que, caso os dados informados se refiram a 
parâmetros populacionais, as fórmulas são as seguintes: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
 
⇒ 𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
√𝜎²(𝑋) × 𝜎²(𝑌)
 
Onde: 
− 𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌) =
1
𝑛
∑(𝑌𝑖 − �̅�)(𝑋𝑖 − �̅�)
𝑛
𝑖=1
 
− 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) =
1
𝑛
∑(𝑋𝑖 − �̅�)²
𝑛
𝑖=1
 
− 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑌) =
1
𝑛
∑(𝑌𝑖 − �̅�)²
𝑛
𝑖=1
 
O coeficiente de Pearson é um número adimensional que varia de -1 a 1 
e, a partir dele, podemos tirar as seguintes conclusões sobre a correlação 
linear de duas variáveis: 
✓ Quando 0 < 𝑟𝑥𝑦 < 1, dizemos que existe uma correlação positiva entre as 
variáveis X e Y; 
✓ Quando −1 < 𝑟𝑥𝑦 < 0, dizemos que existe uma correlação negativa entre 
as variáveis X e Y; 
✓ Quando 𝑟𝑥𝑦 = 1, dizemos que a correlação é positiva perfeita; 
✓ Quando 𝑟𝑥𝑦 = −1, dizemos que a correlação é negativa perfeita; 
✓ Quando 𝑟𝑥𝑦 = 0, dizemos que a correlação é nula. 
 
Graficamente, podemos visualizar essas relações da seguinte forma: 
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Coeficiente Diagrama 
𝟎 < 𝒓𝒙𝒚 < 𝟏 
 
Correlação 
Linear 
Positiva 
 
−𝟏 < 𝒓𝒙𝒚 < 𝟎 
 
Correlação 
Linear 
Negativa 
 
𝒓𝒙𝒚 = 𝟏 
 
Correlação 
Linear 
Positiva 
Perfeita 
 
 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
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Coeficiente Diagrama 
𝒓𝒙𝒚 = −𝟏 
 
Correlação 
Linear 
Negativa 
Perfeita 
 
 
𝒓𝒙𝒚 = 𝟎 
 
Correlação 
Linear Nula 
 
 
 
Por fim, podemos destacar algumas características importantes do 
Coeficiente de Pearson: 
✓ O valor do coeficiente de uma variável X em função de Y é igual ao coeficiente 
da variável Y em função de X; 
✓ O valor do coeficiente não muda ao se alterar a unidade de medida das 
variáveis; 
✓ O coeficiente é adimensional; 
✓ As variáveis a serem relacionadas devem ser quantitativas (contínuas ou 
discretas); 
✓ Para o seu cálculo, é desejável que as variáveis aleatórias estejam 
normalmente distribuídas. 
 
 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
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3. Regressão Linear Simples 
 
 A regressão tem por objetivo descrever a relação existente entre 
variáveis aleatórias. Essa descrição é conseguida por meio de uma equação 
matemática. 
 Em outras palavras, a regressão consiste em encontrar uma equação que 
possa descrever a relação entre variáveis aleatórias. 
Nesta aula, iremos estudar apenas as regressões de duas variáveis 
aleatórias que se comportam linearmente. 
Esse comportamento linear é traduzido pela equação de regressão, do 
tipo �̂� = 𝑎𝑋 + 𝑏. 
 Sendo assim, a regressão linear simples consiste em encontrar uma 
equação do tipo �̂� = 𝑎𝑋 + 𝑏, a partir de dados existentes de duas variáveis 
aleatórias X:{x1, x2, x3,..., xn} e Y:{y1, y2, y3,..., yn}. 
 
➢ Análise da Regressão Linear Simples 
 Dadas duas variáveis X e Y, se tivéssemos uma correlação perfeita entre 
elas, a obtenção da equação �̂� = 𝑎𝑋 + 𝑏 seria mais fácil. 
 No entanto, a maioria dos casos, essa correlação não é perfeita, como no 
diagrama de dispersão a seguir: 
 
 Sendo assim, a regressão tem como objetivo encontrar uma equação que 
melhor represente a relação entre Y e X. 
 Um dos métodos existentes consiste em encontrar a reta �̂� onde é 
mínima a soma dos quadrados das diferenças (𝑒𝑖) entre os valores de Y e os 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
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valores correspondentes da reta �̂� . Esse método é chamado de mínimos 
quadrados. 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠:∑(𝑒𝑖)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
=∑(𝑌𝑖 − �̂�)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
 
 
 
 Assim, supondo que essa reta tenha equação �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋, pelo método 
dos mínimos quadrados: 
∑(𝑒𝑖)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
=∑(𝑌𝑖 − �̂�)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
=∑(𝑌 − 𝑎 − 𝑏𝑋)2
⏟ 
𝑀Í𝑁𝐼𝑀𝑂
 
 Desenvolvendo matematicamente essa condição, encontraremos os 
seguintes coeficientes na expressão geral para a regressão linear simples: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
 Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 → 𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖)²/𝑛
 
 
➢ O Coeficiente de Determinação R² 
 O Coeficiente de determinação R² tem a função de expressar a 
“qualidade” da reta de regressão. Matematicamente, representa o quadrado do 
coeficiente de correlação de Pearson. 
 Para entendermos seu conceito, rememoro que o objetivo da regressão é 
encontrar uma equação que expresse a relação entre duas variáveis aleatórias 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
𝑒6 
𝑒9 
𝑒1 
𝑒2 𝑒3 
𝑒4 𝑒5 
𝑒7 
𝑒8 
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X e Y. Para tal, utilizou-se o método dos mínimos quadrados, onde é analisado 
a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de 𝑌𝑖 e os respectivos 
valores de �̂�: 
∑(𝑌𝑖 − �̂�)
2
 
 Isso representa a soma dos quadrados dos erros (𝑒𝑖), considerando cada 
ponto (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) do diagrama de dispersão: 
∑(𝑒𝑖)² = ∑(𝑌𝑖 − �̂�)
2
⏟ 
𝑀Í𝑁𝐼𝑀𝑂
 
 
 Ou seja, o objetivo é conseguir uma reta onde os pontos do diagrama 
estejam, de uma maneira geral, o mais próximo possível à reta �̂�. 
 Assim, obtida a reta otimizada pelo método dos mínimos quadrados, o 
coeficiente de determinação R² surge como uma medida da proximidade dos 
pontos 𝑌𝑖 em relação à reta �̂�. 
 Para medir essa qualidade da reta �̂�, faz-se uma comparação entre as 
distâncias de �̂� em relação à média �̅�, com as distâncias dos pontos 𝑌𝑖 em 
relação à média �̅�. Se essas distâncias forem semelhantes, significa que a reta 
está bem ajustada. 
 Assim, o coeficiente de determinação (R²) expressa o quanto esses 
pontos �̂� , em geral, estão próximos à média �̅� , em comparação com a 
proximidade, também de uma maneira geral, de 𝑌𝑖 à média �̅�. 
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 A diferença entre �̂� e �̅� é denominada “Variação Explicada” da reta de 
regressão, ou, variação devido à regressão. 
 A diferença entre cada ponto de 𝑌𝑖 e a média �̅� é denominada “Variação 
Total” da reta de regressão, e expressa a variabilidade de Y em relação à sua 
média. 
 Pela comparação entre essas variações é que se mede a “qualidade” da 
regressão linear R². Quanto mais próximos os valores da variação explicada 
estiverem em relação à variação total, melhor será o ajuste da reta �̂�. 
 Além dessas duas variações, existe a chamada “Variação Residual”, que 
é representada pela diferença entre cada ponto 𝑌𝑖 e a reta de regressão �̂�. Essa 
variação é intrínseca à regressão e ao método dos mínimos quadrados: 
(𝑌𝑖 − �̂�) → 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜. 
 Ou seja, por mais que a reta de regressão �̂� procure indicar uma equação 
representativa, dificilmente conseguiráeliminar as diferenças existentes entre 
𝑌𝑖 e �̂� . Por isso, diz-se que esse é um erro não explicado pela reta de 
regressão �̂�. Quanto menor o valor dessa variação residual, melhor será o 
ajuste da reta �̂�. 
 
 Matematicamente, portanto, para calcular o coeficiente de determinação 
R² utilizamos a razão entre a soma dos quadrados das variações explicadas 
(SQE), e a soma dos quadrados das variações totais (SQT). 
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 Como R² pretende avaliar a qualidade da reta de regressão, quanto 
melhor a variação explicada, melhor será o ajuste da reta em relação aos 
valores de (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). Assim: 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
 
 Onde: 
𝑆𝑄𝐸 =∑(�̂� − �̅�)
2
𝑆𝑄𝑇 =∑(𝑌𝑖− �̅�)
2
𝑆𝑄𝑅 =∑(𝑌𝑖 − �̂�)
2
}
 
 
 
 
→ 𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑄𝐸 + 𝑆𝑄𝑅 
 
 Desenvolvendo matematicamente essas expressões, chegamos à 
seguinte fórmula geral para R²: 
𝑅² =
𝑏². 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌𝑌
 
 
Onde 
𝑆𝑋𝑋 =∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖) ²/𝑛 
𝑆𝑌𝑌 =∑𝑌𝑖² − (∑𝑌𝑖) ²/𝑛 
𝑏: 𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
 
 Por fim, encontrado o valor de R², devemos interpreta-lo como o 
percentual da variabilidade de Y que é explicada pela equação de 
regressão �̂�: 
✓ Caso 𝑅² ≅ 1 (próximo a 1), dizemos que grande parte da variabilidade de Y 
é explicada pela relação linear entre X e Y. 
✓ Caso 𝑅² = 1, temos uma correlação perfeita, onde 100% da variabilidade de 
Y é explicada pela relação linear entre X e Y. 
✓ Caso 𝑅² ≅ 0 (próximo a 0), dizemos que grande parte da variabilidade de Y 
não é explicada pela relação linear entre X e Y. 
✓ Caso 𝑅² = 0, temos uma correlação nula, onde a variabilidade de Y não é 
explicada pela relação linear entre X e Y. 
 
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4. Questões Comentadas 
 
1. (CESPE – Polícia Federal – Papiloscopista – 2012) Considere que a 
covariância e a correlação linear entre as variáveis X e Y sejam, 
respectivamente, iguais a 5 e 0,8. Suponha também que a variância de X seja 
igual a quatro vezes a variância de Y. Nesse caso, é correto afirmar que a 
variância de X é igual a 2. 
R. 
Dados do problema: 
- 𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌) = 5 
- 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = 𝑟𝑥𝑦 = 0,8 
- 𝜎²(𝑋) = 4.𝜎²(𝑌) 
- 𝜎²(𝑋) 
Vimos que a correlação linear entre duas variáveis X e Y pode ser expressa pela 
fórmula: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
 
0,8 =
5
√𝜎²(𝑋) ×
𝜎²(𝑋)
4
 
√𝜎²(𝑋) ×
𝜎²(𝑋)
4
=
5
0,8
= 6,25 
𝜎²(𝑋)
2
= 6,25 
𝜎²(𝑋) = 12,5 
Gabarito 1: Errado 
 
2. (CESPE – MS – Estatístico – 2010) 
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Considerando a tabela de valores acima, nas variáveis X e Y, julgue os itens 
subsequentes. 
Se 𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) é a covariância entre 𝑋 e 𝑌, 𝑉(𝑋) é a varância de 𝑋 e 𝑉(𝑌) é a 
variância de 𝑌, então é correto afirmar que o coeficiente de correlação linear, 
𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌) = 
𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)
√𝑉(𝑋)𝑉(𝑌)
 é inferior a 0,8. 
R. 
A correlação entre as variáveis X e Y depende de três medidas que não sabemos 
de antemão: V(X), V(Y) e Cov(X,Y). Então, vamos calculá-las: 
Média de X: 
�̅� =
∑𝑥
𝑛
=
1 + 2 + 3 + 4 + 5
5
=
15
5
= 3 
Variância de X: 
𝑉(𝑋) =
∑(𝑥 − �̅�) ²
𝑛
=
(1 − 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)²
5
 
𝑉(𝑋) =
4 + 1 + 0 + 1 + 4
5
= 2 
Média de Y: 
�̅� =
∑𝑦
𝑛
=
2 + 3 + 2 + 3 + 4
5
=
14
5
= 2,8 
Variância de Y: 
𝑉(𝑌) =
∑(𝑦 − �̅�) ²
𝑛
=
(2 − 2,8)2 + (3 − 2,8)2 + (2 − 2,8)2 + (3 − 2,8)2 + (4 − 2,8)²
5
 
𝑉(𝑌) =
0,64 + 0,04 + 0,64 + 0,04 + 1,44
5
= 0,56 
Covariância de X e Y: 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
∑(𝑥 − �̅�)(𝑦 − �̅�)
𝑛
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
(−2)(−0,8) + (−1)(0,2) + (0)(−0,8) + (1)(0,2) + (2)(1,2)
5
 
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𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
1,6 − 0,2 + 0 + 0,2 + 2,4
5
= 0,8 
Feito esses cálculos, podemos obter o valor da correlação: 
𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌) = 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
√𝑉(𝑋)𝑉(𝑌)
=
0,8
√2.0,56
=
0,8
1,06
≅ 0,76 
Gabarito 2: Certo 
 
3. (CESPE – MS – Estatístico – 2010) Se o coeficiente de correlação linear 
entre as variáveis é igual a zero, então não existe nenhuma relação entre as 
variáveis X e Y. 
R. 
Atenção para a pegadinha da questão! Se o coeficiente de correlação linear 
entre as variáveis é igual a zero, então, não existe nenhuma relação linear 
entre as variáveis X e Y. 
 
Coeficiente Diagrama 
𝒓𝒙𝒚 = 𝟎 
 
Correlação 
Linear Nula 
 
 
Gabarito 3: Errado 
 
 
4. (CESPE – ABIN – Oficial Técnico de Inteligência – 2010) 
 
Com base nas informações da tabela acima, que mostra as temperaturas 
registradas em determinado horário e dia, em quatro estações meteorológicas, 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
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e as altitudes em que cada uma dessas estações se encontra, julgue o seguinte 
item. 
Considerando que a relação entre graus Fahrenheit e graus Celsius é dada por 
F = 1,8 C + 32, é correto afirmar que a correlação linear de Pearson entre as 
altitudes e as temperaturas é maior quando calculada com as temperaturas em 
graus Fahrenheit que quando calculada em graus Celsius. 
R. 
A correlação entre duas variáveis X (altitude) e Y (temperatura em °C) é igual 
a: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
 
O problema quer saber se existem diferenças entre o valor de 𝑟𝑥𝑦 e o valor de 
𝑟𝑥𝑧, onde a variável Z é a temperatura em graus Fahrenheit: 
𝑟𝑥𝑧 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑍)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑍)
 
Vamos avaliar, inicialmente, a relação entre a Variância de Y e a Variância de 
Z, dado que Y = 1,8 Z + 32. Aprendemos na aula 1 deste curso, que: 
- A variância não é influenciada pelas operações de soma ou subtração de uma 
constante “a” em todos os dados de uma variável aleatória, de modo que: 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋 ± 𝑎) = 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋) 
- A variância é influenciada pelas operações de multiplicação e divisão de uma 
constante “a” em todos os dados de uma variável aleatória: 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑎 × 𝑋) = 𝑎² × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋) 
Desse modo, dada uma variável aleatória Y, onde sua variância é representada 
por 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌), temos que: 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌),= 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(1,8. 𝑍 + 32) 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌), = 1,82. 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑍 ) 
Já a covariância possui as seguintes propriedades: 
𝐶𝑜𝑣(𝑋 + 𝑎, 𝑌 + 𝑏) = 𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) 
𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑋, 𝑏𝑌) = 𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Portanto, podemos concluir que a covariância é influenciada pela multiplicação 
de uma constante qualquer, e não é influenciada pela adição de uma constante 
qualquer. 
Dado que Y = 1,8 Z + 32: 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 1,8 𝑍 + 32) 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 1,8 𝑍 + 32) = 1,8. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) 
⇒ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 1,8. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) 
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Sendo assim, podemos avaliar como se comporta 𝑟𝑥𝑧 em função de 𝑟𝑥𝑦, dado que 
Y = 1,8 Z + 32: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
=
1,8. 𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋,𝑍)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 1,8². 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑍)
 
𝑟𝑥𝑦 =
1,8. 𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑍)
1,8√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑍)
= 𝑟𝑥𝑧 
⇒ 𝑟𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑧 
Portanto, o valor da correlação 𝑟𝑥𝑦 é igual ao valor da correlação 𝑟𝑥𝑧. 
Gabarito 4: Errado 
 
5. (CESPE – ANP – Especialista em Regulação - 2012) Se, em um 
modelo de regressão linear simples, a relação entre a variável resposta ( 𝑌) e a 
variável explicativa (𝑋) é uma reta com 30° de inclinação positiva, então a forma 
do modelo é 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝑐𝑜𝑠30°. 𝑋𝑖 + 𝜖𝑖, em que 𝜖𝑖~𝑁(0, 𝜎
2) 
R. 
Vimos nesta aula que a expressão geral para a regressão linear simples é a 
seguinte: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Se a relação entre a variável Y e avariável X é uma reta com 30° de inclinação 
positiva, teremos o seguinte gráfico: 
 
Para obtermos o valor de Y, bastaríamos utilizar a relação: 
𝑡𝑔 30° =
𝑌
𝑋
 
𝑌 = 𝑡𝑔 30°. 𝑋 
Como 𝑌 = 𝑎 quando 𝑋 = 0, temos a seguinte equação: 
�̂� = 𝑎 + 𝑡𝑔 30°. 𝑋 
Gabarito 5: Errado 
 
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6. (CESPE – Correios – Analista – 2011) 
 
A tabela e as estatísticas mostradas acima correspondem ao estudo realizado 
por um engenheiro acerca da resistência Y (em kg) à tração de 6 fios de 
determinado material, considerando-se os respectivos diâmetros X (em 0,1 
mm). 
Considerando essas informações e um modelo de regressão linear simples na 
forma 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝜖, em que 𝜖 representa o erro aleatório com média 0 e 
desvio padrão 𝜎, julgue os itens que se seguem a respeito de regressão e 
correlação. 
A soma total corrigida dos quadrados da variável Y é igual a 200. 
R. O examinador quer saber o valor da soma dos quadrados totais (SQT), onde: 
𝑆𝑄𝑇 =∑(𝑌𝑖 − �̅�)
2 
A fórmula de SQT é igual a: 
𝑆𝑌𝑌 =∑𝑌𝑖² − (∑𝑌𝑖) ²/𝑛 
𝑆𝑌𝑌 = 2700 − (�̅�. 𝑛)²/𝑛 
𝑆𝑌𝑌 = 2700 − (20.6)²/6 
𝑆𝑌𝑌 = 2700 − 2400 
𝑆𝑌𝑌 = 300 
Gabarito 6: Errado 
 
7. (CESPE – Correios – Analista – 2011) A soma dos quadrados dos 
resíduos (variações não explicadas) é inferior a 20. 
R. 
Precisamos calcular a soma dos quadrados dos resíduos (SQR), onde: 
 
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐸 
 
O valor de SQT já foi calculado no exercício anterior. Resta calcular SQE. 
 
Vimos que a fórmula para calcular SQE é igual a: 
 
𝑆𝑄𝐸 = 𝑏². 𝑆𝑋𝑋 
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Onde b é igual ao coeficiente da equação de regressão linear: 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 
Vamos iniciar calculando o valor de b: 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
=
∑𝑋𝑖𝑌𝑖− (∑𝑋𝑖∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖)²/𝑛
=
915 − (�̅�. 𝑛)(�̅�. 𝑛)/𝑛
314 − (�̅�. 𝑛)²/𝑛
 
𝑏 =
915 − (7.6)(20.6)/6
314 − (7.6)²/6
=
915 − 840
314 − 294
=
75
20
= 3,75 
A soma dos quadrados explicados (SQE) é igual a: 
𝑆𝑄𝐸 = 𝑏². 𝑆𝑋𝑋 
𝑆𝑄𝐸 = 3,75². 20 
𝑆𝑄𝐸 = 281,25 
A soma dos quadrados residuais (SQR) é igual a: 
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐸 
𝑆𝑄𝑅 = 300 − 281,25 
𝑆𝑄𝑅 = 18,75 
Gabarito 7: Certo 
 
8. (CESPE – Correios – Analista – 2011) O coeficiente de determinação 
é superior a 90%. 
R. 
O coeficiente de determinação é calculado pela fórmula: 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
 
𝑅2 =
281,25
300
= 93,75% 
Gabarito 8: Certo 
 
9. (CESPE – Correios – Analista – 2011) O módulo do coeficiente de 
correlação entre X e Y é a raiz quadrada do coeficiente de determinação. 
R. 
Correto, o módulo do coeficiente de correlação 𝑟𝑥𝑦 é igual à raiz quadrada do 
coeficiente de determinação R², de modo que: 
𝑅² = (𝑟𝑥𝑦)² 
Gabarito 9: Certo 
 
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10. (CESPE – Correios – Analista – 2011) As estimativas de mínimos 
quadrados ordinários para os coeficientes do modelo de regressão linear simples 
são �̂� = 15/4 e �̂� = −25/4 . 
R. 
A equação geral da reta de regressão linear é igual a: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 
O valor de b foi calculado no exercício, anterior, de modo que: 
 
𝑏 = 3,75 =
15
4
 
Agora, o valor de a: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 20 −
15
4
× 7 =
80 − 105
4
= −
25
4
 
Dessa forma, a reta de regressão é representada pela seguinte equação: 
�̂� = −
25
4
+
15
4
𝑋 
Gabarito 10: Certo 
 
11. (CESPE – STM – Analista Judiciário – 2011) Julgue os seguintes itens, 
acerca do coeficiente de determinação (𝑅²) de uma análise de regressão linear 
feita com base em estimação por mínimos quadrados ordinários. 
O coeficiente de determinação 𝑅² da regressão linear simples 𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 + ∈ 
em que 𝑏0 e 𝑏1 são os coeficientes do modelo, corresponde ao quadrado da 
correlação estimada entre 𝑌 e 𝜖. 
R. 
O coeficiente de determinação da regressão linear R² corresponde ao quadrado 
da correlação estimada entre Y e X. 
𝑅² = (𝑟𝑥𝑦)² 
Gabarito 11: Errado 
 
12. (CESPE – STM – Analista Judiciário – 2011) Se 𝑅² = 1, todos os 
dados estarão alinhados sobre uma reta de inclinação positiva ou negativa. 
R. 
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Se 𝑅² = 1, significa que o valor da correlação entre Y e X é perfeita, conforme 
os gráficos a seguir: 
Coeficiente Diagrama 
𝒓𝒙𝒚 = 𝟏 
 
Correlação 
Linear 
Positiva 
Perfeita 
 
 
𝒓𝒙𝒚 = −𝟏 
 
Correlação 
Linear 
Negativa 
Perfeita 
 
 
 
Ou seja: 
𝑅2 = 1 
⇒ 𝑟𝑥𝑦 = ±1 
Gabarito 12: Certo 
 
13. (CESPE – TJ/ES – Analista Judiciário – 2011) Considere o modelo de 
regressão linear simples 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝜀𝑖, em que 𝑖 = 1, 2,… , 𝑛; 𝑦 represente 
a variável resposta; 𝑥 seja a variável independente; 𝛽0 e 𝛽1 sejam constantes; 
e as variáveis aleatórias 𝜀1, … , 𝜀𝑛 sejam independentes e normais com média 
zero e variância 𝜎². Acerca desse modelo, julgue os seguintes itens. 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
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A soma de quadrados total, 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡, é igual a 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 + 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔, em que 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 é a 
soma de quadrados residual e 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 é a soma de quadrados da regressão; a 
razão 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠/𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 é denominada coeficiente de determinação. 
R. 
Vimos que o coeficiente de determinação (R²) é expresso pela fórmula: 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
 
Onde SQE é a soma das variações explicadas (variações devido à 
regressão) e SQT é a soma das variações totais. 
Pela simbologia do enunciado: 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡
 
Gabarito 13: Errado 
 
14. (CESPE – MS – Estatístico – 2010) Uma concessionária de veículos 
estudou o preço de determinado tipo de veículo em função da idade (anos de 
uso). Os resultados encontram-se na seguinte tabela. 
 
Um estatístico ajustou o modelo de regressão linear simples 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝜀 
aos dados, em que 𝜀 representa um desvio aleatório. Com base nessas 
informações, julgue os itens a seguir. 
Os parâmetros 𝑎 e 𝑏 são obtidos resolvendo-se o sistema de equações lineares 
a seguir 
 
em que 𝑛 representa o tamanho da amostra. 
R. 
Analisando o sistema de equações, temos que: 
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𝑎𝑛 + 𝑏∑𝑥𝑖 =∑𝑦𝑖 
𝑎 + 𝑏
∑𝑥𝑖
𝑛
=
∑𝑦𝑖
𝑛
 
𝑎 + 𝑏�̅� = �̅� 
𝑎= �̅� − 𝑏�̅� 
(Coincide com a fórmula geral, ok!) 
 
𝑎∑𝑥𝑖 + 𝑏∑𝑥𝑖² = ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 
(
∑𝑦𝑖
𝑛
− 𝑏
∑𝑥𝑖
𝑛
)∑𝑥𝑖 + 𝑏∑𝑥𝑖² = ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 
∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
𝑛
− 𝑏
(∑𝑥𝑖)²
𝑛
+ 𝑏∑𝑥𝑖² =∑𝑥𝑖𝑦𝑖 
−𝑏
(∑𝑥𝑖)²
𝑛
+ 𝑏∑𝑥𝑖² = ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 −
∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
𝑛
 
𝑏 (∑𝑥𝑖² −
(∑𝑥𝑖)²
𝑛
) =∑𝑥𝑖𝑦𝑖 −
∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
𝑛
 
𝑏 =
∑𝑥𝑖𝑦𝑖 −
∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
𝑛
∑𝑥𝑖² −
(∑𝑥𝑖)²
𝑛
 
(Coincide com a fórmula geral, ok!) 
Gabarito 14: Certo 
 
15. (CESPE – MS – Estatístico – 2010) As estimativas dos parâmetros �̂� e 
�̂� são: �̂� = 78.000 e �̂� = −10.300. 
R. 
Fórmula Geral: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖²− (∑𝑋𝑖)²/𝑛
 
Cálculo de b: 
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 = 0 × 80000 + 1 × 75000 + 2 × 55000 + 3 × 48000 + 4 × 42000 = 497000 
(∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)
𝑛
=
(0 + 1 + 2 + 3 + 4) × (80000 + 1 × 75000 + 55000 + 48000 + 42000)
5
 
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(∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)
𝑛
=
(10) × (300000)
5
= 600000 
∑𝑋𝑖² = 0² + 1² + 2² + 3² + 4² = 30 
(∑𝑋𝑖)
2
𝑛
=
(0 + 1 + 2 + 3 + 4)²
5
= 20 
𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖²− (∑𝑋𝑖)²/𝑛
=
497000 − 600000
30 − 20
= −10300 
Média de Y: 
�̅� =
80000 + 75000 + 55000 + 48000 + 42000
5
= 60000 
Média de X: 
�̅� =
0 + 1 + 2 + 3 + 4
5
= 2 
Cálculo de a: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑎 = 60000 − (−10300)(2) 
𝑎 = 60000 + 20600 
𝑎 = 80600 
Gabarito 15: Errado 
 
16. (CESPE – MS – Estatístico – 2010) O preço esperado de um veículo 
de 5 anos de idade é igual a R$ 30.100. 
R. 
Dado que a equação da regressão linear é igual a: 
�̂� = 80600 − 10300𝑋 
O valor esperado de Y quando 𝑋 = 5 é igual a: 
�̂� = 80600 − 10300 × 5 
�̂� = 80600 − 51500 
�̂� = 29.100 
Gabarito 16: Errado 
 
17. (CESPE – MS – Estatístico – 2010) Comparando os preços observados 
da tabela com os preços esperados, o desvio absoluto entre esses valores será 
maior para o veículo com 2 anos de idade. 
R. 
Dado que a equação da regressão linear é igual a: 
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�̂� = 80600 − 10300𝑋 
Podemos construir a seguinte tabela: 
𝑋 Y �̂� Desvio |�̂� − 𝑌| 
0 80000 80600 600 
1 75000 70300 4700 
2 55000 60000 5000 
3 48000 49700 1700 
4 42000 39400 2600 
 
Percebe-se que o maior desvio ocorre quando X=2, onde |�̂� − 𝑌| = 5000 
Gabarito 17: Certo 
 
18. (CESPE – MS – Estatístico – 2010) Se o desvio aleatório 𝜀 tiver 
distribuição 𝑁(0, 𝜎² ) com 𝜎 = 𝑅$ 2.000 , então, considerando que Φ(0,85) =
 0,8023 , em que Φ denota a função de distribuição do modelo normal 
padronizado, a probabilidade de que um veículo com 3 anos de idade tenha 
valor inferior a R$ 48.000 é inferior a 20%. 
R. 
 
A equação geral da reta de regressão simples é dado por: 
𝑌 = 80600 − 10300𝑋 + 𝜀 
Se X=3 e Y=48000, temos que: 
48000 = 80600 − 10300.3 + 𝜀 
48000 = 80600 − 30900 + 𝜀 
𝜀 = −1700 
 
Se o desvio tiver a distribuição 𝑁(0, 𝜎² ), podemos transforma-la na variável Z 
padronizada: 
𝑧𝑖 =
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
 
𝑧𝑖 =
−1700 − 0
2000
 
𝑧𝑖 = −0,85 
Sendo assim, precisamos calcular a probabilidade 𝑃(𝑧 < −0,85). 
Como 𝛷(0,85) = 0,8023, isso significa que: 
𝑃(𝑧 < 0,85) = 0,8023 
1 − 𝑃(𝑧 < 0,85) = 0,1977 
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𝑃(𝑧 > 0,85) = 0,1977 
𝑃(𝑧 < −0,85) = 0,1977 
Portanto, a probabilidade de que um veículo com 3 anos de idade tenha valor 
inferior a R$ 48.000 é igual a 19,77%. 
Gabarito 18: Certo 
 
19. (CESPE – TCU – Analista de Controle Externo – 2008) Uma agência 
de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na tabela a seguir, 
acerca dos números de imóveis ofertados (X) e vendidos (Y) em determinado 
município, nos anos de 2005 a 2007. 
 
A estimativa do valor do coeficiente a da reta de regressão 𝑌 = 𝑎𝑋, em que 𝑌 
representa o número esperado de imóveis vendidos para uma quantidade 𝑋 de 
imóveis ofertados, é superior a 0,23 e inferior a 0,26. 
R. 
Vimos que a expressão geral da regressão linear simples é: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 
Essa é a equação adequada para avaliar a regressão linear entre duas variáveis 
X e Y. 
Para o presente enunciado, após fazermos as contas, teríamos a seguinte 
equação: 
�̂� = −1700 + 1,2𝑋 
No entanto, percebam que o examinador quer estabelecer uma outra equação, 
da forma �̂� = 𝑎𝑋. 
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Dessa forma, a equação geral não nos serve, teremos que calculá-la a partir 
dos conceitos teóricos sobre o método dos mínimos quadrados. 
O método pressupõe que: 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠:∑(𝑒𝑖)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
=∑(𝑌𝑖 − �̂�)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
 
Ou seja: 
∑(𝑒𝑖)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
=∑(𝑌𝑖 − 𝑎𝑋𝑖)
2
⏟ 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
 
∑(𝑒𝑖)
2 =∑(𝑌𝑖 − 𝑎𝑋𝑖)
2 =∑(𝑌𝑖
2 − 2𝑎𝑋𝑖𝑌𝑖 + 𝑎
2𝑋𝑖) 
∑(𝑒𝑖)
2 =∑𝑌𝑖
2 − 𝑎.∑2𝑋𝑖𝑌𝑖 + 𝑎
2∑𝑋𝑖² 
Como os valores de 𝑋𝑖 e 𝑌𝑖 nós já conhecemos pela tabela do enunciado, nós 
precisamos saber o valor de a, tal que o valor de ∑(𝑒𝑖)
2 seja mínimo. 
Isso irá acontecer quando o valor de a for igual à média aritmética das raízes 
da equação de 2º grau: 
∑(𝑒𝑖)
2 = 𝑎2 (∑𝑋𝑖²) − 𝑎. (∑2𝑋𝑖𝑌𝑖) +∑𝑌𝑖
2 = 0 
 
Raízes: 
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𝑎1 =
∑2𝑋𝑖𝑌𝑖 + √∆
2∑𝑋𝑖²
 
𝑎2 =
∑2𝑋𝑖𝑌𝑖 − √∆
2∑𝑋𝑖²
 
A média aritmética é igual a: 
𝑎1 + 𝑎2
2
=
∑𝑋𝑖𝑌𝑖
∑𝑋𝑖 ²
 
Portanto, o valor mínimo de ∑(𝑒𝑖)
2 ocorrerá quando: 
𝑎 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖
∑𝑋𝑖²
 
𝑎 =
1500 × 100 + 1750 × 400 + 2000 × 700
1500² + 1750² + 2000²
=
2250000
9312500
= 0,2416 
Gabarito 19: Certo 
 
20. (CESPE – TCU – Analista de Controle Externo – 2008) O coeficiente 
de correlação linear entre 𝑋 e 𝑌 é inferior a 0,8. 
R. 
O coeficiente de correlação linear é dado pela fórmula: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
 
Média de X: 
�̅� =
∑𝑥
𝑛
=
1500 + 1750 + 2000
3
= 1750 
Variância de X: 
𝑉(𝑋) =
∑(𝑥 − �̅�) ²
𝑛
=
(1500 − 1750)2 + (1750 − 1750)2 + (2000 − 1750)2
3
 
𝑉(𝑋) =
250² + 0 + 250²
3
=
2
3
. 250² 
Média de Y: 
�̅� =
∑𝑦
𝑛
=
100 + 400 + 700
3
= 400 
Variância de Y: 
𝑉(𝑌) =
∑(𝑦 − �̅�) ²
𝑛
=
(100 − 400)2 + (400 − 400)2 + (700 − 400)2
3
 
𝑉(𝑌) =
3002 + 0 + 3002
3
=
2
3
. 300² 
Covariância de X e Y: 
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𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
∑(𝑥 − �̅�)(𝑦 − �̅�)
𝑛
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
(−250)(−300) + (0)(0) + (250)(300)
3
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
2
3
250.300 
Feito esses cálculos, podemos obter a correlação: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋, 𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋) × 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
 
𝑟𝑥𝑦 =
2
3
250.300
√2
3
. 250².
2
3
. 300²
=
2
3
250.300
2
3
250.300
= 1 
Gabarito 20: Errado 
 
21. (ESAF – MTur – Estatístico – 2014) O coeficiente de correlação linear 
entre as variáveis aleatórias x e y é igual a 0,99. A partir disso pode-se, 
corretamente, afirmar que: 
(A) a probabilidade de x e y serem iguais é 99%. 
(B) x explica y em 99% das ocorrências de y. 
(C) se o valor de x diminuir, em média, o valor de y aumenta. 
(D) se o valor de y diminuir, em média, o valor de x diminui.(E) a covariância entre x e y é exatamente igual a 0,01. 
R. 
Um coeficiente de correlação linear positiva (0 < 𝑟𝑥𝑦 < 1) indica que as variáveis 
aleatórias x e y possuem a seguinte distribuição gráfica: 
 
 
Ou seja, à medida que o valor de y diminui, o valor de x também diminui. 
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
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Gabarito 21: D 
 
22. (ESAF – MTur – Estatístico – 2014) Em um modelo de regressão linear 
simples da forma 𝑌 = 𝛼 + 𝛽 𝑋 + 𝜇 , foram calculadas, pelo método de mínimos 
quadrados ordinários, as estimativas dos parâmetros obtendo-se �̂� = 𝑎 + 𝑏 𝑋 , 
cujo coeficiente de determinação é igual a 0,95. Isso significa que: 
(A) 95% das variações em torno da média da variável explicada são devidas 
às variações da variável explicativa 
(B) se x tiver um acréscimo de b unidades, em média y, terá um acréscimo de 
0,95 b unidades. 
(C) se x tiver um acréscimo de 1 unidade, em média, y terá um acréscimo de 
(a + b) unidades. 
(D) 95% das variações da variável x causam 95% das variações em b. 
(E) o coeficiente de correlação entre x e y é igual ao coeficiente de 
determinação. 
R. 
Vimos nesta aula que o coeficiente de determinação indica o percentual da 
variabilidade de Y (variável explicada) que é explicada pela relação linear entre 
X e Y. Ou seja, indica o percentual da variabilidade de Y que é explicada pela 
variação de X (variável explicativa). 
Gabarito 22: A 
 
23. (ESAF – MTur – Estatístico – 2014) Para se estimar a tendência das 
importações de determinada matéria-prima realizadas por uma grande 
empresa, foram coletados, em 2010, os seguintes dados de importações 
durante os meses 1, 2, 3 e 4. Nesses meses, as importações realizadas por essa 
empresa, em milhares de dólares, foram iguais a 2, 5, 4 e 3, respectivamente. 
Sabendo-se que a reta de tendência linear 𝐼𝑚𝑝(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑢 foi estimada pelo 
método de mínimos quadrados ordinários, então a função tendência das 
importações é dada por: 
(A) Imp = 3 + 0,4 t 
(B) Imp = 3 + 0,3 t 
(C) Imp = 2 + 0,2 t 
(D) Imp = 2 + 0,3 t 
(E) Imp = 3 + 0,2 t 
R. 
Segundo as informações do enunciado: 
t (Xi) Imp (Yi) 𝑋𝑖² 𝑌𝑖² 𝑋𝑖𝑌𝑖 
1 2 1 4 2 
2 5 4 25 10 
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3 4 9 16 12 
4 3 16 9 12 
∑𝑋𝑖 = 10 ∑𝑌𝑖 = 14 ∑𝑋𝑖² = 30 ∑𝑌𝑖² = 54 ∑𝑋𝑖𝑌𝑖 = 36 
 
A equação de regressão linear possui a seguinte fórmula: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 → 𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖)²/𝑛
 
Sendo assim, vamos calcular cada um dos coeficientes a e b, iniciando por este: 
𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖)²/𝑛
=
36 − (10 × 14)/4
30 − 10²/4
 
𝑏 =
36 − 35
30 − 25
=
1
5
= 0,2 
Sabendo o valor de b, pode calcular a: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� =
14
4
−
1
5
×
10
4
=
14 − 2
4
= 3 
Portanto: 
�̂� = 3 + 0,2𝑋 
Gabarito 23: E 
 
24. (ESAF – MI – Estatístico – 2012) Determine a expressão de E(Y/X=x), 
sendo Y e X variáveis aleatórias com distribuição normal conjunta com E(Y)=µY, 
E(X)=μX e Cov(Y,X)=ρσYσX, onde σY e σX são os desvios padrões de Y e X, 
respectivamente, e ρ o coeficiente de correlação entre Y e X. 
(A) µ𝑌 + 𝜌𝜎𝑌(𝑥 − 𝜇𝑋)/𝜎𝑋 
(B) µ𝑌 + 𝜌𝜎𝑋(𝑥 − 𝜇𝑋)/𝜎𝑌 
(C) µ𝑌 + 𝜌𝜎𝑌(𝑦 − 𝜇𝑌)/𝜎𝑋 
(D) µ𝑋 + 𝜌𝜎𝑋(𝑦 − 𝜇𝑌)/𝜎𝑌 
(E) µ𝑋 + 𝜌𝜎𝑌(𝑦 − 𝜇𝑌)/𝜎𝑋 
R. 
A reta de regressão é dada pela expressão: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
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𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 → 𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖)²/𝑛
 
 
Desenvolvendo a equação, temos que: 
�̂� = (�̅� − 𝑏�̅�) + 𝑏𝑋 
�̂� = �̅� + 𝑏(𝑋 − �̅�) 
�̂� = �̅� +
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑆²(𝑋)
(𝑋 − �̅�) 
Mas, sabemos que: 
𝜌 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
√𝑆²(𝑋) × 𝑆²(𝑌)
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝜌 × 𝑆(𝑋) × 𝑆(𝑌) 
Portanto: 
�̂� = �̅� +
[𝜌 × 𝑆(𝑋) × 𝑆(𝑌)]
𝑆²(𝑋)
(𝑋 − �̅�) 
�̂� = �̅� +
𝜌 × 𝑆(𝑌)
𝑆(𝑋)
× (𝑋 − �̅�) 
O valor esperado dessa equação é, portanto: 
𝐸(𝑌) = µ𝑌 +
𝜌 × 𝜎𝑌
𝜎𝑋
× (𝑋 − 𝜇𝑋) 
Gabarito 24: A 
 
25. (ESAF – MI – Estatístico – 2012) Determine a reta de regressão de Y 
em X, considerando que uma amostra aleatória simples (X1, Y1), (X2, Y2),..., 
(X22, Y22) forneceu as seguintes estatísticas: médias amostrais �̅� = 4,8 e �̅� =
15,3, variâncias amostrais 𝑆𝑋
2 = 8 e 𝑆𝑌
2 = 40 e covariância amostral 𝑆𝑋𝑌 = 12. 
(A) �̂�𝑖 = 8,1 + 0,3𝑋𝑖 
(B) �̂�𝑖 = 8,1 + 1,5𝑋𝑖 
(C) �̂�𝑖 = 15,3 + 1,5𝑋𝑖 
(D) �̂�𝑖 = 15,3 + 0,3𝑋𝑖 
(E) �̂�𝑖 = 15,3 + 2,25𝑋𝑖 
R. 
A equação de regressão linear possui a seguinte fórmula: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
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𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 → 𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖)²/𝑛
 
Sendo assim, vamos calcular cada um dos coeficientes a e b, iniciando por este: 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
=
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑆²(𝑋)
=
12
8
= 1,5 
 
Sabendo o valor de b, pode calcular a: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 15,3 − 1,5 × 4,8 = 15,3 − 7,2 = 8,1 
Portanto: 
�̂� = 8,1 + 1,5𝑋 
Gabarito 25: B 
 
26. (ESAF – MI – Estatístico – 2012 - ADAPTADA) Calcule o coeficiente 
de determinação R² da reta de regressão ajustada na questão anterior. 
(A) 0,45 
(B) 0,56 
(C) 0,64 
(D) 0,72 
(E) 0,75 
R. 
O coeficiente de determinação R² pode ser calculado por: 
𝑅² =
𝑏². 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌𝑌
= 𝑏². [
𝑆2(𝑋) × (𝑛 − 1)
𝑆²(𝑌) × (𝑛 − 1)
] = 𝑏². [
𝑆2(𝑋)
𝑆²(𝑌)
] 
𝑅² = 1,5². [
8
40
] 
𝑅² = 0,45 
Gabarito 26: A 
 
27. (ESAF – SUSEP – Analista Técnico – 2010) Y e X são variáveis 
aleatórias com distribuição normal conjunta E(Y)= µY, E(X)= μX, e 
Cov(Y,X)=ρσYσX, onde σY e σX são os desvios padrões de Y e X, respectivamente, 
e ρ o coeficiente de correlação entre Y e X. Qual a expressão da regressão de X 
em Y, E(X/Y=y)? 
(A) µ𝑌 + 𝜌𝜎𝑌(𝑥 − 𝜇𝑋)/𝜎𝑋 
(B) µ𝑌 + 𝜌𝜎𝑋(𝑥 − 𝜇𝑋)/𝜎𝑌 
(C) µ𝑌 + 𝜌𝜎𝑌(𝑦 − 𝜇𝑌)/𝜎𝑋 
(D) µ𝑋 + 𝜌𝜎𝑋(𝑦 − 𝜇𝑌)/𝜎𝑌 
(E) µ𝑋 + 𝜌𝜎𝑌(𝑦 − 𝜇𝑌)/𝜎𝑋 
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R. 
Inicialmente, vale ressaltar a semelhança desta questão com a de número 4. A 
solução é semelhante, só que trocando a variável X por Y e vice-versa: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑌 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑌𝑌
 
 
Desenvolvendo a equação, temos que: 
�̂� = (�̅� − 𝑏�̅�) + 𝑏𝑌 
�̂� = �̅� + 𝑏(𝑌 − �̅�) 
�̂� = �̅� +
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑆²(𝑌)
(𝑌 − �̅�) 
Mas, sabemos que: 
𝜌 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
√𝑆²(𝑋) × 𝑆²(𝑌)
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝜌 × 𝑆(𝑋) × 𝑆(𝑌) 
Portanto: 
�̂� = �̅� +
[𝜌 × 𝑆(𝑋) × 𝑆(𝑌)]
𝑆²(𝑌)
(𝑌 − �̅�) 
�̂� = �̅� +
𝜌 × 𝑆(𝑋)
𝑆(𝑌)
× (𝑌 − �̅�) 
O valor esperado dessa equação é, portanto: 
𝐸(𝑋) = µ𝑋 +
𝜌 × 𝜎𝑋
𝜎𝑌
× (𝑌 − 𝜇𝑌) 
Gabarito 27: D 
 
28. (ESAF – SUSEP – Analista Técnico – 2010) A partir de uma amostra 
aleatória (X1, Y1), (X2, Y2),..., (X22, Y22) foram obtidas as estatísticas: 
Médias �̅� = 12,5 e �̅� = 19, variâncias amostrais 𝑆𝑋
2 = 30 e 𝑆𝑌
2 = 54 e covariância 
𝑆𝑋𝑌 = 36. 
Qual a reta de regressão estimada de Y em X? 
(A) �̂�𝑖 = 19 + 0,667𝑋𝑖 
(B) �̂�𝑖 = 12,5 + 1,2𝑋𝑖 
(C) �̂�𝑖 = 4 + 1,2𝑋𝑖 
(D) �̂�𝑖 = 19 + 1,2𝑋𝑖 
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(E) �̂�𝑖 = 80 + 22,8𝑋𝑖 
R. 
Inicialmente, percebam a semelhança desta questão com a de número 5. 
A equação de regressão linear possui a seguinte fórmula: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 → 𝑏 =
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − (∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)/𝑛
∑𝑋𝑖² − (∑𝑋𝑖)²/𝑛
 
Sendo assim, vamos calcular cada um dos coeficientes a e b, iniciando por este: 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
=
36
30
= 1,2 
 
Sabendo o valor de b, pode calcular a: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 19 − 1,2 × 12,5 = 19 − 15 = 4 
Portanto: 
�̂� = 4 + 1,2𝑋 
Gabarito 28: C 
 
29. (ESAF – RFB – Auditor Fiscal da Receita Federal – TI – 2005) Para 
uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, registraram-se os 
seguintes salários mensais (em salários mínimos): 
 
Sabe-se que: 
 
Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos 
homens e os salários das mulheres. 
(A) 0,72 
(B) 0,75 
(C) 0,68 
(D) 0,81 
(E) 0,78 
R. 
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A correlação de Pearson pode ser obtida pela fórmula: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝑆𝑋𝑌
√𝑆𝑋𝑋𝑆𝑌𝑌
 
Onde: 
𝑆𝑋𝑌 =∑𝑋𝑖𝑌𝑖 −
(∑𝑋𝑖)(∑𝑌𝑖)
𝑛
= 3940 −
171 × 221
10
= 160,9 
𝑆𝑋𝑋 =∑𝑋𝑖² −
(∑𝑋𝑖)
2
𝑛
= 3171 −
1712
10
= 246,9 
𝑆𝑌𝑌 =∑𝑌𝑖² −
(∑𝑌𝑖)
2
𝑛
= 5069 −
2212
10
= 184,9 
Portanto: 
𝑟𝑥𝑦 =
𝑆𝑋𝑌
√𝑆𝑋𝑋𝑆𝑌𝑌
=
160,9
√246,9 × 184,9
≅ 0,75 
Gabarito 29: B 
 
30. (ESAF – RFB – Auditor Fiscal da Receita Federal – 2014) Em um 
cofre estão guardados 5 anéis: dois de ouro e três de prata. Aleatoriamente, 
retiram-se dois anéis do cofre, um após o outro e sem reposição. Define-se a 
variável aleatória X igual a 1 se o primeiro anel retirado é de prata, e igual a 0 
se este é de ouro. De modo análogo, define-se a variável aleatória Y igual a 1 
se o segundo anel é de prata, e 0 se este é de ouro. Desse modo, a covariância 
de X e Y ─ Cov(X,Y) ─ é igual a: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) -1 
(D) 3/50 
(E) -3/50 
R. 
Temos que analisar, inicialmente, as possibilidades de retirada dos anéis: 
(ouro, ouro); (ouro, prata); (prata, ouro); (prata, prata). 
 
As variáveis aleatórias dessas quatro possibilidades são iguais a: 
Retirada X Y 
(ouro, ouro) 0 0 
(ouro, prata) 0 1 
(prata, ouro) 1 0 
(prata, prata) 1 1 
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Devemos atribuir ainda, a quantidade de chances de ocorrer cada uma dessas 
retiradas: 
 
Para (ouro, ouro), tem-se 2 (2x1) chances de ocorrer; 
Para (ouro, prata), tem-se 6 (2x3) chances de ocorrer; 
Para (prata, ouro), tem-se 6 (3x2) chances de ocorrer; 
Para (prata, prata), tem-se 6 (3x2) chances de ocorrer. 
 
Feito isso, as variáveis aleatórias X e Y são: 
 
X 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Y 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 
 (ouro, ouro) (ouro, prata) (prata, ouro) (prata, prata) 
 
Onde: 
∑𝑋𝑖 = 12 
∑𝑌𝑖 = 12 
∑𝑋𝑖𝑌𝑖 = 6 
 
A covariância populacional pode ser calculada por: 
𝑆𝑋𝑌 =
1
𝑛
[∑𝑋𝑖𝑌𝑖 −
(∑𝑋𝑖)(∑𝑌𝑖)
𝑛
] =
1
20
[6 −
12 × 12
20
] =
1
20
[6 −
144
20
] =
1
20
[−1,2] = −3/50 
Gabarito 30: E 
 
31. (ESAF – SMF-RJ – Fiscal de Rendas – 2010) A partir de uma amostra 
aleatória simples formada por 22 observações das variáveis X e Y calculou-se 
∑𝑋𝑖 = 440
22
𝑖=1
 ∑𝑌𝑖 = 286
22
𝑖=1
 ∑(𝑋𝑖 − �̅�)² = 850
22
𝑖=1
 
∑(𝑌𝑖 − �̅�)² = 1.690
22
𝑖=1
 
e 
∑(𝑋𝑖 − �̅�)(𝑌𝑖 − �̅�) = 1.105
22
𝑖=1
 
Obtenha a reta de regressão linear de Y em X. 
(A) �̂�𝑖 = 13 + 0,65𝑋𝑖 
(B) �̂�𝑖 = 13 + 1,3𝑋𝑖 
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(C) �̂�𝑖 = 20 + 0,65𝑋𝑖 
(D) �̂�𝑖 = 20 + 2𝑋𝑖 
(E) �̂�𝑖 = −13 + 1,3𝑋𝑖 
R. 
A equação de regressão linear possui a seguinte fórmula: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 
Sendo assim, vamos calcular cada um dos coeficientes a e b, iniciando por este: 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
=
1105
850
= 1,3 
 
Sabendo o valor de b, pode calcular a: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� =
286
22
− 1,3 ×
440
22
= 13 − 26 = −13 
Portanto: 
�̂� = −13 + 1,3𝑋 
Gabarito 31: E 
 
32. (ESAF – SMF-RJ – Fiscal de Rendas – 2010) Com os dados da questão 
anterior, calcule o valor mais próximo do coeficiente de determinação R² da 
regressão linear de X em Y. 
(A) 0,65 
(B) 0,81 
(C) 0,85 
(D) 0,91 
(E) 0,88 
R. 
O coeficiente de determinação R² pode ser calculado por: 
𝑅² =
𝑏². 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌𝑌
= 𝑏². [
𝑆2(𝑋) × (𝑛 − 1)
𝑆2(𝑌) × (𝑛 − 1)
] = 𝑏². [
𝑆2(𝑋)
𝑆2(𝑌)
] 
𝑅² = 1,3². [
850
1690
] 
𝑅² = 0,85 
Gabarito 32: C 
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33. (FCC-DPE/RS-2013) As variáveis aleatórias X e Y representam, 
respectivamente, os anos de experiência e os salários, em reais, dos 
empregados em um determinado ramo de atividade. Sejam os pares 
(𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), . . . , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), em que 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) são os valores de X e Y, 
respectivamente. Para prever 𝑦𝑖 em função de 𝑥𝑖 , optou-se por utilizar uma 
forma de relação linear entre X e Y tal que 𝑦𝑖 = 2.000 + 45𝑥𝑖 , obtida pelo 
método dos mínimos quadrados, verificando-se que nem todos os pontos 
pertencem a uma mesma reta. Se o coeficiente de correlação linear entre X e Y 
for igual a r (r ≠ zero), então: 
(A) r = 1. 
(B) multiplicando por 0,5 todos os valores xi e por 0,8 todos os valores yi, 
verifica-se que o novo coeficiente de correlação linear dos dois novos 
conjuntos é igual a 0,4r. 
(C) é possível que r seja negativo. 
(D) r = 0,45. 
(E) o valor de r é positivo. 
R. 
A reta de regressão linear 𝑦𝑖 = 2.000 + 45𝑥𝑖 possui o seguinte gráfico no plano 
cartesiano: 
 
Portanto, considerando valores crescentes para 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖 , o coeficiente de 
correlação linear r é positivo. Além disso, devemos considerar a informação do 
enunciado, de que nem todos os pontos pertencem a uma mesma reta, 
portanto, 𝑟 ≠ 1. 
Gabarito 33: E 
 
34. (FCC-BACEN-2006) Considere as informações a seguir para resolver a 
questão. Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os 
gastos anuais em pesquisa e desenvolvimento, em milhares de reais, e o 
acréscimo anual nas vendas (Y), também em milhares de reais, optou por 
utilizar o modelo linear simples 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 , em que 𝑌𝑖 é acréscimo nas 
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vendas no ano i, 𝑋𝑖 é o valor gasto em pesquisa e desenvolvimento ano i e 𝜀𝑖 o 
erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear 
simples ( e β são parâmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as 
seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da 
empresa: 
∑𝑌𝑖 = 160
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖 = 100
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖𝑌𝑖 = 1.900
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖² = 1.200
10
𝑖=1
 ∑𝑌𝑖² = 3.060
10
𝑖=1
 
Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, 
obteve-se, para um determinado gasto em pesquisa e desenvolvimento, uma 
previsão de acréscimo nas vendas no valor de 19 mil reais. O valor que se 
considerou para o gasto em pesquisa e desenvolvimento, em mil reais, foi: 
(A) 14,0 (B) 13,75 (C) 13,0 (D)12,4 (E)12,0R. 
O primeiro passo desse exercício é calcularmos a equação da reta que 
representa o modelo linear �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 . As fórmulas para o cálculo dos 
coeficientes a e b são as seguintes: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 
Iniciando por 𝑏: 
𝑆𝑋𝑌 =∑𝑋𝑖𝑌𝑖 −
(∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)
𝑛
= 1900 −
(100 × 160)
10
= 300 
𝑆𝑋𝑋 =∑𝑋𝑖² −
(∑𝑋𝑖)
2
𝑛
= 1200 −
(100)2
10
= 200 
⇒ 𝑏 =
300
200
= 1,5 
Depois, o coeficiente 𝑎: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = (
∑𝑌𝑖
𝑛
) − 1,5 × (
∑𝑋𝑖
𝑛
) =
160
10
− 1,5 ×
100
10
= 1 
Portanto, a equação de regressão linear é representada por: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
�̂� = 1 + 1,5𝑋 
Assim, caso haja uma previsão de acréscimo nas vendas no valor de 19 mil 
reais (�̂�=19): 
19 = 1 + 1,5 × 𝑋 
𝑋 = 12 
Portanto, o gasto em pesquisa e desenvolvimento (X) foi igual a R$ 12 mil. 
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Gabarito 34: E 
 
35. (FCC-BACEN-2006-ADAPTADA) Considere as informações a seguir 
para resolver a questão. Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação 
entre os gastos anuais em pesquisa e desenvolvimento, em milhares de reais, 
e o acréscimo anual nas vendas (Y), também em milhares de reais, optou por 
utilizar o modelo linear simples 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 , em que 𝑌𝑖 é acréscimo nas 
vendas no ano i, 𝑋𝑖 é o valor gasto em pesquisa e desenvolvimento ano i e 𝜀𝑖 o 
erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear 
simples ( e β são parâmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as 
seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da 
empresa: 
∑𝑌𝑖 = 160
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖 = 100
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖𝑌𝑖 = 1.900
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖² = 1.200
10
𝑖=1
 ∑𝑌𝑖² = 3.060
10
𝑖=1
 
Montando o quadro de análise de variância, tem-se que 
(A) a variação residual apresenta um valor igual a 100. 
(B) o valor do correspondente coeficiente de determinação (R²) é igual a 
90%. 
(C) a variação total apresenta um valor igual a 550. 
(D) a variação explicada, fonte de variação devido à regressão apresenta um 
valor igual a 500. 
R. 
Alternativa A 
A variação residual representa a variação não explicada SQR: 
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐸 
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑌𝑌 − 𝑏²𝑆𝑋𝑋 
𝑆𝑌𝑌 =∑𝑌𝑖
2 − (∑𝑌𝑖) ²/𝑛 
𝑆𝑌𝑌 = 3060 − (160)²/10 
𝑆𝑌𝑌 = 500 
 
𝑆𝑋𝑋 =∑𝑋𝑖
2 −
(∑𝑋𝑖)
2
𝑛
 
𝑆𝑋𝑋 = 1200 −
(100)2
10
 
𝑆𝑋𝑋 = 200 
 
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⇒ 𝑆𝑄𝑅 = 500 − 1,5²[200] = 50 
Assertiva incorreta. 
 
Alternativa B 
O Coeficiente de determinação é calculado pela fórmula: 
𝑅² =
𝑏² 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌𝑌
=
1,5²(200)
500
 
𝑅² = 0,9 
Assertiva correta 
 
Alternativa C 
𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑌𝑌 
𝑆𝑄𝑇 = 500 
Assertiva incorreta 
 
Alternativa D 
𝑆𝑄𝐸 = 𝑏² 𝑆𝑋𝑋 
𝑆𝑄𝐸 = 1,5² × 200 
𝑆𝑄𝐸 = 450 
Apenas para conferir: 
𝑆𝑄𝐸 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝑅 
𝑆𝑄𝐸 = 500 − 50 = 450 (𝑜𝑘!) 
Assertiva incorreta 
Gabarito 35: B 
 
36. (FCC-ARCE/CE-2006) Um comerciante deseja saber a relação entre o 
aumento da receita de vendas (Y) de seu produto, em milhares de reais, e seu 
gasto com propaganda (X), também em milhares de reais. Primeiramente, 
optou por analisar o modelo linear simples 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖, em que 𝑌𝑖 representa 
o aumento da receita de vendas no mês i, 𝑋𝑖 o gasto com propaganda no mês i 
e 𝜀𝑖 o erro aleatório com as hipóteses consideradas para a Regressão Linear 
Simples ( e β são parâmetros desconhecidos). Com base nas informações dos 
últimos 10 meses e utilizando o método dos mínimos quadrados obteve a 
equação da reta correspondente e o respectivo coeficiente de explicação (R²). 
Dados: 
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∑𝑌𝑖 = 100
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖 = 20
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖𝑌𝑖 = 220
10
𝑖=1
 ∑𝑋𝑖² = 120
10
𝑖=1
 ∑𝑌𝑖² = 1.008
10
𝑖=1
 
Para o cálculo de R (coeficiente de correlação de Pearson) usou-se a fórmula: 
𝑅 =
𝐶𝑜𝑣 (𝑋,𝑌)
𝐷𝑃 (𝑋).𝐷𝑃(𝑌)
, em que 
 
(A) Yi = 9 + 0,5Xi e 62,5% 
(B) Yi = 9,5 + 0,25Xi e 62,5% 
(C) Yi = 9,6 + 0,2Xi e 80% 
(D) Yi = 9 + 0,5Xi e 80% 
(E) Yi = 9,5 + 0,25Xi e 80% 
R. 
Dada uma reta de equação �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 
Iniciando por 𝑏: 
𝑆𝑋𝑌 =∑𝑋𝑖𝑌𝑖 −
(∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)
𝑛
 
𝑆𝑋𝑌 = 220 −
(20 × 100)
10
 
𝑆𝑋𝑌 = 20 
 
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𝑆𝑋𝑋 =∑𝑋𝑖² −
(∑𝑋𝑖)
2
𝑛
 
𝑆𝑋𝑋 = 120 −
(20)2
10
 
𝑆𝑋𝑋 = 80 
⇒ 𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
=
20
80
= 0,25 
Depois, 𝑎: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = (
∑𝑌𝑖
𝑛
) − 0,25 × (
∑𝑋𝑖
𝑛
) =
100
10
− 0,25 ×
20
10
= 9,5 
Portanto, a equação de regressão linear é representada por: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
�̂� = 9,5 + 0,25𝑋 
Agora, o cálculo de R², que é determinado pela fórmula: 
𝑅² =
𝑏² 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌𝑌
=
0,25² × 80
∑𝑌𝑖² − (∑𝑌𝑖)²/𝑛
 
𝑅² =
5
1008 − (100)²/10
=
5
8
 
𝑅² = 62,5% 
Gabarito 36: B 
 
37. (FGV-SEFAZ/RJ-2011) A tabela abaixo mostra os valores de duas 
variáveis, X e Y. 
X Y 
4 4,5 
4 5 
3 5 
2 5,5 
Sabe-se que: 
ΣX = 13 
ΣY = 20 
ΣXY = 64 
ΣX² = 45 
(ΣX)²= 169 
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O valor de b na regressão simples Y = a + bX é 
(A) 11 /5. (B) –3 /8. (C) –4 /11. (D) –4 /17. (E) –11/65. 
R. 
Dada uma reta de equação �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
 
Iniciando por 𝑏: 
𝑆𝑋𝑌 =∑𝑋𝑖𝑌𝑖 −
(∑𝑋𝑖 ∑𝑌𝑖)
𝑛
 
𝑆𝑋𝑌 = 64 −
(13 × 20)
4
 
𝑆𝑋𝑌 = −1 
 
𝑆𝑋𝑋 =∑𝑋𝑖
2 −
(∑𝑋𝑖)
2
𝑛
 
𝑆𝑋𝑋 = 45 −
(13)2
4
 
𝑆𝑋𝑋 = 2,75 =
11
4
 
 
⇒ 𝑏 =
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋
=
−1
11/4
= −
4
11
 
Gabarito 37: C 
 
38. (FGV-SEFAZ/RJ-2010) Duas variáveis aleatórias x e y têm coeficiente 
de correlação linear igual a 0,8. Se w e z são tais que w = 2x – 3 e z = 4 – 2y 
então o coeficiente de correlação entre w e z será igual a: 
(A) –0,8. (B) –0,64. (C) 0,36. (D) 0,64. (E) 0,8. 
R. 
Dados: 
✓ 𝑟𝑋𝑌 = 0,8 
✓ 𝑤 = 2𝑥 – 3 
✓ 𝑧 = 4 – 2𝑦 
O coeficiente de correlação entre w e z será igual a: 
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𝑟𝑊𝑍 =
𝑆𝑊𝑍
√𝑆𝑊𝑊. 𝑆𝑍𝑍
 
𝑟𝑊𝑍 =
∑(𝑊𝑖 − �̅�)(𝑍𝑖 − �̅�)
√∑(𝑊𝑖 − �̅�)²∑(𝑍𝑖 − �̅�)²
=
𝐶𝑜𝑣 (𝑊𝑍)
√𝑆²(𝑊) × 𝑆²(𝑍)
 
Se vocês estiverem lembrados da nossa aula 1, vimos as seguintes propriedades 
do desvio padrão e da variância: 
𝜎(𝑋 ± 𝑎) = 𝜎(𝑋) e 𝜎(𝑎 × 𝑋) = 𝑎 × 𝜎(𝑋) 
𝜎²(𝑋 ± 𝑎) = 𝜎²(𝑋) e 𝜎²(𝑎 × 𝑋) = 𝑎² × 𝜎²(𝑋) 
Sendo assim, dado que 𝑤 = 2𝑥 − 3: 
𝜎(𝑊) = 2𝜎(𝑋) 
𝜎²(𝑊) = 4𝜎²(𝑋) 
Dado que 𝑧 = 4 − 2𝑦: 
𝜎(𝑍) = −2𝜎(𝑌) 
𝜎²(𝑍) = 4𝜎²(𝑌) 
Utilizando essas relações: 
𝑟𝑊𝑍 =
∑2(𝑋𝑖 − �̅�) × (−2)(𝑌𝑖 − �̅�)
√4∑(𝑋𝑖 − �̅�)² 4∑(𝑌𝑖 − �̅�)²
 
𝑟𝑊𝑍 =
−4 × ∑(𝑋𝑖 − �̅�) × (𝑌𝑖 − �̅�)
4√∑(𝑋𝑖 − �̅�)²∑(𝑌𝑖 − �̅�)²
 
𝑟𝑊𝑍 =
−4
4
× 𝑟𝑋𝑌 
𝑟𝑊𝑍 = −𝑟𝑋𝑌 
𝑟𝑊𝑍 = −0,8 
Gabarito 38: A 
 
39. (FGV-SEFAZ/RJ-2009) Utilizando uma análise de regressão linear 
simples, um pesquisador obteve um ajuste 𝑌 = 𝑎1𝑋 + 𝑏1 e um coeficiente de 
determinação 𝑅1
2. Um segundo pesquisador analisou os mesmos dados, mas 
antes aplicou a cada observação de Y a transformação 𝑌‘ = 10𝑌 + 100, obtendo 
um outro ajuste 𝑌′ =𝑎2𝑋 + 𝑏2 , com um coeficiente de determinação 𝑅2
2 . 
Considere as afirmativas abaixo, relativas à comparação entre os valores 
obtidos nas duas análises: 
I. 𝑎2 = 10 𝑎1; 
II. 𝑏2 = 𝑏1 + 100; 
III. 𝑅2
2 = 𝑅1
2. 
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Assinale: 
(A) se somente a afirmativa I for verdadeira. 
(B) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. 
(C) se somente as afirmativas I e III forem verdadeiras. 
(D) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras. 
(E) se todas as afirmativas forem verdadeiras. 
R. 
Antes de mais nada, percebam que o examinador da FGV trocou os coeficientes, 
nomeando a equação �̂� = 𝑎𝑋 + 𝑏 e não �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋 como é comum nas demais 
provas. 
Assertiva I 
Considerando a equação da reta 𝑌′ = 𝑎2𝑋 + 𝑏2 e 𝑌 = 𝑎1𝑋 + 𝑏1: 
𝑎2 =
∑(𝑌′𝑖 − 𝑌′̅)(𝑋𝑖 − �̅�)
∑(𝑋𝑖 − �̅�)²
 𝑒 𝑎1 =
∑(𝑌𝑖 − �̅�)(𝑋𝑖 − �̅�)
∑(𝑋𝑖 − �̅�)²
 
 
Dado que 𝑌‘ = 10𝑌 + 10, pelas propriedades do desvio padrão: 
𝑎2 =
∑10(𝑌𝑖 − �̅�)(𝑋𝑖 − �̅�)
∑(𝑋𝑖 − �̅�)²
 
𝑎2 =
10∑(𝑌𝑖 − �̅�)(𝑋𝑖 − �̅�)
∑(𝑋𝑖 − �̅�)²
 
𝑎2 = 10𝑎1 
Assertiva Correta 
 
Assertiva II 
Considerando a equação da reta 𝑌′ = 𝑎2𝑋 + 𝑏2 e 𝑌 = 𝑎1𝑋 + 𝑏1: 
𝑏2 = 𝑌′̅ − 𝑎2�̅� 𝑒 𝑏1 = �̅� − 𝑎1�̅� 
 
𝑏2 = 𝑌′̅ − 𝑎2�̅� 
𝑏2 = (10�̅� + 100) − 10𝑎1�̅� 
𝑏2 = 10(�̅� − 𝑎1�̅�) + 100 
𝑏2 = 10𝑏1 + 100 
Assertiva Incorreta 
 
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Assertiva III 
 
𝑅2
2 =
𝑎2
2 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌′𝑌′
 𝑒 𝑅1
2 =
𝑎1
2 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌𝑌
 
𝑆𝑌′𝑌′ =∑(𝑌
′
𝑖 − 𝑌′̅)
2 
𝑆𝑌′𝑌′ = 100∑(𝑌𝑖 − �̅�)² 
𝑆𝑌′𝑌′ = 100𝑆𝑌𝑌 
Portanto, 
𝑅2
2 =
𝑎2
2 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌′𝑌′
=
(10𝑎1)² 𝑆𝑋𝑋
100𝑆𝑌𝑌
=
𝑎1
2 𝑆𝑋𝑋
𝑆𝑌𝑌
 
⇒ 𝑅2
2 = 𝑅1
2 
Assertiva Correta 
Gabarito 39: C 
 
40. (FGV-SEFAZ/RJ-2008) Sejam X, Y e Z três variáveis com correlações 
de Pearson expressas pela matriz abaixo: 
 
 
 
Pode-se, então, afirmar que: 
(A) X e Z são independentes. 
(B) a correlação parcial entre X e Y, após a correção para Z, é negativa. 
(C) o coeficiente de determinação da regressão de Y em X é maior do que 
60%. 
(D) a correlação entre 𝑉 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 e 𝑊 = 𝑐 + 𝑑 . 𝑍, com a ≠ 0, c ≠0, b > 0 
e d < 0 é negativa. 
(E) a covariância entre X e Y e igual a 0,64. 
R. 
Alternativa A 
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O coeficiente de Pearson relaciona informações sobre a correlação linear de duas 
variáveis aleatórias. Dado que a correlação é nula, não é possível afirmar com 
100% de certeza que as variáveis são independentes, haja vista que é possível 
haver uma relação não linear entre elas. Assertiva incorreta. 
Alternativa B 
A correlação entre X e Y é igual a 0,8. Assertiva incorreta. 
Alternativa C 
R²=0,8²=64%>60%. Assertiva correta 
Alternativa D 
Como X e Z possuem correlação nula, a correlação entre V e W também será: 
𝑟𝑋𝑍 =
𝑆𝑋𝑍
√𝑆𝑋𝑋. 𝑆𝑍𝑍
= 0 
𝑟𝑋𝑌 =
∑(𝑋𝑖 − �̅�)(𝑍𝑖 − �̅�)
√∑(𝑋𝑖 − �̅�)² ∑(𝑍𝑖 − �̅�)²
= 0 
Dado que 𝑋 = 𝑉/𝑏 − 𝑎/𝑏 e 𝑍 = 𝑊/𝑑 − 𝑐/𝑑: 
𝑟𝑋𝑌 =
∑
1
𝑏
(𝑉𝑖 − �̅�)
1
𝑑
(𝑊𝑖 −𝑊)
√∑
1
𝑏²
(𝑉𝑖 − �̅�)²∑
1
𝑑²
(𝑊𝑖 − �̅�)²
= 0 
𝑟𝑋𝑌 =
1
𝑏
×
1
𝑑
∑(𝑉𝑖 − �̅�)(𝑊𝑖 −𝑊)
1
𝑏 ×
1
𝑑
√∑(𝑉𝑖 − �̅�)²∑(𝑊𝑖 − �̅�)²
= 0 
𝑟𝑋𝑌 = 𝑟𝑉𝑊 = 0 
Assertiva incorreta. 
 
Alternativa E 
Vimos que 𝑟𝑥𝑦 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋,𝑌)
√𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑋)×𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑌)
. 
Sem os valores da Variância (X) e da Variância(Y) não é possível calcular a 
covariância de X e Y. Assertiva incorreta. 
Gabarito 40: C 
 
41. (FCC-TRT 19-2014) A equação da regressão estimada �̂�𝑡 = 0,25 +
0,04 𝑡 , em que �̂�𝑡 = ln [
𝑝
1−𝑝
] , permite estimar a probabilidade (p) do 
acontecimento de um evento em um determinado dia em função do tempo (t) 
diário, em minutos, em que este evento é divulgado no dia. Se o evento é 
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divulgado em um dia durante 10 minutos, então a probabilidade estimada de 
seu acontecimento neste dia é 
(A) 
1
1+𝑒−0,65
 
(B) 
𝑒0,65
1+𝑒−0,65
 
(C) 
1
1+𝑒0,65
 
(D) 
1+𝑒0,65
𝑒−0,65
 
(E) 
1+𝑒−0,65
1+𝑒0,65
 
R. 
�̂�𝑡 = 0,25 + 0,04 𝑡 
�̂�𝑡 = 0,25 + 0,04 × 10 
�̂�𝑡 = 0,65 
Como �̂�𝑡 = 𝑙𝑛 [
𝑝
1−𝑝
]: 
0,65 = 𝑙𝑛 [
�̂�
1 − �̂�
] 
�̂�
1 − �̂�
= 𝑒0,65 
1 − �̂�
�̂�
=
1
𝑒0,65
 
1
�̂�
= 𝑒−0,65 + 1 
�̂� =
1
1 + 𝑒−0,65
 
Gabarito 41: A 
 
42. (FCC-TRT 12ª-2013) O objetivo de um estudo foi analisar a relação 
entre duas variáveis X e Y e foi adotado o modelo linear 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖, em 
que i refere-se a i-ésima observação,  e β são parâmetros desconhecidos e 𝜀𝑖, 
o erro aleatório com as respectivas hipóteses para a regressão linear simples. 
Foram considerados 60 pares de observações (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖), 𝑖 = 1, 2, 3, . . . , 60 e com 
a utilização do método dos mínimos quadrados foram apuradas as estimativas 
de  e β. O gráfico abaixo corresponde à reta obtida pelo método dos mínimos 
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quadrados, em que os valores das estimativas de  e β são a e b, 
respectivamente. 
 
Neste caso, o valor de M é igual a 
(A) 21. (B) 34. (C) 27. (D) 33. (E) 23. 
R. 
Dada a reta �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑋: 
{
60 = 𝑎 + 𝑏 × 20 (𝑖)
𝑀 = 𝑎 + 𝑏 × 46 (𝑖𝑖)
 
 
Sabemos também que: 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� 
𝑎 =
∑𝑌
𝑛
− 𝑏
∑𝑋
𝑛
 
𝑎 =
3060
60
− 𝑏
1560
60
 
⇒ 𝑎 = 51 − 26𝑏 (𝑖𝑖𝑖) 
Juntando as expressões i e iii: 
{
60 = 𝑎 + 𝑏 × 20 
𝑎 = 51 − 26𝑏
 
60 = (51 − 26𝑏) + 𝑏 × 20 
60 = 51 − 6𝑏 
⇒ 𝑏 = −3/2 
⇒ 𝑎 = 90 
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Avaliando a expressão ii: 
𝑀 = 𝑎 + 𝑏 × 46 
𝑀 = 90 + (−
3
2
) × 46 
𝑀 = 90 − 69 
𝑀 = 21 
Gabarito 42: A 
 
43. (FCC-TRT 5ª-2013) O modelo linear 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑡 + 𝜀𝑡, 𝑡 = 1, 2, 3, . .. , é 
utilizado para prever a venda (𝑌𝑡), em milhares de reais, de um produto no ano 
(2002 + t).  e β são parâmetros desconhecidos e 𝜀𝑡 é o erro aleatório com as 
respectivas hipóteses da regressão linear simples. 
As estimativas de  e β foram obtidas pelo método dos mínimos quadrados, 
com base nas observações das vendas de 2003 a 2012. Dados: 
∑𝑡
10
𝑡=1
= 55, ∑𝑡²
10
𝑡=1
= 385, ∑𝑌𝑡
10
𝑡=1
= 351 𝑒 ∑𝑡
10
𝑡=1
𝑌𝑡 = 2.153,25 
 
Considerando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, a 
previsão do primeiro ano em que a venda irá superar R$ 60.000,00 será em 
(A) 2016. (B) 2017. (C) 2018. (D) 2019. (E) 2020. 
R. 
Dada uma reta �̂� = 𝑎 + 𝑏𝑡: 
𝑎 = �̅� − 𝑏𝑡̅ 
𝑏 =
𝑆𝑌𝑡
𝑆𝑡𝑡
=
∑𝑡𝑌𝑡 − (∑ 𝑡 ∑𝑌𝑡)/𝑛
∑ 𝑡² − (∑ 𝑡)²/𝑛
 
 
Iniciando por 𝑏: 
𝑏 =
∑ 𝑡𝑌𝑡 − (∑ 𝑡 ∑𝑌𝑡)/𝑛
∑ 𝑡² − (∑ 𝑡)²/𝑛
=
2.153,25 − (55 × 351)/10
385 − (55)²/10
=
222,75
82,5
= 2,7 
Depois, 𝑎: 
𝑎 = �̅� − 𝑏𝑡̅ = (
∑𝑌𝑡
𝑛
) − 2,7 × (
∑ 𝑡
𝑛
) =
351
10
− 2,7 ×
55
10
= 20,25 
Portanto, a equação de regressão linear é representada por: 
�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑡 
�̂� = 20,25 + 2,7𝑡 
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Considerando �̂� = 60: 
60 = 20,25 + 2,7𝑡 
39,75 = 2,7𝑡 
𝑡 = 14,72 
Portanto, isso será alcançado no ano 2002 + 14,72. Ou seja, só será superado no 
ano 2017. 
Gabarito 43: B 
 
44. (FCC-SEFAZ/SP-2013) Observe os dados de uma pesquisa realizada 
para verificar a existência ou não de alguma relação entre o estado civil de um 
homem (casado ou solteiro) e sua tendência para o consumo de doces. No 
universo do Gráfico 1, os homens solteiros e casados foram escolhidos 
aleatoriamente na população, ao passo que o universo do Gráfico 2 é um 
subconjunto do universo do primeiro. 
 
 
Os gráficos mostram que 
(A) não existe qualquer relação entre o estado civil de um homem e sua 
tendência para o consumo de doces. 
(B) o estado civil de um homem e sua tendência para o consumo de doces 
estão correlacionados, mas não existe relação causal entre eles. 
(C) o estado civil de um homem e sua tendência para o consumo de doces 
têm uma relação causal: o casamento causa redução na tendência ao 
consumo de doces. 
(D) o estado civil de um homem e sua tendência para o consumo de doces 
têm uma relação causal: a redução no consumo de doces causa uma 
maior tendência ao casamento. 
(E) o processo de coleta de informações foi inadequado, pois os Gráficos 1 e 
2 apresentam dados contraditórios entre si. 
R. 
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 No universo (gráfico 1) o consumo é maior para os homens solteiros e 
menor para homens casados. Essa diferença pode ser explicada ou pelo estado 
civil ou pela diferença nas médias de idade. 
 Na amostra (gráfico 2) o consumo é semelhante para homens solteiros e 
casados quando a faixa etária de ambos os grupos é a mesma. 
 Por isso, conclui-se que o estado civil não é uma variável fortemente 
relacionada à variável consumo. Ao que parece, a variável idade média da 
amostra possui uma relação mais forte com a variável consumo. 
 A alternativa A não é correta porque não se pode afirmar que não existe 
qualquer relação entre as variáveis de estado civil e consumo. A correlação 
parece baixa, porém, não é possível afirmar que inexiste. 
 A alternativa B é correta porque o estado civil de um homem e sua 
tendência para o consumo aparenta uma correlação, no entanto, é baixa e não 
aparenta influenciar no consumo de doces. 
 A alternativa C não é correta porque o casamento por si só não aparenta 
causar uma redução na tendência ao consumo de doces, mas sim, a média de 
idade é que parece influenciar mais. 
 A alternativa D não é correta porque a variável estado civil pode 
influenciar a variável consumo, e não o contrário. 
 A alternativa E não é correta, pois não se percebe contradição nas 
informações repassadas. 
Gabarito 44: B 
 
45. (FCC-ISS/SP-2012) Considere as seguintes afirmações: 
I. Um dispositivo útil quando se quer verificar a associação entre duas variáveis 
quantitativas é o gráfico de dispersão entre essas duas variáveis. 
II. O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa que depende 
da unidade de medida da variável que está sendo analisada. 
III. Dentre as medidas de posição central, a média é considerada uma medida 
robusta pelo fato de não ser afetada por valores aberrantes. 
IV. Se o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis for 
igual a zero, não haverá associação linear entre elas, implicando a ausência de 
qualquer outro tipo de associação. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e IV. 
(D) I. 
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(E) II e III. 
R. 
A assertiva I é correta porque o gráfico de dispersão permite visualizar a 
existência de corelação entre duas variáveis, que pode ser positiva, negativa ou 
nula, conforme vimos nesta aula. 
A assertiva II remete às aulas anteriores, em que apresentamos um pouco sobre 
a estatística descritiva. Vimos que o coeficiente de variação representa a razão 
entre o desvio padrão e a média de uma variável. A modificação da escala 
remete a uma multiplicação da unidade de medida da variável (metro para 
centímetro, por exemplo). Vimos que tanto o desvio padrão quanto a média são 
influenciados pela multiplicação/divisão dos valores de uma variável, de modo 
que, portanto, o coeficiente de variação não sofre influência sobre esse fator. 
𝐶𝑉𝑋 =
𝜇
𝜎
 
Se 𝑋′ = 𝑎 × 𝑋: 
𝐶𝑉𝑋′ =
𝜇′
𝜎′
=
𝑎 × 𝜇
𝑎 × 𝜎
=
𝜇
𝜎
= 𝐶𝑉𝑋 
Assertiva incorreta. 
A assertiva III afirmar que a média não é influenciada por valores extremos. No 
entanto, sabemos que qualquer modificação nos valores da amostra ou da 
população influencia no valor da média. O mesmo não se pode dizer da moda 
(que mede os valores mais frequentes) e da mediana (que mede a posição 
central). Portanto, não se pode considerar que a média seja “robusta” por esse 
aspecto. Assertiva incorreta. 
A assertiva IV está incorreta porque o coeficiente de Pearson mede a relação 
linear entre duas variáveis. Caso esse coeficiente seja igual a 0, é possível 
afirmar que inexiste correlação linear entre as variáveis. No entanto, pode haver 
uma relação não linear entre essas variáveis (por meio de curvas parabólicas, 
exponenciais, por exemplo). Assertiva incorreta. 
Gabarito 45: D 
 
46. (FCC-SEFAZ/SP-2009) O gráfico abaixo demonstra a evolução da 
receita tributária anual no estado de São Paulo desde 1999, com os valores 
arrecadados em bilhões de reais. 
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(Fonte: Secretaria da Fazenda do Estado de São Paulo Histórico da receita tributária) 
Para estimar a receita tributária em um determinado ano com base no 
comportamento sugerido pelo gráfico, adotou-se o modelo 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑡 + 𝜀𝑡, 
𝑡 = 1, 2, 3, . .. , sendo 𝑌𝑡 = 𝑙𝑛 (𝑅𝑇𝑡) , em que 𝑅𝑇𝑡 é a receita tributária no ano 
(1998+t) em bilhões de reais e ln o logaritmo neperiano (ln e = 1).  e β são 
parâmetros desconhecidos e 𝜀𝑡 o erro aleatório com as respectivas hipóteses 
consideradas para o modelo de regressão linear simples. Utilizando o método 
dos mínimos quadrados, com base nas observações de 1999 a 2008, obteve-se 
para a estimativa de β o valor de 0,12, sabendo-se que: 
∑𝑌𝑡 = 39,0
10
𝑡=1
 
A previsão da receita tributária para 2009, em bilhões de reais, em função da 
equação obtida pelo método dos mínimos quadrados é igual a 
(A) e4,58 
(B) e4,56 
(C) e4,44 
(D) e4,32 
(E) e4,20 
R. 
Se pensarmos numa equação de regressão linear 𝑌�̂� = 𝑎 + 𝑏𝑡, onde 𝑏 = 0,12: 
𝑎 = �̅� − 𝑏𝑡̅ 
𝑎 =
∑𝑌𝑡
𝑛
− 𝑏
∑ 𝑡
𝑛
 
𝑎 =
39
10
− 0,12
∑ 𝑡
10
 
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𝑎 = 3,9 − 0,012∑𝑡 
Como t varia de 1 a 10, temos que ∑𝑡 = 1 + 2+. . . +10 = 55 
𝑎 = 3,9 − 0,012 × 55 
𝑎 = 3,24 
Conhecidos os parâmetros a e b: 
𝑌�̂� = 3,24 + 0,12𝑡 
A variável 𝑌𝑡 para 2009 (𝑡 = 11) é igual a: 
𝑌�̂� = 3,24 + 0,12 × 11 
𝑌�̂� = 3,24 + 0,12 × 11 
𝑌�̂� = 4,56 
Por fim a previsão de receita tributária é calculada da seguinte forma: 
𝑌𝑡 = 𝑙𝑛 (𝑅𝑇𝑡) 
4,56 = 𝑙𝑛 (𝑅𝑇𝑡) 
⇒ 𝑅𝑇𝑡 = 𝑒4,56 
Gabarito 46: B 
 
47. (FCC-SEFAZ/RJ-2013) Considere o modelo 𝑦𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑥𝑖 + 𝜀𝑖 , 𝑖 =
1, 2, 3, . .. onde: 
I. 𝑦𝑖 e 𝑥𝑖 representam, respectivamente, o tempo de reação a certo estímulo, 
em segundos, e a idade, em anos, do indivíduo i. 
II.  e β representam